Chapitre I : Evolution en pourcentage Extrait du programme : I Pourcentage instantané Définition 1 La proportion d une partie A prise d un tout B est donnée par : Dire que A vaut t% de B signifie que A B = t, c est-à-dire : A = B t t Ainsi, prendre t% d une quantité revient à la multiplier par Exemple : Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles La part des filles dans la classe est : t = 18 60 = 0,6 = 30 = 60% Il y a donc 60% de filles dans la classe Remarque : On exprime une part ou une proportion de trois façons : En fraction : Les trois cinquièmes de la classe sont des filles En pourcentage : 60% des élèves sont des filles Nombre d éléments de A Nombre d éléments de B = partie tout En écriture décimale : lorsque l on a des calculs à effectuer) Si la part des filles est la même parmi les 145 élèves de 1 re ES-L, alors il y a 0,6 145 = 87 filles en 1 re ES-L Dans une assemblée, 25% des personnes sont des Belges, il y a 37 Suisses et un tiers d Anglais, soit 60 anglais Les autres sont Français Calculer : Point-méthode 1 : Utiliser ou déterminer une part en pourcentage 1 L effectif total de l assemblée 2 Le nombre de Belges 3 La part des Suisses en % à 0,1% près 4 La part des Français 1
Solution Point-méthode 1 suite) 1 On calcule d abord l effectif total grâce à la seule nationalité pour laquelle nous avons 2 informations Soit N l effectif total La part des Anglais sur le total est 1 et ils sont 60 donc : 3 1 3 = 60 N = 60 3 = 180 Il y a 180 personnes dans l assemblée N 2 On peut calculer directement ou bien s aider d un tableau de proportionnaité qui sera toujours sur le même modèle : Ou bien, on sait qu il y a 25% de Belges effectif pourcentage donc : 0,25 180 = 45 Partie =Belges)? 25 Tout =assemblée) 180 Il y a 45 Belges 3 On fait de même pour les Suisses effectif pourcentage Partie =Suisses) 37? Tout =assemblée) 180 37 Ou bien directement, 0,206 20,6% 180 Il y a environ 20,6% de Suisses dans l assemblée Pour connaitre la valeur arrondie d un pourcentage à 0,1 près, on calcule la part avec 3 chiffres après la virgule en arrondissant correctement 4 Part des Français : 33,3 25 20,6 = 21,1 Il y a environ 21,1% de Français dans l assemblée Attention à ne pas mettre le % en fin d opération II Pourcentage d augmentation ou de diminution 1 Expression d une évolution à partir d un pourcentage Augmenter une quantité de t% revient à multiplier par 1 + t Diminuer une quantité de t% revient à multiplier par 1 t ) ) Démonstration : cas d une hausse) On veut augmenter une quantité A de t%, on doit donc ajouter à A, t% de A On aura donc : A + A t On peut donc factoriser par A = A 1 + t ) On a donc bien multiplier la quantité de départ par 1 + t ) Définition 2 Les nombres 1 + t pourcentage t ) et 1 t ) sont appelés coefficients multiplicateurs associés au CQFD 2
Point-méthode 2 : Exprimer une évolution à partir d un pourcentage 1 Le prix HT d un objet est de 500 Le taux de TVA appliquée sur ce produit est de 19,6% Quel est le prix TTC de ce produit? 2 La population d un village lors du dernier recensement a diminué de 4,5% Avant ce recensement, ce village comptait 2200 habitants Calculer le nombre d habitants après le recensement Solution : Même si pour l instant ce n est pas obligatoire, cela sera bientôt la seule solution, il faut donc commencer par calculer les coefficients multiplicateurs 1 Il s agit d une augmentation de 19,6% donc on multiplie le prix de base par : 1 + 19,6 = 1,196 500 1,196 = 598 Le prix TTC est donc de 598 2 Il s agit d une diminution de 4,5% donc on multiplie la population de base par : 1 4,5 = 0,955 2200 0,955 = 2101 IL y a donc 2101 habitants dans le village 2 Expression d un taux d évolution en pourcentage à partir d une évolution Propriété-Définitions : Soit V i la valeur initiale d une grandeur et V f sa valeur finale suite à une évolution Le pourcentage de variation t de V i à V f est donné par : t = V f V i V i V f V i s appelle la variation absolue V f V i V i s appelle la variation relative ou le taux d évolution de la grandeur V Soit t le taux d évolution d une grandeur : Si t > 0 alors la grandeur est en hausse si t < 0 alors la grandeur est en baisse Point-méthode 3 : Exprimer un taux d évolution en pourcentage à partir d une évolution 1 Dans un lycée, en classe de seconde, il y avait 30 élèves inscrits en option «LV3 chinois»en 2010 et 36 inscrits en 2011 Quel est le taux d évolution en pourcentage du nombre d inscrits en option chinois en seconde entre 2010 et 2011? 2 Dans une entreprise, parmi 50 salariés fumeurs, trois d entre eux ont cessé de fumer Quel est le taux d évolution du nombre de salariés fumeurs dans cette entreprise? 3
Point-méthode 3 suite) 1 Il faut identifier V i et V f : Ici V i = 30 et V f = 36 On applique la formule : V f V i 36 30 = = 6 = 0,2 Le nombre est positif, ce qui est cohérent V f 30 30 avec une hausse) En pourcentage, ce taux d évolution est égal à 20% On peut dire que dans ce lycée, le nombre d inscrits en iption chinois en seconde a augmenté de 20% entre 2010 et 2011 2 Dans ce cas, V i = 50 et V f = 50 3 = 47 On applique la formule : V f V i 47 50 = = 3 = 0,06 Nombre négatif, cohérent avec une V f 50 50 baisse) On peut donc dire que le nombre de fumeurs dans cette entreprise a diminué de 6% 3 Indices en base Définition 3 Dire que I k/0 est l indice à la date t k en prenant pour base à la date t 0, signifie que I k/0 est la quatrième proportionnelle dans le tableau ci-contre c est-à-dire que : I k/0 = A Date t 0 t k k Valeur A 0 A k A 0 Indice I k/0 Exemple : L indice de A 1 = 18 par rapport à A 0 = 12 est I k/0 = 18 12 + 150 Avec les notion de la définition ci-dessous, le pourcentage d évolution de A 0 à A k est : I K /0 )% Exemple : : Dans l exemple précédent, la grandeur A a augmenté de 50% entre la date t 0 et la date t k Remarques : : Les indices permettent de lire rapidement un pourcentage d évolution par rapport à une date de référence Les indices permettent de comparer deux évolutions sur des données qui n ont pas le même ordre de grandeurs, c est-à-dire des données en centaines avec des données en milliers ou en milliones Point-méthode 4 : Utiliser des indices pour évaluer et comparer des pourcentages d évolution Voici la consommation de pétrole de trois pays en millions de tonnes entre 1992 et 2011 Année 1992 1998 2002 2008 2011 Etats-Unis 792 854 891 889 834 Chine 123 190 246 380 462 France 94 92 94 91 83 Calculer les indices, base en 1992, arrondis à 0,1 près Comparer alors l évolution de la consommation dans ces trois pays 4
Point-méthode : suite) solution : Il faut refaire un tableau ou ajouter une ligne au tableau précédent) avec les indices L année de référence est 1992, on va donc avoir un indice en 1992 pour chacun des trois pays les calculs se font grâce à la formule : Par exemple, pour l indice en 1998 pour les Etats-Unis : I 98/92 = 854 = 107,8 Cela signie que la consommation de pétrole des Etats-Unis a augmenté de 792 7,8% entre 1992 et 1998) Pour la France en 2011 : I 11/92 = 83 = 88,3 Cela siginifie que la consommation de pétrole de la France a diminué de 11,7% -88,3=11,7) entre 1992 et 2011) On peut utiliser un tableur ou bien les lites de la calculatrice afin de faire tous les calculs en même temps cf TD coût de la rentrée scolaire) Année 1992 1998 2002 2008 2011 Etats-Unis 107,8 112,5 112,5 105,3 On obtient alors : Chine 154,5 200 308,9 375,6 France 97,9 96,8 88,3 La consommation des Etats-Unis a continué à augmenter dans le début des années 1990 puis s est stabilisée et tend à diminuer légèrement en 2011, alors que la consommation de la France a peu évolué ces dernières années, avec une baisse plus nette en 2011 La consommation de la Chine explose et est en continuelle hausse +275,6% en 15 ans!) 5