Taux d'évolution, cours de Terminale STG F.Gaudon 7 novembre 2007 Table des matières Évolutions 2 2 Évolutions successives 3 2. Taux global............................ 3 2.2 Taux moyen............................ 4 2.2. Moyenne géométrique................... 4 2.2.2 Application au calcul de taux moyens.......... 5 3 Indices de base 5 4 Approximations de taux faibles 6
Évolutions Si une quantité évolue à partir d'une valeur de départ d'un taux t (augmentation si t > 0, diminution si t < 0), alors la valeur nale y 2 est : y 2 = ( + t) + t est appelé le coecient multiplicateur associé à la hausse ou à la baisse. y multiplication par +t multiplication par /(+t) y2 Le coecient multiplicateur permettant de passer de y 2 à est +t. Le taux d'évolution associé est et est appelé taux réciproque. y 2 = ( + t) = y 2 + t = + t y 2 +t Le prix du gasoil a augmenté de 20% en un an. Son prix actuel est de,07e par litre., 07 ( + 20 ) 0, 89. Il y a un an le litre de gasoil valait 0,89e. 2
Propriété : Si une quantité varie d'une valeur initiale à une valeur nale y 2 alors le taux d'évolution est : t = y 2 Preuve y 2 = ( + t) y 2 = + t y 2 = t t = y 2 L'indice CAC40 de la bourse de Paris est passé de 5327 points à 4784 points. 4784 5327 5327 0, 2. L'indice a donc baissé de 0,2%. Dans l'exemple précédent, le coecient multiplicateur est 4784 0, 898. Le 5327 coecient multiplicateur réciproque est 5327, 4 d'où un taux 4784 réciproque de 0,4 soit,4% ce qui signie qu'une augmentation de 4784 points à 5327 points aurait été de,4%, pas de 0,2%. 2 Évolutions successives 2. Taux global 3
Si une quantité subit n évolutions successives (augmentations ou diminutions) de taux t, t 2,..., t n à partir d'une valeur initiale, alors la quantité nale est : y 2 = ( + t )( + t 2 )... ( + t n ) ( + t )( + t 2 )... ( + t n ) est le coecient multiplicateur global. ( + t )( + t 2 )... ( + t n ) est le taux global. La population d'une ville augmente de 2,3% en un an puis diminue de 3,4% les deux années suivantes. ( + 2, 3 3, 4 )( )2 0, 9546 Le coecient multiplicateur global est 0,9546 soit un taux global d'évolution de 0, 9546 = 0, 0453 soit une baisse de 4,53% (remarque : ce n'est pas la somme des taux successifs : 2, 3 3, 4 3, 4 = 4, 5). 2.2 Taux moyen Pour dénir le taux moyen, nous avons tout d'abord besoin d'une nouvelle dénition mathématique. 2.2. Moyenne géométrique Pour tout a réel strictement positif et pour tout entier naturel n non nul, l'équation x n = a admet une unique solution appelée racine n-ième de a et notée n a ou a n. voir chapitre sur les exposants non entiers. Si un réel x vérie x 3 = 8 alors x = 2 on a donc 3 8 = 2. Si un nombre x vérie x 4 = 54 alors x = 4 54 2, 7. Dénition : 4
On appelle moyenne géométrique et n nombres a, a 2,..., a n strictement positifs, le nombre n a a 2... a n = (a a 2... a n ) n. 2.2.2 Application au calcul de taux moyens Si une quantité subit n évolutions successives de taux t, t 2,..., t n, on appelle alors coecient multiplicateur moyen le nombre (( + t )( + t 2 )... ( + t n )) n et taux moyen le taux qui lui est associé, c'est à dire le nombre (( + t )( + t 2 )... ( + t n )) n Un prix initial de e subit une augmentation de 2 % puis une baisse de 30 %. ( + 2 30 )(A ) = 0, 74 0, 8450. En outre, 0, 8450 = 0, 550 soit 5,5 % de baisse annuelle en moyenne. 3 Indices de base Dénition : On appelle indice i de base d'une quantité y 2 quantité y 2, le nombre : i = y 2 par rapport à une On suit l'évolution du prix d'un produit : il valait 6 e en 2006 et vaut 8,2 e en 2007. On a 8,2 = 3, 75. L'indice du prix en 2007 par 6 rapport à 2006 est donc 3,75. 5
Propriété : Soit t le taux d'évolution d'une quantité à une quantité y 2. On suppose que l'on connaît l'indice i de y 2 par rapport à. Alors t = i On a i = y 2 par dénition donc y 2 dénition. Par conséquent, = i. D'autre part, t = y 2 par t = y 2 = y 2 = i On prend pour référence de l'indice des prix des produits manufacturés l'année 2004. Si l'indice en 2005 vaut 05,3 alors le taux d'augmentation a été de 5,3 %. Si entre 2004 et 2006, les prix ont augmenté de 9,7 % alors l'indice des prix en 2006 est 09,7 %. 4 Approximations de taux faibles Propriété : Pour t proche de 0, ( + t) 2 + 2t. Deux évolutions successives pour un taux t voisin de 0 reviennent donc approximativement à une évolution de taux 2t. Pour t proche de 0, +t t. Le taux réciproque d'une évolution pour un taux t voisin de 0 est donc approximativement de t. Pour t proche de 0, ( + t) n + nt pour tout entier naturel n. 6
Un prix subit une augmentation de 0,2 %. Les prix après augmentation est alors de 70 e. On a 70 ( + 0,2 ) 69, 86027 ou 70 69, 86027 + 0,2 mais 70 ( 0,2 ) = 69, 86. Il y a donc une diérence mais compte tenu de la situation elle est négligeable. Par contre, si l'augmentation est de 2 %, on a 70 68, 63 mais + 0,2 70 ( 2 ) 68, 60. La diérence n'est plus négligeable. 7