x
X E B (X) O B (X)=D B (E B (X)) 2
SQUELETTISATION Intérêts : - fournit une version simplifiée d'un objet, tout en ayant la même homotopie que l'objet initial. - permet l'isolation des composantes connexes d'un objet - gain de place mémoire 3
SQUELETTISATION Définition du squelette Soient : X un ensemble, X la frontière de X, et Sq(X) le squelette de X Sq(X) vérifie : () : x Sq(X) si et seulement si x est le centre de la boule maximale B x, centrée en x et entièrement contenue dans X. (2) Ces boules maximales B x touchent X en au moins deux points distincts y, y 2 X tels que d(x, x) = d(x, y ) = d(x, y 2 ). 4
SQUELETTISATION Exemples de squelettes de trois objets : 5
SQUELETTISATION Erosion, ouverture et squelette Théorème de C. Lantuejoul : Sq(X) = λ > 0 µ > 0 ( E λb ( X ) / O µ B ( E ( X )) où B est la boule élémentaire. définition équivalente à la définition avec les boules maximales. λb En pratique, on ne conserve que la formule simplifiée : λb B λb Sq(X) = ( E ( X ) / O ( E ( X )) λ> 0 6
Propriétés du squelette a - Conditions d'hadwiger invariance par translation vérifiée compatibilité avec les homothéties vérifiée continuité : admise mais il existe des cas pour lesquels il n'est pas continu. 7
Propriétés du squelette Sq(X) Sq(X) 2 cas où X subit une légère modification qui induit un squelette très différent attention au squelette obtenu après un seuillage Sq(X) 8
Propriétés du squelette b - propriétés algébriques la squelettisation n'est ni croissante ni décroissante : X Y Sq( X ) Sq( Y ) Sq( Y ) Sq( X ) la squelettisation est anti-extensive : Sq(X) X la squelettisation est idempotente : Sq(Sq(X)) = Sq(X) 9
Propriétés du squelette b - propriétés topologiques préservation de la connexité par Sq(X) si X ne présente pas de parties infiniment étroites (X est un ouvert topologique) aux éléments disjoints de X correspondent des squelettes disjoints. homotopie : si X est un ouvert topologique, alors N 2 (X) = N 2 (Sq(X)). 0
Propriétés du squelette X non ouvert X connexe mais pas Sq(X ) Chaque composante connexe de (Sq(X C )) C contient une seule composante connexe de X X
Fonction d'extinction associée au squelette a - définition Soit X un ensemble, Sq(X) son squelette, et X sa frontière. La fonction d'extinction P est définie pour tout point x de Sq(X) tel que : P(x) = d(x, X) idée : propagation d'un feu de manière isotrope dans une prairie Squelette 2
Fonction d'extinction associée au squelette b - propriétés de la fonction d'extinction P - elle est continue - elle est dérivable la dérivée étant associée au caractère plus ou moins anguleux de X - x, x 2, Sq(X), x x 2 on a : P(x ) - P(x 2 ) < d (x, x 2 ) Sélection des points correspondant à une valeur P 0 donnée : { x Sq(X) / P(x) > P 0 } = Sq(X) Reconstitution de X : X = D P ( x ) B { x} E P B 0 ( X ) gain de place, car il suffit de mémoriser P(x) en chaque point du squelette pour pouvoir "retrouver " X. 3
Bissectrice conditionnelle Bissectrice conditionnelle Sq C (X) = { x Sq(X) / P'(x) < c } c étant une valeur donnée notion de vitesse de propagation du feu Squelette par zone d'influence (SKIZ) Soit X un ensemble formé de sous-ensembles X i. A chaque X i, on associe une zone d'influence Y i telle que : Y i = { y / d(y, X i ) < d(y, X j ), j i } Le squelette par zone d'influence de X, SZ(X) est défini par : SZ(X) = [ i (Y i )] c SZ(X) partage l'image en autant de parties de X. On a : SZ(X) Sq(X C ) 4
Squelette par zone d'influence (SKIZ) SKIZ X SZ(X) Sq(X c ) 5
Squelettes d'images digitalisées Formule de C. Lantuejoul : (cas d'un réseau hexagonal). Sq( X ) = X = n= 0 D n= 0 nh E ( E nh nh ( X ( X ) / O ) / O avec H : hexagone de taille H H ( E ( E nh nh ( X )) ( X ))) 6
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Transformations de voisinage 0 0 0 0 8
Transformations de voisinage Configuration de voisinage Une configuration de voisinage consiste à attribuer des «0» ou des à chaque point de l'hexagone (ou du carré). notion d élément structurant x Trame hexagonale Trame carrée hexagonal : 2 7 configurations possibles carré : 2 9 configurations possibles Famille de voisinage : regroupement de configurations : V = V, V 2,..., V n. 9
Transformations de voisinage Constitution des familles de voisinage on impose les valeurs à certaines positions de l'hexagone, les autres configurations étant obtenues en donnant la valeur 0 ou aux autres positions (points quelconques) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V V V 2 V 3 V 4 V = {V, V 2, V 3, V 4 }. 20
Transformations de voisinage Transformations de voisinage x V x ( X ) 0 si si Remarque : similarités avec les transformations en tout ou rien. Exemple : E H (X) = X H V x V ( X ) V x ( X ) V 2
Transformations de voisinage 0 V = {V, V 2, V 3, V 4 }. Par des rotations de kπ/3, on obtient 5 autres familles de voisinage On note θ k V = Dans l'exemple : θ 6 V = V Si θ n V = V alors : n est l'ordre de V R kπ ( V / 3 V n = V θv θ²v... θ n- V est le stabilisé de V. ) C est la plus petite famille contenant V qui reste inchangée par rotation 22
Amincissement et épaississement ) Définitions amincissement : on enlève à X les points qui correspondent à une configuration donnée : X ο V = X / (X V) épaississement : on ajoute à X les points qui correspondent à une configuration donnée : X V = X (X V) 2) Propriétés - amincissement et épaississement sont deux opérations duales : (X ο V) C = X C V C - double inclusion : X ο V X X V 23
Amincissement et épaississement 24
Homotopie et configuration de voisinage Dans le cas d'une grille hexagonale, une configuration est homotopique si en inversant le point central, on ne change pas la connexité. 0 N 2 = 0 0 Ceci est vérifié : si le nombre de connexité du contour est égal à et s'il existe au moins un "0". si on a des points quelconques dans la configuration, ils sont entre 0 et et sont au maximum 2. On obtient les configurations suivantes avec deux points quelconques: 0 0 0 0 0 0 6 familles d'éléments structurants : point central à 0 ou à. 25
Amincissement homotopique Propriété: L amincissement (resp. l épaississement) est homotopique si la configuration de voisinage utilisée est homotopique. La squelettisation est : - anti-extensive - idempotente - homotopique L amincissement est : - anti-extensive - homotopique Idée : l'amincissement jusqu'à l'idempotence squelettisation. 26
Amincissement homotopique Deux configurations sont généralement utilisées : 0 M : 0 et L : 0 Amincissement homotopique opération itérative (X ο V) n avec n nombre d'itérations. Avec la configuration L on a : X ο L = ((((((X ο θ 0 L) ο θ L) ο θ 2 L) ο θ 3 L) ο θ 4 L) ο θ 5 L) amincissement partiel L'algorithme est appliqué jusqu'à l'idempotence. Remarque : on peut changer l'ordre des θ i L dans la séquence de l'amincissement partiel le résultat sera modifié. 27
Amincissement homotopique Cas du réseau carré : en 4-connexité : 2 familles de configurations peuvent être utilisées. 0 0 0 0 et 0 (et toutes les rotations possibles) en 8-connexité : 0 0 0 0 0 et 0 28
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Epaississement homotopique Amincissement et épaississement sont duales par rapport à la complémentation, aussi, on obtient des épaississements homotopiques avec des configurations L C, et M C. (X L C 6) n ou (X M C 6 ) n Remarque : Seule la famille M C 6 permet d'épaissir à partir d'un point. 32
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Configurations de voisinage particulières au squelette a - points extrêmes (deux voisins) Utilisation de la configuration E : extraction des points extrêmes X E 6 = 5 i= 0 i ( Sq( X ) θ E 0 0 0 0 amincissement du squelette : Ebarbulage Y = (Sq(X) ο E 6 ) n élimine les petites branches parasites!!!!!!si n tend vers l infini le squelette peut disparaître complètement s'il n'y a pas de boucle. 34
Configurations de voisinage particulières au squelette Ebarbulage sélectif permet la reconstruction du squelette après ébarbulage Algorithme : () Y = (Sq(X) ο E 6 ) n squelette ébarbulé 5 ( Y θ E 0 i (2) Y = ) points extrêmes de Y i= (3) Y = Y (D H (Y ) Sq(X)) on recommence à (2) jusqu'à Y stable. Grille carrée Utilisation de la configuration E 4 : 0 0 0 35
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Configurations de voisinage particulières au squelette réseau hexagonal : points multiples points triples deux configurations possibles : 0 F 6 : 0 et F' 6 : 0 Extraction des points multiples : Y = (Sq(X) F 6 ) (Sq(X) F' 6 ) 37
Configurations de voisinage particulières au squelette réseau carré : points multiples points triples ou points quadruples Configuration de voisinage pour l'extraction de points multiples (à une rotation près) 38
Enveloppe convexe a - définition L'enveloppe convexe d'un ensemble X, notée C V (X) est égale à l'intersection de tous les demi-plans de R² contenant X. Un demi-plan est caractérisé par une droite orientée selon un angle α. Cas discret : On considère que les droites passent par 2 points distincts d'un contour de l'objet. Suivant les différentes trames, on a les directions suivantes : trame carrée : α = 0 ou π/2 trame octogonale : α = 0 ou α = π/4 ou α = π/2 ou α = 3π/4 trame hexagonale : α = 0 ou α = π/3 ou α = 2π/3 39
Réseau hexagonal Enveloppe convexe L'enveloppe convexe d'un ensemble X peut être obtenue par un épaississement avec la configuration de voisinage C = 0 C V (X) = (X C 6 ) Remarque : La configuration C n'étant pas homotopique, l'enveloppe convexe ainsi obtenue ne conserve pas l'homotopie (propriété non vérifiée par l'enveloppe convexe). L'enveloppe quasi convexe obtenue avec la configuration D conserve l'homotopie. D : 0 0 40
Enveloppe convexe réseau carré Enveloppe convexe : trame carrée trame octogonale C 4 = 0 0 0 Enveloppe quasi convexe : trame carrée trame octogonale 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
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