SUITES NUMERIQUES Chapitre 4 Suites numériques Première Ce cours contient TOUT ce qu il y a à savoir sur les suites en première.
I. DEFINITION 1. d une suite Une suite est une application mathématique qui transforme un entier naturel noté n en un unique réel noté U #. Cette transformation peut se schématiser ainsi : n U n Vocabulaire n est appelé indice de la suite. Attention à toujours veiller qu il s agisse bien d un entier naturel. U # est le (n + 1) è,- terme de la suite si n = 0 a un sens. La suite est notée : (U # ). Remarquez bien l utilisation des parenthèses pour parler de la suite. Si les parenthèses sont absentes, on parle tu terme, si les parenthèses sont présentes, alors on parle de la suite. Nous venons de voir qu une suite opère une transformation, voyons maintenant, comment cette transformation est opérée. 2. explicite d une suite Soit n un entier naturel. Soit (U # ) une suite. On dit que U # est définie de manière explicite si et seulement si U # dépend directement et seulement de l indice n. Ainsi la seule donnée dont on a besoin pour calculer U # est n. Cela signifie qu il existe une fonction f telle que : U n = f(n) Soit n un entier naturel. On pose U # = n 2 + 2n + 2. Dès lors on a : U 4 = 0 2 + 2 0 + 2 = 2 U 6 = 1 2 + 2 1 + 2 = 5 U 2 = 2 2 + 2 2 + 2 = 10 On peut sans problème calculer le 11 ème terme : U 64 = 10 2 + 2 10 + 2 = 122 Page 1
3. par récurrence d une suite Soit n un entier naturel. Soit (U # ) une suite. On dit que (U # ) est une suite définie par récurrence si et seulement si le terme U #;6 dépend du terme précédent U #. Dans ce cas, on est obligé de préciser un terme de la suite, en général on précise le premier terme U 4. Cela signifie qu il existe une fonction f telle que : U n;1 = f(u n ) : Soit n un entier naturel. On pose U #;6 = 2U #. Dès lors, on a : U 4 = 1 U 6 = 2 U 4 = 2 1 = 2 U 2 = 2 U 6 = 2 2 = 4 Contrairement à la formule explicite, on ne peut pas calculer directement U 64. En effet, nous avons besoin du terme précédent, ici en l occurrence U =. II. VARIATIONS D UNE SUITE Soit (U # ) # N une suite. On dit que la suite (U # ) est croissante si et seulement si : n N, U n;1 U n On dit que la suite (U # ) est décroissante si et seulement si : n N, U n;1 U n Pour étudier les variations d une suite, il existe trois méthodes à choisir judicieusement en fonction du problème que vous devez résoudre. Méthode 1 Vous calculez la différence : U #;6 U # pour un certain n non déterminé. S en suit alors deux cas : Si U #;6 U # 0 alors la suite est croissante Si U #;6 U # 0 alors la suite est décroissante. Page 2
Remarque Si les inégalités sont strictes, cela veut dire que la suite est strictement croissante respectivement décroissante. Méthode 2 Suites numériques Pour un certain entier naturel n non déterminé, si la suite est définie de manière explicite, c est-à-dire que U # = f n, alors on pose la fonction x f(x) puis on étudie les variations de f sur 0; +. Alors les variations de f seront les mêmes que celles de la suite (U # ). Soit n N, on pose la suite U # = 6 #. On construit la fonction x f x = 6 K. f est définie et dérivable sur 0: + donc on a : f M x = 1 x² Or, x R f M x < 0 On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur R. On conclut ainsi que la suite U # est également strictement décroissante. Méthode 3 On utilise cette méthode lorsque les deux précédentes n ont pas fonctionné a priori. Pour un certain entier naturel n, supposons que U # > 0. Alors si : R STU > 1 alors (U R # ) est croissante. S R STU < 1 alors (U # ) est décroissante. R S Remarque La méthode 3 a pour conséquence directe la définition d une suite croissante ou décroissante. III. REPRESENTATION GRAPHIQUE D UNE SUITE 1. Suite définie explicitement Soit n N, on pose U # = f(n) une suite explicite. Pour représenter la suite U # graphiquement dans un repère, on construit seulement les points M # de coordonnées n; U # sans les relier. On obtient ainsi un nuage de points représentant la suite. Soit la suite U # définie sur N par : U # = n 2. Alors sa représentation graphique est : Page 3
2. Suite définie par récurrence Soit n N, on pose U #;6 = f(u # ) une suite récursive. Pour tracer la représentation graphique d une telle suite, il faut d abord tracer la droite d équation y = x (appelée couramment la première bissectrice d un repère) ainsi que la courbe représentative de la fonction f qui permet de passer de U # à U #;6 ; on obtient alors : Ensuite, sur l axe des abscisses, on place le premier terme U 4 (en général) : Puis grâce à la courbe représentative de la fonction f on trouve U 6 en construisant l image de U 4 : Là, on remarque que U 4 et U 6 ne se trouvent pas sur le même axe, on ne peut donc les comparer dans la situation actuelle. C est la raison pour laquelle on va reporter U 6 sur l axe des abscisses grâce à la droite d équation y = x : Pour trouver U 2, U X etc, on reproduit les mêmes opérations que nous venons d effectuer, alors on obtient : Page 4
IV. LIMITES Remarque Il faut savoir que la ite d une suite se calcule uniquement en +, c est-à-dire lorsque n +. 1. Limite égale à + Soit n N, on dit que U# = + si et seulement si : M R, n 0 N, tel que n > n 0, U n > M Cela signifie que vous pouvez choisir un nombre réel M aussi grand que vous voulez, la suite U # finira toujours par dépasser M et rester supérieure à M. Soit n N, on pose U # = n². Soit M R, on résout alors l inéquation U # > M : U # > M n 2 > M n est positif donc on a : n > M Il faut ici remarquer que M est forcément positif en vertu de la définition. Ainsi nous venons de voir que pour M aussi grand que l on veut, à partir de M, U # devient plus grand que M en d autres termes : U# = + Page 5
2. Limite égale à Soit n N, on dit que U# = si et seulement si : m R, n 0 N tel que n > n 0, U n < m On peut donc choisir un réel m aussi petit que l on veut, au bout d un certain rang n 4, la suite (U # ) sera et restera plus petite que m. Soit n N, on pose la suite suivante : U # = 2n + 3. On veut démontrer que U# =. Pour cela on résout l inéquation suivante : soit m R U # < m 2n + 3 < m 2n < m 3 n > m 3 2 En effet, nous voyons bien que même si on choisit une valeur extrêmement petite pour m, au bout d un certain rang, U # < m. En d autres termes, U# =. 3. Limite finie Soit n N, on dit que U# = l, où l R si et seulement si : ε R ;, n 0 N tel que n > n 0, U n l ε; l + ε Démontrons à l aide de cette définition que la suite U # = 6 tend vers 0 en +. Pour cela il va falloir # vérifier qu à partir d un certain rang, toute la suite U # est comprise dans l intervalle l ε; l + ε. Soit ε > 0 Vérifions d abord que U # > l ε = 0 ε = ε : Ici, l = 0 car on veut démontrer que la suite U # tend vers 0. Donc l ε = ε. Or ε < 0 car ε > 0 par définition. De plus 6 # > 0 : trivial. Donc 6 # > 0 > ε. Page 6
Montrons maintenant que U # < l + ε = ε car l = 0 à partir d un certain rang : 6 # < ε n > 6 j Ainsi nous voyons clairement qu à partir de 6 j, U # < ε On conclut finalement que U# = 0 4. Limites usuelles à connaître Soit n N, il faut connaître tous les résultats suivants (très intuitifs, inutile de faire du par cœur) qui peuvent être utilisé en contrôle ou au baccalauréat sans justification, la mention «on sait que» suffira : n = + n2 = + n = + 6 # = 0 6 # p = 0 6 # = 0 Pour tout entier naturel k non nul on a : nr = + Pour tout entier naturel k non nul on a : 6 # s = 0 5. Convergence et divergence d une suite Soit n N, on dit qu une suite (U # ) est convergente si et seulement si sa ite est finie c est-à-dire : n ;^ Un = l R On dit que le suite (U # ) diverge si et seulement si sa ite est infinie : n ;^ Un = ± 1. SUITE MAJOREE, MINOREE ET BORNEE Soit n N, on dit qu une suite (U # ) est majorée si et seulement si : M R TEL QUE n N, U # M On dit qu une suite (U # ) est minorée si et seulement si : Page 7
m R TEL QUE n N, U # m On dit qu une suite (U # ) est bornée si et seulement si : M R ET m R TEL QUE n N, m U # M Remarque Une suite est bornée si elle est majorée et minorée. V. SUITES ARITHMETIQUES 1. explicite Soit (U # ) une suite définie sur l ensemble des entiers naturels. On dit que (U # ) est une suite arithmétique si et seulement si : n N, U n = U 0 + nr Remarque Si au lieu d avoir U 4, on a U u où p est un entier naturel, alors : la formule devient : n N, U n = U p + (n p)r 2. par récurrence On remarque qu une suite est arithmétique si et seulement si ses termes successifs sont toujours séparés par la même raison r. Ceci se traduit par la formule suivante : U n;1 = U n + r U 0 précisé ou un autre terme Vocabulaire U 4 est le premier terme de la suite r est la raison de la suite. 3. Variations Une suite (U n ) arithmétique est strictement croissante si et seulement si r > 0 Une suite (U n ) arithmétique est strictement décroissante si et seulement si r < 0 Page 8
Une suite (U n ) arithmétique est strictement constante si et seulement si r = 0 et cette constante vaut U 0 4. Limites Soit (U # ) une suite arithmétique définie sur l ensemble des entiers naturels n ;^ Un = + n ;^ Un = n ;^ Un = U 0 r > 0 r < 0 r = 0 5. Somme des termes d une suite arithmétique Soit n N, soit (U # ) une suite arithmétique. Alors il existe une formule pour calculer la somme de ses termes consécutifs. n iƒ0 U i = U 0 + U 1 + U 2 + + U n (premier terme + dernier terme) = nombre de termes 2 VI. SUITES GEOMETRIQUES Pour l ensemble de cette partie, on désigne par (V # ) # N une suite géométrique définie sur l ensemble des entiers naturels dont le premier terme est V 4 et la raison est q 1. explicite (V # ) est géométrique si et seulement si : n N, V n = V 0 q n Remarque Si au lieu d avoir V 4, on a V u, alors on a : n p n N, V n = V p q 2. de récurrence Page 9
(V # ) est géométrique si et seulement si : n N, V n;1 = q V n V 0 est précisé ou un autre terme 3. Variations V 4 > 0 et q > 1 V # strictement croissante. V 4 < 0 et 0 < q < 1 V # strictement croissante. V 4 > 0 et 0 < q < 1 V # strictement décroissante. V 4 < 0 et q > 1 V # strictement décroissante. V 4 = 0 V # strictement constante et égale à 0. q = 1 V # strictement constante et égale à V 4. 4. Limites V 4 > 0 et q > 1 V# = + V 4 < 0 et q > 1 V# = 1 < q < 1 V# = 0 q < 1 V# n existe pas. En d autres termes la suite n a pas de ite. 5. Sommes des termes d une suite géométrique n iƒ0 V i = V 0 + V 1 + V 2 + + V n = premier terme 1 qnombres de termes 1 q Page 10