Vecteurs (I) Exercice 1. Sur le quadrillage ci-dessous, on a representé trois points A, B et C. B A 1. Indiquez par une phrase le déplacement qu il convient d effectuer pour aller de A à B. 2. On effectue ce même déplacement mais à partir du point C : on arrive à un point D. Placez D sur la figure. 3. Que diriez-vous du quadrilatère ABDC? Exercice 2. On schématise le déplacement qui permet d aller de A vers B par la flèche indiquée sur le dessin ci-dessous, mais cette fois-ci, sans quadrillage. C B A C 1. Comment décririez-vous le déplacement qui permet de joindre A à B? 2. Appliquez ce même déplacement au point C et tracez le point D obtenu. 3. Quelle semble être la nature du quadrilatère ABDC? 1 Notion de vecteur Définitions : Un vecteur est un objet mathématique défini par : 1. une direction ; 2. un sens ; 3. une longueur. Il est généralement noté par une lettre surmontée d une flèche, par exemple u, ce que l on lit vecteur u. La longueur d un vecteur est appelée norme et se note u. Un même vecteur peut être représenté n importe où dans le plan : u u v v 2 de 5 Vecteurs Page 1/10
Exercice 3. On suppose que le quadrillage ci-dessus est constitué de carrés dont le côté mesure 1 unité. Déterminer u et v. Vecteur représenté par un couple de points : Soit un vecteur w ; le couple de points (A;B) représente le vecteur w lorsque : 1. La droite (AB) a la même direction que le vecteur w. 2. On va de A vers B dans le même que le vecteur w. 3. AB = w. Le vecteur représenté par le couple de points (A;B) se note AB et on dit que les vecteurs w et AB sont égaux ; on écrit alors w = AB. L égalité w = AB résume donc trois informations en une seule : c est l intérêt de l outil vectoriel. Comparer le sens de deux vecteurs n a un sens que si l on sait déjà que ces vecteurs ont la même direction. Exercice 4. Tracer un carré EF GH de centre O. Dire, sans démonstration, si les vecteurs suivants sont égaux ou non : (a) EF et HG (b) EF et GH (c) EG et FH (d) EO et OG. Vecteur nul : Le vecteur représenté par les couples de points (A;A), (B;B), etc. n indique ni direction ni sens et sa norme vaut 0. On l appelle vecteur nul et on le note 0. Pour tout point M du plan, MM = 0. Théorème : Soit A, B, C, D et I cinq points du plan. AB = CD si, et seulement si, [AD] et [BC] ont le même milieu. En particulier, AI = IB si, et seulement si, I est le même milieu de [AB]. L égalité AB = CD équivaut donc au fait que ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Attention à l ordre des points!! Grâce aux vecteurs et aux calculs que nous allons apprendre à effectuer avec eux, nous obtenons une nouvelle façon de prouver qu un quadrilatère est un parallélogramme et q un un point est le milieu d un segment. Exercice 5. MNPQ est un parallélogramme de centre S. Écrire 8 égalités vectorielles à partir de cette information. Exercice 6. Placer sur la grille ci-dessous les points D, E, F tels que : CD = BA ; EC = CB ; FA = DC. A B C 2 de 5 Vecteurs Page 2/10
2 Translations Exercice 7. Représenter un vecteur u et un point M. Combien existe-t-il à votre avis de point M tels que u = MM? Théorème [admis] : Soit u un vecteur. Pour tout point M, il existe un unique point M tel que u = MM Définition : On dit que M est l image de M par la translation de vecteur u, ce que l on note : t u : M M et que l on lit : par la translation de vecteur u, M a pour image M prime. Exercice 8. Tracer l image de la figure ci-dessous par la translation de vecteur w. B C D E A w Comparer les dimensions de la figure initiale et de son image. Exercice 9. Soient R et S deux points du plan. Par quelle translation peut-on passer de R à S? de S à R? Exercice 10. Quel est l effet de la translation de vecteur nul sur un point? 3 Addition de deux vecteurs Exercice 11. A u v 1. On applique au pointala translation de vecteur u et on obtient un point B : placer B sur la figure. Compléter : AB =... 2. On applique au point B la translation de vecteur v et on obtient un point C : placer C sur la figure. Compléter : BC =... 3. Par quelle translation passe-t-on directement de A à C? 2 de 5 Vecteurs Page 3/10
Définition : Le vecteur AC représente la somme des vecteurs u et v. On note : Ce que l on écrit aussi : AC = u + v AC = AB + BC Cette égalité, vraie quels que soient les points A, B et C, porte le nom de relation de Chasles. Exercice 12. Sur la figure de l exercice 11, placer le point D, image de A par la translation de vecteur v puis le point E, image de D par la translation de vecteur u. Que constate-t-on? Qu en déduit-on pour les sommes u + v et v + u? Propriétés : Quels que soient les vecteurs u et v, 1. u + v = v + u : on dit que l addition des vecteurs est commutative. 2. u + 0 = u : on dit que 0 est élément neutre pour l addition des vecteurs. Théorème [Règle du parallélogramme] : Soient A, B, C et D quatre points du plans. 4 Différence de deux vecteurs 4.1 Opposé d un vecteur AC = AB + AD ABCD est un parallélogramme. Exercice 13. Représenter un vecteur u quelconque. Représenter maintenant un vecteur v tel que u et v aient la même direction, la même norme mais des sens opposés. Que dire de la somme u + v? Théorème et définition : Soit u un vecteur. Il existe un unique vecteur v tel que u + v = 0. Ce vecteur est l opposé du vecteur u et se note u. Plus précisément, si u = 0, alors u = 0. Si u 0, alors u est le vecteur ayant même direction et même norme que u mais un sens opposé. L opposé du vecteur AB est le vecteur... : AB =... 4.2 Différence de deux vecteurs Définition : Soient u et v deux vecteurs : la différence u v désigne le vecteur qu il faut ajouter à v pour obtenir u. Cette différence s obtient aussi comme étant la somme de u et de l opposé de v : u v = u +( v ). Exercice 14. v Placer sur la figure la différence t v. t Exercice 15. Montrer que quels que soient les points O, A et B : OB OA = AB. 2 de 5 Vecteurs Page 4/10
5 Produit d un vecteur par un nombre réel 5.1 Vecteurs colinéaires Définition : Soit u et v deux vecteurs. On dit que ces vecteurs sont colinéaires si l on se trouve dans l un des cas suivants : u = 0 ou v = 0. u 0 et v 0 et u et v ont la même direction. Le vecteur 0 est colinéaire à tout autre vecteur : c est le seul qui possède cette propriété. Exercice 16. Représenter ci-dessous deux vecteurs a et b non nuls colinéaires de même sens, puis un vecteur non nul c colinéaire à a mais de sens contraire. Exercice 17. Les implications suivantes sont-elle vraies ou fausses? 1. Si u et v sont égaux, alors u et v sont colinéaires. 2. Si deux vecteurs ont la même norme, alors ces vecteurs sont colinéaires. 3. Si pour tout vecteur u, v est colinéaire à u, alors v est le vecteur nul. 4. Si deux vecteurs sont opposés, alors ils sont colinéaires. 5. Si deux vecteurs sont colinéaires, alors ils sont égaux. Traduction de quelques situations géométriques à l aide de la colinéarité : 1. Soit A un point du plan et u un vecteur non nul : il existe une unique droite d passant par A et ayant la même direction que u. On dit que c est LA droite passant par A et dirigée par le vecteur u et que u est UN vecteur directeur de d. En particulier, si B est un point distinct de A, la droite (AB) est dirigée par le vecteur... 2. Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs... et... sont... Le point M appartient à la droite passant par A et dirigée par u si, et seulement si, les vecteurs... et... sont... 3. La droite d dirigée par un vecteur u est parallèle à la droite d dirigée par un vecteur u si, et seulement si, les vecteurs... et... sont... En particulier, les droites (AB) et (CD) (avec A B et C D) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs... et... sont... Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Par définition, un vecteur directeur n est jamais nul. 2 de 5 Vecteurs Page 5/10
Exercice 18. Sur la figure ci-dessous, tracer la droite passant par C et dirigée par le vecteur s. C s 5.2 Produit d un vecteur par un réel Exercice 19. Sur le schéma ci-dessous, représenter le vecteur v tel que u et v soient colinéaires, de même sens et tels que v = 3 2 u. Représenter ensuite le vecteur w, colinéaire à u, de sens contraire, et tel que w = 2 u. u Définition : Soit u un vecteur et k R. Le produit du réel k par le vecteur u est LE vecteur noté k u et défini comme suit : Si u = 0 ou k = 0, alors k u =... Si u 0 et k 0, alors : (a) k u et u sont colinéaires ; (b) k u et u sont de même sens si k > 0 et de sens contraire si k < 0 ; (c) k u = k u. La multiplication d un vecteur par un réel est prioritaire sur l addition et la soustraction de deux vecteurs. Il faudra donc pour modifier cette priorité penser à l utilisation de parenthèses. Par exemple, 1. Pour représenter le vecteur w égal à 2 u + v, on représente d abord le vecteur 2 u puis on ajoute au résultat le vecteur v. 2. Pour représenter le vecteur x égal à 2( u + v ), on cherche d abord la somme u + v puis on multiplie cette somme par deux. Les vecteurs u et k u sont colinéaires, quels que soient k et u. Plus précisément : Propriétés : Deux vecteurs non nuls u et u sont colinéaires si, et seulement si, l un est le produit de l autre par un réel. 2 de 5 Vecteurs Page 6/10
Exercice 20. Soient e et f deux vecteurs tels que 2 e = 3 f. Montrer que e et f sont colinéaires. On suppose que la norme de f vaut 6. Que vaut celle de e? Exercice 21. Représenter sur le schéma ci-dessous les vecteurs u = 3 i ; v = 3 i +2 j ; w = 2 i +4 j. j i Propriétés : Soient u et v deux vecteurs ; k et l deux nombres réels. (a) 1 u =... (b) ( 1) u =... (c) u + u =... (d) k( u + v ) =... (e) k u +l u =... Application au milieu d un segment : Soit A et B deux points du plan. Les proposition suivantes sont équivalentes : 1. I est le milieu du segment [AB] 2. AI =... AB 3. pour tout point M du plan, 2 MI = MA + MB Exercice 22. (Théorème des milieux) Soit EFG un triangle quelconque ; I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [EG]. Prouver que IJ = 1 FG. 2 2 de 5 Vecteurs Page 7/10
6 Vecteurs et repères 6.1 Généralités Schéma : les droites représentées en pointillé constituent un réseau de droites parallèes à (OI) et à (OJ). P N J O I Q R Exercice 23. Placer sur le schéma ci-dessus le point A de l axe tel que OA = 3 OI. Placer le point B tel que OB = 2 OJ. Placer dans le plan le point C tel que OC = 3 OI 2OJ. Quelle est la nature du quadrilatère OACB? Propriétés : A tout point point M du plan peut être associé un unique couple (x M ;y M ) de nombres réels, précisant sa position dans le plan, relativement au repère (O;I;J) en ce sens que OM = x MOI +ymoj. x M est l abscisse de M ; y M est l ordonnée de M. 2 de 5 Vecteurs Page 8/10
6.2 Coordonnées d un vecteur On considère le repère (O;I;J) ci-dessous. J O I Exercice 24. Placer dans le repère ci-dessus le point A(2;1) et le point B( 1;3). Pour aller de O vers A, on avance de 2 unités selon l axe des x et on monte de 1 unité selon l axe des y. On dit que les coordonnées du vecteur ( 2 OA sont. (On les note verticalement). 1) Quelles sont les coordonnées du vecteur OB? du vecteur AB? Représenter dans le plan le vecteur ( ) 2 u de coordonnées. 3 Propriétés : Dans un repère (O;I;J), tout vecteur u se décompose de façon unique sous la forme : u = xoi +yoj On dit que le vecteur ( x u a pour coordonnées. y) On trouve aussi les notations u (x;y) ou u x y. Exercice 25. On pose i = OI et j = OJ. Quelles sont les coordonnées des vecteurs i, j, i + j et i j? Autre notation pour un repère : Soit (O;I;J) un repère du plan. Les points O, I et J n étant pas alignés, les vecteurs i = OI et j = OJ ne sont pas.... Le repère (O;I;J) se note alors (O; i, j ). L axe des abscisses est la droite passant par O et dirigée par le vecteur... L axe des ordonnées est la droite passant par O et dirigée par le vecteur... 6.3 Applications Propriétés (Vecteurs et coordonnées) : Soit u 1. u = v x = x et y = y. 2. u + v a pour coordonnées ( )....... 3. Quel que soit k R, k u a pour coordonnées ( x et y) v ( )....... ( x y ) deux vecteurs. 4. Soit A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) deux points du plan. AB a pour coordonnées 5. Si de plus le repère (O; i, j ) est orthonormé, alors u =...+... ( )....... 2 de 5 Vecteurs Page 9/10
Exercice 26. Soit dans un repère orthonormé les points A(1;2), B( 1; 2) et C(5;0). Trouver les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme. Propriétés [Caractérisation de la colinéarité] : Soit u ( x et y) v u et v sont colinéaires xy yx = 0 ( x y ) deux vecteurs. Le réel xy yx est appelé déterminant du couple de vecteurs ( u ; v ) et se note det( u ; v ) Exercice 27. Soit L(2; 1), M( 1; 3) et N(4; y). Trouver y de sorte que N (LM). 2 de 5 Vecteurs Page 10/10