Algèbre bilinéaire : Compléments

Algèbre bilinéaire : Compléments Table des matières 1 Endomorphismes symétriques d un espace euclidien, matrices symétriques. 2 1.1 Définitions.......................................................... 2 1.2 Caractérisation d un endomorphisme symétrique.................................. 2 1.3 Propriétés des endomorphismes symétriques..................................... 3 2 Projection orthogonale. 3 2.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F............................... 3 2.2 Caractérisation du projeté orthogonal......................................... 3 2.3 Caractérisation d une projection orthogonale..................................... 4 2.4 Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F....................... 4 2.5 Matrice de p F dans une base orthonormée de E................................... 4 2.6 Caractérisation par minimisation de la norme.................................... 4 2.7 Application au problème des moindres carrés.................................... 5 3 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques. 6 3.1 fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques.................. 6 3.2 Réduction des matrices symétriques de n ()................................... 6 4 Étude du signe d une forme quadratique. 7 1

1 Endomorphismes symétriques d un espace euclidien, matrices symétriques. Dans cette section, E désigne un espace vectoriel de dimension finie 1.1 Définitions. Définition d un endomorphisme symétrique Un endomorphisme f d un espace vectoriel euclidien E est symétrique si et seulement si pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a : f (x), y = x, f (y). Exercice 1 Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 3. Soit (a, b) une famille libre de E. Soit f l application : x < a, x > b+ < b, x > a 1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E. 2. Déterminer le noyau et le rang de f. 3. Déterminer une base de Im(f ). Exercice 2 Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E. 1. Montrer que Kerf = (Im f ). 2. Montrer que Kerf 2 = Kerf. 3. Montrer que Im f 2 = Im f. Exercice 3 E = n [X ] est muni du produit scalaire défini par : (P,Q) E 2, P,Q = 1 0 P(t)Q(t)dt On considère Φ défini par : P E, Φ(P) = P(1 X ). 1. Montrer que Φ est un endomorphisme symétrique. 2. Déterminer Φ Φ. Quelle propriété du spectre de Φ peut-on en déduire? 3. Écrire la matrice de Φ dans la base 1, (X 1 ),..., X 1 n. 2 2 Définition Une matrice M n () est dite symétrique lorsque t M = M. On note n () l ensemble des matrices carrées d ordre n, à coefficients réels, symétriques. Exercice 4 Montrer que n () est un -espace vectoriel de dimension n(n + 1). 2 1.2 Caractérisation d un endomorphisme symétrique. Soit E un espace euclidien. Soit f un endomorphisme de E et une base orthonormée de E. Alors, f est symétrique si et seulement si sa matrice dans est symétrique. 2

1.3 Propriétés des endomorphismes symétriques. Si f est un endomorphisme symétrique d un espace euclidien E et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors F est stable par f. Les sous-espaces propres d un endomorphisme symétrique f d un espace euclidien sont deux à deux orthogonaux. Corollaire Si (u k ) 1kp sont p vecteurs propres d un endomorphisme symétrique f d un espace euclidien, associés à des valeurs propres distinctes, alors la famille (u k ) 1kp est une famille orthogonale. 2 Projection orthogonale. 2.1 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel F. Définition Soit E un espace euclidien. Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle projection orthogonale sur F la projection sur F parallèlement à F, que l on note p F. Remarque p F + p F = id E. 2.2 Caractérisation du projeté orthogonal. Soit p F la projection orthogonale sur F. Soit x E. Alors : y = p F (x) y F et x y F 3

2.3 Caractérisation d une projection orthogonale. Soit p un projecteur de E. Alors p est un projecteur orthogonal si et seulement si Ker(p) Im(p). Si p est un projecteur (ou une projection) de E alors p est un projecteur orthogonal (ou une projection orthogonale) si et seulement si p est un endomorphisme symétrique. Corollaire Soit E un espace euclidien et une base orthonormée de E. Soit f (E). On note M = Mat (f ) alors t M = M f est un pro jecteur or thogonal et M 2 = M 2.4 Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F. Soit p F la projection orthogonale sur F. Si (u 1,..., u k ) est une base orthonormée de F, alors : k x E, p F (x) = x, u i u i. 2.5 Matrice de p F dans une base orthonormée de E. Soit est une base orthonormée de E. Si (u 1,..., u k ) est une base orthonormée de F et si U 1,..., U k sont les vecteurs colonnes associés aux vecteurs u 1,..., u k dans la base, alors : k Mat (p F ) = U t i U i. Exercice 5 Dans 3 muni du produit scalaire canonique, on considère le plan P d équation x + y z = 0. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique de 3 et la matrice de la projection orthogonale sur P dans la base canonique de 3. Exercice 6 Soit E un espace euclidien. Soit F un hyperplan de E. Soit a un vecteur unitaire dirigeant F. Exprimer p F ( x ) à l aide de x et a. Exercice 7 Soit u un vecteur unitaire de 3 de coordonnées (a, b, c) dans la base canonique = ( i, j, k) de 3. On a donc a 2 + b 2 + c 2 = 1. On note p le projecteur orthogonal sur la droite de vecteur directeur u et q le projecteur orthogonal sur. id désigne l application identité de 3 et.,. le produit scalaire canonique de 3. 1. Que vaut p + q? 2. Exprimer, pour v 3, p( v) à l aide de v, u et de u. Calculer alors p( i), p( j) et p( k). En déduire les matrices P et Q de p et q dans la base. 2.6 Caractérisation par minimisation de la norme. Soit E un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. Soit p F la projection orthogonale sur F. x et v sont deux éléments de E. v = p F (x) v F et x v = min x u u F 4

En d autre termes : la quantité x y lorsque y décrit F est minimale si et seulement si y = p F (x). Ainsi x p F (x) = min y x y F On dit que p F (x ) est la meilleure approximation de x parmi les vecteurs de F. Définition Soit F un sous-espace vectoriel de E et x E. On appelle distance de x à F et on note d(x, F) la quantité min y x y F d(x, F) = x p F (x) = min y x y F = inf y x y F Remarque On note m = min y F x y 2. m = x p F (x) 2 = p F (x) 2 = x p F (x), x p F (x) = x p F (x), x = x 2 x, p F (x) 1 Exercice 8 Déterminer inf (a,b) 2 0 (x 2 ax b) 2 dx. Exercice 9 Soit E l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée). On pose F = {P E / P(1) = 0}. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. 2. Déterminer une base de F et une base de F. 3. Déterminer d(x, F) (distance du polynôme X au sous-espace F, c est-à-dire inf X P ). P F Exercice 10 Soit E le -espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels. Pour P et Q dans E, on pose : + P,Q = 1. Vérifier que l on définit ainsi un produit scalaire sur E. 0 e t P(t)Q(t) d t 2. Soit f définie sur 3 par : f (x, y, z) = + 0 e t (t 3 x t 2 y t z) 2 d t Montrer qu il existe un unique triplet (x 0, y 0, z 0 ) tel que f présente en (x 0, y 0, z 0 ) un minimum absolu et déterminer ce triplet. 2.7 Application au problème des moindres carrés. Propriété préliminaire Soit A n,p () de rang p alors t AA p (). De plus t AA est inversible. : Minimisation de AX B n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. Soit les matrices A n,p () de rang p (donc p n) et B n,1 (). Lorsque X décrit p,1 (), la quantité AX B est minimale si et seulement si X est l unique solution de l équation t AAX = t AB. Le programme nous dit que " la formule donnant la valeur de X réalisant le minimum n est pas exigible", il faut donc apprendre à la retrouver... 5

Remarque : Expression analytique de AX B 2 n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. b 1 Soit A = (a i,j ) (i,j) [1,n ] [1,p ] n,p (), B =.. n,1() et X = Exercice 11 Soit A = j=1 b n j=1 x 1.. x p p,1() alors 2 2 2 p p p AX B 2 = a i,j x j b i = a 1, j x j b 1 + + a n,j x j b n 1 1 2 1 2 1 3 1 et B = 2 1 3 2. Déterminer X 2,1 () rendant minimale la quantité AX B et déterminer cette valeur minimale. j=1 3 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques. 3.1 fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques. Soit (E,.,. ) un espace euclidien. Soit f un endomorphisme symétrique de E. Alors f est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux. Il existe donc une base de E orthonormée composée de vecteurs propres de f. Remarque f étant un endomorphisme symétrique de l espace euclidien E, on obtient une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f en concaténant une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres de f. 3.2 Réduction des matrices symétriques de n (). Soit n. Soit A une matrice symétrique de n (). Alors A est diagonalisable et il existe une base orthonormée de n,1 () (muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de A. Ainsi il existe une matrice P n () (c est-à-dire vérifiant t P = P 1 ) et une matrice n () diagonale vérifiant t PAP =. 2 i Exercice 12 Soit A = i 0 2 (). 1. Déterminer le spectre de A. 2. Montrer que la matrice A est symétrique mais qu elle n est pas diagonalisable. Le théorème précédent s applique à des matrices symétriques à coefficients réels Soit n. Soit A n (). Soit (X 1,..., X n ) une base orthonormée de n,1 () (muni de son produit scalaire canonique) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres (λ 1,..., λ n ), alors : A = λ i X t i X i = λ 1 X t 1 X 1 + + λ n X t n X n Propriété Si A est symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P 1 AP = t PAP. Si X 1,..., X n sont les colonnes de P, alors (X i ) 1in est une base orthonormée de n,1 (), formée de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres λ 1,..., λ n. 6

1 1 1 Exercice 13 Soit A = 1 1 1. 1 1 1 Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P 1 AP = t PAP. Exercice 14 Soit A une matrice de n () vérifiant A t AA = I n. Montrer que A est symétrique puis déterminer A. 0 1 0. 1..... Exercice 15 Soit A =...... n () 1 0 1 0 (c est-à-dire que l on a : a i,j = 1 si i = j + 1 ou i = j 1 et a i,j = 0 sinon) (a) Soit λ un scalaire. Que peut-on dire du rang de A λi n? (b) Montrer que A admet exactement n valeurs propres réelles. Exercice 16 Montrer que la matrice 1 i 1 3 1 2 i 7 3 7 4 i est inversible. Exercice 17 Soit (E,.,. ) un espace euclidien. f et g sont deux endomorphismes symétriques de E vérifiant 1. Montrer que tout espace propre de f est stable par g. f g = g f. 2. Montrer l existence d une base orthonormée de E constituée de vecteurs qui sont à la fois des vecteurs propres de f et de g. Exercice 18 Soit n. Soit A n (). 1. Montrer que : 2. Montrer que : ( q / A q = 0) = A = 0. ( q / A q = I n ) = A 2 = I n. Exercice 19 Soit n. Soit A n (). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives. Montrer qu il existe une matrice B n () telle que B 2 = A. 4 Étude du signe d une forme quadratique. Définition de la forme quadratique associée à un endomorphisme symétrique Soit (E,.,. ) un espace euclidien. On appelle forme quadratique associée à l endomorphisme symétrique u de E l application : q : E x q(x) = u(x), x 7

Remarque : Expression de la forme quadratique associée à u dans une B.O.N. de vecteurs propres de u Soit q la forme quadratique sur E associée un endomorphisme symétrique u. Soit = (e 1,..., e n ) une base orthonormale constituée de vecteurs propres de u et plus précisément : Alors : i 1, n, u(e i ) = λ i e i x E, q(x) = où (x 1,..., x n ) sont les coordonnées de x dans la base. λ i x 2 i : Signe de la forme quadratique q associée à l endomorphisme symétrique u x E, q(x) 0 Sp u [0, + [ x E \ {0}, q(x) > 0 Sp u ]0, + [ x E, q(x) 0 Sp u ], 0] x E \ {0}, q(x) < 0 Sp u ], 0[ (x, x ) E E/q(x) > 0 et q(x ) < 0 (λ, β) Sp u Sp u / λ > 0 et β < 0 Remarque q garde un signe constant les valeurs propres de u sont de même signe. Définition de la forme quadratique associée à une matrice symétrique Soit n. Soit A n (). On appelle forme quadratique associée à A l application : q : n,1 () X q(x ) = t XAX : Signe de la forme quadratique q associée à la matrice A n () X n,1 (), q(x ) 0 Sp A [0, + [ X n,1 () \ {0}, q(x ) > 0 Sp A ]0, + [ X n,1 (), q(x ) 0 Sp A ], 0] X n,1 () \ {0}, q(x ) < 0 Sp A ], 0[ (X, X ) n,1 () n,1 ()/q(x ) > 0 et q(x ) < 0 (λ, β) Sp A Sp A / λ > 0 et β < 0 Remarque q garde un signe constant les valeurs propres de A sont de même signe. 8

Remarque : Expression analytique dela forme quadratique q associée à la matrice A n () x 1 Soit A = (a i,j ) 1i,jn n (). Soit X =.. n,1(). On a : t XAX = j=1 x n a i,j x i x j = a i,i x 2 i + 2 1i<jn a i,j x i x j Exercice 20 Unicité de la matrice symétrique associée à une forme quadratique Soit A n () et B n () vérifiant : X n,1 (), t XAX = t X BX alors A = B. Exercice 21 On considère la forme quadratique q définie sur 3,1 () par : X = x y z 3,1 (), q(x ) = x y + xz + yz 1. Déterminer A 3 () de sorte que q soit la forme quadratique associée à A. 2. Déterminer le spectre de A. 3. Que peut-on dire du signe de q? Exercice 22 Soit (E,.,. ) un espace euclidien. Soit u un endomorphisme symétrique de E. On note α la plus petite valeur propre de u et β la plus grande valeur propre de u. Montrer que : x E, α x 2 u(x), x β x 2 Exercice 23 Soit n. Soit A n (). n,1 () est muni de son produit scalaire canonique. On note α la plus petite valeur propre de A et β la plus grande valeur propre de A. Montrer que : X n,1 (), α X 2 AX, X = t XAX β X 2 9