Eercices : Intégration Pour les eercices 4 à 43 il suffit de dériver F et de vérifier que F = f. Eercice 4 page 53 : Pour pouvoir dériver F il faut d abord développer ( 2) 3. F() = ( 2)( 2) 2 +2+ = ( 2)( 2 4+4)+2+ = 3 4 2 +4 2 2 +8 8+2+ = 3 6 2 +4 7 F est dérivable sur R et F () = 3 2 2+4 = f() F est une primitive de f sur R. Eercice 4 page 53 : F est dérivable sur ];+ [ et d après les dérivées usuelles, pour tout > : F () = 3 3 2 +4 ( ) + = 9 2 4 2 = f() 2 F est une primitive de f sur ];+ [. Eercice 42 page 53 : F est dérivable sur R et est de la forme u. on aura, pour tout réel, v F () = u ()v() u()v () avec : (v()) 2 u() = +2 u () = v() = 2 + v () = 2 F () = (2 +) (+2)2 = 2 + 2 2 4 = 2 4+ = f(). ( 2 +) 2 ( 2 +) 2 ( 2 +) 2 F est une primitive de f sur R. Eercice 43 page 53 : f est dérivable sur R et est de la forme u e v. on aura, pour tout réel, F () = u ()e v() + u() v ()e v() avec : u() = 2+ u () = 2 v() =, v () =, F () = 2e, +(2+) (,)e, = (2,2,)e, = (,9,2)e, = f(). F est une primitive de f sur R. Eercice 52 page 54 : Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() = 2 4 4 3 3 +4 2 2 + = 2 4 3 3 +2 2 Eercice 53 page 54 : On a f() = 2( 2 8+6)+ = 2 2 6+33. Une primitive de f sur [;] est la fonction F définie pour tout réel [;] par : F() = 2 3 3 6 2 2 +33 = 2 3 3 8 2 +33 TES-TL Page Eercices : Intégration
Eercice 54 page 54 : On remarque que f() = 2e +3 ( )e = 2e +3u ()e u() avec u() =. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() = 2e +3e Eercice 55 page 54 : On remarque que f() =, 2 ( )e =, 2u ()e u() avec u() =. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() =, 2 2 2e = 2 2 2e Eercice 56 page 54 : On remarque que f() = 3 2 2e2 4e + = 3 2 u ()e u() 4e + avec u() = 2. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() = 3 2 e2 4e + Eercice 57 page 54 : On remarque que f() =,3+ 5,2 (,2)e,2 =,3 25 u ()e u() avec u() =,2. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() =,3 25e,2 Eercice 58 page 54 : On remarque que f() =,2++ 3,2,5,5e,5 =,2++6,4 u ()e u() avec u() =,5. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() =,2 2 2 ++6,4e,5 =,6 2 ++6,4e,5 Eercice 59 page 54 : On remarque que f() = 2,5,5e,5+,5 (,5)e,5+2 = 4 u ()e u() + 2 v ()e v() avec u() =,5+ et v() =,5+2. Une primitive de f sur R est la fonction F définie pour tout réel par : F() = 4e,5+ +2e,5+2 TES-TL Page 2 Eercices : Intégration
Eercice 64 page 55 :. Le bénéfice total est une primitive du bénéfice marginal. D après l énoncé, c est l unique primitive de f qui vérifie B() =. On remarque que f() = 3 ( )e = 3u ()e u() avec u() =. les primitive de f sont les fonctions de la forme 3e +k où k est un réel. On veut que B() = donc on résout : 3e +k = k = 3e pour tout [;6], B() = 3e +3e. f est la dérivée de B. Or f s eprime en euros par kg et on calcul une dérivée en faisant la limite du tau d accroissement B() B( ). Comme est en tonnes, c est-à-dire en millier de kg, B s eprime en millier d euros. 2. a) On sait que B () = f(). Or on sait aussi que pour tout réel, e > donc pour tout [;6], f() >. Ainsi B est strictement croissante sur [; 6]. b) fait dans la question précédente... c) B(6) 6,96. Le bénéfice total pour 6 tonnes de poudre est d environ 6 96 euros. Eercice 25 page 5 : 5 5 f(t) dt = 4,5 Eercice 26 page 5 :. La courbe représentative de la fonction est en dessous de ses tangentes donc la fonction est concave. Fonction concave donc courbe au dessus des cordes. 2. a) On s aide des segments [AD], [DB] et [BC] pour minorer l aire et des tangentes pour majorer. b) On ajoute les deu encadrements précédents. TES-TL Page 3 Eercices : Intégration
Eercice 29 page 5 :. y C 2. La fonction est bien continue et positive. 4 f() d = 6,25 3. L intégrale donne l aire en unité d aire. Ici une unité d aire vaut 2 2 = 4cm 2. l aire sous la courbe est de 6,25 4 = 25cm 2. Eercice 7 page 55 :. La fonction f est continue sur R. Une primitive de f est la fonction F définie par : 2 F() = 2 +3 f() d = [F()] 2 = F(2) F( ) = 4+6 ( 3) = 6 2. La fonction 3 2 2 est continue sur [ ;5]. Une primitive de cette fonction est la fonction F définie par : F() = 3 2 5 (3 2 2 ) d = [F()] 5 = F(5) F( ) = 75 25 5 ( +) = 46 Eercice 72 page 55 :. La fonction f est continue sur [;2]. De plus f() = 2 2 2 = 2 Une primitive de f est la fonction F définie par : F() = + TES-TL Page 4 Eercices : Intégration
2 f() d = [F()] 2 = F(2) F() = 2+ ( 2 + ) = 2 2. La fonction 22 + est continue sur [;5]. De plus 22 + = 2+ 2 2 2 Une primitive de cette fonction est la fonction F définie par : 5 2 2 + 2 F() = 2 d = [F()] 5 = F(5) F() = ( 2 ) = 8,8 Eercice 73 page 55 :. La fonction f est continue sur R. Une primitive de f est la fonction F définie par : F() = e f() d = [F()] = F() F( ) = e e = e 2. La fonction 2e est continue sur [;3]. Une primitive de cette fonction est la fonction F définie par : 3 F() = 2 2 2e ( 2e ) d = [F()] 3 = F(3) F() = 9 2 2e3 ( 2e ) = 3 2 2e3 Eercice 76 page 55 : La fonction f est continue sur R. De plus f() = ( 2)e 2 = u ()e u() avec u() = 2. Une primitive de f est la fonction F définie par : Et F() = e 2 f() d = [F()] = F() F() = e ( e ) = e f() d = [F()] = F() F( ) = e ( e ) = +e Eercice 32 page 5 :. f est un produit de deu fonctions usuelles continues sur [ 2;] donc f est continue sur [ 2;]. De plus si [ 2;], +2 > et pour tout réel, e >. pour tout [ 2;], f() >. 2. En unité d aires, l aire sous la courbe est égale à une unité d aire est égale à cm 2. Grâce à la calculatrice on a A 4,39cm 2. Eercice 38 page 52 : 2 f() d. Comme le repère a pour unité cm,. a) f est continue sur [;6] et une primitive de f est la fonction G définie par : F() = G() = +,5 2 2 = +,25 2 f(t) dt = [G(t)] = G() G() = +,252 (+,25) =,25 2 +,25 TES-TL Page 5 Eercices : Intégration
b) F(6) =,25 36+6,25 = 3,75 2. F est dérivable sur [;6] et F () =,25 2+ =,5+ = f(). F est une primitive de f. De plus F() = f(t) dt =. F est la primitive de f qui s annule en. 3. F() est égale à l aire de la zone rose sur le dessin. On voit que si augmente, la zone devient plus grande donc l aire augmente. F est donc croissante sur [;6]. Eercice 33 page 5 :. f est dérivable sur [;6] (le dénominateur ne s annule pas) et est de la forme f () = ku () (u()) avec 2 u() = +6 u () = k. on aura u() Ainsi, f () = 24 (+6) 2. On remarque que pour tout [;6], f () < donc f est strictement décroissante sur [;6]. Pour la conveité, il nous faut calculer la dérivée seconde de f. f est dérivable sur [;6] (le dénominateur ne s annule pas) et est de la forme f () = ku () (u()) 2 avec k. on aura u() u() = (+6) 2 = 2 +2+36 u () = 2+2 = 2(+6) Ainsi, f () = ( 24) 2(+6) 48 = (+6) 4 (+6) 3. On remarque que pour tout [;6], f () > donc f est convee sur [;6]. 2. a) d() = 24 +6 + 24 3+(+6) 4 3(+6) 4 = 3 3(+6) Pour étudier le signe de d utilisons un tableau de signes : = 2 6 3(+6) = ( 6) 3(+6). 6 + 6 d() 6 + + 3. Ainsi d est négative sur [;6]. Comme d est égale à la différence entre f et l équation de la droite (AB) on peut en déduire que sur [;6] le segment [AB] est au dessus de la courbe de f. b) On s aide de l aire délimitée par le segment [AB] qui est égale à 6+2 = 8 et celle délimitée par la tangente qui est égale à 3+2 = 5. 6 On a bien 5 f() d 6,64 6 f() d 8. TES-TL Page 6 Eercices : Intégration
Eercice 85 page 57 :. f est dérivable sur [;2,5] et f () = 6+6 = 6(+). Le tableau de variations de f est donc le suivant : f () f() 2,5 + 34,25 2. a) g est dérivable sur [;2,5] et g () =,5 2 + 6 8. L équation g () = n admet pas de solutions. Le tableau de variations de g est donc le suivant : g () g() 2,5 52 7, 9375 b) Pour trouver le ou les points d infleion il nous faut donner le tableau de signes de g. On a g () = 3+6, donc : g () 2 2,5 + Ainsi g () s annule et change de signe en = 2. C g admet un point d infleion, le point de coordonnées (2,24). 3. a) On a f(2) = 24 et g(2) = 24. pour 2 millions d articles l offre et la demande sont identiques ce qui signifie que c est la quantité d équilibre. b) Comme f(2) = g(2) = 24 le pri de vente à l équilibre est de 24 euros par article. Le chiffre d affaire est donc de 24 2 soit 48 millions d euros. 4. a) S p représente l aire de la zone située entre la courbe de f et la droite du pri d équilibre (pointillé sur le graphique) et entre les points d abscisse et 2. b) Une primitive de f est la fonction F définie par F() = 3 +3 2. c) S p = 24 2 F(2) F() = 48 8 2 = 38 (eprimé en millions d euros) Le surplus est de 38 millions d euros. 5. a) La primitive qui s annule en. b) 2 g() d = 74. c) S C = 74 24 2 = 26 millions d euros. TES-TL Page 7 Eercices : Intégration
Eercice 8 page 56 :. f () f () 2 + 2 2 + f () f 2() f 2 () f 2 () f 3 () f 3 () f 3 () + 3, 5 2 2 3, 5 + + 2,5 2,5 + + 5 3, 5 3, 5 5 + + + 6 + + 6 2. L idée ici est de trouver les lignes de signe qui sont les mêmes. Par eemple on remarque que le signe de f () est le même que celui de f 2(). il semble que f soit la dérivée de f 2. Le signe de f 2 () et celui de f 3() sont les mêmes donc f 2 est la dérivée de f 3. Ainsi f = f, f 2 = f et f 3 = F. TES-TL Page 8 Eercices : Intégration
Eercice 9 page 58 :. a) p est dérivable sur [;6]et p(t) est de la formeu(t)+ke v(t). Onaura donc p (t) = u (t)+kv (t)e v(t) avec : u(t) = 4+,2t u (t) =,2 v(t) =,t+2 v (t) =, On a donc : p (t) =,2+2 (,)e,t+2 =,2,2e,t+2. b) On a : p (t),2,2e,t+2,2e,t+2,2 e,t+2 e,t+2 e,t+2,t 2 t 2 Les solutions de l inéquation p (t) sont [2;6]. c) Grâce à la question précédente on peut donner le tableau de variations de p : p () 2 6 + p() 4+2e 2 46 52+2e 4 Ainsi le pri atteint un minimum au cours du vingtième mois c est à dire au premier septembre 23. 2. a) La fonction p est continue et strictement décroissante sur [;2] et de plus p() 54,8 et p(2) = 46. Comme 5 est compris entre p() et p(2), d après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation p() = 5 admet une unique solution sur [;2]. De même, p est continue et strictement croissante sur [2;6] et 5 est compris entre p(2) = 46 et p(6) 52, donc d après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation p() = 5 admet une unique solution sur [2; 6]. Ainsi l équation p() = 5 admet deu solutions sur [;6]. b) On cherche donc ici la solution qui est dans l intervalle [2;5]. On voit à la calculatrice que p(49) 49,9 et p(5) 5,. le pri dépassera à nouveau 5 euros à partir du mois de mars 26. 3. a) Il nous faut transformer un peu p pour en donner une primitive : p(t) = 4+,2t+2, (,)e,t+2 Une primitive de p est donc la fonction P définie sur [;6] par : P(t) = 4t+,t 2 2e,t+2 b) 2 p(t) dt = P(2) P(). De plus P(2) P() = 82 ( 2e 2 ) 968 2 p(t) dt 968. TES-TL Page 9 Eercices : Intégration
c) Par définition la valeur moyenne est égale à p(t) dt. 2 la valeur moyenne du pri du sapin sur les 2 premiers mois est d environ 968 2 2 = 48,4 euros. TES-TL Page Eercices : Intégration