One pager Décembre 2012 Vol. 4 Num. 011 Copyright Laréq 2012

Monte Carlo, par Jean Paul Tsasa et Yves Togba One pager Décembre 2012 Vol. 4 Num. 011 Copyright Laréq 2012 Évaluation du prix d un actif à l aide du processus brownien géométrique Dérivation du Modèle de Black Scholes et Application de la Méthode Monte Carlo Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu 1 & Yves Togba Boboy 2 So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I ve read this. I don t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. It s not economics, it s not mathematics, it s not business administration, and Professor Marschak said, It s not literature. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz. Résumé La prévisibilité des prix des actifs financiers, contrairement aux agrégats macroéconomiques, demeure un défi majeur pour l économiste compte tenu de leurs caractères volatiles. De ce fait, scrutant l'évaluation du prix des actifs financiers, l objet de ce papier est de confronter les prédictions issues de la formule Black Scholes aux résultats numériques extraits de simulations aléatoires de type Monte Carlo. Les résultats suggèrent, en dépit de la simplicité des réponses que le modèle Black Scholes apporte à la question de l évaluation en finance, qu il faudrait un grand nombre de simulations pour se rapprocher du prix d'option issu de la formule Black Scholes. Mots clés : mouvement brownien, modèle et Formule Black Scholes, Méthode Monte Carlo. Abstract Predictability of asset prices, unlike macroeconomic aggregates, remains a key challenge for the economist due to their volatiles characters. Therefore, analyzing the evaluation of financial asset price, the subject of this paper is to confront the predictions from the Black Scholes formula with the numerical results extracted from simulations of random Monte Carlo. The results suggest it would require a large number of simulations to approximate the option price from the Black Scholes formula. I. Introduction En finance, il est courant de mobiliser les équations différentielles stochastiques afin de modéliser les trajectoires erratiques des variables financières. Ainsi, ce papier présente, à l aide d une application standard, l implication d une de ces équations le mouvement brownien dans l évaluation des prix d actifs financiers. A l origine, le mouvement brownien décrivait un processus qui fut mis en évidence par le botaniste écossais Robert Brown (1828) en observant, en 1927, l irrégularité des mouvements des particules dans le pollen du Clarkia pulchellai. 1 Ph.D. candidate (sciences économiques) à l Université de Montréal et Chercheur au Laboratoire d Analyse Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : jean-paul.tsasa.vangu@umontreal.ca. 2 Master 2 au Centre Congolais Allemand de Microfinance/UPC et Aspirant Chercheur au Laboratoire d Analyse Recherche en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : yvestogba.boboy@gmail.com. 71

Certes, il a fallu attendre, notamment, les travaux sémantiques de Bachelier (1900), Samuelson (1972), Merton (1973) ou Black et Scholes (1973), pour voir le concept du mouvement brownien dépasser le cadre microscopique, et être transposé en Sciences économiques, plus spécifiquement, en Finance mathématique, comme support d analyse dans le modèle d évaluation des prix. L intérêt de cette transposition trouve ses fondements dans le fait que le mouvement brownien décrit les trajectoires de processus soumis à une infinité de chocs en des instants de temps relativement courts. La présentation de l application retenue dans le cadre de ce papier se fait en quatre sections. Nous montrons dans la première section l intérêt de la prévisibilité du prix d un actif financier. Dans la deuxième section, nous présentons le mouvement brownien et dérivons le modèle de Black Scholes. Dans la troisième section, nous expliquons succinctement les fondamentaux de la méthode Monte Carlo, avant de comparer, dans la dernière section, les résultats issus de simulations de Monte Carlo et de la formule de Black Scholes. Le programme de simulations sera réalisé avec le logiciel MatLab. II. Prévisibilité du prix d un actif financier L analyse économique, depuis notamment les incursions faites par Samuelson Merton (1969) et Samuelson (1972) et les travaux sémantiques de Black Scholes (1973) et Merton (1973), n a cessé d accorder une attention de plus en plus grande à la modélisation et à la compréhension de phénomènes caractérisant les marchés financiers. Bien que le lien entre Finance et les principaux secteurs économiques soit étroit, les différences caractéristiques entre variables financières et agrégats macroéconomiques, ont finalement conduit à l extraction de la Finance comme discipline spécifique et distincte de l économique. En effet, il suffit, par exemple, de constater que les prix des actifs financiers sont très sensibles à des intervalles de temps très réduits et généralement caractérisés par des mouvements densément volatiles, ce qui rend leur prévisibilité très délicate pour le modélisateur. Il s ensuit que la construction des modèles pouvant capter ces mouvements se fonde sur des considérations techniques spécifiques. Par exemple, pour le modèle classique considéré dans ce cadre d étude : (i) la modélisation de l aléa privilégie un mouvement brownien plutôt qu un processus gaussien ; (ii) l absence d opportunités d arbitrage est postulé en vue d obtenir de prix de non arbitrage car l on considère qu il n existerait pas de stratégies pouvant autoriser l acquisition de richesse certaine dans le futur avec un coût initial nul ; (iii) les marchés sont supposés complets mais on peut également modéliser un environnement caractérisé par de marchés imparfaits ; (iv) l existence et l unicité à équivalence près de la probabilité de risque neutre, découlant des (ii) et (iii), sont donc implicitement admises, c est à dire la prise de risque ne nécessite pas de primes compensatoires (probabilité martingale). Soit et un processus stochastique à deux instants t et t+1 et l information recueillie en date t. Le processus est une martingale lorsqu on a : Et par généralisation, on obtient : 72

Tous ces éléments du puzzle réunis permettent de procéder au calcul du prix futur et inconnu au temps t d un actif financier (évaluation des produits dérivés). La solution analytique à cette préoccupation a été fournie par le cas Black Scholes. III. Mouvement brownien et Dérivation du modèle Black Scholes Le mouvement brownien, caractérisant toutes trajectoires irrégulières, sert d input majeur dans la modélisation du prix des actifs financiers. La littérature distingue généralement deux types de mouvement brownien : standard et géométrique. Un mouvement brownien est standard, processus, lorsque : (i) est issu de l origine ; (ii) est une variable réelle de loi gaussienne centrée de variance ; (iii) les variables sont indépendantes ; (iv) la variable est indépendante de la tribu d passé avant t, Notons que l information connue à la date t, est croissante avec le temps et donc, apparait comme toute information qu on peut extraire de l observation des trajectoires de entre et t. Soit un mouvement brownien et sa filtration naturelle ou canonique 3, un mouvement brownien standard est donc : (i) un mouvement brownien par rapport à sa filtration naturelle ; (ii) une martingale et ses trajectoires sont continues et presque sûrement nulle part différentiables. Par ailleurs, remarquons que la filtration satisfait les conditions habituelles si elle est : (i) continue à droite, c est à dire ayant observé toute l information disponible jusqu à l instant t inclus, toute observation infinitésimale dans le futur n apporte rien de plus au contenu informatif actuel ; (ii) complète, en ce que l impossibilité de tour événement est connue à la date 0. En considérant un mouvement brownien, noté et deux constantes et le processus suivant : est dit brownien géométrique. Il est log normale, puisque par linéarisation, on a : Soit l espérance de la fonction avec un brownien issu de, on note : En notant par G, une variable aléatoire de la loi normale centrée réduite de moyenne nulle et variance unitaire, le calcul de donne : 3 Une filtration sur un espace probabilisé est une famille croissante de sous tribus de Si est un processus stochastique, la filtration naturelle est donc Pour les détails sur l espace probabilisé et la terminologie, lire Tsasa (2012, vol. 4, num. 002), disponible sur http://www.lareq.com. 73

Ainsi, on parvient à extraire le processus qui sert de support dans la modélisation du prix d un actif financier : il s agit du modèle de Black Scholes dont la résolution serait facilitée par l application du lemme de Kiyoshi Itô (1940). Remarquons que le rendement de l actif entre deux dates est donné par la différence des logarithmes des cours et obtenu par la variable gaussienne Techniquement, pour manipuler le mouvement brownien, on recourt généralement au processus d Itô, outil important, avec la formule d Itô, dans le traitement de processus stochastique. Un processus à valeurs dans l espace vectoriel est un processus d Itô (semi martingale) si l on peut le décomposer, pout tout instant du temps t, presque sûrement comme suit : A l effet d appliquer ce modèle dans l évaluation du prix des actifs financiers : (i) nous supposons que et sont constants, décrivant ainsi, respectivement, le taux de dérive du prix de l action et la volatilité du prix de l action ; (ii) nous posons le prix de l action sous jacente et le différentiel de la valeur et (iii) nous considérons comme un mouvement brownien géométrique et une variation temporelle continue. Ainsi, on obtient : Le problème, tel que présenté, est un problème continu ou exact. Sa résolution numérique à la section cinquième nécessitera donc, préalablement, une transformation permettant de déboucher à un problème discret ou approché. IV. Méthode Monte Carlo La méthode Monte-Carlo, introduite initialement par Nicholas C. Metropolis 4 en 1947, puis développée par Nicholas C. Metropolis et Stanislas M. Ulam 5 (1949), désigne les techniques et procédés stochastiques de calcul d une valeur numérique, à l aide d une classe d'algorithmes consistant à simuler, un grand nombre de fois, un échantillonnage aléatoire. On trouve également d autres noms associés au développement de cette méthode, notamment le physicien italien Enrico Fermi (prix Nobel de la physique en 1938) et le mathématicien américano hongrois John von Neumann. Cependant, il a fallu attendre 4 Physicien greco américain. En son honneur, le Prix Nicholas Metropolis est décerné chaque année par l American Physical Society. Le but de ce prix est de reconnaître une thèse de doctorat de recherche d'une qualité exceptionnelle et les réalisations en physique numérique et de favoriser de bonnes présentations écrites et oralse des résultats de recherche. 5 Mathématicien américain d'origine polonaise qui contribua au développement de la théorie qui a conduit à l invention de la bombe à hydrogène. 74

les travaux de Cox Ross (1976) et Boyle (1977) pour voir la méthode de simulation Monte Carlo être appliquée dans le calcul d évaluation du prix d actif et surtout, être incorporée dans la panoplie des outils de la finance computationnelle. Plus spécifiquement, en finance, la méthode de simulation de Monte Carlo a facilité l intégration, dans les prédictions et décision financières, d une approche statistique du risque. En effet, cela a été rendu possible puisqu elle parvient, par une pré affectation de distribution de probabilités, à isoler quelques variables d intérêt dans la prise de décision. En mobilisant les méthodes de Monte-Carlo, leurs inventeurs cherchaient à calculer notamment et plus facilement les intégrales à plusieurs dimensions. Il y a donc lieu d établir un lien entre Méthode Monte Carlo et prédiction de prix d une option. En effet, nous avons vu précédemment que le calcul du prix d une option correspond à la solution d une équation différentielle. Or le théorème de représentation de Feynman Kac établit une équivalence entre une équation différentielle et une espérance mathématique, et donc entre une équation différentielle et une intégrale 6. Il s ensuit donc que : En temps discret, la relation (10) donne une moyenne, notée Ainsi, l application de simulation de Monte Carlo consiste à la construction d un estimateur de On procède comme suit : (i) générer au hasard des réalisations de ; (ii) Dériver la valeur ; (iii) Déterminer l estimation de l intégrale ; (iv) évaluer la précision de cette estimation en déterminant l écart type non biaisé : D après la théorie de grands nombres, il vient que : et donc, l intervalle de confiance de l estimateur est : Dans la section suivante, nous nous proposons d exécuter un programme qui nous permettra de confronter les prédictions du prix issues des simulations et les prédictions obtenues à l aide de la formule fermée de Black Scholes. 6 Le lecteur intéréssé peut se rapporter à Tsasa (2012, vol. 4, num. 003) pour voir le procedé du calcul de l intégrale d une variable aléatoire et d une fonction de variable aléatoire. Voir dans http://www.lareq.com. 75

V. Evaluation du prix d un actif financier : Simulations de Monte Carlo et Formule de Black Scholes Nous proposons deux programmes exécutables sur MatLab pour réaliser notre évaluation. Le premier programme permet de vérifier, qu au fur et à mesure qu on accroit le nombre de simulations, la méthode de Monte Carlo fournit des résultats asymptotiques à ceux obtenus avec la formule de Black Scholes. Les données utilisées pour les applications sont reprises à l annexe. Le programme proposé se résume comme suit. %Importation des données et traitements primitifs s=importdata( C:\Users\HP 630\Desktop\Lareq\Data.xlsx'); n_lignes = size(donnees, 1); n_colonnes = size(donnees, 2); %Calcul des rendements MatriceRendements = log(donnees(2:end, :))-log(donnees(1:end-1, :)); MoyenneRendements = mean(matricerendements) Ecart_Rendements = std(matricerendements) var_covar = cov(matricerendements) %Simulation : Evaluation à l européenne function SimulationMatrice = data(s0, r, vol, T, nsim, K) ; RendementsSimules = (r - (vol^2)/2)*t+vol*sqrt(t)*randn(nsim, 1); SimulationMatrice = S0*exp(RendementsSimules); %Test pour prouver que le prix d'une option est le même selon Black-Scholes PrixBS = blsprice(s0, K, r, T, vol, 0) Payoff = max(simulationmatrice - K, 0); PrixSimule = exp(-r*t)*mean(payoff) Le deuxième programme propose une évaluation pas à pas. % Simulation pas à pas function MatriceSimulation = data2v2(s0, r, vol, T, nsim, npas) dt = T/npas; MatriceSimulation = zeros(nsim, npas+1); MatriceSimulation(:, 1) = S0; for k = 1:npas for j = 1:nsim rendementkj = (r - (vol^2)/2)*dt + vol*sqrt(dt)*randn; MatriceSimulation(j, k+1) = MatriceSimulation(j, k)*exp(rendementkj); end end Procédons à présent aux simulations de Monte Carlo en supposant respectivement : Après avoir exécuté le programme, la visualisation graphique des simulations passe par la commande : Remarquons, la commande contient une apostrophe dans la parenthèse. 76

Avant de procéder aux simulations, illustrons la remarque faite précédemment. En supposant nsim=20 et npas=0, on obtient, la figure suivante. Figure 1 : Visualisation de simulation avec l apostrophe 220 plot(maticesimulation') 200 1 60 0 200 400 600 0 0 0 Avec le même nombre de simulations et le même nombre de pas, mais en omettant l apostrophe, il vient qu on obtienne la figure suivante. Figure 2 : Visualisation de simulation sans l apostrophe 220 plot(matricesimulation) 200 1 60 40 0 200 300 400 500 600 700 0 900 0 Les simulations seront rangées dans deux blocs. Dans le premier bloc, nous supposons : et dans le deuxième bloc, nous avons : En effet, il advient qu en augmentant sensiblement le nombre de simulations, les résultats obtenus à l aide de simulations de Monte Carlo s approche asymptotiquement du résultat obtenu avec la formule de Black Scholes. 77

Figure 3 : Illustration des simulations du Bloc I 105 Data(, 0.05, 0.2, 1, 1, 20) *Simulation from LAREQ File Data(, 0.05, 0.2, 1, 5, 20) *Simulation from LAREQ File 130 95 110 90 90 85 70 Data(, 0.05, 0.2, 1,10, 20) *Simulation from LAREQ File Data(, 0.05, 0.2, 1, 50, 20) *Simulation from LAREQ File 150 150 130 130 110 110 90 90 70 70 Figure 4 : Illustration des simulations du Bloc II 200 Data(, 0.05, 0.2, 1,, 20) *Simulation from LAREQ File 1 Data(, 0.05, 0.2, 1, 500, 20) *Simulation from LAREQ File 1 60 60 40 200 Data(, 0.05, 0.2, 1, 0, 20) *Simulation from LAREQ File 220 Data(, 0.05, 0.2, 1, 5000, 20) *Simulation from LAREQ File 200 1 150 60 50 40 En conclusion, nous notons que le recours aux procédés aléatoires permet d obtenir des résultats assez probants. Ainsi, ce papier introductif annonce certainement d autres, dans l avenir, qui traiterons de manière plus élargie et plus approfondie les questions liées aux méthodes de simulations stochastiques. 78

Bibliographie BACHELIER Louis, 1900, "Théorie de la spéculation", Annales Scientifiques de l Ecole Normale Supérieure, 3ème série, tome 17, 21 86. BLACK Fischer et Myrlon SCHOLES, 1973, «The pricing of options and corporate liabilities», The Journal of Political Economy, vol. 81, num. 3, 637 654. BLACK Fischer, "The Pricing of Commodity Contracts", Journal of Financial Economics, 3, 167 179. BOYLE Phelim P., 1977, "Options: A Monte Carlo Approach", Journal of Financial Economics, 4:323 338. BROWN Robert, 1928, A Brief Account of Microscopical Observations Made in the Months of June, July and August, 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on the General Existence of active molecules in Organic and Inorganic Bodies, Edinburgh New Phil. J.,5, 358, 161 173. COX John C. and Stephen A. ROSS, 1976, "The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes", Journal of Financial Economics, 3: 145-166. FAMA Eugene F., "Random Walks in Stock Maket Prices", Financial Ana- lysts Journal, Sept-Oct 1965, vol 21, n_5; 55-59. FAMA Eugene F., 1965, "The Behavior of Stock-Market Prices", Journal of Business, 38, 34 105. FAMA Eugene F., 1970, "Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work", Journal of Finance, 25, 383 417. HARRISON Michael J. and David M. KREPS, 1979, "Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets", Journal of Economic Theory, 20, 381 408. HARRISON Michael J. and Stanley R. PLISKA, 1981, "Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading", Stochastic Processes and Their Applications, 11: 215-260. KREPS David M., 1981, "Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities", Journal of Mathematical Economics, 8, 15 35. MERTON Robert C., 1973, "Theory of Rational Option Pricing", Bell Journal of Economics and Management Science, vol. 4, num. 001, 141 183. METROPOLIS Nicholas C. and Stanislas M. ULAM, 1949, The Monte Carlo method, Journal of the American Statistical Association, 44:335 341. MIGNON Valérie, 2008, «Les ambiguïtés de la théorie de l efficience informationnelle des marchés financiers», CAIRN, 3, 104 117. SAMUELSON Paul A. and Robert C. Merton, 1969, "A Complete Model of Warrant Pricing that Maximizes Utility", Industrial Management Review, Winter 1969, vol. 10, num. 002, 17 46. SAMUELSON Paul A., 1969, "Rational Theory of Warrant Pricing", Industrial Management Review, Spring 1965, vol. 6, num. 002, 13 31. SAMUELSON Paul A., 1972, "Mathematics of Speculative Price", in R.H. Day and S.M. Robinson, eds., Mathematical Topics in Economic Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, Reprinted in SIAM review, January 1973, vol., num. 1, 1 42. SHARPE William F., "Capital Asset Prices: a Theory of Market Equilibrium under conditions of risk", Journal of Finance 1964, 19: 425-442. TSASA Jean Paul, (novembre) 2012, "Espérance et Variance Conditionnelles en Analyse Économétrique : Une Application Implicite de la Version Continue des Moindres Carrés Linéaires", One Pager Laréq, vol. 4, num. 003, 19 25. TSASA Jean Paul, (octobre) 2012, «Un Regard Plus Attentif sur la Mesure de Probabilité en Statistique et Econométrie : Espace Probabilisable, Mesure de Probabilité et Espace Probabilisé», One Pager Laréq, vol. 4, num. 002, 14 18. 79

Annexe Date APPLE Date APPLE Date APPLE Date APPLE Date APPLE 8/19/2004 30.71 12/01/2004 67.79 3/16/2005 41.18 6/28/2005 37.31 10/10/2005 50.37 8/20/2004 30.8 12/02/2004 65.21 3/17/2005 42.25 6/29/2005 36.37 10/11/2005 51.59 8/23/2004 31.08 12/03/2004 62.68 3/18/2005 42.96 6/30/2005 36.81 10/12/2005 49.25 8/24/2004 31.95 12/06/2004 65.78 3/21/2005 43.7 07/01/2005 36.5 10/13/2005 53.74 8/25/2004 33.05 12/07/2004 62.89 3/22/2005 42.83 07/05/2005 37.98 10/14/2005 54 8/26/2004 34.66 12/08/2004 63.28 3/23/2005 42.55 07/06/2005 37.39 10/17/2005 53.44 8/27/2004 34.35 12/09/2004 63.99 3/24/2005 42.5 07/07/2005 37.63 10/18/2005 52.21 8/30/2004 34.12 12/10/2004 65.15 3/28/2005 42.53 07/08/2005 38.25 10/19/2005 54.94 8/31/2004 34.49 12/13/2004 64.91 3/29/2005 41.75 07/11/2005 38.1 10/20/2005 56.14 09/01/2004 35.86 12/14/2004 65.29 3/30/2005 42.8 07/12/2005 38.24 10/21/2005 55.66 09/02/2004 35.66 12/15/2004 65.26 3/31/2005 41.67 7/13/2005 38.35 10/24/2005 56.79 09/03/2004 35.23 12/16/2004 66.6 04/01/2005 40.89 7/14/2005 40.75 10/25/2005 56.1 09/07/2004 35.76 12/17/2004 64.99 04/04/2005 41.09 7/15/2005 41.55 10/26/2005 57.03 09/08/2004 36.35 12/20/2004 62.72 04/05/2005 41.89 7/18/2005 41.49 10/27/2005 55.41 09/09/2004 35.7 12/21/2004 63.69 04/06/2005 42.33 7/19/2005 43.19 10/28/2005 54.47 09/10/2004 35.87 12/22/2004 63.75 04/07/2005 43.56 7/20/2005 43.63 10/31/2005 57.59 9/13/2004 35.59 12/23/2004 64.01 04/08/2005 43.74 7/21/2005 43.29 11/01/2005 57.5 9/14/2004 35.49 12/27/2004 63.16 04/11/2005 41.92 7/22/2005 44 11/02/2005 59.95 9/15/2004 35.2 12/28/2004 64.18 04/12/2005 42.66 7/25/2005 43.81 11/03/2005 61.85 9/16/2004 36.35 12/29/2004 64.44 4/13/2005 41.04 7/26/2005 43.63 11/04/2005 61.15 9/17/2004 37.14 12/30/2004 64.8 4/14/2005 37.26 7/27/2005 43.99 11/07/2005 60.23 9/20/2004 37.71 12/31/2004 64.4 4/15/2005 35.35 7/28/2005 43.8 11/08/2005 59.9 9/21/2004 38.01 01/03/2005 63.29 4/18/2005 35.62 7/29/2005 42.65 11/09/2005 60.11 9/22/2004 36.92 01/04/2005 63.94 4/19/2005 37.09 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