Propriétés des options sur actions

Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1

Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur, le taux d intérêt est la rémunération d un placement, du point de vue de l emprunteur c est le coût de l emprunt. Le principe du taux composé est le réinvestissement des intérêts acquis de période à période. Exemple Un investisseur place un capital N, rémunérer sur un intervalle de temps [0,T], l intérêt r est versé tous les T/n unité de temps (période), avec n 1 entier. Son capital au temps T est donné par S T = N (1 + r T/n) n. Taux d intérêt continu Si la fréquence de capitalisation devient trés grande (par exemple les intérêts sont versés tous les jours) on tend vers une capitalisation continue. Le taux de cette capitalisation continue est appelé taux continu. Formellement, lorsque l on fait tendre n vers l infini, pour un certain taux r lim n + (1 + r/n) n 1 = e r 1. L avantage du taux continu est qu il permet de calculer des capitalisations ou des actualisations (voir ci-dessous) sur des durées arbitraires. Ainsi la valeur au temps t notée S t d une somme N investit sur une durée θ au taux continu r est donnée par t [0,θ] : S t = Ne rt. 2 / 1

La capitalisation permet de calculer la valeur d un certain placement dans le futur. L actualisation, au contraire, donne la valeur aujourd hui d un flux (ou d une suite de flux) qui sera versé dans le futur. Valeur actualisée, pour un taux d actualisation r a la valeur actuelle (ou actualisée) S θ d un versement A à horizon θ est S θ = A/(1 + r a ) θ si r a est un taux actuariel composé. La valeur actuelle dépend donc du taux actuariel choisit. Exemple La valeur actuelle de 1000 euros reçu dans un an au taux actuariel annuel (composé) de 3% est de S 1 = 1000/(1 + 0,03) = 970,87. En composition continue (taux d intéret continue) on a S θ = Ae r aθ. 3 / 1

Pourquoi actualise-t-on? Pourquoi doit-on actualiser les flux futurs pour calculer leur valeur vue d aujourd hui? Considérons un acteurs qui peut aussi bien emprunter que placer son argent à un certain taux r et qui souhaite évaluer un certain flux futur, disons de nominal N dans n période. Pour lui, il est équivalent de placer la somme N(1 + r) n et d attendre que les intérêts se capitalisent (au bout de n périodes il a acquis un capital de N) ou d acheter le produit qui verse ce flux N à la date spécifié. Il s ensuit que le prix de ce produit, c est à dire en fait la valeur aujourd hui du flux N versé dans n périodes est nécessairement égale à N(1 + r) n. Le contraire serait une opportunité d arbitrage qu on suppose en général ne pas exister. Examinons ce qui se passerait dans ce cas. Si le prix du produit était supérieur à N(1+r) n, notre acteur aurait toujours intérêt à placer cette somme à taux r au lieu d acheter le produit puisque à la fin il aurait le même capital pour investissement initial moindre. En supposant que le taux r est un taux général qui s applique à tous les acteurs, aucun d eux n achèterait le produit à ce prix et la loi de l offre et de la demande ferait baisser les prix. Un mécanisme symétrique empêche des prix supérieurs. 4 / 1

Les options européennes sur actions Une action est un Titre de propriété representant une fraction du capital d une entreprise et donnant à son porteur le droit de vote aux assemblées, le droit a l information et aux benefices (nommés dividendes). Notation : on notera S le cours de l action, le prix d exercice d une option sur action (strike) K, le temps restant à parcourir jusqu à l échéance T. Le taux annuel sans risque r. C la valeur d un Call européen, P la valeur d un put européen. Hypothèses Nous supposerons que il n y pas de coûts de transaction. Tous les gains d opérations (nets de pertes) font l objet du même taux d imposition. L emprunt et le placement sont possibles au taux d intérêt sans risque unique r. Nous supposons également que les acteurs du marché sont prêts à tirer profit de toute opportunité d arbitrage éventuelle. Cela signifie que les opportunités d arbitrage disparaissent rapidement, et donc que de telles opportunités sont absentes. 5 / 1

Bornes supérieures sur options européenne Une option d achat ne peut jamais valoir plus que l action qu elle permet d obtenir. Ainsi C S 0, si cette relations n était pas vérifiée, un arbitragiste pourrait facilement réaliser un profit sans risque en achetant l action et en vendant le call. Une option de vente ne peut jamais valoir plus que son strike K, ainsi P K, en fait on peut facilement améliorer cette borne : étant donné que nous traitons des options européennes, l option à maturité ne peut pas valoir plus que K et donc sa valeur d aujourd hui ne peut être supérieure à la valeur actuelle de K : P Ke rt. Si cette inégalité n était pas vérifier un arbitragiste pourrait réaliser un profit sans risque en vendant l option et en plaçant la somme ainsi obtenue au taux sans risque. 6 / 1

Bornes inférieures sur options européenne (ne versant pas de dividendes). Cas des Call On va montrer que C S 0 Ke rt. On commence sur un Exemple : On suppose que S 0 = 20, K = 18, r = 10% et T = 1(1an), on a donc S 0 Ke rt = 3,71. Supposons que la valeur du call soit de 3. Un arbitragiste peut acheter le call et vendre l action à découvert et donc encaisser 20 3 = 17. Ces 17 sont investis à 10% pendant un an et permettent d obtenir 17 e 0.1 = 18.79. Ou bout d un an l option arrive à échéance si le cours de l action est au dessus de 18, le trader exerce son option dénoue sa vente à découvert et encaisse un profit de 18.79-18=0.79. Dans le cas contraire il achète l action sur le marché dénoue sa vente à découvert et fait un profit. Donner un exemple de gain. Pour le cas général on considère 2 portefeuilles : Portefeuille A : une option d achat européenne et un montant de liquidités égal à Ke rt Portefeuille B : une action. 7 / 1

Cas des Put On va montrer que P Ke rt S 0. On commence sur un Exemple On suppose que S 0 = 37, K = 40, r = 5% et T = 0,5(6mois), on a donc Ke rt S 0 = 2,01. Considérons le cas ou la valeur du put est de 1. Un arbitragiste peut emprunter 38 pour 6 mois pour acheter à la fois le put et l action sous jacente. Au bout des 6 mois, il rembourse son emprunt d un montant égale à 38e 0.05 0.5 = 38.96. Si le le cours de l action est inférieure à 40 il exerce son option de vente rembourse son emprunt et donc encaisse 40 38,96 = 1,04. Si par contre le cours de l action est supérieure à 40 il n exerce pas son option mais vend son action et fait un gain plus important. Donner un exemple. Pour le cas général on considère les portefeuilles suivants : Portefeuille C : une option de vente européenne et une action sous-jacente, Portefeuille D : un montant de liquidité égal à Ke rt. 8 / 1

Parité Call Put On peut maintenant montrer une relation importante liant C et P. On considère les portefeuilles suivants : Portefeuille A : une option d achat européenne et un montant de liquidités égal à Ke rt, Portefeuille C : une option de vente européenne et une action sous-jacente. La valeur de ces deux portefeuilles au temps T vaut max(s T,K). Puisque les options sont européenne elles ne peuvent être exercées avant la date d échéance. Les portefeuilles doivent par conséquent avoir la même valeur aujourd hui, d où C + Ke rt = P + S 0. Cette relation exprime le fait que la valeur d un call (put) européen, caractérisé par un certain prix d exercice et une date d échéance, peut être déduite de la valeur d un put (call) européen doté des mêmes caractéristiques (prix d exercice, date d échéance, action sous jacente). Remarque : La relation de parité est indépendante du modèle du prix de l action, elle ne permet pas de donner un prix aux options. 9 / 1

Le modèle à une période 2 états possibles On considère un modèle de fluctuation d une action, dont le cours est noté S très simple, il se résume au graphe suivant : S T = S + S 0 S T = S où T est la date d échéance de d option pour cette action. But : donner le prix d une option d achat européenne pour ce modèle, et déterminer un portefeuille de couverture. Pour cela on se place du point de vue du vendeur de l option. Le vendeur va créer un portefeuille de couverture : Portefeuille à t = 0 : X 0 = β + γs 0, et à t = T : X T = βe rt + γs T. On veut que quelle que soit l évolution du marché le vendeur soit couvert par son portefeuille, ce qui s écrit, X T g(s T ), où g(s T ) = (S T K) +. 10 / 1

L hypothèse d absence d opportunité d arbitrage (on ne peut pas gagner de l argent sans prendre de risque), implique X T = g(s T ) ainsi β et γ vérifient le système d équation suivant, { βe rt + γs + = g(s + ), βe rt + γs = g(s ). On en déduit la quantité d actif risqué γ et non-risqué β et donc le portefeuille couvrant parfaitement le risque endossé par le vendeur : γ = (g(s + ) ( g(s ))/(S + S ), ) β = 1/2e rt g(s + ) + g(s ) S+ +S S + S (g(s + ) g(s )). 11 / 1

Résumé : au temps t = 0, l acheteur donne C = X 0 = β + γs 0 au vendeur. Au temps T, soit l actif vaut S +, et dans ce cas le vendeur donne g(s + ) à l acheteur, soit l actif vaut S et le vendeur donne g(s ) à l acheteur. Remarque Le prix de l option et en particulier la composition du portefeuille de couverture (γ,β) ne dépend pas de la probabilité que l actif S prenne la valeur S + ou S. En fait le vendeur se couvre dans tous les cas de figures : à la fois en cas de hausse ou de baisse du prix de l actif. Le raisonnement que l on a effectué ici est purement déterministe. Notion de probabilité risque neutre : On peut interpréter le prix de l option comme l espérance de gain de son acheteur, non pas sous la probabilité réelle qui n intervient pas dans la formule de prix mais sous une autre probabilité, la probabilité risque neutre. Cette probabilité (dans le cas de notre exemple avec une option d achat européenne), est définie de la façon suivante : P [S T = S + ] = ert S 0 S S + S p, P [S T = S ] = 1 p. 12 / 1