Polnômes de degré I) Fonctions polnômes de degré : a) rappels : définition : Une fonction polnôme de degré est une fonction f définie sur par : f() = a + b + c où a, b, c sont des nombres réels donnés avec a a, b, c sont les coefficients de f E : La fonction f définie par f () = 5 + 3 6 est une fonction polnôme de degré. Ses coefficients sont a = 5; b = 3 et c = 6 La fonction f définie par f () = ( 5)( + ) est une fonction trinôme du second degré. En effet, ( 5)( + ) = + 5 1 = 3 1. Ses coefficients sont a = 1; b = 3 et c = 1. La fonction f définie par f () = 5 est une fonction trinôme du second degré. Ses coefficients sont a = 1; b = et c = 5. b) forme canonique : f est appelée également une fonction trinôme du second degré ou parfois même tout simplement trinôme du second degré attention, ( ) n'est pas un trinôme du second degré. ( ) = 4 + 4 = 4 + 4. Il s'agit d'un polnôme du premier degré!. (a n'est pas différent de ). propriété : Tout trinôme du second degré f() = a + b + c (a ) peut s'écrire sous la forme f() = a( ) +. Cette forme est appelée forme canonique de f ou forme canonique du trinôme. et sont deu lettres grecques se lisant respectivement "alpha" et "bêta". Les mathématiciens utilisent souvent ces lettres! E : f() = 3 1 + 13 = 3( ) + 1 forme canonique avec = et = 1 démonstration f() = a + b + c = a + b a + c or, + b a est le début du développement de j'ai mis a en facteur (possible car a ) + b donc f() = a + b b + c = a + b ab + c = a + b b + c = a + b b + c + = a( ) + avec = b et = b + c pensons au identités remarquables! + b b ( ) = b c = + b + ( ) = + b a + b 1
c) variations - courbe représentative : variations : propriété : Soit une fonction polnôme de degré définie f() = a + b + c (a ) Le sens de variation de f est donné par les tableau de variations : si a > b + ( ) f b si a < b + ( ) f b courbe représentative : Dans un repère du plan, la courbe représentative d'une fonction polnôme f de degré telle que f () = a + b + c est une parabole. Le point S est appelé le sommet de la parabole. La parabole est smétrique par rapport à la droite d'équation = b a > a < ( b ) S ( b ) S b b quand a est positif, la parabole a la forme d'un U. Son sommet est le minimum de la fonction quand a est négatif, la parabole a la forme d'un U inversé. Son sommet est le maimum de la fonction
II) Equations du second degré : équation du second degré définition : une équation du second degré d'inconnue est une équation du tpe a + b + c = où a, b, c sont trois nombres réels avec a. Une solution de l'équation est appelée racine du trinôme a + b + c l' aspect de la parabole de la fonction trinôme permet de conjecturer le nombre de solutions! u() = n'a pas de solution. La courbe et l'ae des n'ont aucun point commun. La fonction trinôme v a deu racines ( 3 et 1). La courbe coupe l'ae des en deu points distincts. L' équation w() = n'a aucune solution. La courbe et l'ae des n'ont aucun point commun. u() = ( 1) + v() = + 3 t() = a une racine unique (3). La courbe et l'ae des ont un point d'intersection unique. w() = 3 4 t() = ( 3) résoudre une équation du second degré définition : Soit f une fonction polnôme de degré telle que f() = a + b + c (a ) La forme canonique de f est a( ) + avec = b et = b c Le nombre b c est appelé discriminant du trinôme a + b + c. On le note. cette lettre grecque se lit "delta"! propriété : Soit f une fonction polnôme de degré telle que f() = a + b + c (a ) Le nombre de solutions de l'équation a + b + c = dépend du signe de si >, l'équation a + b + c = a deu solutions distinctes 1 = b et = b + si =, le trinôme a une seule racine = b. on dit que est une racine double du trinôme! si <, l'équation a + b + c = n' a pas de solution. 3
démonstration Soit f une fonction polnôme de degré telle que f() = a + b + c La forme canonique de f est a( ) + avec = b et = b c = On a donc f() = a + b = a + b si <, est positif donc f() est le produit de deu facteurs différents de. L'équation f() = n'a pas de solution. si =, f() = a + b + b =. donc, sachant que a, l'équation f() = équivaut à : L'équation f() = a une unique solution = b. cette forme est également appelée "forme canonique" (la forme canonique peut donc s'eprimer de deu façons!) si >, est positif = et f() = a + b = a + b = a + b + b + = a + b + b + donc, sachant que a, l'équation f() = équivaut à : + b = ou + b + = L'équation f() = a deu solutions 1 = b + et = b. factorisation du trinôme : De la démonstration précédente, on peut déduire une factorisation de f() si : si >, f() = a( 1 ) ( ) si =, f() = a( ) voici la raison pour laquelle on parlait dans la propriété précédente de racine double du trinôme! 4
E : Résolvons l'équation : + 3 5 = Le trinôme est du tpe a + b + c = avec a = b = 3 c = 5 = b c = 3 4 ( 5) = 9 + 4 = 49 = 7 > donc l'équation a deu solutions distinctes : 1 = b + = 3 + 7 4 = 4 4 = 1 et = b = 3 7 4 une forme factorisée du trinôme + 3 5 est donnée par ( 1) ( + 5 ) Résolvons l'équation : 3 + 1 3 = = b c = ( ) 4 3 1 3 = 4 4 = = donc l'équation a une unique solution = b = 3 = 1 3 une forme factorisée du trinôme 3 + 1 3 = est donnée par 3 1 3 = 1 4 = 5 Résolvons l'équation : + 3 = = b c = ( ) 4 1 3 = 4 1 = 8 < donc l'équation n'a pas de solution. III) Signe du trinôme : On peut conjecturer le signe du trinôme d'après l'allure de sa courbe représentative. Les courbes représentatives de u et w n'ont aucun point avec l'ae des. Les trinômes u() et w() ne changent pas de signe. Pour tout appartenant à, u() > et w() < La courbe correspond à une fonction trinôme aant racines distinctes : 3 et 1. Le trinôme v() change de signe. Si [-3 ; 1] alors v() Si ] ; 3[ ]1 ; +[ alors v() > u() = ( 1) + v() = + 3 La fonction t a un seul point commun avec l'ae des. Si est différent de la racine unique, le trinôme t() a toujours le même signe (t( ) = ). Pour tout appartenant à, t() w() = 3 4 t() = ( 3) 5
propriété : Soit f une fonction polnôme de degré telle que f() = a + b + c (a ) Si < alors f() est du signe de a Si = alors f() est du signe de a si et seulement si b (si = b, f() = ) Si > alors f a deu racines distinctes 1 et telles que 1 <. f() est du signe contraire de a si et seulement si ] 1 ; [ f() est du signe de a si et seulement si ] ; 1 [ ] ; +[ (si = 1 ou = alors f() = ) démonstration Soit f une fonction polnôme de degré telle que f() = a + b + c (a ) Reprenons la forme canonique f() = a + b Si <, + b est strictement positif donc a + b est du signe de a. Par suite, pour tout appartenant à, f() est du signe de a. Pour tout différent de b, + b est strictement po- Si =, f() = a + b sitif. Par suite, pour tout appartenant à et différent de b, f() est du signe de a. Si >, f a deu racines distinctes 1 et. On peut écrire f() sous la forme factorisée suivante : f() = a( 1 )( ) Dressons un tableau de signes pour étudier le signe de f() : a signe de a signe de a signe de a ( 1 ) + + ( ) + a( 1 )( ) signe de a signe de ( a) signe de a Par suite, si si 1 + ] 1 ; [, f() est du signe de a ] ; 1 [ ] ; +[, f() est du signe contraire de a si = 1 ou = ; f() = En conclusion, le trinôme a + b + c est toujours du signe de a sauf pour les valeurs de comprises entre les racines dans le cas où >! 6
E : Résolvons l'inéquation 5 Calculons : = ( 5) 4 ( ) ( ) = 9 = 5 16 > donc l'équation 5 = a deu solutions distinctes 1 = 5 + 9 ( ) = 5 + 3 4 = et = 5 3 4 = 4 = 1 1 entre les racines, le trinôme est positif! Donc, le trinôme est positif (du signe de a) pour tout appartenant à ] ; 1 [ Par suite, l'ensemble S des solutions de l'inéquation est S = [ ; 1 ] 1 courbe représentative de la fonction trinôme f telle que f() = 5 7