Nom : Prénom : Classe : Date : Observations : Signature : L emploi des calculatrices n est pas autorisé. Le sujet doit être traité directement sur le polycopié. Partie numérique : 20 points Exercice 1 : Calculer A : A = 8 + 3 4 1 + 2 1,5 = Pour calculer A, un élève à tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : 8 + 3 4 1 + 2 1,5 Obtient-il le bon résultat? Justifier.. Exercice 2 : Trois points A, B et C d une droite graduée ont respectivement 1 4 ; 1 3 et 5 12 pour abscisse. Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée? Justifier. 1
Exercice 3 : On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) soustraire 5 à ce nombre b) multiplier le résultat par (-3) c) ajouter 14 Ecrire le résultat. Montrer que si le nombre choisi est 2 alors le résultat obtenu est 23 Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est 17 3. Exercice 4 : Calculer les expressions suivantes : B = 7 3-6 3 15 4.. C = 1 + 3 4-3 2 D = 5 6 5 9-3 2. E = 10 [ - 2 (2 (-3)) + 5 ] F = 3-2 3 4 3 7 2
Problème 1 : Classe de Quatrième Le chat Lilou occupe 1 12 de son temps à jouer, 3 de son temps à chasser et dort pendant le 8 reste du temps. a) Pendant quelle fraction de la journée Lilou dort-il? b) Pendant combien d heures par jour Lilou chasse-t-il?.. Problème 2 : 2 5 des 30 élèves de 4 A sont des filles et 3 des 20 élèves de 4 B sont des filles. 5 Calculer la proportion de filles dans le groupe constitué des deux classes réunies. 3
Partie géométrique : 20 points Exercice 1 : a) Construire : Un carré ABCD de centre O et de côté 3 cm ; Le point F, symétrique de O par rapport à C ; Le point G tel que OBCG soit un parallélogramme. b) Déterminer la valeur exacte de DB... c) Démontrer que les points O, F et G sont équidistants d un même point que l on précisera. 4
d) En déduire la nature du triangle OFG?.. Exercice 2 : a) Démontrer que les droites (CE) et (AF) sont parallèles............. b) En déduire la nature de AFC....... 5
...... c) On donne FC = 3 et AF = 4. Déterminer AC................. d) En déduire le rayon du cercle circonscrit au triangle AFC............... 6
Partie numérique : 20 points Exercice 1 : (2 points) Calculer A : A = 8 + 3 4 1 + 2 1,5 = 8+12 1+3 = 20 4 = 5 Pour calculer A, un élève à tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous : 8 + 3 4 1 + 2 1,5 Obtient-il le bon résultat? Justifier. Non? il n obtient pas le bon résultat. Le résultat qu il obtient correspond au calcul suivant : 8 + 3 4 :1 + 2 1,5 = 8 + 12 + 3 = 23 Il fallait utiliser des parenthèses pour séparer numérateur et dénominateur. Exercice 2 : (3 points) Trois points A, B et C d une droite graduée ont respectivement 1 4 ; 1 3 et 5 pour abscisse. 12 Ces trois points sont-ils régulièrement espacés sur la droite graduée? Justifier. Placer sur une droite graduée, les points A, B, C sont placés dans cet ordre car 1 4 < 1 3 < 5 12. AB = 1 3 1 4 = 4 12 3 12 = 4 3 12 = 1 12 BC = 5 12 1 3 = 5 12-4 12 = 1 12 AB = BC donc les points A, B et C sont bien régulièrement espacés sur la droite graduée. 7
Exercice 3 : (3 points) On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) soustraire 5 à ce nombre b) multiplier le résultat par (-3) c) ajouter 14 Ecrire le résultat. Montrer que si le nombre choisi est 2 alors le résultat obtenu est 23 a) 2 5 = -3 b) -3 (-3) = 9 c) 9 + 14 = 23 Si le nombre choisi est 2 alors le résultat obtenu est bien 23. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est 17 3 a) b) 17 3 5 = 17 3 15 3 = 2 3 2 (-3) = -2 3 c) -2 + 14 = 12 Si le nombre choisi est 17 3 alors le résultat obtenu est 12. 8
Exercice 4 : (6 points) Calculer les expressions suivantes : B = 7 3-6 3 15 4 B = 7 3-2 3 5 3 3 2 2 B = 7 3-15 2 B = B = 7 2-3 15 3 2 14 45 6 B = - 31 6 C = 1 + 3 4-3 2 C = 4 4 + 3 4 6 4 C = 4 + 3 6 4 C = 1 4 D = 5 6 5 9-3 2 D = 5 6 9 5 3 2 D = 3 2-3 2 E = 10 [ - 2 (2 (-3)) + 5 ] E = 10 (-2 (-6) + 5) E = 10 (12 + 5) E = 10 17 E = -7 F = F = 3-2 3 4 3 7 9 3 2 3 28 3 D = 0 F = 7 3 3 28 = 1 4 9
CORRECTION Problème 1 : (3 points) Le chat Lilou occupe 1 12 de son temps à jouer, 3 de son temps à chasser et dort pendant le 8 reste du temps. a) Pendant quelle fraction de la journée Lilou dort-il? 1 1 12 3 8 = 24 24 2 24 9 24 = 24 2 9 = 13 24 24 Lilou dort pendant une fraction représentant 13 de son temps. 24 b) Pendant combien d heures par jour Lilou chasse-t-il? 1 journée représente 24 heures. Lilou chasse pendant : 3 24 = 9 heures. 8 Problème 2 : (3 points) 2 5 des 30 élèves de 4 A sont des filles et 3 des 20 élèves de 4 B sont des filles. 5 Calculer la proportion de filles dans le groupe constitué des deux classes réunies. Le nombre de filles des deux classes est : 2 5 30 + 3 20 = 12 + 12 = 24. 5 La proportion de filles dans le groupe constitué des deux classes réunies est : 24 30+20 = 24 50 = 12 (soit 48%). 25 10
CORRECTION Partie géométrique : 20 points Exercice 1 : (10 points) a) Construire : Un carré ABCD de centre O et de côté 3 cm ; Le point F, symétrique de O par rapport à C ; Le point G tel que OBCG soit un parallélogramme. b) Déterminer la valeur exacte de DB. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en A : BD² = AD² + AB² BD² = 3² + 3² = 18 Donc BD = 18 cm c) Démontrer que les points O, F et G sont équidistants d un même point que l on précisera. Donnée : OBCG est un parallélogramme. Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur. Conclusion : OB = CG (et OG = BC) Donnée : ABCD est un carré. Propriété : Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Conclusion : AC = BD et par suite OC = OB 11
CORRECTION D autre part, C est le milieu de [OF], donc OC = CF. On a donc GC = CF = OC. Donc les points O, F et G sont équidistants du point C. d) En déduire la nature du triangle OFG? Le triangle OFG est donc inscrit dans le cercle de diamètre [OF]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse. Donc le triangle OFG est rectangle en G. Exercice 2 : (10 points) a) Démontrer que les droites (CE) et (AF) sont parallèles. Les angles correspondants a CAF et a DCE sont déterminés par les droites (AF) et (CE) et par la sécante (AC). Ces angles étant de même mesure alors les droites (AF) et (CE) sont parallèles. b) En déduire la nature de AFC. Données : Les droites (AF) et (CE) sont parallèles. Les droites (CE) et (FC) sont perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Conclusion : Les droites (AF) et (FC) sont perpendiculaires. Le triangle AFC est donc rectangle en F. 12
CORRECTION c) On donne FC = 3 et AF = 4. Déterminer AC. Le triangle AFC étant rectangle en F, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AC² = AF² + FC² AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² Donc AC = 5 d) En déduire le rayon du cercle circonscrit au triangle AFC. Donnée : le triangle AFC est rectangle en F. Propriété : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse et dont le centre est le milieu de l hypoténuse. Conclusion : Le centre du cercle circonscrit au triangle AFC est le milieu de [AC]. On en déduit que le rayon du cercle circonscrit au triangle AFC est AC 2 = 5 2 = 2,5. 13