1. Définition FONCTIONS POLYNÔMES FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRE Définition Une fonction polynôme du second degré de la variable (ou fonction du second degré), est une fonction f définie sur par : f a b c, où a, b et c sont des nombres réels donnés, avec a 0. L epression a b c où a 0, est appelée polynôme du second degré. a est appelé coefficient de, b est le coefficient de, c est appelé la constante. Eemples : f définie sur par : g définie sur par : 1 f 3 5 est une fonction polynôme du nd degré avec a = 1, b = 3 et c = 5 g 3 4 est une fonction polynôme du nd degré avec a = 4, b = 0 et c = 3 h définie sur par : h 0,1 k définie sur par : k 1 3 car k 3 3 est une fonction polynôme du nd degré avec a = 0,1, b = et c =0 est une fonction polynôme du nd degré, a =, b = 1 et c = 3 est la forme développée réduite du polynôme. Transformation de l epression a. Approche a + b + c : forme canonique k. Rappel : pour tous réels et k, k k k et k k k 1 ) Factoriser les epressions : 4 4 1 11 1 6 9 3 3 3 16 64 8 8 8 5 5 5 5 5 4 1 1 1 1 4 ) Ecrire sous la forme chacune des epressions suivantes, désignant une variable réelle et, des réels à déterminer: 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 5 5 5 69 5 11 5 11 4 4 4 6 5 6 9 9 5 3 4 7 3 3 7 3 9 7 3 1 3 3 4 4 4 4 p p p p p p q q q 4 1
3 ) Ecrire sous la forme a chacun des polynômes suivants : 5 3 8 5 4 4 4 1 1 1 1 3 6 1 1 6 1 5 4 4 4 4 4 16 4 5 3 4 3 3 1 3 1 3 1 3 3 3 6 6 6 36 6 9 b. Cas général Théorème Tout fonction polynôme du second degré f a b c peut s écrire sous la forme : f a où et sont des réels définis par L écriture a est appelée la forme canonique du polynôme P. Démo. b a b 4ac 4a b c b b b c b b c f a b c a a a a a a a a a a a a b ab ac b b 4ac b b 4ac a a a a 4a a a 4a 4a a 4a b a b 4ac 4a Ainsi : Remarque : Cette écriture est importante car elle nous permet de déduire tous les résultats suivants. 3. Variations et courbe représentative Propriété1 Soit f : a b c 1. Si 0 une fonction polynôme du second degré, et a sa forme canonique. a : f est décroissante sur l intervalle ; et f est croissante sur l intervalle ; de f f admet un minimum pour sur, atteint en....
. Si 0 a : f est croissante sur l intervalle ; et f est décroissante sur l intervalle ; Propriété et définition de f f admet un maimum pour sur, atteint en. Soit f une fonction polynôme du second degré et a ( a 0) sa forme canonique. La courbe P représentative de f dans le plan rapporté à un repère O ; i, j est une parabole. Le point S de P de coordonnées ; est le sommet de la parabole P.. La droite passant par S et parallèle à l ae des ordonnées est un ae de symétrie de la parabole P. Son équation est : Si a > 0 Si a < 0 Les branches de la parabole sont tournées vers le haut Les branches de la parabole sont tournées vers le bas Application 1 Soit g la fonction définie par g 5 7 et 1. Préciser l ensemble de définition de g, noté D g. Il n y a aucune valeur interdite, donc D g 5 81. 4 8. Montrer que, pour tout de D g, g g 5 7, donc a =, b = 5, c = 7, ainsi : b 5 5 a 4 b 4ac 5 4 7 5 56 81 4a 4 8 8 3. Etudier les de g et dresser son tableau de variation. P sa courbe représentative. 5 81 g a 4 8 et 3
a < 0 donc g est croissante sur l intervalle 5 ; 4 et f est décroissante sur l intervalle 5 ; 4. de g 5 4 81 8 4. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe P avec chacun des aes du repère. Intersection avec l ae des ordonnées : 5 81 5 81 5 81 56 g 0 0 7 d où le point A 0;7. 4 8 16 8 8 8 8 Intersection avec l ae des abscisses : 5 81 5 81 5 9 g 0 0 0 0 4 8 4 16 4 4 5 9 5 9 0 4 14 0 1 7 0 4 4 4 4 4 4 1 0 1 ou ou d où les points B 1;0 et C 7 ;0 7 7 0 P dans un repère orthonormal. 5. Tracer la courbe Application Soit f la fonction définie par f 4 3 et 1. Préciser l ensemble de définition de f, noté D f. Il n y a aucune valeur interdite, donc D f P sa courbe représentative. 4
. Déterminer les réels et tels que, pour tout réel, f 4 3, donc a = 1, b = 4, c = 3, ainsi : f. b 4 4 a 1 b 4ac 4 41 3 16 1 4 1 4a 41 4 4 3. Etudier les de f et dresser son tableau de variation. a < 0 donc g est décroissante sur l intervalle ; 1 1 et f a et f est croissante sur l intervalle ;. 4. Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe P avec chacun des aes du repère. Intersection avec l ae des ordonnées : f 0 0 1 4 1 3 d où le point A 0;3. Intersection avec l ae des abscisses : f 0 1 0 1 0 1 1 0 1 3 0 5. Tracer la courbe de f 1 1 0 1 ou ou d où les points B 3 0 3 P dans un repère orthonormal. 1;0 et C3;0 6. a. Tracer dans le même repère la droite y b. Calculer les coordonnées des points d intersection de il faut résoudre l équation : d d équation 3. P et d. 4 3 3 4 3 3 0 0 0 f 0 0 1 4 1 3 d où le point A 0;3. f 1 0 1 1 d où le point D ; 1 c. Résoudre graphiquement l inéquation f 3 S 0;.. 0 0 ou ou 0 5
Application 3 : un problème d optimisation Un maître-nageur sauveteur veut créer une zone de baignade (ZDB) rectangulaire (pour faire des longueurs) et d aire maimale (pour que les nageurs se sentent à l aise). Il possède 100 m de corde et se dit qu il peut utiliser le bord de la plage pour constituer l un des côtés de la ZDB!!! Pourriez-vous donner les dimensions eactes de la ZDB? 1. On note la longueur AB. a. Eprimer en fonction de la deuième dimension de ce rectangle. b. A quel intervalle I appartient?. a. Eprimer en fonction de, l aire A (en b. Montrer que pour tout réel de I, m ) de la zone de baignade. A 5 150. c. En déduire la valeur de pour laquelle l aire de la ZDB est maimale. Préciser cette aire maimale, ainsi que les dimensions correspondantes de la zone de baignade. 3. Etudier les de la fonction A et dresser son tableau de variation. Algorithmique : Créer un algorithme et/ou un programme à la calculatrice permettant de déterminer le sommet de la parabole, l équation de l ae de symétrie et les de la fonction f : a b c. 6