Chapitre 4. Fonction logarithme I. Rappels de cours. Généralités (i) Théorème Définition Tout réel strictement positif possède un unique antécédent réel par la fonction ep. Cet antécédent est noté et se lit logarithme (népérien) de. Ainsi, nous avons l équivalence suivante : ]0; + [, e y = y =. La fonction logarithme népérien est définie de la manière suivante : ln: R + R (ii) Conséquences importantes * R +, e =. * R, ln (e ) =. * ln = 0 et ln e =. (iii) Propriété algébrique fondamentale (appelée relation fonctionnelle) Pour tous réels, y strictement positifs, on a ln(y) = + ln y. Cette relation peut se généraliser : pour tous réels,,, n strictement positifs ; ln( n ) = + + + n.. Propriétés algébriques Dans la suite, et y sont deu réels strictement positifs et n un entier relatif. (i) ln ( ) =. (ii) ln ( ) = ln y. y (iii) ln( n ) = n. (iv) ln =. 3. Etude de la fonction ln (i) La fonction ln est définie, dérivable donc continue sur R +. (ii) R +, ln () =.
(iii) Tableau de variation 0 + (iv) Courbe représentative de la fonction ln (v) Limites de référence * lim 0 =. * lim = +. + * lim = 0 et de manière générale lim + + n = 0 avec n N. * lim 0 = 0 et de manière générale lim 0 n = 0 avec n N. ln(+) * lim =. 0 4. Compléments (i) Comparaison de référence et y étant deu réels strictement positifs : = ln y = y ; < ln y < y. (ii) Fonction ln u()
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I alors la fonction ln u est dérivable sur I et (ln u) = u. u On en déduit que les fonctions u et ln u ont même sens de variation sur l intervalle I. (iii) Eponentielle de base a et logarithme de base a * Si a > 0 et b R, on définit l eponentielle de base a par a b = e b ln a. * On définit le logarithme de base a par log a = ln a pour > 0. II. Pour s échauffer : vrai ou fau? Pour chaque question, indiquer si les propositions sont vraies ou fausses en justifiant la réponse... D après concours Sciences Po 03 Soit l équation (E): + ln( + ) = ln. (a) (E) admet le réel pour unique solution... D après concours Sciences Po 05 Soit l équation (E) 3e + = e. (a) (E) admet deu solutions réelles..3. Soit K = 7 ln(5) 3 ln(5) + ln ( 5 ). (a) On a K = 4ln (5)..4. Soit L = ln( e 7 ) + ln (e9 ) ln (e ). (a) On a L = eln +ln 3 eln 3 ln 4..5. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f() = (a) On a : lim f() = 0. + (b) On a : lim + f( ) = 0 (c) On a : lim + (f()) = 0 (d) On a : lim + f() = 0 +..6. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f() = + 3. 3
(a) lim f() = +. + f() =. (b) lim 0 + (c) f est croissante sur ]0 ; + [. (d) Pour tout 3, f () 0..7. Librement inspiré du BAC 04, Pondichéry Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g() = ln( + ). (a) Sur ] e ; + [ ; l équation g() = a une unique solution :. (b) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse est : + ln 4..8. Librement inspiré du BAC 03, Amérique du Nord + Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par f() = et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous : (a) On a : lim f() = 3. 0 (b) On a : f () = 3. (c) La courbe C admet deu points d intersection avec l ae des abscisses. (d) Le signe de f() est positif sur ]0 ; + [..9. Un classique d après concours FESIC 04 Soit la fonction f définie par f() = ln ( + + ) de courbe représentative C. 4
(a) L ensemble de définition de f est R. (b) f est croissante sur son ensemble de définition. (c) C admet une unique asymptote verticale. (d) Il eiste deu points de C ayant une tangente à C parallèle à la droite (Δ) d équation y = ln 7..0. Un autre classique d après concours FESIC 00 Soit la fonction f définie par f() = de courbe représentative C. ln( ) (a) L ensemble de définition de f est ]0 ; + [. (b) La courbe C admet une droite asymptote en +. (c) Pour tout de l ensemble de définition, on a : f() <. (d) Pour tout de l ensemble de définition, on a : f () = + ()... Une histoire de suites On considère la suite u définie par u 0 = 3 et, pour n N, u n+ = 3(u n ). On admettra que quel que soit n N, u n > 0. On considère alors la suite v définie par v n = ln( 3u n ). (a) La suite v est géométrique. (b) On a : v 0 = 5 ln 3. (c) Quel que soit n N, n k=0 v k = (ln 3) ( n )... Difficile un grand classique (a) On a lim n + ( + n )n = e. Indications : Penser à un changement du type = et étudier la fonction n f() = ln ( + ). III. Des QCM. A vous de choisir! Pour chaque question, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s). 3.. Le nombre (a) 0. (b) ln. (c) 3. 3 ln 6 ln est égal à : ln 4 ln (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 5
3.. ln 7 ln 3 ln ( 3) est : (a) nul. (b) négatif. (c) égal à ln 3. (d) positif. 3.3. Soit K = e. Alors, ln (K) est égal à : (a) /. (b) 3/. (c) 0. (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 3.4. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f() = ln( ). La dérivée de f définie par f () est égale à : (a) 4. (b) 4 +4. (c) 4 +4. (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 3.5. Soit f la fonction définie à la question 3.3. Alors, f( e) est égale à : (a) e. (b) (e ). (c) (e + ). (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 3.6. Soit f la fonction définie à la question 3.3. Alors, lim 0 f() est égale à : (a) 0. (b). (c). (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 3.7. Soit f la fonction définie à la question 3.3. Alors, l équation f() = 4 admet : 6
(a) aucune solution. (b) solution. (c) solutions. (d) 3 solutions. 3.8. D après concours Santé des Armées 03 On considère une fonction u définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note u sa fonction dérivée. On considère la fonction f définie pour tout I par f() = ln (u()). Si l on suppose que u est négative sur I, alors : (a) On ne peut pas déterminer le sens de variation de f. (b) f est croissante sur I. (c) f est décroissante sur I. (d) f est croissante puis décroissante sur I. 3.9. Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par f() =. Soit C la courbe représentative de la fonction f. C admet deu asymptotes qui ont pour équations : (a) y =. (b) y =. (c) = 0. (d) =. 3.0. Soit u et v deu suites numériques définies pour n N, par u n = ln(n+) et v n = sin n. ln (n+) (a) (u n ) est convergente. (b) (v n ) est convergente. (c) (u n ) est divergente. (d) (v n ) est divergente. 3.. Algorithmique d après concours Avenir 04 On considère l algorithme suivant : n+ 7
VARIABLES n et T SONT DES ENTIERS NATURELS 3 S ET L SONT DES REELS 4 DEBUT ALGORITHME 5 S PREND LA VALEUR 6 T PREND LA VALEUR 7 DEBUT TANT QUE 8 TANT QUE T n 9 S PREND LA VALEUR S + ln (T) 0 T PREND LA VALEUR T + FIN TANT QUE 3 L PREND LA VALEUR S AFFICHER L 3 FIN ALGORITHME La valeur de L affichée pour N = 3 est : (a) ln (5). (b) ln (6). (c) ln (7). (d) Aucune des 3 propositions précédentes. 8
IV. Corrigés.. Proposition vraie. En effet, on a pour > 0 : (E) ln ( (+) ) = 0 (+) = + = 0. Le discriminant de cette dernière équation est : Δ = 9 > 0. L équation admet deu solutions qui sont : = et =. La seule solution positive est donc... Proposition vraie. C est un classique! En posant X = e, on obtient l équivalence suivante : (E) 3X X + = 0. Le discriminant de cette dernière équation est : Δ = 0 > 0. L équation admet deu solutions qui sont : X = 30+6 et X 3 = 30+6. 3 Soit, comme X = e, (E) admet deu solutions : = ln ( 30+6 ) et = ln ( 30+6 )..3. Proposition vraie. On a, en calculant : K = 7 ln(5 3 ) 3 ln(5 ) ln(5) = ln(5) 6 ln(5) ln(5) = 4ln (5)..4. Proposition vraie. On a : d une part, ln( e 7 ) + ln(e9 ) ln (e ) = ln(e7 ) + 9 = 7 + 9 = 8 ; eln +ln 3 d autre part, = eln ( 3) = 6 e ln 3 ln 4 e ln3 3 = 8. 4 4 On a donc l égalité voulue..5. (a) Proposition vraie. C est eactement la limite de référence connue du cours. (b) Proposition vraie. Puisque : lim + f( ) = lim = lim = 0, d après + + (a). (c) Proposition vraie. Puisque : lim + (f()) = lim + ) = lim d après la limite de référence connue du cours (avec n = ). (d) Proposition vraie. Puisque : lim + f() = lim + (+) = lim = lim + + + + + + + lim = 0 + 0 0 = 0 car si X = +, alors + + + + lim = + + lim ln (X ) = lim X + X X + ln (X ) X (ln ln (X+) + = 0 + 0 = 0. X 3 + () = +.6. (a) Proposition vraie. En factorisant par, on obtient : lim f() = lim ( + 3 + + ) = + puisque par la limite de référence lim + = 0 et lim + 3 = 0. 3 = 0, 9
3 (b) Proposition fausse. On a, en fait, lim f() = + car lim = lim = +. 0 + 0 + 0 + (c) Proposition fausse. En effet, f () = 3. Et f () = 0 pour = 3 = 3 = α > 0 (l autre solution est négative). La dérivée change donc de signe, ainsi le sens de variation de f est décroissant sur ]0 ; α] puis croissant sur [α ; + [. (d) Proposition vraie. D après l étude précédente, le minimum de f est atteint en = α, et f (α) > 0. Ce qui justifie la proposition donnée..7. (a) Proposition fausse. Si = 0, alors g(0) = 0 et 0 = 0 donc 0 est aussi une solution de l équation g() =. (b) Proposition vraie. Par définition, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de g au point d abscisse est g ( ). On a : g () = ln( + ) + donc + g ( ) = ln + = ln + = ln 4 +..8. (a) Proposition fausse. On a, en fait : lim 0 f() = lim 0 + = lim 0 (b) Proposition vraie. Puisque l on a : f () = ( + ) = (par produit des limites). (+) 4 = 3 = 3. (c) Proposition fausse. En effet, on a : f() = 0 + = 0 = e. On a donc prouvé que la courbe C coupe l ae des abscisses en un unique point, le point de coordonnées (e ; 0). (d) Proposition fausse. Puisque graphiquement, on remarque que pour > e, f() > 0 et pour 0 < < e, f() < 0..9. (a) Proposition vraie. Il suffit de calculer le discriminant du polynôme du second degré : Δ = 4 = 3 < 0. D où, R, + + > 0. Donc, l ensemble de définition de f est bien R. (b) Proposition fausse. On a : f () = +. Le tableau de variation de f est donc le suivant : ++ f () 0 + + f f( ) Ce qui justifie le caractère fau de la proposition. (c) Proposition fausse. Il suffit de calculer les limites en ±. On a : lim f() = lim ln + + ( + + ) = + ; 0
lim f() = lim ( + + ) = lim ln ( ( + + )) = lim ln( ) + ln ( + + ) = +. (d) Proposition vraie. On se demande, ici, si il eiste deu solutions à l équation suivante (E) f () = ( est le coefficient directeur de la tangente). On a : (E) + = ++ = 0 ( ) = 0. (E) admet donc deu solutions S = {0; }. On conclut que les abscisses où se situent les tangentes parallèles à la droite (Δ) sont 0 et..0. (a) Proposition vraie. En effet, ln ( ) eiste pour > 0. (b) Proposition vraie. En calculant lim f() on obtient : lim f() = + + lim = 0. On en déduit que la droite d équation y = est asymptote en +. + ln( ) (c) Proposition fausse. En effet, si 0 < < e, f() = > 0 soit f() >. ln( ) (d) Proposition fausse. Puisque : f () = + = +. () ().. (a) Proposition vraie. On a : v n+ v n = ln ( 3 3u n ) = ln (( 3u n) ) = ln ( 3u n) =. ln ( 3u n ) ln ( 3u n ) ln ( 3u n ) La suite est donc géométrique de raison et de premier terme v 0 = ln( 3u 0 ) = ln ( 3 3 ) = ln ( ln 3 ) = ln( 3) = 3. (b) Proposition fausse. D après ce qui a été fait précédemment, on en déduit que : v n = v 0 n = ln 3 n. Soit : v 0 = ln 3 0 = 5 ln 3 (c) Proposition fausse. Comme la suite v est géométrique, on a la formule suivante : n k=0 v k = v 0 n+ = ln 3 n+ = ln 3 ( n )... Proposition vraie. En suivant les indications : posons = n, alors : lim ( + n + n )n = lim n + enln(+ n ) = lim e ln(+). 0 Soit f() = ln ( + ), alors on a : f () = +. ln(+) f() f(0) On constate que : lim = lim = f (0) =. 0 0 0
On a donc finalement : lim n + ( + n )n = e. 3 ln 6 ln 3.. La seule réponse eacte est la (c). En effet, on a : ln 4 ln 5 4 ln = ln ln = 3. 3.. Il y a deu réponses qui sont la (b) et la (c). En calculant, on a : ln 7 ln 3 ln( 3) = ln 33 ln 3 ln = 3 ln 3 ln 3 ln 3 = ln 3 ln 3 = ln 3. On remarque, de plus que ln 3 < 0. 3.3. La seule réponse eacte est la (d). 3.4. Il n y a qu une seule réponse qui est la (c). En effet : f () = 4 = 4 4 = 4 +4. 3.5. Il n y a qu une seule bonne réponse qui est la (a). Car : f( e) = ln(e) e = e. 3.6. La seule réponse eacte est la (c). Puisque, lim 0 =, la réponse est bien justifiée. 3.7. La seule réponse eacte est la (c). Revenons à la dérivée de la fonction f ; d après la réponse de la question 3.3, on a f () = 0 4 +4 = 0 4( + ) = 0 ( )( + ) = 0. On en déduit le tableau de variation de la fonction f : 0 + f () 0 + 0 4 4 f On constate d après le tableau de variation de f qu il y a deu maimums égau à 4 au points d abscisses et. Ce qui justifie bien la réponse choisie. 3.8. La seule réponse eacte est la (b). En effet, on a pour tout I : f () = u () u() < 0. 3.9. Il y a deu réponses eactes :
la (b) car : lim f() ( ) = lim + + lim + = 0, en utilisant la limite de référence ; la (c) car :lim f() = lim = lim ( + 0 0 0 + = lim + = + ) = +. 3.0. Il y a deu bonnes réponses : la (a) puisque en effectuant le changement de variable suivant N = n +, on ln (n+) obtient : lim n + n+ Soit lim u n = 0 ; n + = lim N + ln N sin n la (b) car on a : 0 ln(n+) lim sin n n + ln(n+) N = 0, en utilisant la limite de référence. ln (n+) = 0. Soit lim n + v n = 0. et lim n + ln (n+) = 0. On conclut que 3.. Il n y a qu une seule bonne réponse qui est la (d). Précisons pourquoi, en eplicitant le programme pour N = 3 : on a T =, donc S prend la valeur + ln () et T prend la valeur + = ; on a T =, donc S prend la valeur + ln () et T prend la valeur + = 3 ; on a T = 3, donc S prend la valeur + ln (3) et T prend la valeur 3 + = 4 ; fin du Tant que. On en déduit que L = + ln(3) = ln (3). 3