Épreuve de mathématiques en classe de seconde Janvier 06 Durée : heures L annexe est à rendre avec la copie. EXERCICE points Le degré Fahrenheit (symbole F) est une unité de mesure de la température, liée au degré Celsius (symbole C) par la formule : T (en F)=,8 T (en C)+.. a. On a battu un record de chaleur à Paris le er juillet 05 avec 0 C. Quelle est la température correspondante en F? b. On a battu un record de froid à San Francisco le 5 décembre 0 avec 6 F. Quelle est la température correspondante en C? c. Écrire sur votre copie, dans le langage informatique de votre choix (par exemple dans le langage TI ou CASIO des calculatrices), un programme qui : demande à l utilisateur une température X en C ; affiche la température correspondante Y en F.. Le relevé des températures maximales quotidiennes à Paris (arrondies au degré supérieur) au mois de septembre 05 permet de construire le tableau suivant : Température maximale (en C) 7 8 9 0 5 Nombre de jours 7 0 0 a. Quelle est la fréquence de jours où la température maximale a été de C? b. Quel est le pourcentage de jours où il a fait au moins C à un moment de la journée? c. Calculer la médiane et les quartiles de la série de températures. d. Construire le diagramme en boîtes de la série de températures.. Les mêmes relevés à San Francisco en septembre 05, en F, sont résumés par les statistiques cidessous : x = 76 min=65 Q = 70 m e = 7 Q = 85 max=9 On justifiera les réponses par des calculs. a. Dans quelle ville (Paris ou San Francisco) a-t-il fait le plus chaud en moyenne en ce mois de septembre? b. Dans quelle ville la température maximale a-t-elle le plus varié? EXERCICE 9 points On considère les trois points A(; ), B(; ), C (; ). Partie A. Placer A, B, C dans le repère donné en annexe. On complétera la figure dans la suite de l exercice.. a. Calculer AB. b. On admet que le calcul donne : AC = 50 ; BC = 0. Que peut-on en déduire pour le triangle ABC?. Soit H le milieu du segment [BC ]. Vérifier par le calcul que H a pour coordonnées (;0).
. Justifier que la droite (AH) est une hauteur du triangle ABC. 5. a. Calculer la longueur AH. Partie B b. On admet que : AH = 5. Calculer l aire du triangle ABC.. Calculer les coordonnées du vecteur AC.. Soit D le point tel que AC DB soit un parallélogramme. a. Placer le point D. b. Déterminer par le calcul les coordonnées de D.. Quelle est la nature du quadrilatère AC DB? Justifier. EXERCICE 9 points Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : 5 6. a. Préciser l ensemble de définition de la fonction f. b. Lire sur le graphique l image de par la fonction f. c. Donner le nombre de solutions de l équation f (x)=,5. d. Résoudre graphiquement l équation f (x) = (on pourra éventuellement utiliser des valeurs approchées). e. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) 0. f. Donner le maximum et le minimum de f sur son ensemble de définition. g. Dresser le tableau de variation de f sur son ensemble de définition.. On admet dans cette question que la fonction f est affine sur l intervalle [;]. a. Prouver que f (x)=x 8 pour tout x [;]. b. Résoudre par le calcul l équation f (x) =, 5.
PROBLÈME points On dispose d une ficelle de longueur 5 cm que l on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un carré, et avec l autre on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur. Le but du problème est de savoir comment couper la ficelle pour que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale. On note x la longueur de ficelle utilisée pour le carré. Ficelle Ficelle coupée x 5 cm Carré Rectangle Explication de l énoncé avec un exemple (les figures ne sont pas à l échelle). Si la longueur de ficelle utilisée pour le carré est de 6 cm, autrement dit si x = 6 : Les quatre côtés du carré mesurent,5 (puisque,5=6) et l aire du carré est,5,5=,5 cm.,5 cm,5 cm Périmètre du carré=,5=6 cm Aire du carré=,5,5=,5 cm Pour construire le rectangle, il reste 5 6=5 cm de ficelle, ce qui permet de construire un rectangle qui mesure 7,5 cm sur 5 cm. Son aire est alors de 5 7,5=,5 cm. 5 cm 7,5 cm Périmètre du rectangle= 7,5+ 5=5 cm Aire du rectangle=7,5 5=,5 cm Conclusion : si x = 6, l aire totale, carré et rectangle, vaut,5+,5=,75 cm. Première partie : étude d un cas particulier. Si la longueur de ficelle est x = 8 cm :. Quelle est la longueur du côté du carré? En déduire que l aire du carré est de 0,5 cm².. Quelle est la longueur de ficelle restant pour construire le rectangle? Déterminer les dimensions du rectangle et vérifier que son aire est de 60,5 cm².. Calculer l aire totale, carré et rectangle. Deuxième partie : on se place dans le cas général.. a. Exprimer en fonction de x la longueur du côté du carré puis l aire du carré. b. Exprimer en fonction de x la longueur de ficelle utilisée pour le rectangle. En déduire que l aire du rectangle vaut (5 x) 8.
. On note f la fonction qui à x associe la somme des aires du carré et du rectangle. a. Quel est l ensemble de valeurs possibles pour le réel x? b. Donner une expression de f (x). Troisième partie : étude graphique. On admettra que la fonction f définie dans la question précédente est la suivante : f (x)= 7 x 7 89 x+.. Recopier et compléter à l aide de votre calculatrice le tableau suivant : x 6 8 0 f (x). Sur la page annexe, on a tracé dans le plan muni d un repère orthogonal la courbe C f représentative de la fonction f. Placer sur le graphique, en rouge, les points qui correspondent au tableau précédent. Quelle remarque (en termes de symétrie) peut-on faire?. À partir du graphique, répondre aux questions suivantes : a. Établir le tableau des variations de la fonction f. b. Pour quelle valeur de x, la somme des aires du carré et du rectangle est-elle minimale? c. Calculer f () et interpréter le résultat.
Annexe Nom : Prénom : Figure de l exercice. y 6 5 8 7 6 5 5 6 7 8 x 5 6 Figure du problème. 60 0 0 00 80 60 0 0 6 8 0 6 8 5 5