Exercices de Mathématiques 2 nde Pour préparer la rentrée en 1 ère S
Fonctions : Image, antécédent et sens de variation Exercice 1 On considère la fonction f définie par : f : x x 2 6x + 2. La fonction g est définie par la représentation graphique ci- dessus. Exercice 3 Compléter les tableaux de signes des produits ou quotients suivants : 1. Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. Déterminer les images des nombres suivants par la fonction f : a) 2 b) 0 c) 3 3. Déterminer l ensemble des antécédents pour chacun des nombres suivants par la fonction f : a) 2 b) 0 c) 3 4. Construire le tableau de variations la fonction f 5. Quel est le maximum de f? En quelle valeur est-il 6. Quel est le minimum de f? En quelle valeur est-il Fonctions : Résolution d équations et inéquations, tableaux de signes Exercice 4 On considère la fonction f définie sur R par la relation : f(x) = Exercice 2 Dans le plan muni d un repère ( O ; I ; J), on considère les deux courbes C f et C g représentatives respectivement des fonctions f et g définies sur [ 6 ; 6 ] 1. Graphiquement, déterminer l ensemble des solutions de l inéquation f(x)>0. 2. a. Montrer que : f(x) = (x + 2)(x 1)² b. Dresser le tableau de signes de la fonction f sur R. c. En déduire l ensemble des solutions de l inéquation f(x)>0 1. Résoudre, graphiquement, l équation g(x) = f (x) 2. Résoudre, graphiquement, l inéquation g(x) f (x) Exercice 5 Résoudre les inéquations suivantes (en s aidant d un tableau de signes : a) (x + 4)(1 2x) 0 b) ( )( ) > 0
Fonctions carré, inverse, polynômes de degré 2, et homographiques Exercice 6 Soit la fonction f définie sur par f(x) = 2x² + 4x + 6. 1. Calculer les images de 1 et 2. a) Démontrer que pour tout réel x, f(x) = 2 (x 1)² + 8 b) En déduire le tableau de variations de la fonction f c) Quel est le maximum de f? En quelle valeur est-il 3. a) Compléter le tableau suivant et construire la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ 2 ; 4 ] dans un repère orthogonal (O, I, J) ayant pour unités graphiques 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 f(x) x 1,5 2 2,5 3 3,5 4 f(x) b) Résoudre graphiquement f(x) 0 Exercice 9 Voici trois expressions d une même fonction f représentée par une parabole P f(x) = 2 ( x + )² + f(x) = 2(x )(x + 2) f (x) = 2 x² 3 x + 2 1. Vérifier que ces expressions sont égales 2. Choisir la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes : a) En quel point, P coupe-t-elle l axe des abscisses? b) En quel point, P coupe-t-elle l axe des abscisses? c) Quel est le sens de variations de f? d) Quel est le maximum de f? En quelle valeur est-il Exercice 10 Un jardin a une forme carrée ayant pour dimension 20m de longueur et 15m de largeur. Deux allées de largeur x mètres partagent transversalement ce jardin ; du gazon sera planté sur le reste du jardin. Une clôture doit être posée autour du gazon : elle est représentée en pointillées sur la représentation. Exercice 7 Soit x un nombre réel. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple. a) Si x > 2 alors x² > 4 b) Si x² > 4 alors x > 2 c) Si 1 < x < 2 alors 1 <x² < 4 d) Si > alors x < 2 Exercice 8 Soit la fonction f définie sur par f(x) = 2x² + 2x + 1 1. a) Déterminer les antécédents de 1 b) En déduire l axe de symétrie de Cf. Justifier. 2. Dresser le tableau de variation de f 3. En déduire le maximum de f. En quelle valeur est-il 4. Sans calcul, comparer : a) f( ) et f( ) b) f( ) et f( ) 1. Indiquer quelles valeurs peut prendre la variable x. 2. 2. a) Déterminer en fonction de x l aire totale des deux allées. b) Déterminer en fonction de x l aire du gazon de ce jardin. 3. a) Vérifier l égalité : 2x² 70x + 300 = 2(x 5)(x 30) b) L architecte chargé de la réalisation de ce jardin décide de choisir la largeur de l allée afin que les aires des allées et du jardin soient égales. En déduire la largeur des allées réalisant les dessins de l architecte.
Exercice 11 ABCD est un carré de 5 cm de côté. Le point M appartient au segment [BC] et le point N au segment [CD] tels que BM = DN. P est le point tel que MCNP soit un carré. Le polygone AMPN est une «flèche» Exercice 14 On considère les fonctions f et g dont les images d un nombre x sont définies par : f(x) = g(x) = Dans le repère (O ; I ; J) ci-dessous, sont données les courbes représentatives des fonctions f et g : Soit x la mesure en cm de BM = DN 1. Exprimer en fonction de x les aires du carré CNPM et des triangles ABM et AND ( en cm²) 2. En déduire que l aire A(x) de la flèche est donnée par : A (x) = x ² + 5x pour x [ 0 ; 5] 3. Montrer que A (x) = (x ) ² + 4. a) Déterminer le sens de variation de la fonction A et dresser son tableau de variation b) Les figures 1,2 et 3 correspondent à x = 1,4 ; x = 2,9 et x = 4,3. Classer ces flèches par ordre croissant de leurs aires. 5. Déterminer où placer le point M pour que la flèche ait pour aire 5,25 cm² 1. a) Justifier que la fonction f est définie sur. b) Déterminer l image du nombre par la fonction f. c) Déterminer les antécédents du nombre 2 par la fonction f 2. a) Donner l ensemble de définition de la fonction g. b) Déterminer par la fonction g l ensemble des antécédents de 1. 3. Déterminer les coordonnées des points d intersection des courbes Cf et Cg. Exercice 12 1. a) Résoudre (x+4)² > 25. b) En utilisant la calculatrice, interpréter graphiquement les résultats 2. a) Résoudre (x+4)² > (2x 3)². b) En utilisant la calculatrice, interpréter graphiquement les résultats Exercice 15 Résoudre ces inéquations en procédant de la façon suivante : 1. Déterminer la (les) valeur(s) interdite(s) 2. Se ramener à une inéquation dont le second membre est nul. 3. Mettre au même dénominateur l autre membre. 4. Dresser un tableau de signe. 5. En déduire l ensemble des solutions de l inéquation (en prenant soin d exclure les valeurs interdites). Exercice 13 On considère les deux fonctions f et g définies par : f(x) = x² ; g(x) = 2x 1 1. A l aide de votre calculatrice, donner les abscisses des points d intersections des deux courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g. 2. a) Retrouver le résultat de la question précédente en résolvant l équation : x² = 2x 1 b) Déterminer les coordonnées des points d intersection des courbes Cf et Cg. a) 2 3x + 1 3x + 1 5 b) 2 c) 3x + 1 6 5x 5 2x 3
Fonctions affines et équations de droite Exercice 16 On considère les trois fonctions affines ci-dessous : f(x) = 1,5 x + 1 ; g(x) = x + 2 ; h(x) = 3 1. Compléter les tableaux de valeurs ci-dessous : Statistiques Exercice 19 Selon le dernier recensement de l'insee, voici la répartition de la population féminine de plus de 20 ans. 1. a) Calculer la moyenne, la médiane, le premier et troisième quartile de cette série statistique. b) Donner une interprétation de la médiane et des quartiles. 2. Utiliser les tableaux de valeurs précédents pour tracer les courbes représentatives de ces trois fonctions. 2. Une chaine de magasin de vêtements réalise une étude auprès d'un échantillon de 1 000 personnes de sa clientèle féminine. Parmi les clientes de plus de 20 ans, il y a 30 % de femmes de plus de 50 ans. a) Déterminer la proportion p de femmes de plus de 50 ans dans la population recensée. b) Déterminer, à près, les bornes de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. c) Pensez-vous que le choix d'articles proposés par cette chaine de vêtements est bien adapté a une clientèle de femmes de plus de 50 ans? Justifier votre réponse. Exercice 17 Dans un repère (O ; I ; J) orthogonal, on représente les cinq droites ci-dessous. Les vecteurs Exercice 20 La figure ci-contre est constituée d hexagones réguliers tous identiques : Déterminer graphiquement les équations de chacune des droites. Remplissez les pointillés en détaillant, si possible, vos calculs Exercice 18 Déterminer, algébriquement, l équation de la droite (Δ) passant par les points A(1 ; 5) et B (5 ; 8)
Exercice 21 On considère les trois points A, B et C présentés dans le quadrillage ci-dessous : Exercice 23 Dans un repère, B 14,, C 0, 3 et D 31, O, i, j, on considère les points A 20, a) Placer les points A, B, C et D. b) Démontrer que ABDC est un parallélogramme. c) Quelles sont les coordonnées du point d intersection de ses diagonales. Exercice 24 Dans un repère, on considère les points 2 1 B 34,, C 52,. A,, Calculer les coordonnées du point M tel que : 2MA MB MC 0 1. a) Placer le point M vérifiant la relation vectorielle : = 2 b) Placer le point N vérifiant la relation vectorielle : = + 2 2. a) Démontrer, à l aide du calcul vectoriel, que = 3 b) Que peut-on en déduire pour les droites (MN) et (AB)? Exercice 22 Sur une droite graduée, on place les points A, B, C, D, E : Exercice 25 ABC est un triangle non aplati. I est le milieu de AB, L et K sont les points définis par 3 les relations : BL BC et AK 3AC. 5 1. Faire une figure 2. On se place dans le repère (A ; ; ) a) Donner les coordonnées des points A ; B ; C ; I ; K b) Calculer les coordonnées de L c) Montrer que les points I, L et K sont alignés. Pour chaque question, déterminer la valeur du nombre k vérifiant l égalité :