Introduction Programme selon les sections : - formules de trigonométrie, produit scalaire dans le plan : toutes sections - produit scalaire dans l espace : ST2A, S - vecteur normal : S Pré-requis : Vecteurs Plan du cours 1. Formules de trigonométrie 2. Produit scalaire dans le plan 3. Produit scalaire dans l espace 1. Formules de trigonométrie Valeurs remarquables : Propriétés : Pour tout réel a : et et ( ) 1
Corollaire : Soient a et b réels. Si alors ou Si alors ou Formules d addition : Pour tous réels a et b : D où : 2. Produit scalaire dans le plan On se place dans le plan muni du repère orthonormé. Notion de produit scalaire : Un produit scalaire est une application qui à deux vecteurs associe un nombre réel. Ses règles sont les suivantes : A. Expression du produit scalaire En fonction de coordonnées de vecteurs : Soient deux vecteurs du plan et. 2
Ex : En fonction de la norme : Soient deux vecteurs du plan et. On appelle produit scalaire de et et on note les nombres : D où également : En fonction de la norme et de l angle des vecteurs : Soient deux vecteurs du plan et. Toutes ces expressions sont équivalentes. Remarque : La formule d Al-Kashi dans un triangle ABC peut également s écrire : 3
B. Propriétés Opérations : Soient trois vecteurs du plan, et. On a : pour tout k réel si ou alors Colinéarité : - Deux vecteurs et sont colinéaires de même sens si et seulement si. - Deux vecteurs et sont colinéaires de sens opposé si et seulement si. Orthogonalité : Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si. Remarque : On retrouve ainsi le théorème de Pythagore, cas particulier de la formule d Al-Kashi dans lequel et sont orthogonaux : or d où 4
Vecteur normal à une droite : Soient un vecteur et une droite. On dit que est normal à si est orthogonal à un vecteur directeur de. Tous les vecteurs colinéaires à sont également des vecteurs normaux à la droite. Si une droite a pour équation cartésienne alors le vecteur est un vecteur normal à 3. Produit scalaire dans l espace On se place dans l espace muni du repère orthonormé. A. Expression du produit scalaire En fonction de coordonnées de vecteurs : Soient deux vecteurs de l espace et. Ex : En fonction de la norme : Soient deux vecteurs de l espace et. On appelle produit scalaire de et et on note les nombres : 5
D où également : En fonction de la norme et de l angle des vecteurs : Soient deux vecteurs de l espace et. Ces dernières expressions se formulent de la même manière dans le plan et dans l espace. Opérations : B. Propriétés Soient trois vecteurs de l espace, et. On a : pour tout k réel si ou alors Colinéarité : - Deux vecteurs et sont colinéaires de même sens si et seulement si. - Deux vecteurs et sont colinéaires de sens opposé si et seulement si. Orthogonalité : Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si. 6
On peut caractériser la colinéarité et l orthogonalité de la même manière dans le plan et dans l espace. Vecteur normal à un plan : Soient un vecteur et un plan. On dit que est normal à si est orthogonal aux vecteurs directeurs de deux droites sécantes contenues dans le plan. Tous les vecteurs colinéaires à sont également des vecteurs normaux au plan. Si un plan a pour équation cartésienne alors le vecteur est un vecteur normal au plan Propriété : Deux plans et de vecteurs normaux respectifs et sont perpendiculaires si et seulement si ( et orthogonaux). 7