La combinatoire étudie comment compter des objets.
La combinatoire étudie comment compter des objets. Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en proba.
La combinatoire étudie comment compter des objets. Elle fournit des méthodes de dénombrement utiles en proba. Ex : Formule du binôme de Newton
Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face.
Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.
Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Soit 2 3 = 8 tirages différents.
Exemple : on effectue 3 tirages de Pile ou Face. Tirages possibles : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Soit 2 3 = 8 tirages différents. On peut présenter la listes des tirages sous forme d un arbre.
P P F P F P F F P F P F P F
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres.
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive.
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités.
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = 10000 possibilités.
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = 10000 possibilités. Il n existe que 10000 codes différents!
Exemple : on cherche à compter le nombre de codes à 4 chiffres. Il est hors de question de faire la liste exhaustive. Chaque chiffre est entre 0 et 9, soit 10 possibilités. 4 chiffres 10 4 = 10000 possibilités. Il n existe que 10000 codes différents! Rq : dans ces 2 exemples, l ordre est important et il peut y avoir des répétitions.
Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B},
Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B},
Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B}, E\A := A := {x E, x / A},
Définition Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. On a défini : A B := {x E, x A ou x B}, A B := {x E, x A et x B}, E\A := A := {x E, x / A}, A B := {(x, y), x A, y B}.
Définition On suppose à présent que E est fini i.e. qu il ne possède qu un nombre fini d éléments. On appelle ce nombre le cardinal de E, et on le note Card (E).
Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B),
Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B), Card (E\A) = Card (E) Card (A),
Proposition On a les égalités suivantes : Card (A B) = Card (A) + Card (B) Card (A B), Card (E\A) = Card (E) Card (A), Card (A B) = Card (A) Card (B).
Proposition Soit E et F deux ensembles finis. Alors le nombre d applications de E dans F est Card (F ) Card(E).
Proposition Soit E et F deux ensembles finis. Alors le nombre d applications de E dans F est Card (F ) Card(E). démo : chaque élément de E a Card (F) possibilités pour son image. Les choix des images étant indépendants, on a bien au total Card (F) Card(E) applications différentes.
Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments.
Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments. On note A n m le nombre d arrangements de n éléments parmi m et alors A n m! m = m(m 1)... (m n + 1) = (m n)!.
Définition Soit m, n N tels que n m. Un arrangement de n éléments parmi m est une liste ordonnée de n éléments distincts d un ensemble à m éléments. On note A n m le nombre d arrangements de n éléments parmi m et alors A n m! m = m(m 1)... (m n + 1) = (m n)!. Rq : Ici, l ordre est important mais il n y a pas de répétition.
Exercice : On dispose d une urne contenant trois boules différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer?
Exercice : On dispose d une urne contenant trois boules différentes, numérotées 1, 2 et 3 et on en tire deux (sans remise) parmi les trois. Combien de tirages différents peut-on effectuer? Correction : Un tirage correspond à un arrangement de deux éléments parmi trois. En effet, l ordre de tirage est important mais on effectue le tirage sans remise donc il ne peut y avoir de 3! répétitions. On a donc = 6 tirages possibles. Dans ce cas, (3 2)! on peut encore faire la liste exhaustive de ces différents tirages, par exemple sous forme d arbre.
Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n.
Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!.
Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde.
Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde. Exercice : Donner la liste des éléments de S 3.
Définition Une permutation à n éléments est un arrangement de n éléments parmi n. Autrement dit, c est une liste ordonnée d entiers distincts entre 1 et n. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors une permutation de E est en fait une bijection de E dans lui-même. Le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est n!. L ensemble des permutations de l ensemble {1,..., n} est noté S n ou S n et est de cardinal n! d après ce qui précéde. Exercice : Donner la liste des éléments de S 3. Exercice : Combien y a-t-il de façons de placer huit personnes autour d une table?
Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ensemble de cardinal n.
Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ( ensemble ) de cardinal n. n On note Cn k ou le nombre de combinaisons de k éléments parmi k n et alors Autrement dit, k!c k n = A k n. ( ) n = k n! k!(n k)!.
Définition Soit n et k deux entiers naturels. Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble de cardinal k d un ( ensemble ) de cardinal n. n On note Cn k ou le nombre de combinaisons de k éléments parmi k n et alors Autrement dit, k!c k n = A k n. ( ) n = k n! k!(n k)!. Rq : Ici, on ne tient pas compte de l ordre et il n y a pas de répétition.
Proposition Pour tout n et k deux entiers naturels, on a ( ) ( ) ( ) n n n + 1 + =. k k + 1 k + 1
Proposition Pour tout n et k deux entiers naturels, on a ( ) ( ) ( ) n n n + 1 + =. k k + 1 k + 1 Cette propriété permet d obtenir( ce) qu on appelle le triangle de n Pascal donnant les valeurs des : k
k n 0 1 2 3 4 5 1 1 1 0 2 1 2 1 0 3 1 3 3 1 0 4 1 4 6 4 1 0 5 1 5 10 10 5 1
Proposition (Binôme de Newton) Soit a, b R et n N. On a (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k