Terminales S 2017 / 18 spécialité maths 1) s, exemples On appelle matrice d ordre n p ou (n ; p) un tableau de nombres réels possédant n lignes et p colonnes. On note la matrice A sous la forme (a ij ) où 1  i  n et 1  j  p et a ij est le coefficient situé sur la i-ème ligne et j-ème colonne. A = 2 4 3-1 5 1 0 2 est une matrice d ordre. et 4 =. tandis que 5 =. et que 0 =. Cas particuliers Une matrice d ordre est appelée matrice - ligne d ordre p. Par exemple, ( 0 1-6 5 4 ) est une matrice - ligne d ordre 5. Une matrice d ordre. est appelée matrice - colonne d ordre n. Par exemple, 5-1 est une matrice - colonne d ordre 3. 2 Une matrice d ordre n n est appelée matrice d ordre n. Par exemple, -1 0 3 1 est une matrice carrée d ordre 2. On appelle diagonale d une matrice carrée d ordre n, l ensemble des termes. (où 1  i  n) joignant le coin en haut à gauche du coin en bas à droite. Si tous les autres termes sont nuls, la matrice carrée est dite diagonale. Par exemple, 4 0 0 0-5 0 0 0 2 est une matrice diagonale d ordre 3. Si de plus les termes de la diagonale sont tous égaux à 1, la matrice est appelée identité d ordre n et notée I n. Par exemple, I 4 = est la matrice identité d ordre 4. Remarque Deux matrices de mêmes ordres sont dites égales si leurs coefficients situés aux mêmes places sont deux à deux égaux. Par exemple, x 2 3 2 1 = 4 3 2 1 si et seulement si x =.. Page 1
2) Opérations sur les matrices a) Transposition La transposée d une matrice A d ordre n p est la matrice d ordre p n, notée t A, dont les lignes sont les colonnes de A (ou dont les colonnes sont les lignes de A). Si A = (a ij ) alors t A = (t ij ) où t ij = A = 4-1 2 5 d ordre 3 2, et t A = 1 6 d ordre b) Produit par une constante réelle Le produit d une matrice A d ordre n p par un réel k est la matrice d ordre n p, notée ka, obtenue en multipliant tous les coefficients de A par k. Si A = (a ij ) alors ka = (s ij ) où s ij = Si A = 1-3 5 4 2 3 3-2, alors 3A = c) Addition La somme de deux matrices A et B de même ordre n p, est la matrice d ordre n p, notée A+B, dont les coefficients sont tous égaux aux sommes des coefficients de A et B qui se correspondent. Si A = (a ij ) et B = (b ij ) alors A+B = (c ij ) où c ij = Si A = 1 3 5 7 9 1 et B = 0 2 4 6 8 3, alors A+B = Page 2
Remarques La matrice «soustraction» A B est définie par A + ( 1)B et correspond donc bien à la soustraction de chaque coefficient de B au coefficient de A qui lui correspond. Les formules de calcul algébrique habituelles restent vraies pour le calcul matriciel : Si A, B et C sont des matrices de mêmes dimensions, et k, k deux réels, alors : A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) k(a+b) = ka+kb (k+k )A = ka+k A k(k A) = (kk )A d) Multiplication Si L est une matrice ligne d ordre n et C une matrice colonne d ordre n, alors le produit de L par C, noté LC, est le nombre obtenu en multipliant les coefficients correspondants de L et C puis en faisant la somme des produits : l 1 l 2 l 3 l n et C = Si L = ( ) ( ) 5 1-3 2 Remarques 4 6-1 3 = c 1 c 2 c 3 c n alors LC = On ne peut multiplier une ligne par une colonne que s ils possèdent le même nombre de coefficients. Soit A une matrice d ordre n p et B une matrice d ordre p m. Alors la matrice produit, notée AB, est une matrice d ordre n m. On la définit de la façon suivante : Le coefficient de la matrice AB situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j, est le produit de la ème i ligne de A par la ème j colonne de B. Page 3
1 1 5 3 2 8 0 7 4 5 5 3 2 3 1 5 6 0 2 7 Remarques On ne peut multiplier A par B que si A possède autant de que B n a de Si A = (a ij ) avec 1  i  n et 1  j  p et si B = (b jk ) avec 1  j  p et 1  k  m, alors AB = (d ik ) avec 1  i  n et 1  k  m et d ik = Là aussi, la plupart des formules habituelles restent vraies : A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC Attention Si A = 2 1 4 7 et B = D autre part si A = -1 1 3-2 4-4 2-2 alors AB = et BA = et B = 3 1 3 1 alors AB = AB n est en général pas égal à BA! Le produit matriciel n est pas commutatif. AB peut être nul sans quel A ni B ne le soient. Page 4
e) Matrice identité Contexte Dans l addition possède un élément neutre : 0. En effet, pour tout réel x, on a : 0+x = x+0 = x. De plus tout réel possède un élément symétrique pour l addition appelé «opposé», noté «-x» et qui vérifie : x+(-x) = (-x)+x = 0. Dans la multiplication possède un élément neutre : En effet, pour tout réel x, on a : De plus tout réel non nul possède un élément symétrique pour la multiplication appelé « et qui vérifie :», noté Observation Considérons 2 I = 1 0 0 1 et une matrice carrée d ordre 2 quelconque A = a b c d. A I 2 = et I 2 A = La matrice identité I n d ordre n est l unique matrice carrée d ordre n telle que pour toute matrice A carrée d ordre n on ait : A I n = I n A = A On dit que I n est l élément neutre pour le produit matriciel. 3) Utilisation des matrices a) Matrice inverse Toute matrice carrée ne possède pas d élément symétrique par rapport au produit matriciel. Quand c est le cas, la matrice A est dite inversible et son symétrique est noté A -1. Soit A une matrice carrée d ordre n. On dit que A est inversible s il existe une matrice carrée d ordre n notée A -1 telle que l on ait : A A -1 = A -1 A = I n Cas particulier n = 2 a b c d d - b - c a = et d - b - c a a b c d = Page 5
Si on note δ = ad bc alors a b c d On en déduit le : d - b - c a = d - b - c a a b c d = Théorème Soit A = a b c d une matrice carrée d ordre 2. Soit δ = ad bc le déterminant de la matrice A (que l on note parfois det(a)). Alors la matrice A est inversible si et seulement si δ 0, et dans ce cas on a alors : A -1 =. s Si A = 4 3 6 5 alors Si A = 7-2 -1,75 0,5 alors b) Système d équations Principe a 11x 1 +a 12x 2 + +a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n =b 2 Tout système de n équations à n inconnues s écrit sous la forme AX = B. où A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2... a nn d ordre n des inconnues, et B = a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a nn x n =b n est la matrice carrée d ordre n des coefficients du système, X = b 1 b 2 b n la matrice colonne d ordre n des seconds membres. x 1 x 2 x n la matrice colonne Alors le système admet une solution unique si et seulement si A est inversible et la solution est alors X = A -1 B. 2x 3y=1 ñ AX = B avec A = X = et B = -4x+5y=2 Or det(a) = donc A est inversible et X = A -1 B = donc la solution du système est le couple Page 6
c) Puissances de matrices Soit A une matrice carrée. On pose : A 0 = I n ; Pour tout entier n à 0 : A n+1 = A n A = A A n. A = 2 0 0 3. Calculons les premières puissances de A : A 0 = A 1 = A 2 = A 3 = Montrons par récurrence que pour tout entier n à 0 on a : A n = Théorème (admis) Toute puissance n d une matrice diagonale est une matrice diagonale. Autrement si A est une matrice carrée diagonale, alors pour tout entier naturel n, A n est une matrice carrée diagonale. Page 7