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\documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \usepackage{amstext}\usepackage{amsthm}\usepackage{mfpic}\usepackage{graphics} \usepackage{rotating}\input{macro}\definecolor{yellowgreen}{rgb}{0.68,1,0.15} \definecolor{violl}{rgb}{0.3,0,0.3}\definecolor{sarcc}{rgb}{0,0.82,0.82} \begin{document}\frontmatter\pagestyle{empty}\begin{titlepage}\begin{picture} \end{picture} \tableofcontents \mainmatter\pagestyle{myheadings} \chapter {Géométrie affine} On note $E$, $F$ ou $G$, des espaces de vectoriels sur $\r LM 323 \ttt{dimension finie}.\\ Un endomorphisme sur $E$ est ssi il est injectif \ttt{ou} surjectif.\section{espaces affines} \dfs $-$ Un e $\mathcal{e}$ est un \ttt{ PRINTEMPS 2010 } par un espace vectoriel

Table des matières 1 Géométrie affine 1 1.1 Espaces affines.................................... 1 1.2 Sous-espaces affines.................................. 3 1.2.1 Intersection de sous-espaces affines, sous-espace engendré par une partie de E....................................... 4 1.2.2 Position relative de deux sous-espaces affines, parallélisme......... 6 1.3 Applications affines.................................. 7 1.3.1 Effet sur les sous-espaces........................... 10 1.3.2 Effet sur les barycentres........................... 11 1.3.3 Le groupe affine................................ 11 1.3.4 Points fixes.................................. 12 1.4 Exemples d utilisation des applications affines................... 15 1.5 Rappels sur les barycentres.............................. 17 1.6 Coordonnées cartésiennes en géométrie affine.................... 18 1.7 Espaces vectoriels et affines euclidiens........................ 19 1.8 Groupe des isométries vectorielles.......................... 22 2 Géométrie euclidienne plane 24 2.1 Isométries vectorielles dans le plan......................... 24 2.2 Isométries affines dans le plan............................. 26 2.3 Angles......................................... 27 2.3.1 Angles orientés de vecteurs.......................... 27 2.3.2 Angles orientés de droites........................... 29 2.3.3 Orientation du plan et mesure des angles orientés.............. 30 ii

2.3.4 Bissectrices................................... 31 2.3.5 Angles géométriques et bissectrice intérieure................. 32 2.4 Rappel de quelques théorèmes sur les angles.................... 34 2.5 Similitudes planes................................... 38 2.5.1 Propriétés des similitudes directes...................... 39 2.5.2 Utilisation des nombres complexes...................... 41 2.6 Inversions planes................................... 41 2.6.1 Puissance d un point par rapport à un cercle, cercles orthogonaux..... 44 3 Géométrie euclidienne en dimension 3 48 3.1 Isométries vectorielles................................. 48 3.2 Isométries affines.................................... 50 3.3 Produit vectoriel, calcul d aires........................... 52 4 Coniques 55 4.1 Coniques affines, généralités............................. 55 4.1.1 Coniques à centre............................... 56 4.2 Classification affine.................................. 57 4.3 Classification euclidienne............................... 60 4.4 Foyers et directrices.................................. 63 4.4.1 Propriétés bifocales des coniques à centre.................. 64 4.5 Tangentes....................................... 66

Chapitre 1 Géométrie affine Soit K est un corps quelconque et E, F ou G, des espaces vectoriels sur K de dimension quelconque. Rappel : Si E est de dimension finie et si φ est un endomorphisme sur E alors φ est bijectif φ est injectif φ est surjectif. 1.1 Espaces affines Définitions: Un espace affine E dirigé par un espace vectoriel E est un ensemble non-vide muni d une application Θ : E E E telle que A E, Θ A : B Θ(A, B) est une bijection de E sur E, A, B, C E, Θ(A, B) + Θ(B, C) = Θ(A, C) (relation de Chasles). L espace vectoriel E est la direction de l espace affine E. On dit que E est de dimension finie si E est de dimension finie, et l on pose alors dim E = dim E. Les éléments de E sont des points. Notation: On note AB = Θ(A, B). La relation de Chasles devient AB + BC = AC. Exemple: Tout espace vectoriel E est un espace affine sur lui-même : il suffit de poser pour (u, v) E 2, Θ(u, v) = uv = v u. L application v v u est une bijection de E pour tout u E et Chasles résulte de l identité (v u) + (w v) = w u pour tous u, v, w E. Remarques: Par la relation de Chasles on a AA = 0 et BA = AB pour tous A, B E. 1

2 Si A est un point de l espace affine E et si u est un vecteur de l espace vectoriel E qui le dirige, alors par définition il existe un unique point B tel que AB = u. On note parfois B = A+u ou u = B A. On remarquera que si v est un autre vecteur de E, B+v = (A+u)+v = A+(u+v). En effet si C = B +v, alors AC = AB + BC = u+v ce qui entraîne B +v = C = A+(u+v). On peut donc formellement additionner un vecteur et un point. Par contre cela n a pas de sens d additionner plusieurs points, sauf si l espace affine a été muni d une structure d espace vectoriel. Vectorialisé d un espace affine Soit A E un point d un espace affine. L application Θ A : E E, M AM étant une bijection, on transporte la structure d espace vectoriel de E sur E : M + N = Q signifie AM + AN = AQ et λm = Q signifie AQ = λam. Plus généralement P = α i M i AP = α iami. L espace E devient un espace vectoriel noté E A, car sa structure dépend de A qui est le vecteur nul de E A. Rappelons que N M = MN sur E ; mais N M est aussi un cas particulier de combinaison linéaire sur E A. Vérifions la cohérence des deux notations. Sur E A, N M est le point P tel que AP = ( ) AN AM = MN. Donc P = ΘA MN. Donc «M N = ΘA (M N)». Comme Θ A est la bijection qui nous a permis de définir E A, les deux notations sont cohérentes. Une égalité n aurait pas de sens puisqu un «N M» est dans E et l autre dans E A. v = AM E u + v 0 u = AM u v = NM A N = A + v E A M + N = A + u + v 2M = A + 2u M = A + u M N = A + u v Remarque: Soit P défini dans E A par P = α i M i. Alors P est indépendant de A ssi α i = 1.

Démonstration. Soit B A et Q = α i M i dans E B. Alors AP = α iami αi BM i. Par différence AP BQ = ( αi ) AB. D où AB P Q = AP + P B P B BQ = AP BQ = ( αi ) AB. Comme A B, P = Q α i = 1. 3 et BQ = Définition: Lorsque α i = 1, le point P = α i M i est le barycentre des M i affectés des coefficients α i. (voir rappels section 1.5.) Définition: Un pallélogramme est un quadruplet ABCD te que AB = DC. Règle du parallélogramme B A = C D D A = C B. En effet cette équivalence est vraie sur E O pour tout choix de O. Elle est donc vraie sur E. Les diagonales de ABCD se coupent en leurs milieux ssi c est un parallélogramme : Démonstration. B A = C D B + D = A + C B + D 2 = A + C. 2 1.2 Sous-espaces affines. Un sous-ensemble F est un sous-espace affine de E s il est non-vide et s il existe A F et un sous-espace vectoriel F de E tel que M F AM F. Notons que pour B F, AB F, et donc M F AM F BM = BA + AM F. Donc F est un espace affine dirigé par F. Inversement on a, pratiquement par définition : Proposition 1.1. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soit A un point de E. Il existe un et un seul sous-espace affine dirigé par F et contenant A. Démonstration. Si A et F sont donnés, l équivalence M F AM F définit un sousensemble F de E. Cet ensemble est unique et c est un sous-espace affine par définition. Notation: On désigne par A + F le sous-espace affine passant par A et dirigé par F. Remarques: La dimension d un sous-espace affine est la dimension de sa direction. Les sous-espaces affines de dimension 0 sont les points. Une droite affine est un sousespace affine de dimension 1, un plan affine est un sous-espace affine de dimension 2 et un hyperplan affine est un sous espace affine de dimension n 1, où n est celle de l espace.

4 Soit E et F deux espaces vectoriels et soit f : E F une application linéaire. Pour tout v ImF, l image réciproque f 1 (v) est un sous-espace affine de E, muni de sa structure affine naturelle, de direction Ker f. Démonstration. Soit v Im f et u f 1 (v) on veut montrer u f 1 v uu Kerf. Or u f 1 v f(u ) = v = f(u) uu = u u Kerf. D où le résultat Par exemple, soit f une forme linéaire définie sur R n par f(x 1,..., x n ) = n est pas identiquement nulle elle est surjective et pour tout b R, l équation n a i x i. Si cette forme i=1 n a i x i = b décrit f 1 (b) qui est un sous-espace affine de l espace vectoriel R n, dirigé par l hyperplan n Kerf d équation a i x i = 0. i=1 Plus généralement, les sous-espaces affines d un espace vectoriel E sont les sous-ensembles de la forme F + u 0 = { x + u 0, x F }, où F est un sous-espace vectoriel de E et u 0 E. i=1 Les sous-espaces vectoriels sont les sous-espaces affines pour lesquels u 0 F, ou encore contenant le vecteur nul. 1.2.1 Intersection de sous-espaces affines, sous-espace engendré par une partie de E. Proposition 1.2. Toute intersection non vide de sous-espaces affines est un sous-espace affine. Démonstration. Soit (F i ) i I une famille de sous-espaces affines. On note F i la direction de F i, E celle de E et F = i F i. - Si leur intersection est vide, par convention c est un sous-espace affine. - Sinon soit F cette intersection et A F. Alors M F i M F i i AM F i AM F. Comme F est un sous-espace vectoriel de E, F est le sous-espace affine passant par A dirigé par F. On retiendra que, si l intersection est non vide : La direction de l intersection est l intersection des directions.

5 De cette proposition on déduit aussitôt : Proposition 1.3. Soit S une partie de E. L intersection de tous les sous-espaces affines contenant S est le plus petit sous-espace affine contenant S. Définition et notation: Ce sous-espace est le sous-espace engendré par S. Il est noté S. Exemple: Si S = { A i, 0 i n } est un ensemble fini, S est le sous-espace affine contenant A 0 et dirigé par l espace vectoriel engendré par les vecteurs { A 0 A i, 1 i n }. Sa dimension est au plus n. Définition: Des points A 0,..., A k sont affinement indépendants si la dimension de l espace qu ils engendrent est k. Si k = dim E, ( A 0,..., A k ) est un repère affine de E ou un repère barycentrique. Proposition 1.4. Tout point M E s écrit comme barycentre des points d un repère affine. Démonstration. Soit (A 0,..., A k ) un repère affine. Alors ( A 0 A 1,..., ) A 0 A k engenfre E. Comme k = dime = dime, c est aussi une base. Donc pour tout M on peut écrire A 0 M = En utilisant A 0 A i = A 0 M + MA i on obtient ( 1 k i=1 x i ) MA 0 + k i=1 x i MA i = 0. k i=1 x i A 0 A i. D après cette démonstration, pour tout point M, il existe un (α i ) 0 i k R k+1 unique tel que k i=0 α i MA i = 0 et k α i = 1. i=0 Définition: Les α i, 0 i k sont les coordonnées barycentriques de M dans le repère (A 0,..., A k ). Remarque: Deux points A et B distincts sont affinement indépendants et forment un repère affine de la droite {A, B} qu ils engendrent, droite également notée AB. Trois points sont indépendants s ils ne sont pas alignés et de même des points en nombre fini sont indépendants ssi aucun n est dans le sous-espace affine engendré par les autres.

6 1.2.2 Position relative de deux sous-espaces affines, parallélisme. Définition: On dit que deux sous-espaces affines F et G de E sont parallèles s ils ont la même direction, et on note F G Par abus de langage, on dit aussi que F est parallèle à G si la direction de F est incluse dans celle de G, par exemple dans le cas d une droite parallèle à un plan. Le parallélisme n est plus alors une relation d équivalence. Exemple: Si f : E F est une application linéaire, alors tous les sous-espaces f 1 (v), pour v Im f, sont parallèles puis qu ils sont tous dirigés par Ker f. Proposition 1.5. Si F G, alors F et G sont égaux ou disjoints. Démonstration. Soit F = G leur direction commune. S ils ne sont pas disjoints, soit A F G. Alors F = A + F et G = A + G. Donc F = G. Proposition 1.6. Soit F et G deux sous-espaces affines d un espace affine E, dirigés respectivement par F et G. Si F + G = E, alors tout sous-espace parallèle à G rencontre F. Démonstration. Soit A F, G un sous-espace affine parallèle à G et B G. Soit u F et v G tels que AB = u + v. Soit M = A + u. Alors M F car A F et u F. De même MB = MA + AB = u + (u + v) = v. de sorte que M G. Donc F G. Proposition 1.7. Soit F et G deux sous-espaces affines d un espace affine E, dirigés respectivement par F et G. Soit H le sous-espace affine engendré par F et G. Alors si F G, dim H = dim F + dim G dim(f G) si F G =, dim H = dim(f + G) + 1. Démonstration. Si F G, soit A F G. Vérifions que H = A + (F + G). A + (F + G) contient F et G. Donc H A + (F + G). Réciproquement A + F = F H et A + G = G H. D après la définition des espaces affines, A + (F + G) H. Finalement A + (F + G) = H. Donc dim H = dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G). Or dim F = dim F et dim G = dim G et comme F G, dim(f G) = dim(f G). D où dim H = dim F + dim G dim(f G).

Si F G =, on fixe A F et B G et on note D la droite vectorielle engendrée par AB. Par les mêmes arguments que précédemment on voit que H = A + (D + F + G). Par ailleurs F G = = D F + G. Donc dim(d + F + G) = 1 + dim(f + G). D où le résultat. 7 1.3 Applications affines Définition: Soient E et F deux espaces affines dirigés respectivement par E et F. Une application φ : E F est affine s il existe une application linéaire f : E F, telle que O, M E, f( OM) = φ(o)φ(m). Remarques L application f est déterminée par la relation. Elle est donc unique. On l appelle l application linéaire associée à φ et elle peut se noter φ. En soustrayant pour deux points M et N, on obtient f( ON) f( OM) = φ(o)φ(n) φ(o)φ(m) Linéarité de f à gauche et Chasles à gauche et à droite donnent f( MN) = φ(m)φ(n). Il suffit donc que la relation soit vérifiée pour un point O fixe et un point M quelconque pour qu elle le soit pour tous M et N. Proposition 1.8. Soit f : E F une application linéaire. Soit E et F deux espaces affines dirigés respectivement par E et F. Pour tous points O de E et O de F, il existe une unique application affine φ : E F telle que φ(o) = O et φ = f. Démonstration. La formule φ(m) = O + f( OM) fournit l existence et l unicité de φ. Une application affine est déterminée par l image des points d un repère affine. Proposition 1.9. La seule transformation affine d un espace affine qui fixe les points d un repère affine est l identité. Exemples d applications affines : Une application constante est affine. L application linéaire associée est l application nulle.

8 L application 1 Θ A : E E, M AM est une bijection affine d un espace affine sur l espace vectoriel qui le dirige. L application linéaire associée est l application identique sur E : Id e. Les applications affines de R dans R sont de la forme x ax + b, l application linéaire associée étant x ax. Si E et F sont deux espaces vectoriels munis de leurs structures affines naturelles, une application φ : E F est affine ssi il existe un vecteur v 0 dans F et une application linéaire f : E F telle que l on ait φ(u) = f(u) + v 0 pour tout u E. Démonstration. = Si φ est affine, par la définition de la structure affine sur E on a φ(u) φ(0) = φ(0)φ(u) = φ (u), d où φ(u) = φ (u) + φ(0). = Réciproquement si φ(u) = f(u) + v 0 avec f linéaire et v 0 F, alors φ(0)φ(u) = f(u) + v 0 f(0) v 0 = f(u), ce qui montre que φ est affine. Les applications linéaires de E dans F sont donc les applications affines qui envoient 0 sur 0. Supposons que E = F. Les applications affines dont l application linéaire associée est Id E sont les applications φ : E E telles que φ(a)φ(b) = AB pour tous A et B dans E. La règle du parallélogramme donne Aφ(A) = Bφ(B). Autrement dit, le vecteur Mφ(M) est un vecteur constant u. On dit que φ est la translation de vecteur u et on la note t u. Proposition 1.10. Etant donné un point O de E, toute application affine φ de E dans lui-même s écrit d une façon unique sous la forme φ = t u ψ, où ψ(o) = O. Démonstration. Si une telle décomposition existe alors u = ψ(o)φ(o) = Oφ(O) et ψ = t u φ, i.e. ψ(m) = φ(m) u pour tout M. Or φ = t u ψ. Donc la décomposition convient. Soit O un point, λ un scalaire et φ l application définie par Oφ(M) = λ OM. C est une application affine car Oφ(O) = 0 d où φ(o) = O et φ(o)φ(m) = λ OM. L application linéaire associée est l homothétie vectorielle de rapport λ. On appelle φ l homothétie de centre O et de rapport λ et on la note h(o, λ) ou h O,λ. 1. vue lors de la vectorialisation d un espace affine

9 Soit F et G deux sous-espaces de E dirigés par F et G. On suppose que E = F G. Alors, d après la proposition 1.6, tout sous-espace parallèle à G rencontre F en un sous-espace dirigé par F G, soit en un point unique. On définit π : E F en posant π(m) = F G M, où G M = M + G est le sous-espace parallèle à G passant par M. L application π est la projection sur F parallèlement à G. C est une application affine. Démonstration. Soit M et N E. Alors Mπ(M) G, Nπ(N) G et π(m)π(n) F. En appliquant la relation de Chasles on obtient MN = Mπ(M) + π(m)π(n) Nπ(N). Soit p la projection vectorielle 2 de E sur F parallèlement à G. C est une application linéaire et l identité précédente montre que π(m)π(n) = p( MN). Donc π est une application affine et π = p. Soit F et G deux sous-espaces de E, dirigés par F et G. On suppose que E = F G. G F On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G définie par s(u) = u si u F et s(v) = v si v G. Ainsi pour u F et v G s(u + v) = u v. Soit A F. On définit σ 2. Rappelons que tout vecteur u E s écrit de manière unique u = v + w, où v F et w G, et que p(u) = v.

10 sur E en posant Aσ(M) = s ( AM ). Comme σ(a) = A, σ(a)σ(m) = s ( AM ). Donc σ est une application affine. C est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Tout point de F est un point fixe de σ. De plus si M E et N = π(m), où π est la projection définie plus haut, alors Mσ(M) = 2 MN. Démonstration Par définition σ(m)σ(n) = s ( ) MN = MN. Comme σ(n) = N, on a Nσ(M) = MN, d où Mσ(M) = MN + Nσ(M) = 2 MN. Si F est réduit à un point A, auquel cas G = E, la symétrie par rapport à A est dite centrale et A est le centre de la symétrie. Les symétries sont des involutions : σ 2 = Id. 1.3.1 Effet sur les sous-espaces Proposition 1.11. L image d un sous-espace affine par une application affine est un sousespace affine. Démonstration. Soit F la direction de F, A F et φ l application affine. Alors φ(f) = φ(a + F ) = φ(a) + φ (F ). Comme φ (F ) est un sous-espace vectoriel, φ(a) + φ (F ) est un sous-espace affine. Remarque: La direction de φ(f) est φ (F ). Corollaire 1.1. Toute application affine envoie trois points alignés sur trois points alignés. Démonstration. En effet l image par une application linéaire d une droite vectorielle est soit une droite, soit le vecteur nul. Donc l image d une droite par une application affine est soit une droite affine, soit un point. Proposition 1.12. Soit φ : E E une application affine et F E un sous-espace affine. Alors φ 1 (F ) est soit vide soit un sous-espace affine de E. Démonstration. Soit F la direction de F. Si F Im(φ) =, φ 1 (F ) =. Si F Im(φ), soit A E tel que φ(a) F. Alors M φ 1 (F ) φ(m) F φ(a)φ(m) F φ ( AM) F AM ( φ ) 1(F ) M A + ( φ ) 1(F ).

Donc φ 1 (F ) = A + φ 1 (F ). Comme φ 1 (F ) est un sous-espace vectoriel, φ 1 (F ) est un sous-espace affine. 11 1.3.2 Effet sur les barycentres Proposition 1.13. L image du barycentre de ( (A 1, α 1 ),..., (A k, α k ) ) par l application affine φ est le barycentre de ( (φ(a 1 ), α 1 ),..., (φ(a k ), α k ) ). Démonstration. Soit P le barycentre de ( (A 1, α 1 ),..., (A k, α k ) ). Alors 0 = φ (α 1 P A1 + + α k P Ak ) = α 1 φ ( P A1 ) + + α k φ ( P Ak ) = α 1 φ(p )φ(a 1 ) + + α k φ(p )φ(a k ). Donc φ(p ) est le barycentre de ( (φ(a 1 ), α 1 ),..., (φ(a k ), α k ) ). Si α i = 1 on peut écrire φ ( α i A i ) = α i φ(a i ). Corollaire 1.2. L image d un segment par une application affine est un segment (ou un point). Corollaire 1.3. On suppose K de caractéristique nulle. Soit φ une bijection affine et S = { Ai, 1 i k } tel que φ(s) = S. Alors l isobarycentre des (A i ) 1 i k est invariant par φ. Démonstration. Par hypothèse 1/k est bien défini. Il suffit alors de prendre α i = 1/k pour tout 1 i k. 1.3.3 Le groupe affine Proposition 1.14. Soit E, F, G des espaces affines et φ : E F et ψ : F G deux applications affines. Alors ψ φ : E G est une application affine et ψ φ = ψ φ. L application φ est bijective ssi φ l est, auquel cas φ 1 est affine et φ 1 = ( ) 1. φ Démonstration. Soit M et N deux points de E. Alors ψ ( φ(m) ) ψ ( φ(n) ) = ψ ( φ(m)(φ(n) ) = ψ φ ( MN). Donc ψ φ est affine et ψ φ = ψ φ. Dernière ligne = Soit O E. On a φ (u) = φ(o)φ(o + u). D où φ (u) = 0 = φ(o + u) = φ(o) = O + u = O = u = 0.

12 D où φ est injective, donc bijective. = Dans la séquence M OM φ ( OM) φ(o) + φ ( OM), chaque correspondance est bijective. Or φ(o) + φ ( OM) = φ(m). Donc φ est bijective. Pour montrer que φ 1 est affine avec φ ( 1 ) 1, φ on pose O = φ(o). Comme φ est affine, pour ( N F, φ φ 1 (O )φ 1 (N) ) = φ ( φ 1 (O ) ) φ ( φ 1 (N) ) = O N. Ceci entraîne φ 1 (O )φ 1 (N) = φ 1( O N ). donc φ 1 est affine et φ 1 = ( φ ) 1. Corollaire 1.4. Les bijections affines de E dans lui-même forment un groupe pour la composition. C est le groupe affine de E, noté GA(E). Conjugaison des translations. Dans le corollaire 1.10 on peut remplacer «φ = t u ψ» par «φ = ψ t v». L application affine ψ fixant O et telle que ψ = φ est la même dans les deux écritures. Les vecteurs des translations sont en général différents : si ψ est bijective, on a t u = ψ t v ψ 1. Les deux translations sont conjuguées. Proposition 1.15. La conjuguée φ t v φ 1 d une translation par un élément φ de GA(E) est la translation de vecteur φ (v). Démonstration. Soit M E. Alors ( φ tv φ 1) (M) = φ ( φ 1 (M) + v ) = φ ( φ 1 (M) ) + φ (v) = t φ (v) (M). Remarque: Une application affine φ de E dans E commute avec t u ssi φ (u) = u. Démonstration. φ t u = t u φ M, φ(m + u) = φ(m) + u u = φ (u). 1.3.4 Points fixes Une application affine de E dans lui-même ayant un point fixe A peut être vue comme une application linéaire de l espace vectorialisé E A dans lui-même. Proposition 1.16. Soit φ une transformation affine de E. Si φ admet un point fixe, alors l ensemble des points fixes de φ est un sous-espace affine dirigé par Ker ( φ Id ).

13 Démonstration. Soit A un point fixe de φ. Il suffit de montrer que M E, φ(m) = M AM Ker ( ) φ Id. Or pour tout M E AM Ker ( ) φ Id φ ( ) AM = AM φ(a)φ(m) = AM Mφ(M) = Aφ(A) M = φ(m). Proposition 1.17. Soit φ une transformation affine de E. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : φ a un et un seul point fixe, l endomorphisme φ n a aucun vecteur fixe autre que 0. Cette condition équivaut au fait que 1 n est pas une valeur propre de φ ou que φ Id est bijectif. Démonstration. = Soit A le point fixe de φ. D après la proposition précédente A est un sousespace affine dirigé par Ker ( φ Id ). Donc Ker ( φ Id ) = 0 et φ n a aucun vecteur fixe autre que 0. = Soit ψ : M Mφ(M). Montrons que c est une application affine de E dans E, muni de sa structure affine naturelle. On a ψ(m)ψ(n) = ψ(n) ψ(m) = Nφ(N) Mφ(M) = φ(m)φ(n) MN = ( φ Id)( MN). Donc ψ est affine et ψ = φ Id. Par hypothèse φ Id est bijective et donc ψ l est aussi. L unique point fixe de φ est ψ 1 (0). La proposition suivante s appliquera en particulier aux isométries hors du champ de la proposition 1.17. Proposition 1.18. Soit φ une transformation affine de E. On suppose qu on a la décomposition en somme directe E = Ker( φ Id) Im( φ Id). Alors il existe un unique vecteur v et une unique application affine ψ possédant un point fixe tels que φ (v) = v et φ = t v ψ. De plus, t v et ψ commutent. L application φ a un point fixe ssi v = 0, auquel cas l ensemble des points fixes de φ est un sous-espace affine dirigé par Ker( φ Id).

14 Démonstration. Soit θ : E E définie par θ(m) = Mφ(M). C est une application affine et θ = φ Id. Donc Imθ est un sous-espace affine de E, dirigé par Im( φ Id). Supposons que ψ et v existent, et soit A un point fixe de ψ. Alors A + v = ψ(a) + v = ( t v ψ ) (A) = φ(a), d où θ(a) = Aφ(A) = v. Comme, par hypothèse, φ (v) = v, on a v Imθ Ker( φ Id). La proposition 1.6 et l hypothèse Ker( φ Id) Im( φ Id) = E, entraînent que Imθ Ker( φ Id) est un sous-espace affine, dirigé par Im( φ Id) Ker( φ Id) qui se réduit au vecteur nul. Donc Imθ Ker( φ Id) est réduit à un unique vecteur v 0 qui est la seule possibilité pour v. Par hypothèse ψ est donnée par ψ = t v0 φ. Le vecteur v 0 étant unique, ψ l est également. De plus si A θ 1 (v 0 ), A + v 0 = φ(a) = ψ(a) + v 0 d où ψ(a) = A. Enfin comme ψ = φ, on a ψ (v0 ) = v 0 et donc, d après la remarque page 12, ψ et t v0 commutent. Passons à le dernière assertion. Si v 0 = 0, φ = ψ et φ a un point fixe. Réciproquement si φ a un point fixe la décomposition φ = t 0 φ convient et c est la seule possible, donc v 0 = 0. Dans ce cas l ensemble des points fixes est θ 1 (0), sous-espace affine dirigé par Ker( φ Id), i.e. le sous-espace des vecteurs invariants par φ. Exemple: Ici il faut supposer que K n est pas de caractéristique 2. Soit σ une application affine telle que σ = s, la symétrie vectorielle de la page 9. Rappelons que si U et V sont deux sous-espaces de E tels que dim U + dim V = dim E, alors E = U V U V = {0}. Donc E = Ker(s Id) Im(s Id) Ker(s Id) Im(s Id) = 0. Soit x Ker(s Id) Im(s Id) et soit y tel que x = s(y) y. Comme s(x) = x, on a s 2 (y) s(y) = s(y) y. De s 2 = Id, on déduit y s(y) = s(y) y soit 2x = 2 ( s(y) y) = 0. Comme char(k) 2, x = 0. Donc Ker(s Id) Im(s Id) = 0. D après la proposition 1.18, σ se décompose de façon unique sous la forme t v ψ, où ψ a un point fixe A. Si F A = A + F alors ψ est la symétrie par rapport à F A parallèlement à G. Quant à σ Soit σ a un point fixe, et σ = ψ : c est une symétrie affine. Soit σ n a pas de point fixe, dans ce cas v 0 et comme s(v) = v, v F. Alors σ est une symétrie affine glissée 3. 3. Les symétries affines sont les symétries glissées telles que v = 0.

15 G u u F A A 1.4 Exemples d utilisation des applications affines Rappel : Soit A, B et C sur une droite D dirigée par u. On peut écrire AB = λu, où λ = AB est la mesure algébrique de AB et dépend du choix de u. Par contre le rapport AB AC n en dépend pas. Théorème de Thalès. Soit d, d et d trois droites parallèles distinctes, D 1 et D 2 deux droites sécantes avec d. Soit A i = D i d, A i = D i d, A i = D i d. Alors A 1A 1 = A 2A 2. A 1 A 1 A 2 A 2 Réciproquement, si un point B de D 1 est tel que A 1B = A 2A 2, alors il est sur d et B = A 1. A 1 A 1 A 2 A 2 Démonstration. Soit π la projection sur D 2 parallèlement à d et p la projection vectorielle associée. Alors π(a 1 ) = A 2, π(a 1) = A 2 et π(a 1) = A 2. Soit λ tel que A 1 A 1 = λ A 1 A 1. Alors p( A 1 A 1) = λp( A 1 A 1), soit A 2 A 2 = λ A 2 A 2, égalité dont on déduit le sens direct du théorème. La réciproque en découle : on a A 1 A 1 = A 1 B donc B = A 1 et B est sur d. Corollaire 1.5. Soit D 1 et D 2 deux droites sécantes en A, d et d deux droites parallèles coupant D i en A i, A i distincts de A. Alors AA 1 AA 1 = AA 2 AA 2 = A 1A 2. A 1A 2

16 Démonstration. On fait passer par A une parallèle d à d. En appliquant le théorème de Thalès on obtient la première égalité. Soit λ = AA 1. Alors l homothétie h A,λ AA 1 vérifie par définition h A,λ (A 1) = A 1 et, d après l égalité déjà montrée, h A,λ (A 2) = A 2. On en déduit h A,λ ( A 1A 2) = A 1 A 2 soit A 1 A 2 = λa 1A 2 ce qui entraîne la seconde égalité. d d d D 2 D 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 Théorème de Pappus. Soit A, B, C trois points d une droite D et A, B, C trois points d une autre droite D. Si AB est parallèle à BA et BC est parallèle à CB, alors AC est parallèle à CA. Démonstration. Supposons que D et D sont parallèles. Alors ABA B est un parallélogramme et il existe une translation t u telle que t u (A) = B et t u (B ) = A. De même, il existe une translation t v telle que t v (B) = C et t v (C ) = B. Soit t u+v = t u t v = t v t u. Alors, t u+v (A) = C et t u+v (C ) = A. Donc AC = CA et CA AC. A D C B O A B C D Supposons que D et D sont sécantes en un point O. Alors, d après ce que nous avons vu dans la démonstration du précédent corollaire, il existe deux homothéties h O,λ1 et h O,λ2 telles que h O,λ1 (A) = B, h O,λ1 (B ) = A et h O,λ2 (B) = C, h O,λ1 (C ) = B. Ces deux homothéties commutent car elles ont même point invariant. Comme h O,λ2 h O,λ1 (A) = C et h O,λ1 h O,λ2 (C ) = A, on en conclut CA = λ 1 λ 2AC, d où CA AC.

17 C est un cas particulier, "le cas parallèle", du Théorème de Pappus (cf exo 1-47). 1.5 Rappels sur les barycentres Proposition 1.19. Si ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ) est un système de points pondérés tel que α i 0, il existe un unique point G de E vérifiant l égalité α igai = 0. Pour tout point O de E on a alors ( ) α i OG = αioai. Démonstration. Soit φ : E E définie par M α i MA i. Pour M et O dans E on a φ(m)φ(o) = α i OAi α i MA i = ( α i ) OM. Donc φ est affine et φ est un multiple non nul de l identité. On en déduit que φ et φ sont bijectives. On a alors G = φ 1 (0). En posant M = G dans la précédente identité, on obtient ( ) αi OG = αioai. Remarque: On a donc ( α i ) G = α i A i, cette identité étant valable sur E O pour tout choix de O. On peut donc l écrire sans référence à une origine particulière. Le point G est le barycentre du système. Il ne change pas si tous les coefficients α i sont multipliés par un scalaire non nul. Lorsque tous les α i sont égaux, G l isobarycentre du système. L isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment AB et celui de 3 points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC. Proposition 1.20. Soit ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ) ) et ( (B 1, β 1 )...(B k, β k ) ) deux systèmes de points pondérés tels que α i + β j 0 et β j 0. Soit B le barycentre du second système. Alors les systèmes ( (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ), (B 1, β 1 )...(B k, β k ) ) ( et (A 1, α 1 ),..., (A n, α n ), ( B, ) ) β j ont même barycentre. Démonstration. Soit G et G les barycentres en question. D après la remarque précédente, quelque soit O on a sur E O, α 1 A 1 +... + α n A n + β 1 B 1 +... + β k B k = α 1 A 1 +... + α n A n + ( β j )B D où ( α i + β j ) G = ( α i + β j ) G, d où G = G.

18 On peut opérer ce type de substitution simultanément sur plusieurs sous-systèmes disjoints. Cette propriété est l associativité du barycentre. Corollaire 1.6. Soit G le barycentre de ((A, α), (B, β), (C, γ)). On suppose α + β + γ 0 et β +γ 0. Alors AG et BC sont sécantes en un point A qui est le barycentre de ((B, β), (C, γ)). Démonstration. D après la proposition précédente, G est le barycentre de ( (A, α)(a, β + γ) ). Donc A est à la fois sur BC et sur AG. Récapitulatif Une combinaison linéaire de points α i A i, est définie sur E O par O α i A i = α i OAi. si α i = 0, α i A i est, au choix, un vecteur v dans E, ou le point O + v dans E O, si α i = 1, α i A i est le barycentre des (A i, α i ) indépendant du choix de O, si α i {0, 1}, α i A i est un point M dépendant de O. Il est dangereux d utiliser la notation α i A i lorsque α i 1. A la rigueur lorsque αi = 0 comme dans le cas de la règle du parallélogramme. 1.6 Coordonnées cartésiennes en géométrie affine Définition: Soit E un espace affine dirigé par E et un point O de E, l origine. Un repère affine R = (O, A 1,..., A n ) étant fixé, on peut associer à tout point M de E les composantes du vecteur OM dans la base ( OA 1,..., OA n ) de E. Ces composantes sont les coordonnées cartésiennes de M dans R. Remarque: Ne pas confondre les coordonnées cartésiennes avec les coordonnées barycentriques définies page 5. Définition: Soit F sous-espace affine dirigé par F et contenant un point A de coordonnées cartésiennes (a 1,..., a n ). Soit (u 1,..., u k ) une base de F et (u 1 i,..., u n i ) les composantes de u i dans la base ( OA 1,..., OA n ). Alors : M F (λ 1,..., λ k ) R k tels que AM = λ i u i. x 1 = a 1 + λ 1 u 1 1 + + λ k u 1 k Ce qui se traduit, pour les coordonnées (x 1,..., x n ) de M, par... x n = a n + λ 1 u n 1 + + λ k u n k Ces équations forment un système d équations paramétriques de F..

Un sous-espace affine F dirigé par F peut aussi se décrire par des équations cartésiennes. Une base de E étant donnée, F peut-être décrit par un système d équations cartésiennes α 1,1 x 1 + + α 1,n x n = 0.... α m,1 x 1 + + α m,n x n = 0. Soit A F de coordonnées cartésiennes (a 1,..., a n ). Les points M de F sont caractérisés par AM F ce qui se traduit par α 1,1 (x 1 a 1 ) + + α 1,n (x n a n ) = 0 α 1,1 x 1 + + α 1,n x n = b 1... soit.... α m,1 (x 1 a 1 ) + + α m,n (x n a n ) = 0 α m,1 x 1 + + α m,n x n = b m Ce sont les équations cartésiennes de F, en fait un système d équations cartésiennes de F car il n y unicité ni dans le choix de A, ni dans celui des équations cartésiennes de F. Applications affines. Soit φ : E E une application affine, (O, A 1,..., A m) un repère affine de E et M E de coordonnées (x 1,..., x m ). On a φ(m) = φ(o) + φ ( OM ) = φ(o) + xi φ ( OAi ). Donc les coordonnées (x 1,..., x m) de φ(m) s expriment en fonction de celles de M par un x 1 = α 1,1 x 1 + + α 1,n x n + b 1 système du type..., la matrice ((α i,j)) dépendant des repères. x m = α m,1 x 1 + + α m,n x n + b m 1.7 Espaces vectoriels et affines euclidiens 19 A partir de cette section le corps de base est K = R. Définition: Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est une forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. une application Φ : E E R telle que Φ est linéaire par rapport à ses deux variables, Φ est symétrique ( i.e. u, v E, Φ(u, v) = Φ(v, u) ) u E, Φ(u, u) 0 avec égalité ssi u = 0. Notations: On écrira u v pour Φ(u, v) et u pour u u. On écrit aussi u v pour u v = 0, ce qui définit une relation entre sous-espaces : l orthogonalité. On note F l orthogonal de F à savoir F = {x E x y = 0 pour tout y F }. On a la décomposition E = F F. Plus généralement, si S est une partie de E, on note S l ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous ceux de S. C est un espace vectoriel qui coïncide avec l orthogonal du

20 sous-espace engendré par S. Définitions: Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d un produit scalaire. Un espace affine euclidien est un espace affine dirigé par un espace vectoriel euclidien. La distance de deux points A et B est donnée par d(a, B) = AB. On la notera aussi AB. Rappel: La définition du produit scalaire et l inégalité de Cauchy-Schwartz impliquent que est une norme et que d est bien une distance. L inégalité triangulaire d(a, B) d(a, C)+d(C, B) est une égalité ssi C est sur le segment AB. Définition: Une isométrie vectorielle f : E F, où E et F sont deux espaces vectoriels euclidiens, est une application linéaire qui conserve la norme, i.e. u E, f(u) = u. Le produit scalaire s exprimant en fonction de la norme 4, les isométries préservent le produit scalaire, donc l orthogonalité. Définition: Une application affine E F est une isométrie affine si elle préserve la distance entre les points, ce qui équivaut à dire que son application linéaire associée est une isométrie vectorielle. Notation: On note O(E) l ensemble des isométries vectorielles sur E et Isom(E) l ensembles des isométries affines sur E. Théorème 1.1. Les ensembles O(E) et Isom(E), munis de la composition des applications, sont des groupes. Démonstration. Notons que O(E) et Isom(E) sont stables par composition. Si f O(E) et u E alors f(u) = 0 = f(u) = 0 = u = 0 = u = 0. Donc f est injective et par conséquent bijective. D autre part u E, f 1 (u) = f ( f 1 (u) ) = f f 1 (u) = u. Donc f 1 O(E) ce qui achève la démonstration pour O(E). Le cas de Isom(E) en découle. En effet les isométries vectorielles étant bijectives, les isométries affines le sont aussi. De plus si φ est une isométrie affine, φ 1 = ( φ ) 1 et donc φ 1 est également une isométrie affine. Donc Isom(E) est un groupe. Les exemples les plus simples sont les translations et les symétries centrales. Définition: Soit une symétrie s (cf page 9). Si G = F, alors s est une symétrie orthogonale. 4. Pour mémoire 4u v = u + v 2 u v 2.

21 C est une isométrie car si u F et v F, alors s(u + v) 2 = u v 2 = u 2 + v 2 = u + v 2. Les symétries affines σ telles que σ = s sont des symétries affines orthogonales. Définition: Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est une réflexion. A I σ(a) Proposition 1.21. Soit A et B deux points distincts de l espace affine E. Alors il existe une réflexion affine unique σ qui échange A et B. Démonstration. Supposons que σ existe, alors BA = σ(a)σ(b) = σ ( AB). Donc la droite engendrée par AB est le sous-espace propre de σ associé à la valeur 1, et ( ) AB est l hyperplan invariant. On connaît σ(a) et σ. Donc σ est déterminée de manière unique. Il faut enfin montrer que σ ainsi définie est une réflexion, i.e. possède un point invariant. Or {A, B} est invariant par σ, donc le milieu de AB aussi. Les points invariants par σ forment un hyperplan orthogonal à AB contenant le milieu de AB : l hyperplan médiateur de A et B. Ce sont les points équidistants de A et B. Cas particulier : Soit E un espace vectoriel euclidien muni de sa structure d espace affine. Soit u, v E, u v et σ la réflexion affine telle que σ(u) = v. Alors σ est une réflexion vectorielle ssi σ(0) = 0, soit u = v. Proposition 1.22. Soit φ une isométrie affine Alors E = Ker( φ Id) Im( φ Id). Démonstration. Comme que Ker( φ Id) et Im( φ Id) sont orthogonaux. ( dim Ker( ) ( φ Id) +dim Im( ) φ Id) = dim E, il suffit de vérifier Soit u Ker( φ Id), v Im( φ Id) et w E tel que φ (w) w = v. Alors v u = ( φ (w) w ) u = φ (w) u w u = φ (w) u φ (w) φ (u) = φ (w) ( u φ (u) ) = 0,

22 d où le résultat. Donc la proposition 1.18 s applique. 1.8 Groupe des isométries vectorielles Définitions: Le groupe O(E) des isométries de l espace vectoriel euclidien E est le groupe orthogonal de E. Le groupe orthogonal O(n) est défini comme le groupe des matrices carrées n n telles que t AA = Id. Remarque: Il est clair que O(n) ainsi défini est un groupe : Si A O(n) alors A 1 = t A d où t A 1 = A et t A 1 A 1 = Id. Si A, B O(n), alors t (AB) = t B t A = B 1 A 1 = (AB) 1 d où AB O(n). Proposition 1.23. Soit E un espace vectoriel euclidien et soit u un endomorphisme de E ; alors les propositions suivantes sont équivalentes : i) u est une isométrie ii) u transforme toute BON en une BON iii) Il existe une BON dont l image par u est une BON. Démonstration. Montrons i) = ii) = iii) = i). i) = ii) Si u est une isométrie, c est un isomorphisme et l image de toute base est une base. Soit B une BON quelconque. Comme u préserve la norme et l orthogonalité, les vecteurs de la base u(b) sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Donc u(b) est une BON. ii) = iii) est évident. iii) = i) Soit B = (e 1,..., e n ) une BON telle que u(b) soit également une BON. Soit x E n n et (x i ) 1 i n ses composantes sur B. Alors x 2 = x 2 i. Or u(x) = x i u(e i ) et u(b) est également une BON. Donc u(x) 2 = i=1 i=1 n x 2 i = x 2. D où u est une isométrie. i=1 Proposition 1.24. Soit E un espace vectoriel euclidien, soit u un endomorphisme de E et soit B une BON de E ; alors u est une isométrie si et seulement si sa matrice dans B appartient au groupe orthogonal.

23 Démonstration. Soit (e k ) 1 k n les vecteurs de B et A = (a i,j ) 1 i,j n la matrice de u dans B. On n n a pour tout j, u(e j ) = a k,j e k. Donc pour tous i et j, u(e i ) u(e j ) = a k,i a k,j. En notant k=1 t A = (b i,j ) 1 i,j n et t AA = (c i,j ) 1 i,j n on a, pour tous 1 i, j n, n n c i,j = b i,k a k,j = a k,i a k,j = u(e i ) u(e j ). k=1 k=1 Si u est une isométrie alors u(b) est une BON, donc t AA = Id d après. Réciproquement si t AA = Id, alors u est bijective et u(b) est une base orthonormée, d après. Par la proposition précédente, u est une isométrie. k=1 Comme dét t A = dét A, on a ( dét A ) 2 = 1 soit dét A = ±1. Définition: Une isométrie affine φ est un déplacement si dét φ = 1. Si dét φ = 1, c est un anti-déplacement. Rappel : Soit B et B deux bases d un espace vectoriel E. Le déterminant de B dans B, noté dét B B, est le déterminant de l application linéaire φ telle que φ(b) = B. Soit R la relation définie sur les bases par B R B dét B B > 0. Par les propriétés des déterminants, on voit que R est une relation d équivalence. De plus, si la dimension est strictement positive, il y a deux classes d équivalence. Définition: Un espace vectoriel est orienté par le choix d une base B 0 dite directe. Les bases dans la classe d équivalence de B 0 sont également appelées directes, les autres étant indirectes. Les espaces affines associés sont également orientés. ( ) 1 ( ) 0 Habituellement on oriente R 2 en prenant pout B 0 la base canonique pour R n. Mais rien n interdit de changer l orientation. 0, 1, et de même Définition: Un déplacement vectoriel est une isométrie positive. Notation: Le sous-groupe des isométries positives est noté O + (E), O + (n) dans le cas de R n.

Chapitre 2 Géométrie euclidienne plane 2.1 Isométries vectorielles dans le plan Rappel : L ensemble U = {z C, z = 1} muni de la multiplication, est un groupe. Proposition 2.1. Le groupe O + (2) est isomorphe à U. ( ) a c Démonstration. Une matrice A = est dans O(2) ssi ses colonnes forment une BON. ( ) b d ( ) ( ) ( ) a b c b L orthogonal de étant une droite engendrée par, les vecteurs et sont b a d a colinéaires. Etant unitaires 1, ils sont égaux ou opposés. D où ( ) ( ) a b a b A = ou A =. b a b a La condition A O + (2), soit dét A = 1, impose à A d être de la première forme. ( ) a b L application φ : O + (2) U qui à associe a + ib est une bijection. Vérifions que b a c est un isomorphisme (de groupes), i.e. A, A O + (2), φ(aa ) = φ(a)φ(a ). ( ) ( ) a b aa bb ba ab Si A =, alors AA = et b a ba + ab aa bb φ(aa ) = aa bb + i(ba + a b) = (a + ib)(a + ib ) = φ(a)φ(a ). Corollaire 2.1. Le groupe O + (2) est commutatif. 1. de norme 1 24

25 Rotations, mesure des angles de rotation. Une isométrie positive d un plan euclidien est appelée une rotation. D après ce que nous venons de voir, toute rotation ρ de O(2) est de la ( ) cos θ sin θ forme où θ est un réel défini modulo 2π. La rotation ρ est appelée rotation sin θ cos θ d angle θ. ( ) cos θ sin θ Un élément de O(2) qui n est pas de la forme précédente est de la forme. Il sin θ cos θ s agit alors d une symétrie orthogonale. cos θ λ sin θ Démonstration. Le polynôme caractéristique P (λ) = vaut P (λ) = sin θ cos θ λ λ 2 1. Il y a donc deux sous-espaces propres associées à chacune des valeurs propres +1 et 1. Soit u et v une base de vecteurs propres tels que Au = u et Av = v. Alors A étant une isométrie, u v = Au Av = u ( v) = u v. Donc u v = 0 et A est bien une symétrie orthogonale de R 2. Remarque: On en déduit que toute isométrie vectorielle négative sur R 2 est une involution. ( ) 1 0 Dans une BON de vecteurs propres sa matrice est. 0 1 Changement de base, conjugaison. Remarque: Soit E un plan vectoriel euclidien. Une BON B étant donnée, on obtient un isomorphisme de groupes de O(E) dans O(2), et de O + (E) dans O + (2), en associant à chaque isométrie de E sa matrice dans B. Proposition 2.2. Soit E un plan vectoriel euclidien et soit f une rotation de E. Alors pour g O + (E), g f g 1 = f pour g O (E), g f g 1 = f 1. En conséquence la matrice d une rotation ne change pas si on fait un changement de base direct, i.e. préservant l orientation. Si on fait un changement de base indirect l angle est changé en son opposé. L angle d une rotation dépend donc du choix de l orientation. Démonstration. Il suffit de prouver ces égalités dans O(2). La première est une reformulation de la commutativité de O + (2). Pour la seconde on note que g f O (2). Donc g f et g sont des involutions. On a alors g f g f = Id = g f g = f 1 = g f g 1 = f 1.

26 2.2 Isométries affines dans le plan. Rappelons 2 que la proposition 1.18 s applique aux isométries affines. Soit φ une isométrie affine du plan et soit φ l isométrie vectorielle associée, i.e. l application identique, une réflexion, ou une rotation. Si φ = Id, φ est une translation. Si φ est une réflexion par rapport à D, alors : soit φ a un point fixe A et φ est la réflexion par rapport à la droite A + D ; soit φ n a pas de point fixe. D après la proposition 1.18, il existe un unique vecteur v de D et une unique réflexion ψ de droite dirigée par D telle que φ = t v ψ = ψ t v. L isométrie φ est une symétrie glissée orthogonale 3. u u Si φ est une rotation vectorielle (autre que l identité), elle n a aucun vecteur fixe non nul. D après la proposition 1.17, φ a un point fixe unique A : c est une rotation affine de centre A. Si φ est une rotation d angle θ, on dit que φ est la rotation de centre A et d angle θ, notée ρ A,θ. Remarques : Le groupe des isométries positives comprend les rotations et les translations. 2. Voir la dernière remarque page 22. 3. Les réflexions sont également des symétries glissées orthogonales. Elles correspondent au cas v = 0.

27 Un repère orthonormé et une origine étant choisis, on peut identifier le plan affine euclidien P à C. Au point de coordonnées (x, y), on associe le nombre complexe x + iy, son affixe. Soit A, M et ρ A,θ (M) d affixes respectifs a, z et z, alors : ( ) ( )( ) x x A cos θ sin θ x xa = soit z = a + e iθ (z a) y y A sin θ cos θ y y A 2.3 Angles les angles orientés de vecteurs, Ce terme regroupe plusieurs notions : les angles orientés de droites, les écarts angulaires. A chacune correspond une mesure, i.e. une façon de mesurer. Proposition 2.3. Soit u et u deux vecteurs unitaires d un plan vectoriel euclidien, il existe une rotation unique ρ telle que ρ(u) = u. Démonstration. Existence. Soit u, u deux vecteurs unitaires et soit v un vecteur tel que (u, v) soit une base orthonormée. Le vecteur u s écrit u = au + bv avec a 2 + b 2 = u 2 = 1. ( ) a b L application f dont la matrice dans (u, v) est est une rotation et vérifie f(u) = u. b a Unicité. Réciproquement, dans (u, v), la matrice d une rotation f telle que f(u) = u a pour ( ) ( ) a a b première colonne et donc sa matrice est, ce qui prouve l unicité. b b a 2.3.1 Angles orientés de vecteurs. Sur l ensemble des couples de vecteurs unitaires on définit une relation R en posant (u, u )R(v, v ) il existe une rotation ρ telle que ρ(u) = u et ρ(v) = v. Cette relation est réflexive et symétrique. Voyons la transitivité. Soit (u, u )R(v, v ) et (v, v )R(w, w ). Alors il existe deux rotations ρ 1 et ρ 2 telles que ρ 1 (u) = u, ρ 1 (v) = v, ρ 2 (v) = v et ρ 2 (w) = w. D après la proposition 2.3, ρ 1 (v) = v et ρ 2 (v) = v = ρ 1 = ρ 2. Donc ρ 1 (w) = w soit (u, u )R(w, w ). D où R est une relation d équivalence. Définition: Un angle orienté de vecteurs est une classe d équivalence de R.

28 Notation: On note A l ensemble des angles orientés de vecteurs. L angle nul { (u, u), u = 1 } correspondant à ρ = Id, est noté O. L angle plat { (u, u), u = 1 } correspondant à ρ = Id, est noté P. Les autres angles sont désignés par un représentant : ( u, ρ(u) ) désigne l angle associé à ρ. Bien que (u, v) désigne à la fois l angle orienté et le couple de vecteurs, il n y a jamais ambiguïté. On définit une addition sur A grâce à la composition des rotations. Si (u, u ) et (v, v ) sont des angles associés aux rotations ρ et ρ, on définit (u, u ) + (v, v ) comme l angle associé à ρ ρ ou encore à ρ ρ. Soit ( u, ρ(u) ) + ( v, ρ (v) ) = ( w, ρ ρ(w) ), pour tous vecteurs unitaires u, v et w. Cette addition munit A d une structure de groupe isomorphe à O + (E), donc à U. Relation de Chasles. Pour tous vecteurs unitaires x, y, z, (x, y) + (y, z) = (x, z). Démonstration. Soit ρ telle que ρ(x) = y et ρ (y) = z. Alors ρ ρ(x) = z. En posant u = x, v = y et w = x dans, on obtient, (x, y) + (y, z) = (x, z). Par définition, (u, v) = ( ρ(u), ρ(v) ), pour tous vecteurs unitaires u, v et toute rotation ρ. Donc les rotations conservent les angles orientés de vecteurs. Proposition 2.4. Une réflexion d un plan vectoriel inverse les angles orientés de vecteurs. Démonstration. Soit (u, v) un couple de vecteurs unitaires. D après la proposition 1.21 et la remarque qui la suit, il existe une symétrie vectorielle s 0 unique qui échange u et v. Soit s une autre symétrie. Alors s s 0 est une isométrie positive, soit une rotation r. D où ( ) ( s(u), s(v) = s s0 (v), s s 0 (u) ) = s(u) s(v) v u ( r(v), r(u) ) = (v, u) = (u, v). Proposition 2.5. L angle plat P est le seul angle non nul (u, v) tel que 2(u, v) = O.

29 Démonstration. Il faut vérifier que les seules rotations ρ telle que ρ 2 = Id sont ρ = Id et ( ) ( ) ( ) a b a 2 b 2 2ab 1 0 ρ = Id. Soit la matrice de ρ. Alors ρ 2 = Id = =, b a 2ab a 2 b 2 0 1 d où a 2 = 1 et b = 0, ce qui entraîne ρ = Id ou ρ = Id. Définition: Un angle droit est une classe (u, v) telle que 2(u, v) = P. Proposition 2.6. Dans A, il y a deux angles droits. L angle (u, v) est un angle droit si et seulement si u et v sont orthogonaux. ( ) a b Démonstration. Une rotation ρ de matrice dans une BON, correspond a un angle b a ( ) ( ) a 2 b 2 2ab 1 0 droit ssi ρ ρ = Id, ou encore =, soit a 2 b 2 = 1 et ab = 0. 2ab a 2 b 2 0 1 ( ) ( ) 0 1 0 1 Ceci est équivalent à a = 0 et b 2 = 1, ce qui donne, pour la matrice de ρ, ou 1 0 1 0 et un angle droit associé à chaque matrice. Deuxième assertion. = Si (u, v) est un angle droit et (u, u ) une BON, d après ce qu on vient de voir v = u ou v = u, ce qui entraîne u v = 0. ( ) 0 1 = Si u v = 0, la matrice de la rotation ρ telle que ρ(u) = v est dans la base (u, v). 1 0 Cela entraîne ρ 2 = Id et donc (u, v) est un angle droit. Remarque: La définition de l angle orienté de deux vecteurs s étend aux couples de vecteurs non nuls. Si A B, C D, u = AB/AB et v = ( ) CD/CD, on pose AB, CD = (u, v). Bien s assurer avant d écrire ( ) AB, CD que A B et C D. 2.3.2 Angles orientés de droites. Pour l angle orienté de deux droites il faut identifier un vecteur unitaire et son opposé, car les vecteurs directeur d une droite sont opposés. Pour cela on définit une nouvelle relation d équivalence sur les couples de vecteurs unitaires en posant (u, u )R (v, v ) (u, u )R(v, v ) ou (u, u )R(v, v ), soit (u, u )R (v, v ) (u, u ) (v, v ) = O ou P. D après la proposition 2.5 (u, u ) (v, v ) = O ou P 2 ( (u, u ) (v, v ) ) = O, d où (u, u )R (v, v ) 2 ( (u, u ) (v, v ) ) = O,

30 sachant qu à gauche il s agit de couples de vecteurs et à droite d angles orientés de vecteurs. Cette dernière formulation montre que R est une relation d équivalence. Définition: Un angle orienté de droites est une classe d équivalence de R. En détail : si D, D, et ont pour vecteurs directeurs unitaires respectifs u, u, v et v, les couples (D, D ) et (, ) appartiennent au même angle orienté de droites ssi (u, u )R (v, v ), cette relation étant indépendante du choix des vecteurs directeurs. Les couples (D, D ) et (, ) appartiennent au même angle orienté de droites ssi elles possèdent des vecteurs directeurs tels que (u, u ) = (v, v ) au sens des angles. Comme pour les angles orientés de vecteurs, on désigne un angle orienté de droites par un de ses représentants (D, D ). Dans le groupe A des angles orientés de vecteurs, l angle plat P engendre un sous-groupe d ordre 2 P. L ensemble  des angles orientés de droites est le quotient A/P et possède une structure de groupe quotient héritée de la structure de groupe de A. La relation de Chasles reste valable pour les angles orientés de droites. Proposition 2.7. Si D, D et D sont trois droites, alors (D, D ) + (D, D ) = (D, D ). Démonstration. Soit u, u et u des vecteurs directeurs de D, D et D. Alors (u, u )+(u, u ) = (u, u ). Cette identité dans A devient dans A/P : (D, D ) + (D, D ) = (D, D ). On utilise l équivalence sous la formulation suivante. Proposition 2.8. Soit D, D, et des droites de vecteurs unitaires u, u, v et v. Alors 2(u, u ) = 2(v, v ) (D, D ) = (, ). 2.3.3 Orientation du plan et mesure des angles orientés. Supposons P orienté. Dans ce cas la rotation ρ associée à un angle de vecteurs (u, v) a la ( ) cos θ sin θ même matrice dans toutes les bases orthonormées directes. En effet, dans sin θ cos θ la formule de changement de base M = P MP 1, la matrice P est une matrice de rotation et commute avec M. Donc le nombre θ ne dépend que de ρ. Il est déterminé modulo 2π. C est une mesure de l angle (u, v). Remarques : Les angles droits ont pour mesure π/2 ou π/2 modulo 2π.

31 Le nombre π est, quelle que soit l orientation choisie, une mesure de l angle plat P. Si on change l orientation du plan, les mesures des angles sont transformées en leurs opposées. La base (u, u ) est orthonormée directe si et seulement si π/2 est une mesure de (u, u ). La relation de Chasles reste valable pour les mesures des angles orientés, sachant que c est alors une égalité modulo 2π. Démonstration. Soit θ une mesure de (u, v) et θ une mesure de (v, w). On veut montrer que θ + θ est une mesure de (u, w). En passant aux rotations, cela revient à dire que ( cos(θ + θ ) ) ( )( ) sin(θ + θ ) cos θ sin θ cos θ sin θ =, sin(θ + θ ) cos(θ + θ ) sin θ cos θ sin θ cos θ ce qui résulte des formules cos(θ + θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ et sin(θ + θ ) = sin θ cos θ cos θ sin θ. Si θ est une mesure de (u, v), alors θ est une mesure de (u, v) = (v, u). Les mesures d un angle orienté de droites sont les mesures des angles orientés de leurs vecteurs directeurs. Si u et v sont deux de ces vecteurs et si θ est une mesure de (u, v), les mesures de (u, v) sont les nombres θ mod 2π et celles de (u, v) sont les nombres θ + π mod 2π. Donc les mesures d un angle orienté de droites sont les nombres θ mod π. La relation de Chasles reste valable pour les mesures d angles de droites. Par abus d écriture on identifie un angle orienté et sa mesure : par exemple (u, u ) = θ (2π) ou (D, D ) = α (π). De même on écrit (u, u ) = (D, D ) mod (π), où u et u dirigent les droites D et D, alors qu il s agit en fait d une égalité entre mesures. 2.3.4 Bissectrices. Proposition 2.9. Soit D et D deux droites (vectorielles ou affines sécantes) distinctes D et D de vecteurs unitaires u et u. Alors D D possède exactement deux axes de symétrie, les deux droites orthogonales engendrées par les vecteurs u+u et u u, (passant par l intersection de D et D dans le cas affine sécant). Démonstration. Il suffit de traiter le cas vectoriel, le cas affine s en déduisant en vectorialisant à l intersection des deux droites. D après la proposition 1.21, la réflexion par rapport à la droite

32 engendrée par u ± u échange u et ±u, donc D et D. L orthogonalité de ces deux axes de 2 symétrie résulte de (u + u ) (u u ) = u 2 u 2 = 0. Enfin si une symétrie échange D et D, elle doit échanger u et u ou u et u. Par l unicité dans la proposition 1.21, c est alors l une des deux symétries déjà vues. Notons et ces axes de symétries. Proposition 2.10. L ensemble des points équidistants de D et D est la réunion de et. Démonstration. Soit M. Il existe une îsométrie σ telle que σ(d) = D et σ(m) = M. D où d(m, D) = d ( σ(m), σ(d) ) = d(m, D ). Soit a > 0. L ensemble { M, d(m, D) = a } est la réunion de deux droites parallèles à D, et de même pour D. Donc { M, d(m, D) = d(m, D ) = a } est un ensemble de 4 points. Or sur, il y a exactement 4 points M tels que d(m, D) = d(m, D ) = a. Donc pour tout a > 0, { M, d(m, D) = d(m, D ) = a }, d où l égalité. D D a De la proposition 2.4, étendue aux angles orientés de droites, on déduit (D, ) = (, D ) et (D, ) = (, D ). Les droites et sont les bissectrices de l angle (D, D ). 2.3.5 Angles géométriques et bissectrice intérieure. Pour définir un angle géométrique, on identifie (u, v) et (v, u). Formellement cela revient à définir une relation d équivalence en posant sur les angles orientés en posant (u, v)r (u, v ) (u, v) = (u, v ) ou (u, v) = (v, u ).

La classe d équivalence de (u, v) est notée (û, v). Les angles géométriques ne satisfont pas à la relation de Chasles. Proposition 2.11. Les isométries conservent les angles géométriques. Démonstration. Les rotations conservent les angles orientés donc les angles géométriques. Les symétries inversent les angles orientés, donc conservent également les angles géométriques. Soit u et u deux vecteurs unitaires non colinéaires et A un point. On assimilera parfois (û, u ) à la portion convexe du plan S délimitée par deux demi-droites issues d un point A et dirigées respectivement par u et u. On parlera donc également de l angle géométrique de deux demidroites issues du même point. Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) dans le repère (A, u, u ). Alors M S x 0 et y 0. La bissectrice intérieure de (û, u ) issu de A est la droite passant par A et de vecteur directeur u + u. C est donc la droite d équation x = y dans le repère (A, u, u ). Elle rencontre S sur la demi-droite issue du sommet et dirigée par u + u. L autre bissectrice dirigée par u u a pour équation x + y = 0 et ne rencontre S qu en A : c est la bissectrice extérieure. Les angles géométriques d un triangle sont les angles géométriques des demi-droites qui dirigent les côtés du triangle. Notation: Soit ABC un triangle. L angle géométrique formé par les deux demi-droites issues de A et portant les segments AB et AC est noté BAC. Proposition 2.12. Une (et une seule) des deux bissectrices de l angle en A du triangle ABC rencontre le segment BC. C est la bissectrice intérieure de cet angle. Démonstration. Soit u le vecteur unitaire AB/ AB et v le vecteur unitaire AC/ AC. 33 Dans le repère cartésien (A, u, v), les points B et C ont pour coordonnées respectives (b, 0) et (0, c) avec b > 0 et c > 0. Un point M de coordonnées (x, y) est sur le segment BC si et seulement si x 0, y 0 et x b + y = 1. La demi-droite c d équation x = y, x 0 rencontre BC en un ( ) bc point unique de coordonnées b + c, bc. b + c A v u B C

34 Mesure des angles géométriques. A chaque angle orienté de vecteurs, on peut associer son unique mesure θ, telle que θ ] π, π ]. Si θ est ainsi associé à (u, v), θ sera associé à (v, u) sauf dans le cas où v = u. La mesure de (û, v) est alors θ. De façon équivalente la mesure de (û, v) est l unique réel θ [ 0, π ] tel que u v = cos θ. Soit : Proposition 2.13. Soit u et v deux vecteurs et θ la mesure de l angle géométrique (u, v ) où u = u/ u et v = v/ v. Alors u v = u v cos θ. L absence de relation de Chasles limite beauvoup l usage des angles géométriques. Dans la suite de ce chapître, on supposera le plan orienté quand il sera question de mesurer des angles orientés. 2.4 Rappel de quelques théorèmes sur les angles Proposition 2.14. Soit A, B et C trois points distincts d un plan affine euclidien. Alors ( AB, AC) + ( BC, BA) + ( CA, CB) = P. Démonstration. La symétrie par rapport à C préservant les angles orientés de vecteurs, ( CA, CB) = ( AC, BC). D où ( AB, AC) + ( BC, BA) + ( CA, CB) = ( AB, AC) + ( BC, BA) + ( AC, BC) Par Chasles = ( AB, BA) = P. Corollaire 2.2. Soit A, B et C trois points distincts d un plan affine euclidien orienté. Si α, β et γ sont des mesures des angles de vecteurs ( AB, AC), ( BC, BA) et ( CA, CB), alors α + β + γ π (2π) et la somme des mesures des angles géométriques est exactement π. Démonstration. L assertion sur la somme des mesures des angles orientés découle de la proposition précédente. Pour les angles géométriques nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 2.1. Soit u et v deux vecteurs unitaires d un plan orienté P. Si (u, v) est une base directe, l angle orienté (u, v) possède une mesure dans ]0, π[. Démonstration. Soit u tel que (u, u ) est une BON directe, θ une mesure de (u, v) et ρ la ( ) cos θ sin θ rotation telle que ρ(u) = v. La matrice de ρ dans la base (u, u ) est. Donc sin θ cos θ v = cos θ u + sin θ u. Or dét(u, v) = cos θ dét(u, u) + sin θ dét(u, u ) = sin θ. Par hypothèse sin θ = dét(u, v) > 0. On peut donc choisir θ dans ]0, π[.

Ce lemme reste vrai si on ne suppose pas que les vecteurs sont unitaires. Revenons à la démonstration sur les angles géométriques d un triangle. Supposons que ( AB, AC) est directe. Alors dét( BC, BA) = dét( BA, BA) + dét( AC, BA) = dét( AB, AC) et de même dét( CA, CB) = dét( BC, BA) = dét( AB, AC). D après le lemme, on peut choisir les mesures α, β et γ de ( AB, AC), ( BC, BA) et ( CA, CB) dans ]0, π[ de sorte que les mesures des 35 angles orientés coïncident avec celles des angles géométriques. Comme α+β +γ = π mod(2π) et 0 < α + β + γ < 3π on a α + β + γ = π. Proposition 2.15. (Angles inscrits) Si A, B et C sont trois points distincts d un cercle de centre O, on a l égalité ( OA, OB) = 2( CA, CB). Démonstration. Nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 2.2. Soit DEF un triangle isocèle en D. Alors ( EF, ED) = ( F D, F E). Démonstration. Comme DE = DF, il existe une symétrie orthogonale σ qui laisse D fixe et échange E et F. D après la proposition 2.4, σ, notée s, renverse les angles orientés. D où ( EF, ED) = ( s( EF ), s( ED) ) = ( σ(e)σ(f ), σ(e)σ(d) = ( F E, F D) = ( F D, F E). Revenons à la proposition. Le lemme appliqué à AOC et BOC, qui sont isocèles en O, donne ( AO, AC) = ( CA, CO), (1) ( CO, CB) = ( BC, BO). (2) On a alors ( OA, OB ) ( CA, CB ) = δ γ = α β = γ d où δ = 2γ C α γ β Chasles O ( OA, CA ) ( OB, CB ) = δ β (u, v) = ( u, v) ( AO, AC ) ( BO, BC ) = (1) et (2) ( CA, CO ) ( CB, CO ) = A α 3 B β ( CA, CB ) soit ( OA, OB) = 2( CA, CB). 2 α

36 Proposition 2.16. Soit C de centre O, A, B deux points distincts sur C et D la tangente à C en B. Alors ( OA, OB) = 2(AB, D) mod 2π. Démonstration. Soit H le milieu de AB. Alors OH AB et OB D. Par Chasles (AB, D) = (OH, OB) mod π, d où 2(AB, D) = 2 ( ) ( ) OH, OB = OA, OB mod 2π. Corollaire 2.3. Soit A, B et C trois points distincts sur un cercle C. Alors pour D / {A, B, C} Démonstration. Soit O le centre du cercle. D C (CA, CB) = (DA, DB). = D après la proposition 2.4, ( OA, OB) = 2( CA, CB) et ( OA, OB) = 2( DA, DB). On en déduit 2( CA, CB) = 2( DA, DB), soit d après la proposition 2.8, (CA, CB) = (DA, DB). = Soit T A la tangente en A. D après les propositions 2.4 et 2.16, (CA, CB) = (T A, AB). Si (DA, DB) = (CA, CB) et DA = T A, alors DB = AB, d où D T A AB soit D = A ce qui est impossible. Donc AD, recoupe C en un point E distinct de A et B. D après la partie =, (EA, EB) = (CA, CB) = (DA, DB). Or EA = DA d où EB = DB, ce qui entraîne E = D, car E, A, B ne sont pas alignés. Donc D C. Corollaire 2.4. Soit A, B et C des points distincts sur un cercle C. Alors C C 2(CA, CB) = ( OA, OB ) mod 2π. Démonstration. Soit D C distinct de A, B, C. Alors C C 2(CA, CB) = 2(DA, DB) mod 2π. Or 2(DA, DB) = ( ) OA, OB mod 2π, d où le résultat. Corollaire 2.5. Soit A, B, C, D des points distincts. Alors (CA, CB) = (DA, DB) A, B, C, D sont cocycliques ou alignés. Démonstration. = Si (CA, CB) = (DA, DB) 0, d après le corollaire 2.3 A, B, C, D sont cocycliques. Si (CA, CB) = (DA, DB) = 0, soit A = B et les points A, C et D sont cocycliques ou alignés, soit A B et C, D sont sur (AB). = Si A, B, C, D sont cocycliques (CA, CB) = (DA, DB) par le corollaire précédent. Si A, B, C, D sont alignés (CA, CB) = 0 = (DA, DB).

Corollaire 2.6. Soit C un cercle, A et B sur C avec A B. Soit D la tangente à C en B. Alors, C C (CA, CB) = (AB, D). 37 Démonstration. Découle du corollaire 2.4 et de la proposition 2.16. En effet. 2(CA, CB) = ( ) OA, OB = 2(AB, D) mod 2π (CA, CB) = (AB, D). C C Remarques La relation (CA, CB) = (DA, DB) reste valable par permutation sur A, B, C et D. Il y a toujours deux points qui apparaissent à droite et à gauche et deux qui n apparaissent que d un côté. La seule règle est que les lettres de la première paire doivent apparaître dans le même ordre des deux côtés. Ainsi (CB, CA) = (DA, DB) ne convient pas : cette relation entraîne en fait que C et D sont sur des cercles symétriques par rapport à AB. L ordre des lettres dans les droites est sans effet : (AC, CB) = (DA, BD) convient. Pour retrouver les écritures correctes pour les tangentes, par exemple en A on peut penser T A = AA et substituer A = C dans (CB, CA). On obtient (CA, CB) = (AA, AB) = (T A, AB). C α D α α O α B H A D α

38 2.5 Similitudes planes Définition: Un endomorphisme f d un plan vectoriel euclidien est une similitude vectorielle s il existe k R +, le rapport de la similitude, tel que, x E, f(x) = k x. Les isométries et les homothéties 4 sont des similitudes. Par composition on les obtient toutes. Proposition 2.17. Soit f une similitude vectorielle de rapport k. Il existe une isométrie vectorielle u telle que f = h k u. Démonstration. Soit u = h k 1 f. Alors, pour x E, u(x) = k 1 f(x) = k 1 k x = x. Donc u est une isométrie et f = h k h k 1 f = h k u. Remarque: Les similitudes vectorielles sont bijectives et forment un groupe. Une similitude est dite directe si son déterminant est positif et indirecte sinon. Proposition 2.18. Toute similitude vectorielle directe est composée d une homothétie de rapport positif et d une rotation vectorielle. Toute similitude vectorielle indirecte est composée d une homothétie de rapport positif et d une réflexion. Démonstration. Si une similitude f de rapport k s écrit h k u, alors u est une isométrie, et son déterminant a le même signe que celui de f car détf = déth k détu = k 2 détu. On conclut grâce à la classification des isométries vectorielles en dimension 2. ( ) ( ) a b a b Les similitudes ont donc des matrices du type ou. b a b a Définition: Une similitude affine est une application affine telle que l application linéaire associée est une similitude vectorielle. De façon équivalente, une similitude affine est une application affine telle que, pour un réel k positif et tous points M et N d images M et N, M N = kmn. Les similitudes affines forment un groupe. Comme dans le cas vectoriel, il y a des similitudes directes ou indirectes. Deux parties A et B du plan sont semblables s il existe une similitude σ telle que σ(a) = B. On peut préciser si elles sont directement semblables ou indirectement semblables. Proposition 2.19. Une similitude de E qui n est pas une isométrie a un unique point invariant. 4. Noter que le rapport de similitude d une homothétie de rapport λ est λ.

39 Ce point invariant est appelé centre de la similitude. Démonstration. Soit φ la similitude affine et f la similitude vectorielle associée. D après la proposition 1.17, il suffit de montrer que si f n est pas une isométrie, alors f(x) = x = x = 0. Par hypothèse, le rapport k de f est distinct de 1. Si f(x) = x et f(x) = k x, avec k 1, alors x = 0. Ceci montre que φ admet un point fixe unique. Soit O le centre d une similitude affine directe σ. Alors σ est composée d une homothétie de centre O et de rapport k et d une rotation de centre O et d angle θ. On la note σ O,k,θ. Si deux similitudes σ O,k,θ et σ O,k,θ sont telles que kk 1, alors il existe un point O tel que σ O,k,θ σ O,k,θ = σ O,kk,θ+θ. La similitude réciproque d une similitude directe s exprime par la relation (σ O,k,θ ) 1 = σ O,k 1, θ. L ensemble { σ O,k,θ, O E, k R +, θ R }, qui contient les rotations et les homothéties 5, constitue, avec les translations, un groupe appelé le groupe des similitudes directes. 2.5.1 Propriétés des similitudes directes Une similitude directe conserve les angles orientés. En effet c est le cas des rotations et des homothéties. Une similitude directe envoie une droite D sur une droite telle que (la mesure de) l angle (D, D ) soit l angle de la similitude modulo π. Démonstration. Si A D et φ = σ O,k,θ = h O,k ρ O,θ, alors pour B D, φ(a)φ(b) = ( ) k ρ θ AB. Lorsque AB décrit une droite vectorielle D, alors φ(a)φ(b) décrit une droite vectorielle D telle que (D, D ) = θ mod π. Par définition, l angle orienté de deux droites affines est égal à celui des droites vectorielles qui les dirigent, et de même pour leurs mesures. Donc (D, D ) = θ mod π. Une similitude directe de rapport k envoie un cercle de rayon R sur un cercle de rayon kr dont le centre est l image du centre. Démonstration. Soit O le centre du cercle C de rayon R, O son image et C le cercle de centre O et de rayon kr. Si M est un point du plan et M est son image, alors O M = kom, ce qui montre que OM = R O M = kr. Donc M C = M C. Réciproquement, un point M de C a son antécédent dans C. L image de C est donc exactement C. 5. A noter qu une homothétie de rapport négatif λ peut s écrire σ O,π, λ.

40 Etant donné deux couples de points (A, B) et (A, B ) tels que A B et A B, il existe une unique similitude directe σ telle que σ(a) = A et σ(b) = B. Démonstration. Une application affine est déterminée par l image d un point et l application linéaire associée. Ici nous avons φ(a) = A. Il faut donc montrer que la condition f ( ) AB = A B détermine une similitude vectorielle directe f de manière unique et poser φ(m) = A + f ( ) AM. Le rapport k est donné par k = A B /AB et l angle θ de la similitude est une mesure de l angle ( AB, A B ). Donc f est déterminé de manière unique, ainsi que φ. A I B B O A Construction du centre O de φ. Supposons A, A, B, B distincts et AB A B. Soit I = AB A B. On suppose que A, A B, B, I sont tous distincts. Le plan étant orienté, on note θ l angle de f. Alors (AB, A B ) = θ = (IA, IA ) = (IB, IB ). On a aussi (OA, OA ) = θ et (OB, OB ) = θ. Donc IAA O sont cocycliques ainsi que IBB O. Par la réciproque du théorème de Thalès, I est le centre de φ ssi AA BB. Si AA BB, alors O est l autre intersection des cercles circoncrits à IAA et JBB.

41 2.5.2 Utilisation des nombres complexes En identifiant à nouveau le plan affine euclidien à C, on voit que les similitudes vectorielles directes transforment un affixe z en z = az où a C et les similitudes affines transforment z en z = az + b, où b C. Le rapport de ces similitudes est a et leur angle est un argument de a. De cette écriture on déduit la proposition suivante. Proposition 2.20. Il existe une similitude directe σ de centre O telle que σ(a) = A et σ(b) = B si et seulement si il existe une similitude directe σ de centre O telle que σ (A) = B et σ (A ) = B. Démonstration. Avec des notations évidentes, l existence d une similitude directe σ de centre O telle que σ(a) = A et σ(b) = B équivaut à z A z O = z z B O = ke iθ, où k est le rapport z A z O z B z O de σ et θ son angle. Or cette identité équivaut à z B z O = z B z O, soit à l existence d une z A z O z A z O similitude directe σ de centre O telle que σ (A) = B et σ (A ) = B. A I B B O A Si OAB et OA B sont directement semblables, OAA OBB le sont aussi. et 2.6 Inversions planes Les inversions planes ne sont pas des transformations affines ; mais leur action sur les droites et les cercles, permet parfois de remplacer des figures géométriques comportant des droites et des cercles, par des figures plus simples. Définition: Soit O un point du plan et k un nombre réel non nul. L inversion de pôle O et de puissance k est la transformation I(O, k) : E \ {O} E \ {O} qui à tout point M, associe

42 le point M de la droite OM vérifiant l égalité OM OM = k. Remarques : Si u = OM/OM, alors OM = k OM u. Une inversion est une involution sur son domaine de définition, i.e. E \ {O}. L ensemble des points fixes I(O, k) est vide si k < 0. Sinon c est le cercle C i de centre O et de rayon k, le cercle d inversion. L inversion échange intérieur et extérieur de C i. Un point M est repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), où r = OM et θ est l angle de la demi-droite O M avec une demi-droite fixe issue de O. Alors I(M), si k > 0 a pour coordonnées polaires (k/r, θ). Si une courbe Γ a pour équation polaire r = f(θ), alors I(Γ) aura pour équation r = k/f(θ). Ainsi l inversion I(O, 1), de cercle d inversion C i, échange la cardioïde C a d équation polaire r = 1 + cos θ et la parabole P d équation r = 1/(1 + cos θ). P C a C i O Inversions et homothéties Proposition 2.21. La composée d une homothérie de centre O et d une inversion de pôle O est une inversion de pôle O. La composée de deux inversions de pôle O est, sur E \ {O}, une homothétie de centre O. Démonstration. De OM = k u, on déduit OM = λ k OM λ OM u. Donc I(O, k) = I(O, kλ) h O,λ, d où, en remplaçant k par k/λ, I(O, k) h O,λ = I(O, k/λ). En passant aux inverses on obtient h O,λ I(O, k) = I(O, kλ). En posant k = kλ, on a I(O, k ) = h O,k /k I(O, k), d où I(O, k ) I(O, k) = h O,k /k.

43 On passe d une inversion à une autre de même pôle et de puissance arbitraire en composant à droite ou à gauche avec une homothétie bien choisie. Effet sur les angles Proposition 2.22. Une inversion de pôle O est un difféomorphisme 6 de E \ {O} dans lui même. Sa différentielle en un point de E \ {O} est une similitude indirecte. Démonstration. Les coordonnées (x, y ) de M s expriment en fonction de celles (x, y) de M par les formules x = kx x 2 + y et 2 y = ky. Donc I(O, k) est continûment différentiable et comme x 2 + y2 c est une bijection égale à son inverse, c est un difféomorphisme. La matrice de la différentielle ( ) k y 2 est (x 2 + y 2 ) x 2 2xy, qui est bien la matrice d une similitude indirecte. 2 2xy x 2 y 2 Donc deux courbes tangentes en un point ont des images tangentes en l image de ce point. Plus généralement di M transforme un angle orienté en son opposé : soit Γ et Γ deux courbes se coupant en A et ayant en A des tangentes de vecteurs directeurs u et u. Soit O A et I une inversion de pôle O. Alors I(Γ) et I(Γ ) se coupent en A = I(A) et leurs tangentes en A ont pour vecteurs directeurs les images de u et u par di A qui font un angle opposé à (u, u ). Donc les angles géométriques sont conservés, en particulier l orthogonalité. Soit I un des points d intersection de C i, C a et P. Soit T c, T a, T p, les tangentes en I à ces courbes. Alors (T a, T c ) = (T p, T c ), soit (T a, T c ) = (T c, T p ). Donc T c est une bissectrice de la paire (T a, T p ). P C i T p I O T a C a T c 6. i.e. une application bijective et différentiable dont l application réciproque est différentiable.

44 2.6.1 Puissance d un point par rapport à un cercle, cercles orthogonaux. Proposition 2.23. Soit C un cercle de centre O et de rayon R, et A un point du plan. Alors pour toute droite D passant par A et coupant C en deux points 7 M et M, AM AM = AO 2 R 2. Démonstration. Soit H le projeté orthogonal de O sur D. Comme OMM est isocèle en O HM = HM. De plus par Pythagore AO 2 = AH 2 + HO 2 et OH 2 + HM 2 = OM 2 = R 2 d où H 2 HM 2 = AO 2 OH 2 HM 2 = AO 2 R 2. Finalement AM AM = ( AH + HM )( AH HM ) = AH 2 HM 2 = AO 2 R 2. Donc AM AM ne dépend pas du choix de la sécante D. C est la puissance de A par rapport à C et on la note P A (C). Si A est à l intérieur du cercle, P A (C) < 0, si A est à l extérieur du cercle, P A (C) > 0 et P A (C) = 0 si A C. Enfin si Q C et AQ tangente à C, P C (A) = AQ 2. A D D M N C H O M N Q Proposition 2.24. Soit D et D deux droites sécantes en A et soit M, M deux points de D et N, N deux points de D, tous distincts deux à deux et distincts de A. Alors M, M, N et N sont cocycliques AM AM = AN AN. Démonstration. = Découle de la proposition précédente. = Comme N A, M, M, N ne sont pas alignés et sont sur un cercle C. La droite AN coupe C en N et en un autre point P tel que AM AM = P C (A) = AN AP. Donc AN AP = AN AN. Comme A, N, N et P sont alignés et A N, il vient P = N, d où N C. 7. confondus si D est tangent à C.

Définition et notation: Deux cercles C et C sont orthogonaux s ils sont sécants et si leurs tangentes respectives aux points d intersection sont perpendiculaires. On note C C. 45 Proposition 2.25. Soit C et C deux cercles de centres O, O et rayons et R, R. Alors C C OO 2 = R 2 + R 2. Démonstration. = Soit H un point d intersection de C et C. La tangente T à C en H est perpendiculaire à la droite OH. Donc, comme C C, la droite OH coïncide avec la tangente T à C en H. De même O H = T. Donc OH O H OO 2 = OH 2 + O H 2 = R 2 + R 2. = Si OO 2 = R 2 + R 2, alors R R < OO < R + R ce qui entraîne que C et C sont sécants. Soit H un point de l intersection. Alors OH 2 + O H 2 = OO 2, d où OH OH. Donc T = O H et T = OH sont orthogonales et C et C sont orthogonaux. Remarque: OO = R 2 + R 2 P C (O) = R 2 P C (O ) = R 2. C i O H O C M M Proposition 2.26. Soit I une inversion de cercle d inversion C i. Soit M un point du plan et M = I(M). Alors tous les cercles passant par M et M sont orthogonaux à C i. Démonstration. Soit k la puissance de l inversion I, R et O le rayon et le centre de C i et C un cercle passant par M et M. Alors P C (O) = OM OM = k = R 2. D après la proposition précédente et la remarque qui la suit, C i et C sont orthogonaux.

46 Images des droites et des cercles. De la définition il découle que l image d un cercle centré sur le pôle est un cercle centré sur le pôle et que l image d une droite passant par le pôle, mais privée du pôle, est une droite passant par le pôle. Dans le cas général : Théorème 2.1. Soit I une inversion de pôle O. L image par I d un cercle passant par O est une droite ne passant pas par O, d une droite ne passant pas par O est un cercle passant par O, d un cercle ne passant pas par O est un cercle ne passant pas par O. Démonstration. Modulo une homothétie de centre O, on peut supposer I de puissance 1. Soit C un cercle de rayon R, passant par O. On choisit un repère orthonormé (O, u, v) tel que le centre de C a pour coordonnées (R, 0). L équation polaire de ce cercle est r = 2R cos θ, pour 1 π/2 θ π/2. Donc I(C) a pour équation polaire r =, d où x = r cos θ = 1/2R. 2R cos θ Ceci est l équation d une droite ne passant par O. En faisant varier C, on les obtient toutes. Une droite arbitraire D ne passant pas par O est de la forme I(C), avec O C. Comme I est une involution, où O C, I(D) = C. Soit C tel que O / C. Quitte à composer avec une homothétie de centre O on peut supposer P C (O) = 1. Alors M C et M = I(M) = M C. Donc I(C) C. Comme I est une involution, on a I(C) = C qui est un cercle ne passant pas par O. C D C T D C C C i C C O

47 Remarques: Dans le premier cas du théorème, la droite image I(C) est parallèle à la tangente en O. L image du centre d un cercle ne passant pas par O n est jamais le centre du cercle image. Le théorème précédent se dit «l image d un cercle est un cercle» si l on admet l existence d un «point à l infini» noté, que I(O) = et I( ) = O, que les droites sont les cercles passant par. Dans le dernier cas du théorème, quelle que soit la puissance de I, il existe toujours une homothétie h de centre O telle que h(c) = I(C). Axe radical de deux cercles. Soit C et C sont deux cercles non concentriques de centres O, O et de rayons R, R. Définition: L axe radical de C et C, noté (C, C ), est l ensemble des points du plan qui ont même puissance par rapport à C et C. Proposition 2.27. L axe de (C, C ) est perpendiculaire à OO. Démonstration. On se place dans un repère orthonormé (O, u, v) de sorte que OO est l axe des x et O a pour coordonnées (a, 0), avec a 0. Pour un point M de coordonnées (x, y) P C (M) = P C (M) x 2 + y 2 R 2 = (x a) 2 + y 2 R 2 2ax = a 2 + R 2 R 2. Donc (C, C ) est une droite perpendiculaire à Ox = OO. La direction de (C, C ) étant connue, il suffit d un point pour le construire. (C, C ) C Si C C, un point de l intersection est sur (C, C ). O (C, C ) Si C C =, soit C, un cercle rencontrant C et C, de centre O, et tel O A que O, O, O ne sont pas alignés. Les axes (C, C ) et (C, C ) sont alors C O sécants. Leur intersection A a même puissance par rapport aux trois cercles. D où A (C, C ). (C, C ) C

Chapitre 3 Géométrie euclidienne en dimension 3 3.1 Isométries vectorielles. Proposition 3.1. Toute isométrie vectorielle f en dimension 3 possède une droite D et un plan P stable par f, tels que P = D. Démonstration. Le polynôme p où, p(λ) = dét (f λid) est de la forme p(λ) = λ 3 + aλ 2 + bλ + dét f. Donc lim p(λ) =. Ceci entraîne que p(λ) change de signe λ ± et s annule au moins une fois. Donc f a au moins une valeur propre. Soit D P u w v u vecteur propre et D la droite engendrée par u. L isométrie f préservant l orthogonalité, laisse le plan P = u globalement invariant. Définition: Lorsque f n admet qu une direction propre D, celle-ci est l axe de f. 48

49 Classification des isométries vectorielles. La restriction de f à D est une isométrie, soit ± l identité. Sa restriction au plan est soit une rotation, soit une symétrie. On peut donc classifier les isométries vectorielles selon les combinaisons possibles. Soit (v, w) une BON de P, quelconque dans le cas de la rotation ou telle que f(v) = v et f(w) = w dans le cas de la symétrie. I Id et rotation. Alors f est une rotation. II Id et symétrie. On a f(u) = u, f(v) = v et f(w) = w. Donc f est une réflexion par rapport au plan engendré par {u, v}. III Id et rotation. Alors f est une anti-rotation. IV Id et symétrie. On a f(u) = u, f(v) = v et f(w) = w. Donc f est une symétrie centrale dans le plan engendré par {u, w}, ou encore une rotation d angle π, d axe D, la droite engendrée par v. Comme f laisse invariant v, c est une symétrie par rapport à D, ou une rotation d angle π ou encore un demi-tour. Une réflexion est une anti-rotation d angle nul, et un demi-tour est une rotation d angle π. Ces 4 catégories se réduisent à 2, ayant chacune 2 cas particuliers : Les isométries positives : les rotations dont l identité et les demi-tours, les isométries négatives : les anti-rotations dont les réflexions. En résumé, dans une BON bien choisie, f a une matrice d un des 2 types : 1 0 0 { θ = 0, f = Id ; 0 cos θ sin θ, rotation, cas particuliers : θ = π, f est un demi-tour. 0 sin θ cos θ 1 0 0 { θ = 0, f est une réflexion 0 cos θ sin θ, anti-rotation, cas particuliers : θ = π, f = Id 0 sin θ cos θ Remarques: Le produit de deux déplacements étant un déplacement, le produit de 2 rotations est une rotation... etc Si on échange l ordre des deux derniers vecteurs de base, θ est changé en son opposé. Si θ ] π, π], alors θ est l angle de la rotation ou de l anti-rotation correspondante. Il n y a pas de Relation de Chasles pour les angles de rotation en dimension 3.

50 Type d une matrice de O(3). Soit A O(3). On peut déterminer les caractéristiques de l isométrie associée f, selon le signe de dét A et la valeur de TrA. Rappelons que Trf = TrA, la trace de A, i.e., la somme de ses éléments diagonaux, est aussi la somme des valeurs propres (dans C 3 ) de A ou de f et ne dépend pas de la base. dét A = 1 A O + (3) : f est une rotation d angle θ tel que 1 + 2 cos θ = tra. Cas particuliers : si TrA = 3, f = Id et si TrA = 1, f est un demi-tour. dét A = 1 A O (3) : f est une anti-rotation d angle θ tel que 1 + 2 cos θ = tra. Cas particuliers : si TrA = 1, f est une réflexion et si TrA = 3, f = Id. 3.2 Isométries affines. Si φ est une isométrie affine la proposition 1.18 s applique 1. Classons les isométrie affines d un espace euclidien E de dimension 3, en fonction de la dimension, allant de 3 à 0, du sous-espace des vecteurs invariants par l application linéaire associée. Soit φ l isométrie affine φ l isométrie vectorielle associée. (3) φ = Id, φ = Id ou φ est une translation. (2) φ est une réflexion de plan P, alors φ a un point fixe A et φ est la réflexion par rapport au plan A + P ; φ n a pas de point fixe : v P et ψ réflexion de plan P dirigé par P, uniques tels que φ = t v ψ = ψ t v. L isométrie φ est une symétrie glissée orthogonale 2. (1) φ est une rotation d axe D, alors φ a un point fixe A et φ est une rotation d axe A + D, φ n a aucun point fixe : v D et ψ rotation d axe dirigé D par D, uniques, tels que φ = t v ψ = ψ t v. L isométrie φ est un vissage d axe D et v est le vecteur de φ. (0) φ est une anti-rotation d angle non nul, n a pas de vecteur fixe non nul et donc φ a un unique point fixe A. C est une anti-rotation, i.e. la composée d une rotation d axe D passant par A et d une réflexion par rapport au plan P tel que A P et P D. Les isométries positives correspondent à (3) et (1), les isométries négatives à (2) et (0). 1. Voir la dernière remarque page 22. 2. Comme en dimension 2 les symétries sont des symétries glissées particulières (v = 0).

51 Translation Rotation Antirotation Vissage Translation Symétrie glissée Symétrie Correspondance entre les symboles et les positions du tétraèdre

52 3.3 Produit vectoriel, calcul d aires Pour toute matrice M = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 x 1 y 1 z 1, on note dét M = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Il peut se calculer en développant par rapport à la première ligne et on obtient dét M = x 1 (y 2 z 3 z 2 y 3 ) + y 1 (z 2 x 3 x 2 z 3 ) + z 1 (x 2 y 3 y 2 x 3 ). son déterminant. Le déterminant d un triplet de vecteurs (x, y, z), qui dépend du choix d une base B, est noté dét B (x, y, z). C est le déterminant de l application linéaire f telle que f(b) = (x, y, z), ou encore le déterminant de la matrice des composantes de (x, y, z) dans la base B. On peut omettre la mention de B si l espace est orienté et B BON directe. En effet dét B (x, y, z) est alors indépendant du choix de B. Produit vectoriel. On suppose que l espace E est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Les vecteurs x et y étant fixés, l application z dét(x, y, z) est une forme linéaire. Toute forme linéaire E peut s écrire sous la forme z a 1 z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 = a z pour un certain vecteur a. Notation: On note x y le vecteur ainsi associé à l application z dét(x, y, z). Définition: L application (x, y) x y est le produit vectoriel, et le vecteur x y est le produit vectoriel de x et y. Des propriétés du déterminant, et de la définition on déduit : (x y) z = dét(x, y, z). le produit vectoriel est une application bilinéaire alternée, x et y sont colinéaires x y = 0, les coordonnées de x y s expriment en fonction de celles de x et y dans la BON directe (e 1, e 2, e 3 ) par les formules (x y) 1 = x 2 y 3 x 3 y 2, (x y) 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 et (x y) 3 = x 1 y 2 x 2 y 1. Démonstration. En développant le déterminant par rapport à la dernière colonne on obtient dét (x, y, z) = (x y) 1 z 1 + (x y) 2 z 2 + (x y) 3 z 3. Proposition 3.2. Si x et y ne sont pas colinéaires x y, est l unique vecteur w orthogonal à x et y, de longueur x y sin α où α est la mesure de l angle géométrique ( x, y),

53 et tel que (x, y, w) soit une base directe. Démonstration. Ces propriétés définissent un vecteur unique. En effet les vecteurs x et y engendrent un plan P et la première condition implique w P. La longueur de w étant fixée, il ne reste que deux vecteurs possibles opposés, et la derniére condition en détermine un des deux. Montrons que x y a les propriétés requises. On a (x y) x = dét(x, y, x) = 0 et de même (x y) y = 0. Soit u = x/ x ; soit v P tel que v y > 0 et {u, v} est une BON ; soit et w tel que (u, v, w) soit une BON directe B. OA = x, OB = y OB = ( y sin α ) v, OB = ( y sin α ) w OC = ( x y sin α ) w = x y. D C B P w v O α u B B A Comme, (x y) x = (x y) y = 0, x y P. Donc x y et w, sont colinéaires et x y = (x y) w = dét(x, y, w). Calculons ce déterminant dans B. Les composantes

54 de x dans B sont ( x, 0, 0) et celles de w sont (0, 0, 1). Par définition de α, u et w, on a y u = y cos α et y w = 0. D où y v = y 2 (y u) 2 (y w) 2 = y sin α, ce sinus étant toujours positif par la définition de la mesure d un angle géométrique. On a donc x ± y cos α 0 dét (x, y, w) = 0 ± y sin α 0, d où x y = dét (x, y, w) = x y sin α. 0 0 1 On a dét(x, y, x y) = (x y) (x y) > 0. Donc (x, y, x y) est une base directe. Remarques: Si x y = 0, x = y = 1 alors (x, y, x y) est une BON directe. Si on change l orientation de l espace, le résultat du produit vectoriel est changé en son opposé. Calcul d aires planes. Soit P un plan affine euclidien orienté, dirigé par un plan P, sousespace d un espace affine de dimension 3 également orienté, dirigé par E. Proposition 3.3. Il existe un unique vecteur unitaire u, orthogonal à P tel si (x, y) est une BON directe de P, alors (x, y, u) est une BON directe de E. Démonstration. Soit (x, y) une BON directe de P. Alors (x, y, x y) est une BON directe de E. Si (x, y, x y ) est une autre base du même type alors l isométrie qui envoie (x, y, x y) sur (x, y, x y ) est une isométrie positive f. Or f laisse P invariant et la restrictionde f à P est une isométrie positive. Il en est donc de même sur P. Or sur une droite la seule isométrie positive est l application identique donc x y = x y. Soit A, B et C trois points de P. Alors AB AC P. Soit λ tel que AB AC = λu. Alors λ = AB AC sin α où α est la mesure de ( AB, AC ). On reconnaît l aire du parallélogramme ACDB, où D = B + C A. Définition: L aire orientée d un triangle ABC est le nombre A(ABC) tel que 1 AB AC = A(ABC)u. 2 Remarques: base hauteur La valeur absolue de l aire orientée est l aire habitelle S =. 2 D après la formule donnant les coordonnées du produit vectoriel, dét ( AB, AC) A(ABC) =. 2

Chapitre 4 Coniques Le corps de base K est toujours R. 4.1 Coniques affines, généralités Soit P un plan affine dirigé par un plan vectoriel P. Définition: Un polynôme de degré 2 sur P est une application de la forme M f(m) = q( OM) + L O ( OM) + c O, où O est un point, q une forme quadratique non nulle, L O une forme linéaire et c O une constante. Définition: Une conique C de P est l ensemble des points où un polynôme de degré 2 s annule. Par convention on exclura de cette définition l ensemble vide. Remarques: Si (O, u, v) est un repère cartésien de P et (x, y) les coordonnées de M, on a f(m) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F ( ) A B où est la matrice associée à q dans la base (u, v), 2Dx + 2Ey est le terme linéaire B C L O, et F = c O. La présence du facteur 2 dans 2Dx + 2Ey permet d écrire f(m) = ( x, y, 1 ) A B D x B C E y. D E F 1 On a alors f(m) = 0 ( x, y, z ) A B D x B C E y = 0 et z = 1. D E F z Supposons P plongé dans un espace affine E de dimension 3 muni d un repère (O, u, v, w), 55

56 avec O / P. Si on choisit w = OO, le plan P a pour équation z = 1. Soit Q la forme quadratique sur E associée à la matrice précédente. On a Q(M) = 0 et M P M C. Une conique est donc l intersection d un plan et de l ensemble des zéros d une forme quadratique. Cet ensemble est en général un cône, d où le terme de «conique». Si on change le point O, alors L O et c O changent mais pas q. Démonstration. Soit O un autre point et φ la forme bilinéaire symétrique associée à q, i.e. telle que Φ(u, u) = q(u) pour tout u E. On a f(m) = q ( OO + O M ) + L O ( OO + O M ) + c O = q ( OO ) + 2Φ ( OO, O M ) + q ( O M ) + L O ( OO ) + L O ( O M ) + C O. ( On a donc q O = q O, L O O M ) = 2Φ ( OO, O M ) ( + L O O M ) et C O = f(o ). 4.1.1 Coniques à centre Définition: Un centre d une conique C associée au polynôme f est un point Ω tel que L Ω = 0. Donc f(m) = q ( ΩM ) + cω. Comme q est paire, Ω + u C Ω u C. Donc Ω est un centre de symétrie de C. Définition: Une conique est dite à centre si elle possède un centre unique. Remarque: Cette définition exclut les réunions de deux droites parallèles car tout point de la droite des milieux est un centre de symétrie. Théorème 4.1. Soit P muni d un repère affine (O, u, v). La conique C = { M(x, y), Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 } est à une conique centre ssi AC B 2 0. ( ) Remarque: Cela signifie que A B A B B C 0, i.e., que la matrice B C encore que q est non-dégénérée. est inversible, ou Démonstration. Soit I(a, b) P. Soit (x, y ) les coordonnéesde M dans le repère (I, u, v). Comme OM = OI + IM, on a x = x + a et y = y + b. En substituant on a

57 M C A(x + a) 2 + 2B(x + a)(y + b) + C(y + b) 2 + 2D(x + a) + 2E(y + b) + F = 0. Le point I est un centre ssi L I = 0, i.e. (x, y ) R 2, (2Aa + 2Bb + 2D) x + (2Ba + 2Cb + 2E) y = 0. { Aa + Bb = D Donc I est un centre de C Ba + Cb = E Ce système en (a, b) a une solution unique ssi A B B C 0. 4.2 Classification affine Proposition 4.1. Une conique à centre est affinement équivalente à un des ensembles suivants : un point, un cercle, une paire de droites sécantes, une hyperbole équilatère. Démonstration. Soit C une conique de centre O. Dans un repère (O, u, v), son équation est du type f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + F = 0. Si B 2 AC < 0, A et C ne sont pas nuls et sont de même signes. On peut les supposer positifs. En écrivant C = B2 A + C avec C > 0, on a ( Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + F = A x + B ) 2 A y + C y 2 + F = 0. Si F > 0, alors C est vide, ce qui est exclus par définition. ( Si F = 0, A x + B ) 2 A y + C y 2 = 0 = x = y = 0. Donc C est réduite au point O. A Supposons F < 0. En posant X = (x + BA ) C F y et Y = y, on a F ( A x + B ) 2 A y + C y 2 + F = 0 X 2 + Y 2 = 1. L application φ : R 2 P telle que φ(x, Y ) = M est une bijection affine. Donc C est l image d un cercle par une bijection affine. Si B 2 AC > 0 Si A = 0 l équation se réduit à 2Bxy + Cy 2 = F, soit y (2Bx + Cy) = F. Si A 0. L equation At 2 + 2Bt + C = 0 a deux racines distinctes α et β. On a alors At 2 + 2Bt + C = A(t α)(t β) soit Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 = A(x αy)(x βy). L équation f(x, y) = 0 devient (Ax Aαy)(x βy) = F.

58 Dans les deux cas f(x, y) = 0 peut s écrire XY = F, où X et Y sont les coordonnées de M dans un autre repère cartésien. Si F = 0, C est la réunion des droites d équations X = 0 et Y = 0. Si F 0, C est l image par une bijection affine de l hyperbole de R 2 d équation XY = F, dite équilatère car ses asymptotes, i.e. les axes de coordonnées, sont orthogonales. Proposition 4.2. Une conique qui n est pas à centre est affinement équivalente à un des ensembles suivants : Deux droites parallèles, éventuellement confondues, une parabole. Démonstration. Comme B 2 AC = 0, A = C = 0 est impossible car (A, B, C) (0, 0, 0). On peut donc, quitte à échanger x et y, supposer A = 1 et C 0. On a alors B = ± C et Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 = (x ± Cy) 2, d où f(x, y) = 0 (x ± Cy) 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. En posant x = x ± Cy et E = E D C, on obtient f(x, y) = 0 x 2 + 2Dx + 2E y + F = 0. Si E 0, on pose X = x + D et Y = E y + (D 2 F )/2, d où f(x, y) = 0 X 2 = 2Y. Donc C est l image par une application affine de la parabole de R 2 d équation Y = X 2 /2. Si E = 0, selon que les solutions de l équation t 2 + 2Dt + F = 0 sont du type {α, β}, {α} ou, la conique C est la paire de droites d équations x = α, x = β, une paire de droites confondues d équation x = α, i.e. une droite double, ou enfin C =, ce qui est exclus. Définitions: Une conique affinement équivalente à un cercle est une ellipse. Une conique affinement équivalente à une hyperbole équilatère est une hyperbole. Une conique affinement équivalente à une parabole est une parabole. Une conique affine est propre si elle c est une ellipse, une parabole, ou une hyperbole. Les autres sont dites impropres. Théorème 4.2. Soit P muni d un repère affine (O, u, v). Soit C la conique d équation Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Alors C est propre A B D B C E 0. D E F A B D Démonstration. Il suffit de vérifier que la condition B C E 0 ne dépend pas du choix D E F du repère, puis de vérifier la condition dans les choix de repères qu on a vus au cours des démonstrations précédentes. Soit (X, Y ) les coordonnées cartésiennes de M dans un autre repère. Il existe des réels { X a b c x X = ax + by + c a, b, c, d, e, f tels que Y = dx + ey + f, soit Y = d e f y. L application φ telle 1 0 0 1 1 ( ) a b c a b que φ(x, y) = (X, Y ) est bijective. Donc est inversible de même que d e f. Soit d e 0 0 1 1 a b c x X M = d e f. On a y = M Y. Soit 0 0 1 1 1 ( ) A B D x x, y, 1 B C E y = 0 D E F 1 ( ) X, Y, 1 t M 59 A B D X B C E M Y = 0. D E F Comme M est inversible, la condition de nullité du déterminant ne dépend pas du repère cartésien choisi. Les 7 types de coniques 1/ ellipse, 2/ hyperbole, 3/ parabole, 4/ paire de droites sécantes, 5/ parallèles, 6/ confondues, 7/ un point sont, dans des repères adaptés associées à une 1 matrice d un des types suivants I 1 0 0 0 1 0 0 0 F II 0 1/2 0 1/2 0 0 0 0 F III 1 0 0 0 0 1 0 1 0 IV 1 0 D 0 0 0 D 0 F Type I : le déterminant est non nul ssi F 0 ; donc C est une ellipse, étant exclus. Si F = 0, C est réduite à un point. Type II : le déterminant est nul ssi F 0 : C est une hyperbole ; si F = 0 c est une paire de droites sécantes. Type III : le déterminant non nul ; C est une parabole. Type IV : le déterminant est nul ; C est une paire de droites parallèles, éventuellement confondues.

60 La conique est donc propre ssi le déterminant associé à son polynôme dans un repère quelconque est non nul. Soit D 2 et D 3 les déterminants d ordres 2 et 3 associés à une conique. On peut résumer la classification affine par le tableau suivant : D 2 <0 D 2 = 0 D 2 > 0 D 3 0 hyperbole parabole ellipse D 3 = 0 paire de droites sécantes paire de droites parallèles, ou droite double un point 4.3 Classification euclidienne Rappel Tout forme quadratique q dans R 2 possède une base orthogonale (u, v), orthonormée pour la structure euclidienne canonique. ( ) A B Démonstration. Soit M = la matrice de q dans une BON, φ l endomorphisme associé, B C et Φ la forme bilinéaire symétrique associée à q. Le polynôme caractéristique P de φ est donné par P (λ) = dét (M λid) = (A λ)(c λ) B 2 = λ 2 (A + C)λ + AC B 2. Le discriminant de P vaut (A + C) 2 4AC + 4B 2, soit (A C) 2 + 4B 2. Donc 0 et φ possède une valeur propre λ et un vecteur propre u de norme 1. Soit v tel que (u, v) soit orthonormée. Alors Φ(u, v) = v φ(u) = v (λu) = λ(v u) = 0. Donc (u, v) est orthogonale pour q. Remarque: La base (u, v) est une base de vecteurs propres. Démonstration. Soit µ l autre valeur propre. µ = λ. Alors = 0, d où B = 0, A = C et M = A Id. Il n y a donc rien à démontrer. µ λ. Soit w tel que φ(w) = µw. Alors Φ(u, w) = w φ(u) = w (λu) = λ(w u). De même Φ(u, w) = µ(w u). Comme λ µ, w u = 0 et w est colinéaire à v. Donc (u, v) est une base de vecteurs propres de φ. Théorème 4.3. Soit C une conique propre à centre O. Dans un repère orthonormé (O, u, v) bien choisi son équation est x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 si C est une ellipse ou x 2 a 2 y2 b 2 = 1 si C est une hyperbole

61 pour deux nombres réels positifs a et b (tels que 0 < b a si la conique est une ellipse). Démonstration. Soit O le centre de C. Dans un repère orthonormé (O, i, j) son équation est du type f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + F = 0 avec F 0 car C est propre. En divisant par F on se ramène à une équation du type Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 = 1. D après le rappel, il existe une BON (u, v) dans R 2 orthogonale pour la forme quadratique q(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2. Donc si (x, y ) sont les coordonnées dans (O, u, v) du point M de coordonnées (x, y), on a Ax 2 +2Bxy +Cy 2 = A x 2 +C y 2. Dans le repère (O, u 0, v 0 ), f(m) = 0 s écrit A x 2 + C y 2 = 1. Si A C > 0, alors C est une ellipse et A et C sont positifs. L équation A x 2 + C y 2 = 1 s écrit sous la forme x 2 a + y 2 2 b = 1. Quitte à échanger 2 x et y on peut supposer a b. Si A C < 0, on est dans le cas de l hyperbole. Quitte à échanger l ordre des vecteurs, on peut supposer A > 0 > C. Alors A x 2 + C y 2 = 1 s écrit sous la forme x 2 a 2 y 2 b 2 = 1. L équation donnée par le théorème est l équation réduite de C. Les nombres 2a et 2b sont appelés, par abus de langage, les axes de la conique et plus précisément, dans le cas d une ellipse, le grand et le petit axe. y b j a O i x Soit λ et µ les valeurs propres de M = 1 4 et µ = 3 + 5 4 Ellipse d équation x 2 2xy + 5y 2 = 4. ( 1 1 1 5 ). Alors, par ordre croissant λ = 3 5 4. Soit ϕ = 1 + 5, le nombre d or. Alors a = 1 = 2 ϕ et b = 1 = 2 ϕ 1. 2 λ µ

62 Théorème 4.4. Dans un repère orthonormé bien choisi, une parabole P admet pour équation y 2 = 2px, pour un nombre réel positif p. Démonstration. Soit Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, avec B 2 AC = 0, l équation de P dans un repère orthonormé (O, i, j). D après le rappel on peut choisir le repère tel que B = 0. D où A ou C = 0. Quitte à changer l ordre des vecteurs et à multiplier par une constante, on peut se ramener à A = 0 et C = 1 ce qui donne une équation du type y 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 dans un repère (O, u, v). En posant y = y + E, on obtient y 2 + 2Dx + F E 2 = 0. Comme P est une parabole et non une conique impropre, D 0. On pose donc x = x + F E2 et on a 2D y 2 = 2Dx, ou (x, y ) sont les coordonnées de M dans le repère (S, u, v), où S est le point de coordonnées ( (E 2 F )/D, E ). L équation y 2 = 2px est l équation réduite de P. Le nombre p est appelé le paramètre de P, le point S est son sommet et la droite d équation y = 0 est son axe (de symétrie). Parabole d équation : x 2 4xy + 4y 2 + 5 2 x + 5 4 y 25 3 = 0 P y S u v j O i x Equation réduite : y 2 = 5 4 x, p = 5 8

63 4.4 Foyers et directrices Proposition 4.3. Soit e R +, F un point et D une droite du plan tels que F / D. L ensemble { M, F M = ed(m, D) } est une ellipse si e < 1, une parabole si e = 1 et une hyperbole si e > 1. Réciproquement toute conique propre qui n est pas un cercle se met sous cette forme. E P H F S H D E : ellipse e = 3/5, P : parabole e = 1, H hyperbole e = 5/3 Démonstration. = Soit F un point du plan, D une droite ne contenant pas F et e R +. On note δ = d(f, D) et H la projection de F sur D. On choisit un repère orthonormé ayant un point O comme origine, tel que D soit parallèle à l axe Oy et que F ait pour coordonnées (c, 0). L équation cartésienne de D est alors x = h pour une valeur de h R, avec h c = δ. Pour un point M de coordonnées (x, y), on a F M = ed(md) (x c) 2 + y 2 = e 2 (x h) 2. Ceci est l équation d une conique.

64 e = 1. L équation devient y 2 + 2(h c)x + c 2 h 2 = 0. On choisit pour O le milieu de F H, de sorte que h = c. L équation devient y 2 = 4cx, ce qui est l équation d une parabole de paramètre 2 c. e 1. On choisit O de sorte que c = e 2 h ou h = c/e 2, soit OF = e 2 OH. Ceci a pour effet d éliminer les termes en x. L équation devient x 2 (1 e 2 ) + y 2 = c2 e 2 c2 = c2 e (1 2 e2 ), soit x 2 c 2 /e + y 2 2 (1 e 2 )c 2 /e = 1, 2 ce qui est l équation réduite d une hyperbole si e > 1 et d une ellipse si e < 1. = Il suffit de montrer que les équations réduites x2 a + y2 x2 = 1, 2 b2 a y2 2 b = 1 et 2 y2 = 2px peuvent se mettre sous la forme précédente pour des valeurs de e et c à déterminer. Dans le cas de la parabole, e = 1 et c = p/2. La droite D a pour équation x = p/2. Dans le cas de l ellipse, 1 e 2 = b 2 /a 2 et c 2 /e 2 = a 2 ce qui donne e = a 2 b 2 /a et c = ± a 2 b 2. La droite D a pour équation x = c/e 2 = ±a 2 / a 2 b 2. Dans le cas de l hyperbole e 2 1 = b 2 /a 2 et c 2 /e 2 = a 2 ce qui donne e = a 2 + b 2 /a et c = ± a 2 + b 2. La droite D a pour équation x = c/e 2 = ±a 2 / a 2 + b 2. y2 Définition: La droite D est la directrice associée au foyer F. Remarques: Le sommet d une parabole P est le seul point où la tangente à P est parallèle à la directrice. Les coniques à centre ont deux foyers symétriques par rapport au centre. Il sont sur un axe de la conique, dit l axe focal, le grand axe dans le cas d une ellipse. La distance focale vaut 2c. On peut écrire les équations réduites des ellipses et des hyperboles sous la forme unique x2 a + = 1. Les foyers ont pour coordonnées (±c, 0). 2 a 2 c2 Par symétrie les coniques à centre ont deux directrices, chacune associée à un foyer. Elles sont perpendiculaires à l axe focal. Une ellipse est contenue dans la bande séparant les deux directrices. Les deux branches d une hyperbole sont de part et d autre de cette bande. 4.4.1 Propriétés bifocales des coniques à centre Proposition 4.4. Soit E l ellipse de foyers F et F et de grand axe 2a, et M un point du plan. Alors M E MF + MF = 2a. Démonstration. = Soit E une ellipse de grand axe 2a et d excentricité e. Soit O son centre

65 et D,D ses directrices. Pour un point M E on a MF = ed(m, D) et MF = ed(m, D ). Comme M est entre D et D, on a MF + MF = e ( d(m, D) + d(m, D ) ) = ed(d, D ). Donc MF + MF ne dépend pas de M sur E et peut s évaluer en un sommet S du grand axe. Or SF + SF = 2SO = 2a, d où MF + MF = 2a pour M E. F P O F S M D D N D = Soit N tel que NF + NF = 2a et D N la droite parallèle à D passant par N. Cette droite coupe la droite F F en un point P du grand axe de E. L application Q QF + QF est strictement monotone sur chaque demi-droite de D N issue de P. Donc QF + QF = 2a pour exactement 2 points de D N, un seul si N est un des sommets du grand axe. Ces deux points sont ceux où D N coupe E. Or N est l un des deux, d où N E. Proposition 4.5. Soit H une hyperbole de foyers F et F et d axe focal 2a et M un point du plan. Alors M H MF MF = 2a. Démonstration. = Soit D et D les directrices de H et S, S les sommets des branches de H. Pour M H, MF = ed(m, D) et MF = ed(m, D ). Comme H est à l extérieur de la bande limitée par D et D, on a MF MF = e d(m, D) d(m, D ) = ed(d, D ). Donc M MF MF est constant sur H et peut s évaluer en un sommet S. Or SF SF = SS = 2a, d où MF MF = 2a pour M H. = Soit M de coordonnées (x 0, y 0 ) dans un repère orthonormé tel que x2 a + 2 l équation de H. y2 a 2 c 2 = 1 soit

66 Si y 0 = 0, M est sur la droite F F et MF MF = 2a = M = S ou M = S. Si y 0 0, l application f : α f(α) = x2 0 α y2 0 définie sur ]0, c[, décroît strictement 2 c 2 α2 de + à. Donc il existe α 0 tel que f(α 0 ) = 1, soit tel que M est sur l hyperbole H α0 y2 d équation x2 = 1. La distance focale de H α0 2 c 2 α0 2 α0 vaut 2c. Donc F et F sont les foyers de H α0. D après la partie directe, MF MF = 2α 0, d où α 0 = a et M H. F S O S F M D D Remarque: Pour une ellipse ou une hyperbole, on a vu que e d(d, D ) = 2a. D où d(o, D) = a/e. Comme a = c/e, on voit que d(o, D), OS et OF sont en progression géométrique. Donc la donnée de trois éléments parmi O, S, F et D permet de construire le quatrième. 4.5 Tangentes Intersection d une conique propre et d une droite Soit C une conique propre donnée par l équation f(m) = q( KM) + L K ( KM ) + ck = 0, où K est un point du plan. Soit u un vecteur dirigeant une droite D passant par K, alors M D C t R, M = K + tu et t 2 q(u) + tl K (u) + c K = 0.

67 q(u) 0. Alors cette équation en t a 0 solution, une solution double ou deux solutions distinctes, correspondant à autant de points de D C. q(u) = 0. La conique C étant propre, u dirige l une des deux asymptotes dans le cas de l hyperbole, ou l axe dans le cas de la parabole. Si K est sur l asymptote en question, il n y a pas de solution car une asymptote ne coupe pas l hyperbole. Sinon il y a une intersection. Dans le cas de la parabole il y a une intersection unique. Remarque: Si la racine est double, la droite est tangente à C. Proposition 4.6. Soit C une conique propre et K un point du plan. Alors il passe par K au plus deux droites tangentes à C. Démonstration. La condition pour que la droite passant par K et dirigée par u soit tangente à C est que l équation t 2 q(u) + tl K (u) + c K = 0 ait une racine double, soit que u soit solution de l équation ( L K (u) ) 2 4cB q(u) = 0, avec q(u) 0. Soit Q K la forme quadratique L 2 K 4c Kq. Si x et y désignent les coordonnées de u, alors Q K (u) est de la forme ax 2 + 2bxy + cy 2 = 0. Si Q K 0, on a 0, 1 ou 2 directions de vecteurs u tels que Q K (u) = 0, suivant que b 2 ac < 0, b 2 ac = 0 ou b 2 ac > 0. Il passe donc par le point K, 0, 1 ou 2 tangentes à C. Montrons que si Q K = 0 alors C est impropre, contrairement à l ypothèse. soit c K = 0, alors L K = 0, f(m) = q ( KM) et C est impropre. soit c K 0, 4c K q = (L K ) 2 donc f(m) = (L K) 2( ) KM 4c K ( ) + L K KM + ck = 1 ( ( ) ) 2. L K KM + 2cK 4c K On en déduit que C est la droite double { M, L K ( KM ) = 2cK }, qui est impropre. Remarque: Soit C une conique propre. Dans un repère affine son équation est f(x, y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Soit M(x 0, y 0 ) C. L équation de sa tangente T en M est ( ) ( ) x f (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y f (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = 0 soit (Ax 0 + By 0 + D)(x x 0 ) + (Bx 0 + Cy 0 + E)(y y 0 ) = 0. Si l équation est sous forme réduite par exemple x2 a + y2 = 1, la formule précédente devient 2 b2

68 (x x 0 )x 0 a 2 + (y y 0)y 0 b 2 = 0 soit xx 0 a 2 + yy 0 b 2 = 1. Proposition 4.7. Soit C une conique propre non vide de foyer F et de directrice D. Soit M et N deux points de C. On suppose que la droite MN rencontre D en P. Alors la droite P F est une bissectrice de l angle de droites (F M, F N). Démonstration Commençons par quelques lemmes préliminaires. Lemme 4.1. Soit ABC un triangle non plat. Alors AB sin Ĉ = BC sin  = CA sin B Démonstration. Il suffit de montrer la première égalité qui équivaut à AB sin  = BC sin Ĉ. Soit H la projection orthogonale de B sur AC. Alors BH BA = sin Â, d où BH = AB sin Â. De même BH = BC sin ÂCB, d où l égalité. B A H C Lemme 4.2. Soit ABC un triangle non plat, D l intersection de BC avec la bissectrice intérieure issue de A. Alors DB DC = AB AC. Si ABC n est pas isocèle en A, soit E l intersection de BC avec la bissectrice extérieure issue de A. Alors EB EC = AB AC. Démonstration. D après le lemme précédent appliqué dans les triangles ABD et ADC, on a DB sin BAD = AB sin BDA et CD sin DAC = AC. La droite AD étant la bissectrice intérieure du sin ĈDA secteur BAC, on a BAD = DAC. D autre part B, D et C étant alignés, sin ĈDA = sin BDA. D où DB AB = CD AC soit DB DC = AB AC. E G α A α α β β D B D C

Soit D la parallèle à AB passant par C. Elle coupe la bissectrice extérieure en un point G. Par parallélisme on a ÊAB = ÊGC = ÂGC. Comme est la bissectrice extérieure du secteur BAC, on a ÊAB = ĈAG. Donc ÂGC = ĈAG et le triangle CAG est isocèle en C, d où CA = CG. Le théorème de Thalès donne EB EC = BA EB, d où CG EC = AB AC. Ce lemme admet une réciproque immédiate, dans laquelle nous gardons les notations précédentes. Lemme 4.3. Soit Q un point de la droite BC tel que QB QC = AB, alors Q = D ou Q = E. AC Démonstration. Soit α = AB MB. Il existe un point unique M du segment BC tel que AC MC = α. D après le lemme précédent M = D. De même, si α 1, il existe un point unique N de la droite BC et extérieur au segment BC tel que NB = α. D après le lemme précédent N = E. NC 69 F P M M N Q N D Démonstration de la proposition. Soit M et N les projections orthogonales de M et N sur D. Les droites MM et NN sont parallèles car perpendiculaires à D. Par Thalès, P M P N = MM NN. Par définition du foyer et de la directrice, MM = d(m, D) = emf et NN = d(n, D) = enf. Donc MM = MF NN NF, d où P M P N = MF. D après le lemme 4.3, P est sur une des bissectrices du NF couple de droites (F M, F N).

70 Corollaire 4.1. Soit C une conique propre qui n est pas un cercle, soit F un foyer de C et D la directrice correspondante. Soit Q C, et P D. Alors P Q est tangente à C P F F Q. Démonstration. Soit T la tangente à C en Q. = Si, dans la proposition précédente, on fait tendre N et M vers Q, en gardant M, N, P alignés, alors MN tend vers T = P Q. Par passage à la limite, P F est bissectrice de l angle de droite (F Q, F Q). Donc P F = F Q ou bien P F F Q. Mais P F = F Q est absurde car F / T. Donc P F F Q. = Si P F F Q, alors F Q D. Donc T D et T rencontre D en un point R D après la partie directe, RF F Q, donc R = P et P Q = T. Corollaire 4.2. Avec les notations du corollaire 4.1 : si P D et si deux droites passant par P sont tangentes à C, alors leurs points de tangence sont alignés avec F. M P F M P D Démonstration. D après le corollaire 4.1, si M et M sont les points de contact des tangentes issues de P, alors P F est orthogonal à F M et F M. Donc F, M et M sont alignés. Remarque: Par un point P d une directrice passent deux tangentes à une conique C, l exception du cas où C est une hyperbole et P est sur une des asymptotes. Alors il n y en a qu une.

71 Corollaire 4.3. Soit P une parabole de foyer F et de directrice D. Soit M P, H sa projection sur D et T M la tangente en M. Alors T est la médiatrice de F H. Démonstration. Notons O le sommet de P et Ω la projection de F sur D. Si M = O, M est le milieu de F Ω. Or T O F Ω. Donc T O est la médiatrice de F H. Si M O, T M coupe la directrice en un point P. D après le corollaire 4.1, P F F M. Donc F est sur le cercle de diamètre P M. Le point H également car MH HP. Comme MF = MH, et F H, F et H sont symétriques par rapport au diamètre P M. Donc la droite P M, soit T M est la médiatrice de F H. P M D H I F O Ω P Corollaire 4.4. Le projeté orthogonal du foyer d une parabole sur une de ses tangentes est sur la tangente au sommet. Démonstration. Gardons les notations précédentes. Comme T M est la médiatrice de HF, la projection orthogonale de F sur T M est le milieu I de HF. Comme O est le milieu de F Ω, par la réciproque du Théorème de Thalès OI HΩ. La droite OI est parallèle à la directrice. Donc OI = T O. Proposition 4.8. Soit C une conique propre à centre de foyers F et F. La tangente à C en M est la bissectrice intérieure de l angle en M du triangle MF F si C est une hyperbole, et sa bissectrice extérieure si C est une ellipse.

72 Démonstration. Soit E une ellipse de foyers F et F et de grand axe 2a. D après la proposition 4.4, c est une courbe de niveau de la fonction f : M F M + F M. Soit T la tangente à E en M 0 et soit G le symétrique de F par rapport à T. Alors pour M T, MF +MF = MG+MF et MF +MF 2a avec égalité ssi M = M 0. Donc l application T R +, M MG+MF atteint son minimum en M 0. Comme T coupe le segment F G, on en déduit que G, M 0, F sont alignés. Donc (GM 0, T ) = (M 0 F, T ) d où par symétrie (T, M 0 F ) = (M 0 F, T ). Ceci montre que T est une bissectrice du couple (M 0 F, M 0 F ). C est la bissectrice extérieure car T ne coupe ni E ni apr conséquent le segment F F. F O a F α α α M 0 T M G Soit H une hyperbole. D après la proposition 4.5 une branche de H est une courbe de niveau de M F M F M associée à la valeur ±2a. On choisit 2a. Soit M 0 sur cette branche, T la tangente à H en M 0 et soit G le symétrique de F par rapport à T. La tangente T est dans la zone du plan { M, 2a MF MF 2a }. Donc, si M T, MF MF 2a avec égalité ssi M = M 0. Or MF MF = MF MG. Donc l application T R +, M MF MG atteint son maximum en M 0. On a toujours MF MG F G avec égalité ssi MGF alignés dans cet ordre. Comme d(f, T ) < d(f, T ), on a d(g, T ) < d(f, T ). Les points G et F étant du même côté de T, la droite GF coupe T en un point N tel que NGF sont alignés dans cet ordre. Donc M MF MG atteint son maximum sur T en N d où N = M 0. On en déduit que G, M 0, F sont alignés et, comme dans le cas de l ellipse, que T est une bissectrice du couple

(M 0 F, M 0 F ). C est la bissectrice intérieure car T reste entre les branches de H et coupe l axe focal entre F et F. 73 T F 2a F α α G M 0 M Corollaire 4.5. Si une ellipse et une hyperbole ont mêmes foyers, leurs tangentes respectives en leurs points d intersection sont orthogonales. Démonstration. Soit F, F les foyers et M 0 un point d intersection. Les tangentes aux deux coniques sont les deux bissectrices de l angle F M 0 F et sont donc orthogonales.