Introduction Dans l enseignement français, la démonstration est très importante. Pour de nombreux professeurs, elle constitue l entrée dans le monde des mathématiques. Didactique de la géométrie Pour de nombreux élèves elle marque le début de leur échec dans la discipline La démonstration se distingue d autres discours de preuve, et certaines confusions expliquent de nombreuses erreurs. Un exemple pour étudier l apprentissage de la démonstration Soit un triangle ABC isocèle en A, F. La démonstration en géométrie I le milieu de [BC], J le symétrique de I par rapport à (AB), et K le symétrique de I par rapport à (AC). Le parallélisme des droites (JK) et (BC) est à démontrer. 1. Chercher et produire des arguments, rédiger une justification La justification permet de montrer que quelque chose est vrai, juste, légitime ou fondé, elle repose sur des arguments. Les arguments, on les cherche et, éventuellement, on les trouve. La justification est construite, oralement ou par écrit. Des pratiques d enseignement : La recherche d arguments s apprend, elle s enseigne par la narration de recherche (les élèves rédigent ce qu ils font quand ils cherchent des arguments, les textes sont étudiés en classe). La production d arguments s apprend, son apprentissage est facilité par un enseignement de méthodes (les outils sont organisés par des questions récurrentes en géométrie : parallélisme, perpendicularité, alignement, égalité de mesure, etc.). 2. La valeur d un argument La valeur d un argument dépend de sa pertinence et de sa force. Un argument est pertinent s il est bien en rapport avec l affirmation à justifier, dans le cas contraire, il est «hors-sujet». La pertinence est donc en rapport avec la sémantique (le sens). La force d un argument dépend du fait qu il soit facilement accepté ou qu il résiste à un argument contraire. Dans l enseignement, les travaux de groupes où les élèves doivent produire des justifications les aident : à passer de la géométrie d observation à la géométrie du raisonnement ; à évaluer la valeur des arguments. La rédaction d une justification est enseignée en explicitant la structure du texte attendu ; les professeurs utilisent des schémas, des tableaux ou des phrases types (je sais que or donc ).
Première justification : «La perpendiculaire à (BC) en B coupe (JK) en un point B tel que BB = 3 cm et la perpendiculaire à (BC) en C coupe (JK) en un point C tel que CC = 3 cm. Comme BB = CC on en déduit que (JK) et (BC) sont parallèles.» Deuxième justification : «J ai tracé une droite (d) perpendiculaire à (BC), cette droite est aussi perpendiculaire à (JK) donc (BC) et (JK) sont parallèles car deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles». Les arguments sont pertinents en géométrie naturelle. Mais la mesure de 3cm apporte une réponse particulière à un problème général, l argument perd de sa force : avec un autre dessin, les mesures seraient-elles toujours égales? En géométrie axiomatique naturelle, la mesure des longueurs n est pas pertinente. Les arguments sont pertinents en géométrie naturelle, ils sont forts du fait de leur généralité. En géométrie axiomatique naturelle, les arguments sont pertinents ; on pourrait remplacer «j ai tracé» par «considérons» pour minimiser le poids du dessin par rapport à la figure. Mais l affirmation «(JK) est perpendiculaire à (d)» n est pas argumentée. Elle semble venir de l observation malgré l implicite. Par conséquent la justification est faible. Troisième justification : «La droite (JK) est parallèle à la droite (BC) parce qu en déplaçant la figure de manière à ce que la droite (BC) soit horizontale, la droite (JK) devient, elle aussi, horizontale.» Les arguments sont pertinents en géométrie naturelle, mais l argument «(JK) devient, elle aussi, horizontale» est critiquable car il s appuie sur l observation seulement. Cela diminue sa force. En géométrie axiomatique naturelle, les arguments ne sont pas pertinents (l observateur n est pas un objet géométrique, il n y a donc pas d orientation des figures par rapport à l observateur en géométrie). Bien souvent, au démarrage de l apprentissage de la démonstration, les élèves s en tiennent à la seule production d arguments qu ils énumèrent sans les articuler, ignorant souvent les arguments contraires qui pourraient leur être opposés et les liens entre les arguments. Il faut dire que dans les situations de communication ordinaire, le nombre d arguments renforce la justification, indépendamment de leur dépendance. Il faut dire aussi que la production d arguments est une activité importante par elle-même et qu au moment de cette production, il peut être trop coûteux pour l élève d en examiner l acceptabilité.
II. Explication, justification et raisonnement Une des difficulté d apprentissage de la démonstration est la confusion entre trois types de discours : l explication, la justification et le raisonnement. 1. L explication La fonction d une explication de rendre compréhensible un fait, une information, une donnée. Pour y parvenir, l explication donne une ou des raisons qui sont en réalité bien souvent seulement des descriptions. Un exemple : le modèle des amis et des ennemis est une explication qui permet de comprendre la règle des signes *, mais ce ne permet ni d établir sa validité, ni de comprendre pourquoi elle est valide. Bien souvent, les élèves expliquent davantage qu ils ne justifient, c est un peu le cas de la troisième justification proposée précédemment. II. Explication, justification et raisonnement 2. La justification La fonction d une justification est de faire admettre, de faire reconnaître quelque chose comme juste, légitime, fondé. Une justification est adressée à une personne ou à un groupe. Les arguments de la justification et leur organisation dépendent de celui à qui elle est adressée. La force des arguments dépend des références du destinataire de la justification. Souvent, en classe de mathématiques, les élèves justifient leur résultats par des arguments qui emportent la conviction d autres élèves mais qui sont refusés par le professeur. C est là une grande difficulté de l enseignement de la justification en mathématiques : certains élèves voient leur travail mal évalué sans qu ils comprennent pourquoi. * La règle des signes est celle qui permet de trouver le signe du produit de deux nombres relatifs. Le modèle des amis et des ennemis dit que les amis de mes amis sont des amis (le produit de deux positifs est positifs), les ennemis de mes amis sont mes ennemis (le produit d un négatif par un positif est négatif), etc. II. Explication, justification et raisonnement 3. Le raisonnement La fonction du raisonnement est de faire changer la valeur de vérité d une donnée : la faire passer d une proposition de laquelle on peut douter à une proposition qu on tiendra pour vraie lorsque certaines conditions sont remplies. Quatrième justification : «(JK) et (BC) sont parallèles car la figure est symétrique par rapport à (AI). Le triangle ABC l est parce qu il est isocèle en A ; il en est de même de (JK) par construction des points J et K puisque (AB) et (AC) sont symétriques par rapport à (AI). Alors si la droite (JK) coupait (BC) d un côté de la droite (AI) il faudrait qu elle la coupe aussi de l autre côté et donc les deux droites seraient confondues et donc parallèles.» Tout professeur de mathématiques sera d accord pour distinguer le raisonnement précédent d une démonstration, et pourtant il était convaincant. Les travaux de recherche en didactique menés avec des linguistes conduisent à la conclusion la démonstration est un type de texte soumis à des règles de construction qui permettent le passage d énoncés à d autres énoncés. Ces règles de construction sont celles de la déduction (elle-même soumise aux règles de la logique). Une démonstration est composée d étapes appelées pas de déduction.
1. Analyse d un pas de déduction 1. Analyse d un pas de déduction Considérons un cercle de centre O et de rayon R ainsi que deux points A et B de ce cercle. Proposition: le point O appartient à la médiatrice du segment [AB]. Après avoir établi que OA = OB = R, il vient le pas suivant : O est équidistant de A et de B, or tout point équidistant des extrémités d un segment appartient à la médiatrice de ce segment, donc O appartient à la médiatrice du segment [AB]. O est équidistant de A et de B, or tout point équidistant des extrémités d un segment appartient à la médiatrice de ce segment, donc O appartient à la médiatrice du segment [AB]. si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. 2. Acquisition des règles de la logique Voici par exemple un problème de logique des propositions posés à des sujets de 12-13 ans. Vous vous trouverez dans la situation d un détective qui recueille des indices variés pendant son enquête et qui cherche à découvrir la vérité par son raisonnement et sa déduction. Le détective fait des suppositions et recherche des preuves avec ce qu on lui dit et avec ce qu il observe. Maintenant lisez les trois phrases de l énoncé qui suit et, en réfléchissant bien, essayez de savoir si les conclusions qui sont placées au-dessous de l énoncé sont vraies ou fausses. Il y a plusieurs bonnes réponses à cocher. 2. Acquisition des règles de la logique Énoncé - Si le concierge était complice, alors la porte de l appartement était ouverte ou le cambrioleur est entré par le sous-sol. - Si le cambriolage a eu lieu à minuit, alors le concierge était complice. - On a pu prouver que la porte de l appartement n était pas ouverte et que le cambrioleur n est pas entré par le sous-sol. Conclusions Le concierge n était pas complice. Le concierge était complice. Le cambriolage a eu lieu à minuit. Le cambriolage n a pas eu lieu à minuit. On ne peut pas savoir si le cambriolage a eu lieu à minuit. Réussite : 50% à 12-13 ans
Au collège, la démonstration vit souvent comme le produit d un contrat où les élèves doivent reproduire le modèle donné professeur. Ce modèle est est montré dès le début de l'apprentissage, si bien que la forme domine le travail de l élève au détriment du sens. Exemple (Gandit, 2005) : BLE est un triangle isocèle en L. La parallèle à (LE) passant par B et la parallèle à (LB) passant par E se coupent en U. Démonter que (LU) est perpendiculaire à (BE). Le modèle peut se présenter sous différentes formes : - tableau à trois colonnes correspondant aux trois constituants d'un pas de démonstration ; - «texte algorithme» à trois étapes : je sais que or donc De tels modèles sont proposés par des manuels ou sur des sites pour les enseignants. On constate bien souvent que les élèves produisent des textes ou complètent des tableaux qui suivent le modèle, mais qui ne sont pas des démonstrations car les pas de déduction ne sont pas pertinents. Exemple (Gandit, 2005) : BLE est un triangle isocèle en L. La parallèle à (LE) passant par B et la parallèle à (LB) passant par E se coupent en U. Démonter que (LU) est perpendiculaire à (BE). CONCLUSION La géométrie est un domaine particulier des mathématiques à cause de la relation entre l espace physique et l espace géométrique et à cause du rôle des représentations dans l activité géométrique. L apprentissage de la géométrie repose sur les connaissances spatiales des sujets, il nécessite des activités de traductions entre les différentes représentations graphiques et textuelles des figures géométriques et sur la pratique de l activité géométrique : travail sur les figures et démonstration. L apprentissage de la géométrie passe nécessairement par une phase où les objets sont ceux de l espace graphique et où les raisons sont tirées des représentations. Les difficultés des élèves en géométrie se rencontrent souvent dans le passage de cette première phase à la seconde où les objets sont théoriques (même s ils sont représentés) et où les raisons sont validées par des énoncés de la théorie et reliées par les règles de la logique (même si la théorie et la logique ne sont pas enseignés).