Chapitre 9 Parallélogrammes I. Le parallélogramme et ses propriétés A. Définition Définition 1 : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. B. Propriété fondamentale Propriété 1 : Un parallélogramme admet un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Vocabulaire : Dans un parallélogramme ABCD, le point d'intersection de diagonales, (AC) et (BD), s'appelle centre du parallélogramme, O. Remarque : Par la symétrie de centre O, le point C est le symétrique du point A, et le point D est le symétrique du point B. C. Propriétés D 1. Propriété des diagonales d un parallélogramme : Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leurs milieux. Démonstration : C est le symétrique de A par rapport à O D est le symétrique de B par rapport à O On applique la définition des points symétriques par rapport à un point On conclut que : OA = OC et OB = OD. A O C B 2. Propriété de la longueur des côtés opposés d un parallélogramme : Les côtés opposés d un parallélogramme ont la même longueur. Démonstration (on démontre seulement pour deux côtés) : C est le symétrique de A par rapport à O D est le symétrique de B par rapport à O Donc le symétrique du segment [AB] par rapport à O est le segment [CD] On applique que la symétrie centrale conserve les longueurs On conclut que : AB = CD. 3. Propriété des angles opposés d un parallélogramme : Les angles opposés d'un parallélogramme sont de même mesure. Démonstration (on démontre seulement pour deux angles opposés : et ) : David Prieto Colmenarejo 1
C est le symétrique de A par rapport à O D est le symétrique de B par rapport à O Alors, par rapport à O, le symétrique de la demi-droite [AB) est la demi-droite [CD) et le symétrique de la demi-droite [AD) est la demi-droite [CB) Donc le symétrique de par rapport à O est On applique que la symétrie centrale conserve les mesures des angles On conclut que : =. 4. Propriété des angles consécutifs d un parallélogramme : Deux angles consécutifs d un parallélogramme sont supplémentaires. Démonstration (on démontre seulement pour deux angles consécutifs : et ) : E (AB) (AD) // (BC) L'angle et l'angle sont correspondants On applique la propriété directe des angles correspondants On conclut que = et donc et sont supplémentaires ( + = + = 180º). David Prieto Colmenarejo 2
II. Construction de parallélogrammes A. Connaissant les longueurs de deux côtés et celle d'une diagonale 1. Si on connait la longueur de la diagonale qui forme un triangle avec les deux côtés connus, il suffit de tracer le triangle et compléter le parallélogramme en utilisant la définition (côtés opposés parallèles) ou la propriété 2 de la mesure des côtés opposés d un parallélogramme (reporter les mesures au compas). Exemple : construire le parallélogramme ABCD tel que BC = 5 cm, DC = 11 cm et BD = 9 cm. 2. Si on connait la diagonale qui n'a qu'une extrémité commune aux côtés, il faut utiliser la propriété 2 pour obtenir la longueur de l'un des côtés opposés et suivre la procédure décrite en 1. Exemple : construire le parallélogramme EFGH tel que EF = 6 cm, FG = 7 cm et FH = 9 cm. Puisque EF = GH, on peut le construire en utilisant la méthode 1, avec GH = 6 cm, FG = 7 cm et FH = 9 cm. Exercices : 2 page 232 et 53 page 237. B. Connaissant les longueurs de deux côtés et un angle du parallélogramme 1. Si on connait l'angle entre les côtés dont on connait les longueurs, il suffit de tracer le triangle qui vérifie ces données et comme pour la procédure A - 1, compléter le parallélogramme. Exemple : construire le parallélogramme IJKL sachant que JK = 6 cm, LK = 8 cm et = 75º. 2. Si l'angle connu n'est pas entre les deux côtés connus, pour l'obtenir, on applique la propriété 3 si les deux angles sont opposés et la propriété 4, s'ils sont consécutifs. Exemples : a. construire le parallélogramme MNOP sachant que MN = 10 cm, NO = 7 cm et = 70º. b. construire le parallélogramme QRST sachant que QT = 8 cm, ST = 5 cm et = 60º. Exercices : 1, 3 page 232 et 52 page 237 C. Connaissant les longueurs des diagonales et un angle entre elles La propriété 1 nous permet de calculer les longueurs des demi-diagonales et avec la mesure de l'angle entre elles, on peut tracer le triangle qui nous permettra de compléter le parallélogramme, en construisant d'abord les diagonales et ensuite le reste des côtés. Exercices 18, 20 page 234 D. Connaissant les longueurs des diagonales et celle d'un côté La propriété 1 nous permet de calculer les longueurs des demi-diagonales et avec la mesure du côté, on peut tracer le triangle qui nous permettra de compléter le parallélogramme, en construisant d'abord les diagonales et ensuite le reste des côtés. Exercices 19, 22 page 234 David Prieto Colmenarejo 3
III. Les propriétés réciproques 1. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c'est un parallélogramme. 2. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leurs milieux alors c'est un parallélogramme. 3. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. 4. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux a deux de même longueur alors c'est un parallélogramme. Exercices 4, 5, 6 page 232 56, 57, 58 et 59 page 237 60 page 238 David Prieto Colmenarejo 4
IV. Parallélogrammes particuliers A. Définitions 1. Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. 2. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. 3. Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Remarque : Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes. Ils ont donc un centre de symétrie à l'intersection des diagonales et vérifient toutes les propriétés des parallélogrammes. B. Propriétés 1. Le rectangle : a. Le rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. b. Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur. Exercices 7et 8 page 232 2. Le losange : a. Le losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. b. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. Exercices 65 et 66 page 238 3. Le carré : a. Le carré a quatre axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et ses diagonales. b. Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et de même longueur. Exercice 68 page 238 Exercices 23, 24 et 25 page 234 C. Propriétés réciproques 1. Le rectangle : a. Si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle. b. Si les diagonales d un parallélogramme sont de même longueur alors c est un rectangle. 2. Le losange : a. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange. b. Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires alors c est un losange. David Prieto Colmenarejo 5
3. Le carré : Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur alors c est un carré. Exercices 32, 33 et 34 page 235 62, 63, 64, 67, 70 et 72 page 238 73 page 238 David Prieto Colmenarejo 6