Les Nombres A.Balan 4 août 2017 1 Les nombres enters naturels 1.1 Défnton On appelle c nombres enters naturels N les cardnaux des ensembles fns [J]. En partculer 0 est le cardnal de l ensemble vde, 1 est le cardnal des sngletons. Les nombres enters possèdent une structure de double monode qu provent, sur les ensembles, à prendre la réunon de deux ensembles dsjonts pour la lo nterne somme a+b, et leur produt cartésen pour la lo nterne multplcaton a.b, ces los ayant une proprété de dstrbutvté entre elles qu peut se démontrer par récurrence (a + b).c = (a.c) + (b.c); 0 est élément absorbant et 1 est élément neutre pour la multplcaton. Il exste un ordre sur les nombres enters naturels, résultant de l ncluson des ensembles. 1.2 Le théorème fondamental de l arthmétque La dvson de n par m n exste que s n = k.m, elle est par défnton égale à k. Tout nombre enter naturel est dvsble par 1 et lu-même. Les nombres premers P sont ceux qu ne sont dvsbles que par 1 et eux-mêmes. Par conventon 1 n est pas premer, et donc le premer nombre premer est 2 ; les nombres enters naturels dvsbles par 2 sont dts pars, et les autres mpars. Le théorème fondamental de l arthmétque est le suvant : Théorème : Tout nombre enter n N, n 2, peut s écrre de façon unque sous la forme d un produt fn : n = p α(n) le produt portant sur les nombres premers p ms à une certane pussance α (n). 1
Démonstraton : par récurrence sur n, P (2): 2 est premer et s n est premer alors P (n). S n n est pas premer, alors n = ab, avec a,b plus petts que n ; on peut donc applquer P (a),p (b) et donc n = pα(a)+α(b). De plus cette écrture est unque car s : p α = p β alors s α j est non nul, p j dvse le produt et donc, on obtent : j p α p αj 1 j = p α p βj 1 j j et on applque la proprété de récurrence à n/p j. D où P(n). On a auss (exercce): n.m = p α(n)+α(m) Le pgcd de deux nombres est le plus grand commun dvseur de ces nombres, le ppcm est le plus pett commun multple. On a (exercce) : pgcd(n,m) = p mn(α(n),α(m)), ppcm(n,m) = p max(α(n),α(m)) 1.3 Conjectures Il exste de nombreuses conjectures concernant les nombres premers. La conjecture de Goldbach dt que tout nombre par est la somme de deux nombres premers n N \ {0,1}, (p,q) P 2, 2n = p + q. La conjecture des nombres premers jumeaux dt qu l exste une nfnté de nombres premers (p,q) P 2 tels que leur dfférence sot deux : p q = 2. 1.4 La dvson eucldenne Théorème : Soent la donne de deux enters naturels n,m avec n m, alors on a la dvson eucldenne suvante : n = km + r avec (k,r) deux enters et r < m, r est appelé le reste de la dvson eucldenne de n par m. Les deux enters k,r sont unques. 2
Démonstraton : par récurrence sur n, s n = m, alors (k,r) = (1,0). S on a n = km + r, alors s r m 2, on a n + 1 = km + (r + 1) et s on a r = m 1, alors n + 1 = (k + 1)m. Les deux enters (k,r) sont unques (exercce). 1.5 L algorthme d Euclde Il s agt dans cet algorthme d térer des dvsons eucldennes successves. Au rang a, on a deux enters A a = (r a,r a+1 ) ; au rang a+1, on fat la dvson eucldenne de r a par r a+1, ce qu donne (k a+2,r a+2 ) et on défnt A a+1 = (r a+1,r a+2 ). Comme la sute des r a est strctement décrossante, l algorthme est fn et on obtent une sute de nombres r a à partr de deux enters n,m. L algorthme d Euclde donne le pgcd(n,m) ; en effet, par récurrence on a : pgcd(r a,r a+1 ) = pgcd(r a+1,r a+2 ) et comme l algorthme est fn, on a au derner rang le pgcd. 2 Les nombres enters relatfs 2.1 Défnton Les nombres enters relatfs Z est le groupe de Grothendeck de N, l s agt en fat d nverser les enters pour l addton : Z = {(n,m) N 2 / ; (n,m) (n,m ) ss n + m = m + n } N s njecte canonquement dans Z par tel que (n) = (n,0). Les nombres enters relatfs possèdent une structure d anneau, c est à dre deux opératons, l une de groupe addtf commutatf et une autre de monode multplcatf, avec une dstrbutvté. Les nombre enters relatfs possèdent un ordre total compatble avec l ncluson et avec les opératons, et tel que les nombres postfs sont les enters naturels. 2.2 Les déaux de Z Les déaux de Z sont des sous-groupes addtfs de Z dont un plus pett élément postf est n, ce sont donc forcément les sous-groupes nz car on montre par dvson eucldenne qu un élément de l déal est forcément multple de n. On dt que Z est euclden donc prncpal et est, de ce fat, factorel. 2.3 Les modulos On dt que a est égal à b modulo c (dans Z) s c dvse a b et on note a b mod(c). Les enters relatfs égaux modulo c fxé forment une relaton d équvalence compatble avec la structure d anneau, le quotent par cette relaton d équvalence se note Z/cZ, l s agt d un ensemble à c éléments qu possède 3
une structure d anneau commutatf; s a b mod(c) et d e mod(c), alors a + d b + e mod(c) et ad be mod(c); c est le quotent des anneaux Z et cz. S p est un nombre premer, alors Z/pZ est un corps ; en effet la multplcaton par a non nul est njectve donc bjectve car l ensemble est fn et de ce fat l exste b tel que ab 1 mod(p), on note auss F p ce corps. 2.4 Le théorème chnos Théorème : S n = p α alors Démonstraton : Z/nZ = (Z/p α Z) S pgcd(n,m) = 1, alors Z/n.mZ = (Z/nZ).(Z/mZ). En effet on consdère l applcaton cannonque Z (Z/nZ).(Z/mZ) ; le noyau est n.mz vu que pgcd(n,m) = 1 et donc on a une applcaton njectve de Z/nmZ dans (Z/nZ).(Z/mZ) qu est auss surjectve en comparant les cardnaux, d où l somorphsme. 2.5 Le théorème de Bézout Théorème : Soent deux enters n,m, l exte deux enters relatfs a,b tels que : an + bm = pgcd(n,m) Démonstraton : On montre que la réunon des déaux nz et mz est pgcd(n,m)z. (de même leur ntersecton est ppcm(n,m)z.) 4
3 Les nombres ratonnels 3.1 Défnton Les nombres ratonnels sont le corps Q des fractons de l anneau ntègre des enters. On défnt cet ensemble : Q = {(a,b) Z.Z / ; (a,b) (c,d) ss ad = bc} (a,b) est noté a/b ; son nverse, avec a,b non nuls, est b/a. 3.2 L ordre sur les ratonnels Un ordre est défnt sur Q a b ss a b 0, les éléments postfs étant ceux pour lesquels a,b sont tous deux postfs ou négatfs. Q est un corps archméden, c est-à-dre que pour tous a > 0, b > 0, l exste n N tel que a < nb. Tout élément strctement postf se met de façon unque sous la forme n/m, avec n,m dans N et pgcd(n,m) = 1. 3.3 La topologe des nombres ratonnels Topologquement, les ratonnels forment un ensemble totalement dscontnu au sens où les seuls sous-ensembles connexes sont l ensemble vde et les sngletons. 4 Les nombres réels 4.1 Défnton On consdère les sutes dtes de Cauchy de nombres ratonnels, l s agt des sutes (a n ) n N telles que pour tout ɛ > 0, l exste N tel que pour tous n > N et m > N, a n a m < ɛ. On quotente alors l ensemble de ces sutes par les sutes tendant vers zéro qu forment un déal maxmal pour obtenr le corps des nombres réels R. 4.2 L ordre sur les réels Les nombres réels possèdent un ordre qu résulte de l ordre des ratonnels dans la mesure où une sute est dte postve s ses termes sont postfs à partr d un certan rang. L ordre ans défn est compatble avec les opératons du corps R. 4.3 La topologe des nombres réels Les ntervalles des nombres réels sont des partes connexes. En effet s ]a,b[= A B avec A,B des ensembles ouverts non vdes alors ]a,(a+b)/2[ ou ](a+b)/2,b[ possède la même proprété et par dchotome on trouve un nombre de ]a,b[ qu ne peut être dans aucun des ouverts A,B. 5
5 Les nombres p-adques 5.1 Défnton Les enters p-adques sont défns comme une sute projectve. On consdère dans le produt nfn n Z/pn Z les sutes (z n ) n N telles que z n z m modulo p m s m < n. Il s agt d un anneau ntègre, l anneau des enters p-adques Z p dont le corps des fractons est le corps des nombres p-adques Q p. 5.2 La topologe des nombres p-adques La lmte projectve qu défnt les enters p-adques possède une topologe produt qu en fat un ensemble compacte car fermé dans le produt nfn de compactes. Les nombres enters s njectent densément dans les nombres enters p-adques par l applcaton qu envoe z Z dans la sute statonnare à partr d un certan rang des réductons de z modulo p n. Les nombres p-adques Q p forment un ensemble complet car complété des ratonnels pour la valuaton p-adque. Les p-adques forment un ensemble totalement dscontnu, chaque élément est sa propre composante connexe. 6 Les nombres non-standards 6.1 Les nfntésmaux Sot (K,τ K ), un corps topologque non séparé, les nfntésmaux sont les éléments du corps qu sont dans tout vosnage de zéro. 6.2 Les réels non-standards et les p-adques non-standards Etant donné un corps (K,τ K ) séparé, l est possble de construre des nfntésmaux. On consdère des sutes d éléments K N que l on quotente par un ultrafltre des enters. On a (a n ) = (b n ) s l exste U, élément de l ultrafltre U tel que a n = b n pour tout n U. Les sutes convergentes sur U, plus les sutes tendant vers l nfn forment alors un corps topologque. Dans le cas des nombres réels, l s agt des nombres réels non-standards et dans le cas des p-adques, ce sont les nombres p-adques non-standards. Références [J] T.Jech, Set Theory, Sprnger Verlag, Berln, 2006. [E] H.-D. Ebbnghaus, & co, Numbers, Sprnger-Verlag, Berln, 1991. 6