RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 1 Calculs d impédances Déterminer l impédance complexe Z des montages ci-dessous. En déduire Z le rapport de l amplitude de la tension sur l amplitude de l intensité et ϕ = arg(z) l avance de phase de u par rapport à i. Réponses : (a) Z = R 2 + 1 C 2 ω 2 ; ϕ = arctan 1 RCω. (c) Z = R 2 + ( ( ) Lω 1 2 Lω 1 ) Cω ; ϕ = arctan Cω. R ( ) 4 + R 2 C 2 ω 2 RCω (d) Z = R 1 + R 2 C 2 ω ; ϕ = arctan arctan RCω. 2 2 (e) Z = 1 R2 C 2 ω 2 + 3jRCω jcω(1 + jrcω) on peut aussi écrire Z = R 3 + j ( RCω 1 RCω 1 + jrcω (b) Z = R 2 + L 2 ω 2 ; ϕ = arctan Lω R ; Z = 1 (1 R2 C 2 ω 2 ) 2 + 9R 2 C 2 ω 2 ; Cω ) 1 + R 2 C 2 ω 2 d où ϕ = arctan ( RCω 1 RCω 3 ) arctan RCω. 1 + jrcω LCω2 R 2 + L 2 ω 2 (f) Y = ; Z = R + jlω (1 LCω 2 ) 2 + R 2 C 2 ω ; ( 2 ) R + jlω Lω on peut écrire Z = jcω ( d où ϕ = arctan π R + j(lω 1 )) R 2 arctan 1 ( Lω 1 ). R Cω Cω 1
2 Nature de dipôles inconnus On désire identifier trois associations (en série ou en parallèle) de deux dipôles choisis parmi les dipôles suivants : une bobine idéale, un condensateur et un résistor. Les dipôles obtenus sont notés D 1, D 2 et D 3. En régime stationnaire, la mesure des résistances donne respectivement : R 1 = R 2 = 50 Ω et R 3 =. En régime sinusoïdal permanent on observe que : i) quelle que soit la fréquence f, la tension u 1 aux bornes de D 1 est en avance de phase sur l intensité i 1 du courant qui le parcourt ; en revanche pour D 2, u 2 est en retard sur i 2 ii) aux basses fréquences, la tension u 3 aux bornes de D 3 est en retard sur i 3 ; aux hautes fréquences c est l inverse. Déterminer la nature de chaque association et les dipôles qui la constituent. 3 Circuit déphaseur Soit le circuit de la figure ci-contre, en régime sinusoïdal forcé. On pose V A V B = u = U m cos(ωt + ϕ). a) Déterminer U m et ϕ. b) Quel est l intérêt de ce montage? c) Le signal e(t) est représenté ci-dessous. Tracer u(t) sur le même graphe. On donne RC = 1, 0.10 4 s. 2
4 Détermination expérimentale d un dipôle inconnu. Dans le montage ci-contre, le GBF délivre une tension sinusoïdale e(t) de fréquence f, R est une résistance connue (R = 100 Ω) et D un dipôle inconnu. On visualise à l oscilloscope v(t) et u(t). Les calibres sont identiques sur les deux voies : 2V/div et 1ms/div. 1) Sachant que le GBF et l oscilloscope utilisés sont tous les deux munis de prises de terre, quel problème expérimental devra-t-on résoudre pour visualiser simultanément v(t) et u(t)? 2) Déterminer les amplitudes V et U des signaux visualisés, ainsi que la fréquence f du GBF. 3) On pose u(t) = U cos ωt et v = V cos(ωt + ϕ). Déterminer le signe et la valeur ϕ. La tension v est-elle en retard ou en avance de phase sur u? 4) On note Z = X+jY l impédance du dipôle D. Déterminer à partir des résultats précédents les valeurs de X et de Y. 5) Par quel dipôle peut-on modéliser D? Donner ses caractéristiques. 3
5 Étude de l impédance d un quartz piezoélectrique. Le schéma électrique simplifié d un quartz est donné sur la figure ci-dessous. On néglige toute résistance. On donne L = 500 mh, C S = 0, 08 pf et C p = 8 pf. 1.a. Calculer l impédance complexe du quartz vue entre les bornes A et B et la mettre sous la forme : ( ) 1 ω2 j ωr Z AB = 2 αω 1 ω2 ωa 2 où j 2 = 1 et α, ω r et ω a sont à déterminer. Montrer également que ω 2 a > ω 2 r. 1.b. Calculer les valeurs numériques des fréquences f a et f r correspondant aux pulsations ω a et ω r. 2.a. Étudier le comportement inductif (partie imaginaire positive) ou capacitif (partie imaginaire négative) du quartz en fonction de la fréquence. Représenter l argument de Z AB en fonction de ω. 2.b. Tracer l allure de Z AB = Z AB, module de l impédance complexe du quartz, en fonction de ω. 4
6 Exploitation d une courbe de résonance en intensité Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale, idéale, de fem e(t) = E cos(ωt), avec E = 2, 5 V. La figure ci-dessous représente la courbe de résonance en intensité obtenue expérimentalement avec I m l amplitude de l intensité du courant. En exploitant cette courbe, déterminer les valeurs de la résistance R, de la capacité C et de l inductance L utilisées. 5
7 Exploitation d une courbe de résonance en charge Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale, idéale, de fem e(t) = E cos(ωt). On note u c (t) = U Cm cos(ωt + ϕ) la tension aux bornes du condensateur. On donne ci-dessous les courbes U Cm et ϕ en fonction de la fréquence f = ω/(2π). 1. En exploitant ces courbes, déterminer les valeurs de l amplitude E de la source de tension sinusoïdale, de la fréquence propre f 0 = ω 0 /(2π) du circuit et de son facteur de qualité Q. 2. L amplitude maximale du courant dans ce circuit est I max = 0, 2 ma. En déduire les valeurs de la résistance R, de la capacité C et de l inductance L utilisées. 6