Exercices Éléments caractéristiques d'un vecteur 1 Parmi les vecteurs ci-contre, citer les vecteurs qui sont : a) de même direction et de même sens ; b) de même direction et de sens opposés ; c) de même norme ; d) égaux ; e) opposés. 2 Soit A et B des points distincts. 1. Écrire de deux façons le vecteur nul, en utilisant les points A et B. 2. Écrire de deux façons le vecteur opposé du vecteur AB, en utilisant les points A et B. 3 Sur la figure suivante, construire les vecteurs u et v avec A pour origine. 4 Dans un jeu de tir à la corde, deux adversaires s'affrontent. Compléter la figure en représentant la force F 2 la force F 1 exercée par l'autre. exercée par l'un des deux adversaires pour compenser 5 ABCD est un carré et AEFB est un parallélogramme. 1. Citer, en justifiant, deux vecteurs égaux à AB. 2. En déduire que DC= EF.
Somme de deux vecteurs et produit d'un vecteur par un nombre réel 6 Représenter sur chacune des figures suivantes le vecteur u+ v. a) b) 7 Représenter sur chacune des figures suivantes le vecteur u+ v. a) b) 8 Soit A, B et C trois points distincts. 1. Réaliser une figure. 2. a) En utilisant le point C, écrire le vecteur AB sous la forme d'une somme de deux vecteurs. b) De façon analogue, écrire chacun des vecteurs BC et CA sous la forme d'une somme de deux vecteurs. 9 1. Reproduire la figure suivante sur quadrillage. 2. Représenter la somme u+ v avec trois points A, B et C tels que AB= u et BC= v. 3. représenter u, v et u+ v avec la même origine P. 10 1. Reproduire la figure suivante sur quadrillage. 2. Représenter la somme u+ v avec trois points A, B et C tels que AB= u et BC= v. 3. Sur la même figure, représenter la somme ( u+ v)+ w, à partir du vecteur u+ v précédemment tracé et du point D tel que CD= w.
11 1. Reproduire la figure suivante sur quadrillage. 2. Représenter la somme u+ v avec trois points A, B et C tels que AB= u et BC= v. 3. a) Sur la même figure, représenter le vecteur w avec C comme origine. b) Quel est le vecteur ( u+ v)+ w? 12 Soit A et B deux points tels que le segment [AB] mesure 4 cm. Placer A, B et les points C et D tels que AC= 3 4 AB et AD= 2 AB. 13 1. Reproduire la figure suivante sur quadrillage. 2. Représenter les vecteurs 5 u, 2 3 v et 2 w, avec la même origine P. Coordonnées Pour les exercices 14 à 19, le plan est rapporté à un repère (O, i, j). 14 Lire sur la figure les coordonnées de chacun des vecteurs OA, OB et OC. 15 Lire sur la figure les coordonnées de chacun des vecteurs u, v, w, i et j.
16 Soit A(2 ; 1). Représenter les vecteurs u( 2;3) et v(3; 2) : a) avec O pour origine ; b) avec A pour origine. (Prendre le repère (O, i, j) orthonormal, avec 1 cm pour unité graphique.) 17 Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées des vecteurs u+ v, v, 3 u, 2 v, 3 u+2 v. a) u (1; 1) et v(3; 4) ; b) u( 3;0,5) et v( 4,5; 0,5). 18 Le repère (O, i, j) est orthonormal. Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du vecteur AB, puis la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,01 près de sa norme. a) A(1 ; 3) et B(3 ; 4) ; b) A(0 ; -3) et B(-2 ; 2) ; c) A(0,5 ; 0,5) et B(1,5 ; -3). 19 Le repère (O, i, j) est orthonormal. On donne les points A(-7 ; 0), B(-1 ; 4), C(4 ; -3) et D(3,5 ; -1). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB, CD, 2 AB, DC et 2 AB+ DC. 2. Calculer la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,01 près des normes des vecteurs CD, 2 AB, DC et 2 AB+ DC. Vecteurs, parallélogrammes, milieux 20 1. a) Tracer le triangle ABC. b) Placer les points D, E et F tels que AD= BC, AE= CD et AF= DE. 2. Nommer, en justifiant, trois parallélogrammes définis à partir de ces six points. Pour les exercices 21 à 25, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j), avec 1 cm pour unité graphique. 21 1. Placer les points A(-2,5 ; 1), B(-1 ; 3), C(1 ; 2) et D(-0,5 ; 0). 2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 22 1. Placer les points Q(0 ; 1), R(-1 ; 3), S(1,5 ; 4) et T(2,4 ; 2). 2. Le quadrilatère QRST est-il un parallélogramme? 23 Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées du milieu I du segment [AB]. a) A(5 ; -3) et B(-3 ; 3) ; b) A(-1 ; -3) et B(-2 ; 1) ; c) A(0,5 ; -0,5) et B(2,5 ; -1). 24 On considère les points A(1 ; 0,5), B(2 ; 1,5) et M(1,5 ; 1). Montrer que le point M est le milieu du segment [AB]. 25 1. Placer les points A(4 ; -2), B(3 ; 1), C(1 ; -3) et I(2 ; -1). 2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC, où O est l'origine du repère. 3. Montrer que le point I est le milieu de chacun des segments [OA] et [BC].
Vecteurs colinéaires 26 Parmi les vecteurs suivants, citer toutes les paires de vecteurs colinéaires. 27 Compléter chacune des égalités, sachant que les vecteurs considérés sont colinéaires. v=... u ; w=... u ; t=... w ; u=... t. 28 Une bille d'acier tombant dans un fluide avec une vitesse v est soumise de la part de ce fluide à une force f, dite de frottement, telle que f = 1 6 v. 1. Complétez la figure en représentant le vecteur f. 2. Indiquer pourquoi les vecteurs f et v sont colinéaires. 29 ABCD est un parallélogramme et E est le point tel que AE=3 AD. 1. Indiquer deux droites parallèles qui permettent de déduire que BC et AE sont colinéaires. 2. Déterminer le réel k tel que AE=k BC. Pour les exercices 30 à 35, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j), avec 1 cm pour unité graphique. 30 Dans chacun des cas suivants, indiquer si les vecteurs u et v sont colinéaires. Si oui, calculer le réel k tel que v=k u. a) u(3; 2) et v( 1,5; 1) ; b) u(2;5) et v(0,8 ; 2). 31 On donne les points A(2 ; 5), B(3 ; -3), C(1 ; -4) et D(-1 ; 4). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD. 2. Les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires?
32 1. Placer les points A(0 ; 2), B(-5 ; -3) et C(4 ; 6). 2. Montrer que les points A, B et C sont alignés. 3. Calculer le réel k tel que AC=k AB. 33 1. Placer les points A(1 ; 3,5), B(-2 ; 2) et C(-0,5 ; 2,8). 2. Les points A, B et C sont-ils alignés? 34 1. Placer les points A(1 ; -1), B(-1 ; -7), C(2 ; 6,5) et D(0,5 ; 2). 2. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 3. Calculer le réel k tel que CD=k AB. 35 1. Placer les points A(3 ; 0), B(6 ; -1) et C(2 ; -0,75). 2. les droites (AB) et (CO) sont-elles parallèles? (O est l'origine du repère.) Problèmes 36 Un alpiniste descend en rappel. Il est soumis à l'action de trois forces : - son poids P ; - la force F exercée par la corde ; - la réaction R de la paroi, appliquée au niveau des pointes de pieds en contact avec elle. Ces trois forces sont telles que le vecteur R est l'opposé de la somme P+ F. Reproduire le schéma précédent et représenter la réaction R exercée par la paroi. 37 Sur la figure suivante, ABCD est un parallélogramme et I est le milieu du segment [AC]. 1. a) Écrire BI en fonction de BA et AI. b) Écrire ID en fonction de IC et CD. 2. a) Nommer un vecteur égal à AI. b) Nommer un vecteur égal à BA. 3. a) Déduire des questions précédentes que BI= ID. b) Conclure que I est le milieu du segment [BD].