Sommaire 1 Figure symétrique par rapport à un point. 2 2 Construction d une figure symétrique par rapport à un point. 4 3 Propriétés de la symétrie centrale. 9 3.1 Droites symétriques.......................... 9 3.2 Segments symétriques......................... 10 3.3 Angles symétriques.......................... 10 3.4 Droites parallèles symétriques.................... 11 4 Centre de symétrie d une figure. 12 1
Chapitre 1 Figure symétrique par rapport à un point. La symétrie centrale est une tran sformation géométrique par ra p port à un point. Le centre de symétrie est le milieu de tout segment reliant un point et son image. Figure 1.1 Symétrique d un point. Dans cette figure, le point A a pour image le point C dans la symétrie de centre B. Le centre de la symétrie est le point B. B est aussi le milieu du segment [AC]. 2
Pour construire l image d une figure par symétrie centrale, il faut construire l image de tous les points de cette figure. Le triangle GCF est l image du triangle EAD dans la symétrie de centre B, Figure 1.2 Symétrique d une figure. c est à dire que G, C et F sont les images respectives des points E, A et D dans la symétrie de centre B. Remarque : La symétrie centrale est un demi-tour autour du centre de symétrie. 3
Chapitre 2 Construction d une figure symétrique par rapport à un point. Dans cet exemple, on cherche à construire l image du triangle ABC dans la symétrie de centre O. Figure 2.1 Image de ABC. 4
Pour commencer on va construire l image du point A dans la symétrie de centre O. Pour cela on trace une demi-droite d origine A passant par O. Figure 2.2 Image de A. Puis on reporte la longueur entre les points A et O sur cette demi-droite. C est la position de A, l image du point A. Figure 2.3 Image de A. 5
Ensuite on construit l image du point B dans la symétrie de centre O. Pour cela on trace une demi-droite d origine B passant par O. Figure 2.4 Image de B. Puis on reporte la longueur entre les points B et O sur cette demi-droite. C est la position de B, l image du point B. Figure 2.5 Image de B. 6
Comme les points A et B sont reliés, alors leurs images sont aussi reliées. On trace le segment [A B ]. Figure 2.6 Image de B. Enfin on construit l image du point C dans la symétrie de centre O. Pour cela on trace une demi-droite d origine C passant par O. Figure 2.7 Image de C. 7
Puis on reporte la longueur entre les points C et O sur cette demi-droite. L image du point C est C. Figure 2.8 Image de C. Comme les points A et B sont reliés au point C, alors leurs images sont aussi reliées. On trace les segments [A C ] et [B C ]. Figure 2.9 A B C image de ABC. 8
Chapitre 3 Propriétés de la symétrie centrale. 3.1 Droites symétriques. Si deux droites sont symétriques par ra p port à un point (qui n'est pa s sur l une des deux droites), alor s elles sont parallèles. Figure 3.1 Droites symétriques. Dans cette figure, la droite (A B ) est l image de la droite (AB) dans la symétrie de centre O. La propriété permet d affirmer que dans ces conditions, les droites (A B ) et (AB) sont parallèles. 9
3.2 Segments symétriques. Si deux segments sont symétriques par ra p port à un point alor s ils ont la même longueur. Figure 3.2 Segments symétriques. Dans cette figure, le segment [A B ] est l image du segment [AB] dans la symétrie de centre O. La propriété permet d affirmer que dans ces conditions, les segments ont la même longueur. 3.3 Angles symétriques. Si deux angles sont symétriques par ra p port à un point alor s ils ont la même mesure. Figure 3.3 Angles symétriques. Dans cette figure, l angle  B G est l image de l angle ÂBE dans la symétrie de centre O. 10
La propriété permet d affirmer que dans ces conditions, les angles  B G et ÂBE ont la même mesure. 3.4 Droites parallèles symétriques. Si deux droites sont parallèles alor s leur s symétriques par ra pport à un point sont deux droites parallèles. Figure 3.4 Droites parallèles symétriques. Dans cette figure, les droites (A B ) et (HG) sont respectivement les images des droites (AB) et (FE) dans la symétrie de centre O. De plus (AB) // (FE) La propriété permet d affirmer que dans ces conditions, les droites (A B ) et (HG) sont parallèles. 11
Chapitre 4 Centre de symétrie d une figure. Un point est le centre de symétrie d'une figure, si l image de n'im porte quel point de la figure est encore sur la figure. Voici des exemples de figures dans lesquelles I est le centre de symétrie de la figure. Figure 4.1 Losange. Figure 4.2 Rectangle. Dans ces figures I est à l intersection des diagonales. 12
Figure 4.3 Carré. Figure 4.4 Hexagone. 13
Il existe aussi des figures qui n ont pas de centre de symétrie. Figure 4.5 Pentagone. Figure 4.6 Triangle isocèle. Figure 4.7 Triangle équilatéral. 14