péciale PI - ours "Electromagnétisme" 1 Induction électromagnétique Objectif : hapitre III : Induction électromagnétique Présentation des phénomènes d induction électromagnétique Etude d un circuit électrique xe dans un champ magnétique variable Etude d un circuit électrique mobile dans un champ magnétique permanent 1. Le phénomène d induction 1.1. Mise en évidence expérimentale des phénomènes d induction 1.1.1. Expérience 1 : bobine mobile dans un champ magnétique permanent Description : Un circuit fermé est déplacé à proximité d un aimant immobile dans le référentiel du laboratoire : il apparaît un courant dans le circuit pendant le déplacement du circuit, et le sens de ce courant s inverse avec le sens du déplacement du circuit. L aimant peut être remplacé par une bobine parcourue par un courant : l important est ici de disposer d un champ magnétique permanent dans le référentiel du laboratoire. i immobile N r Déplacement Interprétation : Un porteur de charge, libre de se déplacer dans le circuit, est soumis à la force de Lorentz qui, en l absence de champ électrostatique extérieur, s écrit : F = qv a v a étant sa vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire, somme de la vitesse d entraînement v e de déplacement du circuit et de sa vitesse relative v r de déplacement par rapport au circuit. Le courant i est donc bien causé (induit) par le déplacement du circuit dans le champ permanent. Un circuit se déplaçant dans un champ magnétique permanent se comporte comme un générateur électrocinétique : il est le siège d un phénomène d induction, appelé induction de Lorentz. 1.1.2. Expérience 2 : bobine $xe dans un champ magnétique variable Description : Le circuit est maintenant immobile dans le référentiel du laboratoire et c est l aimant que l on déplace : les observations sont les mêmes que dans l expérience précédente à savoir qu il apparaît un courant dans le circuit pendant le déplacement de l aimant et que le sens de ce courant s inverse avec le sens du déplacement de l aimant. L aimant peut être remplacé par un circuit parcouru par un courant constant et déplacé dans le référentiel du laboratoire ou bien encore par un circuit &xe mais parcouru par un courant variable : l important est ici de disposer d un champ magnétique variable dans le référentiel du laboratoire.
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 2 i N Déplacement r immobile Interprétation : elle-ci est beaucoup moins évidente car les charges étant initialement immobiles (v r = 0) et le restent en l absence de champ électrique extérieur : la force magnétique ne fournit aucun travail. On ne voit donc pas quelle partie de la force de Lorentz peut dans ce cas mettre les charges en mouvement. L explication est en fait la suivante : dans un repère lié au circuit, le champ n est plus un champ magnétostatique mais un champ variable dans le temps : ). e champ variable engendre un champ électrique E), lui-même d ailleurs variable dans le temps : ) E) est ce champ électrique E) qui est à l origine de la force de Lorentz s exerçant sur les porteurs de charge libres : F = q E) Lorsqu un circuit $xe est soumis à un champ magnétique variable, il se comporte comme un générateur électrocinétique : il est le siège d un phénomène d induction, appelé induction de Neumann. 1.2. Unicité des phénomènes Même si l origine de la force mettant les charges en mouvement semble à priori di-érente, il est clair que l on passe de l expérience 1 à l expérience 2 par un simple changement de référentiel galiléen : le mouvement relatif de l aimant et du circuit étant le même il paraît alors naturel que le même e-et (apparition du courant dans ()) se retrouve dans les deux situations. L induction électromagnétique est un phénomène unique : l induction de Lorentz et l induction de Neumann en sont deux facettes, qui dépendent du point de vue de l observateur. 1.3. Loi qualitative de Lenz (ou loi de modération) Expérimentalement on constate que : Les e+ets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l induction sont orientés de façon à s opposer à ses causes (Loi de Lenz). il s agit d une variation dans le temps du champ magnétique ) dans lequel est plongé le circuit, le champ induit induit ) crée par le courant induit s oppose à la variation du champ inducteur (et non au champ inducteur) : ce champ induit peut donc avoir même sens que le champ inducteur : r r ( t) ( t + ) r induit r ( t + ) r ( t) () () r induit
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 3 il s agit d un déplacement du circuit dans un champ permanent, le courant induit est responsable d une force de Laplace induite qui, e-ectuant un travail résistant, s oppose à la force qui a mis en mouvement le circuit. Remarque : L e-et de peau (étudié dans le chapitre II 8) s interprète comme un phénomène d induction électromagnétique : le courant variable j 0 imposé par le générateur et qui serait uniformément réparti en l absence de phénomène d induction crée un champ magnétique 0 dépendant du temps ; ce champ crée donc des courants induits j 1 qui à leur tour créent un champ variable 1 ; ce champ crée à son tour des courants induits j 2, et ainsi de suite. Les courants induits s opposent à la cause qui leur a donné naissance d après la loi de Lenz, ce qui se manifeste concrètement par une réduction de la densité de courants au sein du conducteur. L e-et est d autant plus e4cace que les courants varient vite, ce qui explique l in5uence de sur l épaisseur de peau. 2. ircuit mobile dans un champ magnétique permanent 2.1. f.e.m. induite et force de Laplace On étudie de nouveau l expérience 1 : un circuit fermé est déplacé dans le référentiel du laboratoire où règne un champ magnétique permanent. Il apparaît un courant dans le circuit pendant le déplacement du circuit. Le dispositif se comporte comme un générateur électrocinétique capable de mettre en mouvement les charges mobiles du conducteur. oit e L la force électromotrice (f.e.m.) de ce générateur : e L est appelé force électromotrice de Lorentz ou force électromotrice de déplacement. Le courant induit donne avec le champ magnétique permanent des forces de Laplace. es forces de Laplace et la force électromotrice de Lorentz proviennent de la force de Lorentz F = qv a. On rappelle que cette force ne produit aucun travail, la puissance totale est donc nulle. L action d un champ magnétique extérieur permanent sur un circuit en mouvement est équivalente à celle d un générateur de tension de f.e.m. e L imposant un courant induit i L tel que P Laplace + e L i =0 Remarque : l égalité précédente est applicable au circuit entier ou à une branche de ce circuit. 2.2. hamp électromoteur de Lorentz 2.2.1. Induction de déplacement Un porteur de charge, libre de se déplacer dans le circuit (), est soumis à la force de Lorentz qui s écrit : F = qv a v a étant sa vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire, somme de la vitesse d entraînement v e de déplacement du circuit et de sa vitesse relative v r de déplacement par rapport au circuit. F = q (v r + v e ) = qv r + qv e le terme qv r est responsable de l e+et Hall ; il donne une force perpendiculaire à v r donc aux lignes de courant et il ne peut donc pas être à l origine du courant induit (voir omplément E-et Hall). le terme qv e est une force qui ne s applique aux charges de conduction que si le conducteur se déplace. Par analyse dimensionnelle on pose E m = v e champ électromoteur de Lorentz 2.2.2. irculation du champ électromoteur de Lorentz La force de Laplace exercée sur un élément de circuit &liforme de longueur d, parcouru par le courant i et soumis au champ magnétique,est df Laplace = id lorsque le tronçon () de circuit se déplace, la puissance des forces de Laplace est P Laplace = d F Laplace.v e = id.v e = i E m.d d après le paragraphe 2.1. P Laplace + e L i =0
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 4 La force électromotrice de Lorentz induite par le déplacement d un circuit électrique dans un champ magnétique permanent est égale à la circulation du champ électromoteur de Lorentz (ou champ de déplacement) E m = v e le long du circuit : e L = E m.d = v e.d Remarques : 1) l existence de courants induits est liée au caractère non conservatif de la circulation du champ électromoteur. 2) ce courant induit se détermine en orientant le circuit de vers : on impose une f.e.m. égale à e L orientée de vers et le courant est orienté avec la même convention. 2.3. Loi de Faraday oituncircuitfermé() mobile dans un champ magnétique permanent. La puissance des forces de Laplace est P Laplace = id.v e On rappelle que v e est la vitesse d entraînement du circuit. Entre t et t + chaque point du circuit se déplace de d M = v e d où une nouvelle expression des forces de Laplace P Laplace = id. d M = 1 i d M d. on remarque alors que d M d représente la surface d balayée par l élément de longueur d ; le terme d M d. =.d est donc le 5ux du champ magnétique à travers la surface balayée par le circuit lors de son déplacement entre t et t +. On construit alors la surface fermée constituée par la réunion de : la surface 1 délimitée par le circuit à l instant t, la surface latérale précédente, la surface 2 délimitée par le circuit à l instant t +. Le champ magnétique est à 5ux conservatif.d =0 soit comme P Laplace + e L i =0on obtient e L = d 1 2.d +.d +.d =0 ) + )+.d =0.d = + ) ) P Laplace = 1 i [ + ) )] = id La f.e.m. de Lorentz pour une maille $liforme mobile est donnée soit par la circulation du champ électromoteur de Lorentz la loi de Faraday : la f.e.m. est égale à la dérivée par rapport au temps du 0ux du champ magnétique extérieur permanent à travers toute surface orientée qui s appuie sur le contour de la maille : e L = d Exercice n 01 : Déplacement d un cadre conducteur On suppose que le champ magnétique = e z est uniforme et constant entre les plans (x =0)et(x = d), et nul ailleurs.
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 5 Un cadre conducteur carré, de côté a (a <d), de résistance totale R etdecôtésparallèlesauxaxes(ox) et(oy), circule avec une vitesse constante v = ve x. On désigne par X ) l abscisse du côté avant du cadre. Déterminer en fonction de X le courant i et la force électromagnétique F résultante qui s exerce sur le cadre : 1) en calculant le champ électromoteur ; 2) en utilisant la loi de Faraday ; 3) par un bilan énergétique. Exercice n 02 : lternateur rudimentaire Une bobine plate de N =200spires, d aire =20cm 2, tourne avec une vitesse angulaire constante =10rad. s 1 entre les pôles d un aimant en «U», qui produit un champ =0, 2T supposé uniforme et normal à l axe de rotation. La bobine dont les bornes sont reliées, possède une résistance R =1. Le champ qu elle crée est négligeable devant celui de l aimant. 1) alculer la f.e.m. d induction induite par le mouvement de la bobine. 2) Déterminer le moment, par rapport à l axe qu il faut exercer pour entretenir la rotation (on pourra proposer plusieurs méthodes). Exercice n 03 : arres mobiles sur deux rails 1 ' 1 Y v 0 v) Y ' X ' X ' ur deux rails rectilignes parallèles horizontaux XX et YY,de résistance négligeable, sont placées deux barres mobiles horizontales 1 et 1 perpendiculaires aux rails. La distance entre les rails est =10cm; la résistance de la partie de chaque barre comprise entre les deux rails est R =1 ; chaque barre a une masse m =10g. L ensemble étant soumis à l action d un champ magnétique vertical uniforme d intensité =1T,on déplace la barre 1 en l approchant de 1, avec une vitesse constante v 0 =20cm. s 1 normale à 1. Etudier la loi des vitesses v) de la barre 1. Tracer le graphe de v). Exercice n 04 : Rotation de deux disques métalliques coaxiaux
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 6 O O' R Deux disques métalliques identiques,parallèles et coaxiaux, ont un rayon a et un moment d inertie J par rapport à leur axe commun. On produit un champ uniforme et constant 0. 1) alculer le courant i) qui traverse le circuit, de résistance R, sachant qu à l instant t =0,ona: = 0 et =0. 2) Donner les lois d évolution des vitesses angulaires ) et ). 3) Faire un bilan énergétique ; le véri&er. Exercice n 05 : Roue de arlow E O R mercure l instant t =0, on ferme le circuit d une roue de arlow. On désignera r le rayon de la roue, le module du champ magnétique uniforme normal à la roue, E la f.é.m. du générateur, R la résistance totale du circuit, et J le moment d inertie de la roue par rapport àsonaxeoz. Lemercureexercesurlaroueunsystèmedeforcesdefrottementvisqueuxdontlemomentparrapportàl axede rotation de la roue est k., étant la vitesse angulaire instantanée de la roue de arlow. 1) Exprimer la f.é.m. induite dans le circuit, en fonction de, r et. 2) Exprimer le moment des forces électromagnétiques par rapport à l axe Oz, en fonction de, r et de l intensité i) dans le circuit. 3) Donner la loi ) et l intensité i 0 du courant en régime permanent. Exercice n 06 : Freinage par courants induits Une spire circulaire homogène conductrice de masse M, de résistance R, d inductance négligeable, de rayon a, est suspendue à un &l isolant vertical OO 1 qui n oppose aucune résistance à la torsion ; la spire est fermée sur elle-même. Un champ magnétique, uniforme et horizontal, existe dans toute la région où peut se mouvoir la spire. On désigne par $ l angle que fait la normale à la spire avec.pourt =0, $ =0et la spire est lancée à la vitesse angulaire $0 autour de OO 1. 1) Ecrire l équation di-érentielle du mouvement (J = Ma/2). 2) hercher la relation liant $ à $. Montrer que, sans connaître $ en fonction du temps, on peut déterminer à partir de, a, M, R, et $ 0 la valeur &nale $ 1 prise par $ lorsque la spire s arrête. 3) Montrer graphiquement qu il n y a qu une solution pour $ 1. Déterminer la valeur à donner à pourquelaspires arrêteau bout d un quart de tour. On prendra M =2g, $ 0 =2& rad. s 1, R =4.10 2, a =5cm. 4) alculer l énergie totale dissipée par e-et Joule dans la spire ; interpréter. 3. ircuit $xe dans un champ magnétique variable 3.1. Rappels Lors d un changement de référentiel galiléen le champ électromagnétique est donné par les formules de transformation galiléenne du champ électromagnétique : = E = E + v e
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 7 cf Equations locales de l éléctromagnétisme - hapitre II : Equations de Maxwell dans le vide - 1.Transformation galiléenne du champ électromagnétique. 3.2. Equivalence des phénomènes On étudie de nouveau l expérience 2 : un circuit fermé est immobile dans le référentiel du laboratoire où règne un champ magnétique variable obtenu en déplaçant un aimant à vitesse constante v e dans le référentiel du laboratoire. Pour un observateur liée à l aimant (donc au référentiel de l aimant ), le champ magnétique est permanent et le circuit se déplace à la vitesse v e. On se trouve donc dans le cas de l induction de Lorentz et d après le paragraphe précédent, il apparaît dans le circuit une f.e.m. e L = d. Pour un observateur liée au circuit (donc au référentiel du laboratoire ), le champ magnétique est variable et le circuit est &xe. On se trouve donc dans le cas de l induction de Neumann. et observateur voit apparaître la même f.e.m. dans le circuit e N = e L. D après 3.1. le champ magnétique dans estlemêmequelechamp dans (approximation non relativiste), on a donc e N = d. 3.3. Loi de Faraday On admet qu il est possible de généraliser le résultat précédent : Pour un circuit $xe soumis à un champ magnétique variable ) la f.e.m. de Neumann est donnée par la loi de Faraday : e N = d Remarques : 1) omme précédement on oriente arbitrairement le circuit et on calcule le 5ux en respectant cette convention ; on obtient alors par application de la loi de Faraday la f.e.m. avec les mêmes conventions d orientation. 2) Dans le cas de plusieurs spires (solénoïde par exemple) on remplace le circuit réel par une association série de N spires fermées montées en série. 3.4. hamp électromoteur de Neumann On rappelle que dans le cas de l induction de Lorentz, l apparition du courant induit est dûe à l action du champ électromoteur E m = v e qui met les charges en mouvement ; la circulation de ce champ n est pas conservative et e L = E m.d. Dans le cas de l induction de Neumann, le champ magnétique dépend du temps et d après les équations de Maxwell cette dépendance temporelle de induit une composante du champ électrique E : équation de Maxwell-Faraday : rot E = ( e couplage donne un champ électrique total dont la circulation n est plus conservative (présence du terme t avec = rot ) : E = gradv ( Pour un circuit &liforme () soumis à un champ magnétique variable ) la loi de Faraday donne : e N = d avec ) = (P, t).d th de tokes-mpère ) = (P, t).d = (P, t).d le circuit est &xe d = e N = ( (P, t).d ( (P, t).d Pour un circuit $xe soumis à un champ magnétique variable ) la f.e.m. de Neumann est donnée soit par : la loi de Faraday e N = d la circulation du champ électromoteur de Neumann E m = t : e N = E m.d
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 8 Exercice n 07 : obine autour d un solénoïde Un très long solénoïde, de rayon a, est constitué de n spires par unité de longueur. Le solénoïde est entouré d une bobine plate de résistance R, forméden spires circulaire de rayon r etdemêmeaxequelesolénoïde. 2a I) O r M 1) Le solénoïde est parcouru par un courant variable I) au cours du temps 1.a) Déterminer le champ électromoteur E m induit au point M de la bobine plate, en fonction de n, a, r et di/, 1.b) Exprimer la f.é.m. induite aux bornes de la bobine plate, par deux méthodes di-érentes. 1.c) Que devient cette f.é.m. si la bobine est extérieure au solénoïde sans l entourer? 2) Le solénoïde est parcouru par un courant continu d intensité I 0. e courant est brusquement annulé ; déterminer la quantité d électricité induite qui a traversé la bobine plate qui entoure le solénoïde, dans les deux cas : 2.a) les axes de la bobine plate et du solénoïde sont parallèles ; 2.b) les axes de la bobine et du solénoïde forment un angle -. Exercice n 08 : obine et solénoïde Une bobine circulaire plate de rayon R, comportant N tours de &l, a même axe qu un solénoïde in&ni de rayon R 0 <R, comportant n tours de &l par unité de longueur. 1) oit I le courant circulant dans le solénoïde. Déterminer en tout point de l espace le potentiel-vecteur dû à ce courant. 2) Le courant I est maintenant une fonction du temps : I = I). alculer la f.é.m. d induction qui apparaît aux bornes de la bobine : 2.a) en appliquant la loi de Faraday. 2.b) en faisant circuler le champ électromoteur. Exercice n 09 : ourant induit par un aimant tournant Un aimant, assimilé à un dipôle magnétique de moment M, tourne avec une vitesse angulaire constante autour de son axe (Oz). Une bobine plate de N spires d aire et de résistance électrique R, normales à l axe (Ox), est placée sur l axe (Ox) à une distance d, très grande devant ses dimensions et devant celles de l aimant. 1) alculer le courant i) dans la spire en négligeant l in5uence du champ magnétique propre de la bobine. 2) alculer l ordre de grandeur du champ magnétique propre au voisinage du centre de la bobine, puis discuter la validité de l hypothèse précédente. Exercice n 10 : Dipôle magnétique au voisinage d une spire Un petit dipôle de moment magnétique M glisse dans un tube de verre T. L axe de ce tube coïncide avec l axe d une spire circulaire conductrice de rayon a et de résistance électrique R. 1) alculer le 5ux envoyé par le dipôle à travers la spire. En déduire la f.é.m. d induction e et l intensité i du courant induit dans la spire en fonction de la vitesse v du dipôle. ens de ce courant? 2) alculer la force de freinage f produite sur le doublet par le courant induit. On repérera la position du doublet par l angle $ sous-lequel est vu le rayon a de la spire. 3) On fait circuler le doublet dans le tube à une vitesse constante v 0. Déterminer pour quelles valeurs de $ le module de la force f est maximum. alculer f max.
Electromagnétisme. hapitre III: Induction électromagnétique 9 4. as général 4.1. adre de l étude Dans la plupart des cas l étude des phénomènes d induction se fait dans la cadre de l approximation des régimes quasi permanents ; on rappelle que dans de telles conditions les solutions des équations aux champs sont : (M,t) = µ 0 j(p, t)d1 e PM 4& D rpm 2 même expression qu en régime permanent et E = grad V ( expression di9érente de celle du régime permanent (cf Equations locales de l éléctromagnétisme - hapitre II : Equations de Maxwell dans le vide - 6.1. hamps et potentiels dans l RQ.). 4.2. Loi de Faraday généralisée On admet que si les deux causes d induction existent simultanément, il faut additionner leurs e-ets : Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable, la f.e.m. d induction est donnée par la loi de Faraday : e = d de. où d représente la dérivée totale du 0ux ), tenant compte du déplacement du circuit et de la variation Remarque : e est la somme de e L = 4.3. Loi d Ohm généralisée v e.d et de e N = t.d. Une portion de circuit $liforme d un conducteur ohmique véri$e la loi d Ohm généralisée : u = Ri e vec les mêmes hypothèses la loi d Ohm locale généralisée s écrit : j = 3 E + ve + R H j (rappel : ours onversion de puissance - ompléments onversion de puissance - 2.2. Equation de transport et constante de Hall : E j = 3 + RH j )