Chapitre II : Résolution des équations Non-linéaires II..Introduction : Le problème de la solution d équation non linéaire f(= est une tache qui revient fréquemment dans le calcul scientifique sous forme brute ou inclue dans des problèmes compliqués. Il est relativement rare qu on puisse obtenir ses racines avec précision, par ailleurs, dans certain cas les coefficients de l équation ne sont connus qu approimativement et, de conséquent, le problème de la détermination précise des racines proprement dit, perd son sens. C est pourquoi, les méthodes de la recherche approchée des racines d une équation et l estimation du degré de sa précision acquirent un intérêt particulier. II..Eistance de Solution : Soit la fonction f( définie et continue dans un l intervalle finie ou infinie a<<b Toute valeur qui annule la fonction f( (c est-à-dire f ( = s appelle racine de l équation f(= ou zéro de f. La recherche approchée des racines d une équation se fait généralement en deu étapes : _ Séparation des racines : qui consiste à établir des segments [a, b] les plus serrés possible contenant une et seulement une seule racine. _ Amélioration de la précision ou mise au point des racines approchées, c est-à-dire l obtention de leur précision imposée. Théorème I : si une fonction continue f( prend au etrémités des segments [a, b] des valeurs de signe contraires, f(a*f(b<, ce segment contient au moins une racine de l équation f(=. Faite qui est traduit par l eistence de [ a, b] tels que f ( = f(a a b f(b Figure II. : eistence des solutions Eemple : prenons la fonction f(=cos(-, dans l intervalle [,] vérifier si f( a un zéro dans cet intervalle.
Solution : f(=. f(=-. et puisque f(* f(< donc il eiste [,] de sorte que f ( = II..Méthode de Bipartition (Bissection ou Méthode de Dichotomie : En algorithmique, la dichotomie (du grec «couper en deu» est un processus itératif ou récursif de recherche où à chaque étape l'espace de recherche est restreint à l'une de deu parties Si f est une fonction continue dans l intervalle [a, b] et change de signe donc f(a*f(b< pour chercher la solution de l équation f(= ( On divise cet intervalle en deu [a, ] et [,b] ou =(a+b/ si f( = alors la solution de ( est si non on cherche la solution dans les deu autres intervalles en appliquant le Théorème I : Si f(a.f( < la solution cherchée est dans cet intervalle [a, ] nommé [a, b ] ou a =a et b =. Si non la solution est dans l autre intervalle [, b] nommé [a, b ] ou a = et b =b et on continue le processus de recherche jusqu à obtenir un intervalle [a n, b n ] pour lequel b n - a n <ε ou f( n <ζ tel que n =(a n +b n /, avec ε et ζ sont les précisions requises pour la solution cherchée. Figure II.
Algorithme Eemple : Résoudre l équation e += pour ε =. dans l intervalle [-.,.] Solution : a b f(a f(b f( -, -, -, -,7 -,7 -,7 -,97 -,97,, -, -, -, -,7 -,7 -, -, -, -,7 -, -,7 -,97 -, -,88 -, -,99 -,99 -,77 -,77 -,77 -,7 -,7,,,7888,7888,,,,9 -,99,7888 -,77,, -,7,9 -,97 Après un certain nombre d itération on obtient la solution =-,77 Nombre d itération : Dans la plupart des opérations le nombre des itérations requises pour déterminer la solution approchée à une certaine précision ε valorise la méthode choisie. Pour la technique de Bissection le nombre des opérations est donné par : a b log ( ε N Début Lire a, b, ε Faire tans que b- a >ε =(a+b/ Si f(= arrêt du processus fin si Si f(a.f(< b= Si non a= fin si Fin tans que Eercice : Démontrer la formule précédente. II. Méthode de Fausse Position (Regula-Falsi Dans cette méthode la recherche de la solution de f(= dans l intervalle [a, b] passe par le même processus que la méthode de bissection mais au lieu de diviser le segment [a,b] en deu intervalles égau, il est plus logique de le diviser dans le rapport f(a/f(b on obtient ainsi la valeur approché de la racine : f ( a ( b f ( b f ( a = a + h, h = a Ou d un manière plus simple af ( b bf ( a = ( f ( b f ( a Graphiquement sa revient à la recherche du point d intersection entre la droite passant par les points (a,f(a et (b, f(b et l abscisse des : (figure II.:
Figure II. : Méthode de Régula-falsi. f ( b f ( a ( = f ( a + ( a b a lors que = af ( b bf ( a = f ( b f ( a Et on répète le même procédé de recherche que celui de la méthode de bissection c est-à-dire : Algorithme : Début Lire a, b, ε Faire tans que b- a >ε af ( b bf ( a = f ( b f ( a Si f(= arrêt du processus Fin si Si f(a.f(< b= Si non a= Fin si Fin tans que Eemple : Trouver α = par la méthode de fausse position et comparer le résultat obtenue (le nombre des opérations avec la méthode de Bissection ( ε =.. Solution : Pour trouver α = donc = alors = donc =, prenons f ( = dans l intervalle [.,.] et appliquons la méthode de Régula-falsi : a b X f(a f(b f(,,, -,, -, -, -, 7
,,,7 7,79,,,,,,,,,,,,,,,,,,7 7,79,,,,,,, La solution est α =, -, -,9 -,89 -, -, -, -, -,,,,,,,,,,,, -,9 -,89 -, -, -, -, -,,, Comparer le nombre des opérations effectuées pour la recherche de la solution de cette équation par rapport à la méthode dichotomique. II. Méthode de Newton : La méthode de Newton a été découverte par Isaac Newton et publiée dans Method of Fluions en 7. Bien que la méthode soit décrite par Joseph Raphson(8-7 dans Analsis Aequationum en 9, les sections d'intérêt de Method of Fluions avaient déjà été écrites, en 7. La méthode de Newton se base sur la notion de dérivé. Si est une approimation de la solution de f(= dans l intervalle [a, b], nous corrigeons cette solution par = +h ou h est une petite valeur. Si on utilise le développement limité de Talor : f ( = f ( + h f ( + h. f ( f ( Si f ( = alors h = donc f ( f ( = f ( Et pour une certaine étape k : f ( k f ( k + = k ( k On remarque bien que lorsque k est une solution alors f ( k donc k k +. II.. Interprétation Graphique : 8
Figure II. On commence à partir d une solution initiale au point et on cherche l intersection de la tangente de la fonction f( en ce point avec l ae des abscisse noté qui serra la nouvelle solution et on continue jusqu'à obtenir une bonne approimation. Algorithme : Début Lire, ε k= Faire tans que f( k >ε f ( k k + = k f ( k k=k+ Fin tans que Eemple : reprendre l eercice précédant en utilisant la méthode de Newton =.. Solution k k f ( k f( k 7 8 9,,7,7,7887,,978,89,89,87, 8,,,97897,77,87,87,88,7,98,88,,,888,877,9,978,7,78,9, Remarque : La méthode de Newton est très pratique question de rapidité de convergence mais il eiste des situations ou la divergence est frappante, ce-ci est due à : L eistence d un point d infleion dans l intervalle d étude (figure II..a. L eistence d une solution multiple f (= (figure II..b. Lorsqu il a des minimums locau (figure II..c. 9
(c (b (c Figure II. Bien que la méthode soit très efficace, certains aspects pratiques doivent être pris en compte. Avant tout, la méthode de Newton nécessite que la dérivée soit effectivement calculée. Dans les cas où la dérivée est seulement estimée en prenant la pente entre deu points de la fonction, la méthode prend le nom de méthode de la sécante, moins efficace (d'ordre,8 et inférieure à d'autres algorithmes. Par ailleurs, si la valeur de départ est trop éloignée du vrai zéro, la méthode de Newton peut entrer en boucle infinie sans produire d'approimation améliorée. À cause de cela, toute implémentation pratique de la méthode de Newton doit inclure un code de contrôle du nombre d'itérations. II. Méthode d approimation successive : La méthode d approimation successive est une des méthodes itératives les plus anciennes. C est méthode très utile pour la détermination des racines des équations du tpe f(=, et même pour les sstèmes des équation non linéaires Elle se base sur le schéma suivant : Soit l équation f(= on essae de l écrire sous la forme g(= puit on prend le schéma itératif suivant : on partant d une solution initiale en le substitue dan g( de manière à obtenir une nouvelle solution =g( et on répète jusqu a obtenir une solution acceptable. Donc on construit une suite numérique des valeurs ( n dont les valeurs convergents vers la solution de l équation f(=. La forme itérative : donné n ( n = g Le processus d itération est arrêté lorsque n+ n < ε ou f( n <ζ. Eemple : Prenons l équation = (qui à pour racine - et Nous pouvons la rendre sous la forme = g ( = + et pour = nous avons les résultats suivants : n n
..7.9. On remarque que les valeurs de n convergent vers. Il est possible de vérifier que si on change de forme pour la même équation ( = g( = l eemple précédant, ont peut obtenir une divergence. II.. Critère de Convergence : une séquence k de valeurs généré par un processus numérique est dit qu elle converge vers α à un ordre p si : Où k est un entier convenable. Dans de tel cas, la méthode est dit de l ordre p. noter que si p est égale à, pour que k converge ver α il est nécessaire que C soit inférieur à (C<, C, dans ce cas, est le facteur de convergence. Dans le cas de la méthode du point fie le critère de convergence s écrit : Théorème : si g( et g ( sont deu fonctions continues dans l intervalle contenant la racine et si g ( < pour tous les points de cet intervalle alors n = g( n est un schéma itératif convergeant vers la solution de l équation = g(. Cette condition est suffisante et non nécessaire. Propriété : (théorème Ostrowski soit α le point fie d une fonction φ,continue est différentiable dans un voisinage J de α. Si φ (α < alors il eiste δ > tel que la suite { (k } converges vers α pour chaque ( tel que ( α < δ. II.. Algorithme : Début Lire, ε, n k= Faire tans que k<n = g( k + k Si n+ n < ε arrêt Sinon continue Fin si k=k+ Fin tans que fin II.. Interprétation Graphique : Géométriquement cette méthode s eplique par la façon suivante : Dans le plant o on construit la courbe =g( et la droite = toute racine de l équation f(= est le point d intersection des deu courbes. En partant d un point on construit la ligne polgonale (escalier figure II..(a, Spirale figure II..(b Les segments horizontau du polgone se rétrécissent, dans de la convergence, pour devenir un seul point qui n est d autre que la solution de l équation f(=. Pour une solution de forme spirale g ( est négative, si non on obtient la forme escalier.
= = =g( =g( n n (a Figure II. Eemple : résoudre cos(-= pour ε =. (b II.. Amélioration de la méthode : Il est possible d accéléré la convergence de la méthode d approimation successif en adoptant la technique suivante : Partant de f(= On passe de =g( à +λ =g(+ λ (ou λ - g( + λ Soit encore = = G( ( + λ λ est choisie de façon a se que G ( n = pour chaque itération ce qui nous amène à g ( + λ G ( = = ( + λ Ou λ = g ( donc g( n g'( n n n+ = g'( n Eemple : résoudre l équation suivante e -= par la méthode de point fie standard et puis améliorer et comparer (on donne ε =. Solution : Méthode de point fie standard : =. k =ep(- k k g( f( 7 8,,7879,9,7,,98,79,,7,7879,9,7,,98,79,,7,879,7888 -,8,89 -,779, -,9,887 -,98,887
9,879,887 =. k =G( k,887,7 -,,7 G(=((ep(-+*ep(-/(.+ep(- k G( f(,,7888,987,7,7,7888,987,7,7,7,7888 -,789 -,8,,