Seconde DS de Mathématiques 6 février 9 H EXERCICE I ( poiuts ) NOM : Soit I le milieu d un segment [AB] et M un point n appartenant pas à (AB). Montrer que MA + MB = MI EXERCICE II ( poiuts ) ABCD est un parallélogramme de centre O, et I le milieu de [AD] et J le milieu de [BC]. ( On placera O, I et J sur la figure ). Ecrire plus simplement les vecteurs suivants ( en utilisant uniquement les points de la figure ) On pourra, pour cette question, répondre directement sur l énoncé : AB+ AD =.. JD + JB =.. AB+ CD =.. AC AD =.. DB+ JC =.. OA OB OC OD + + + =.. AO+ BO =.. AB DB+ DC =... Montrer que, pour tout point M quelconque, on a : MA MB + MC MD =. Placer les points E et F tels que : BE = BA et FC+ FD =. 4. Quelle conjecture peut-on faire concernant les points O, E et F? ( On ne demande pas de preuve ) 5. Placer les points G et H tels que : OG = OB et HA+ HB = CB 6. Démontrer que GA+ GB+ GC =.
EXERCICE III ( poiuts ) Soit f la fonction affine telle que f() = et f() =. Déterminer l'expression de f en fonction de x.. Tracer la courbe représentative de la fonction f. EXERCICE IV ( 5 poiuts ) Le coût total de fabrication de x milliers d articles est donné par Cx ( ) = 45x+ (où ( ) est exprimé en milliers d euros) avec x ;5. Cx ] ] La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal. Milliers d euros 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 5 Articles ( x ) On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 6. La recette exprimée en milliers d euros que l entreprise obtient pour la vente de x milliers d articles est donc R( x) = 6x. ) Tracer dans le repère ci-dessus la courbe représentative de la fonction recette. ) Quel est en milliers d euros, le montant du bénéfice lorsque l entreprise produit et vend milliers d articles? ) Est-il intéressant pour l entreprise de fabriquer et vendre 4 articles? 4) On note B( x) le bénéfice lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. Le bénéfice que réalise l entreprise est égal à la différence entre la recette et le coût total de fabrication. a. Donner l expression de ( ) x ;5. B x en fonction de x avec ] ] b. Etudier le signe de ( ) B x. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
EXERCICE I ( poiuts ) MA + MB = MI + IA + MI + IB ( relation de Chasles ) = MI+ IA+ IB MI EXERCICE II ( poiuts ) = + car I milieu d un segment [AB] donc MA + MB CORRIGE = MI ABCD est un parallélogramme de centre O, et I le milieu de [AD] et J le milieu de [BC].. Ecrire plus simplement les vecteurs suivants AB+ AD = AC.. JD + JB = JD+ DI = JI.. AB+ CD = DB+ JC =.. AC AD = DB+ BJ = DJ OA+ OB+ OC+ OD = AC+ DA= DC.... AO+ BO = AD.. AB DB+ DC = AB+ BD+ DC = AC... MA MB + MC MD = MA+ BM+ MC+ DM = BM+ MA+ DM+ MC = BA+ DC = BA+ AB = En effet, DC = AB car ABCD parallélogramme donc, pour tout point M quelconque, on a : MA MB + MC MD =. BE = BA FC+ FD = FC+ FC+ CD = ( relation de Chasles ) FC+ CD = FC = DC FC = DC CF = 4. On conjecture que les points O, E et F sont alignés. CD
5. OG = OB HA+ HB= CB HA+ ( HA+ AB ) = CB HA+ HA+ AB = CB HA+ AB = CB HA= BA + CB HA= BA + CB AH= AB + BC 6. GA+ GB+ GC = GO+ OA+ GO+ OB+ GO+ OC = GO+ OA+ OB+ OC = GO + + OB car OA+ OC = ( O milieu des diagonales ) = BO + OB car OG = OB = BO + OB = donc GA+ GB+ GC =. EXERCICE III ( poiuts ) Soit f la fonction affine telle que f() = et f() =. f est une fonction affine donc on peut écrire : f (x) = a x + b f() = donc a + b = f() = donc a + b = a+ b= Nous obtenons donc le système suivant : a+ b= Lorsqu on soustrait les équations ( càd () () ), on obtient a. a+ b = a = a = a = a+ b = a+ b = b = a+ b = 5 ainsi f (x) = - x + 5 Autre méthode : On sait que la courbe représentative d une fonction affine est une droite. Cherchons l équation réduite de la droite passant par A ( ; ) et B ( ; ) : xa xb donc la droite (AB) n est pas «verticale». Par conséquent, elle admet une équation du type : y = ax+ b. yb ya a = = = = x x B A A(; ) (AB) donc ya = axa + b, donc = ( ) + b donc b = 5 Une équation de la droite (AB) est donc y = x+ 5 ainsi f (x) = - x + 5. Courbe représentative de la fonction f :
EXERCICE IV ( 5 poiuts ) Le coût total de fabrication de x milliers d articles est donné par Cx ( ) = 45x+ (où ( ) est exprimé en milliers d euros) avec x ;5. Cx ] ] La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal. 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 5 On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 6. La recette exprimée en milliers d euros que l entreprise obtient pour la vente de x milliers d articles est donc R( x) = 6x. ) R est une fonction affine linéaire. La courbe est donc une droite passant par O et par A (, 6 ) ) Le coût est C() = 66 milliers d euros ; La recette est R() = 7 milliers d euros. Le bénéfice est donc B = 7 66 soit B = 6 milliers d euros pour milliers d articles vendus ) Le coût serait C(4) = milliers d euros ; La recette est R(4) = 4 milliers d euros. On aurait donc un déficit de 6 milliers d euros ( B = 4 = -6 ) Il n est donc pas intéressant pour l entreprise de fabriquer et vendre 4 articles On note B( x) le bénéfice lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. Le bénéfice que réalise l entreprise est égal à la différence entre la recette et le coût total de fabrication. a. Bx ( ) = Rx ( ) Cx ( ) = 6 x (45x+ ) ; Bx ( ) = 5x b. Etudions le signe de B( x ) ( de la forme ax + b ). x 8 5 Bx ( ) + Signe de a B( x) = 5x = 5x = x = 5 x = 8 Il faut donc produire entre 8 et 5 milliers d articles pour réaliser un bénéfice (positif).