III Annexes du collège 1 «Une année de calcul littéral en 3 ème» a Introduction Cette annexe se veut comme étant un compte-rendu chronologique de ce qui a été réalisé durant une année scolaire en classe de 3 ème concernant le calcul littéral Plus précisément, l exposé va concerner le développement, la factorisation d expressions littérales, la mise en équation d un problème du premier degré et les problèmes se ramenant au premier degré : équations produits Les moyens d arriver progressivement à une maîtrise du calcul littéral seront ainsi détaillés : l utilisation des TIC en classe à petites touches (tableur, calcul formel avec le logiciel WxMaxima), le rôle du travail à la maison et comment le rendre efficace, la mise en œuvre de narrations de recherche, le travail en groupes b Contexte Les travaux présentés ici concernant trois classes de 3 ème générale du Collège Jean Le Toullec (LE PORT) faisant partie du programme ECLAIR Chaque semaine, les élèves ont deux séances d 1h30min et une séance de 45 min dans leur emploi du temps, concernant les mathématiques Les classes ont des effectifs raisonnables (respectivement 6, 5, 1) et sont très hétérogènes, les deux classes les plus chargées incluant quelques élèves latinistes et/ou issus de section bi-langue La classe de mathématiques dispose d un tableau numérique interactif Ponctuellement, lors de travaux en groupes, les élèves peuvent disposer de 3 à 4 ordinateurs portables c Progression à l année La progression annuelle est une progression en spirale Les thèmes centraux durent de 1 à semaines et sont listés ci-dessous Chaque thème central est abordé de manière «classique» : activités d introduction, synthèse du cours, exercices d application et d approfondissement Thèmes du programme Figures planes Equations et inéquations du 1 er degré Statistique Ecritures littérales Figures planes Ecritures littérales Fonction Ecritures littérales Connaissances et/ou capacités Configuration de Thalès (Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes) Equations du premier degré (Mettre en équation un problème, le résoudre) Caractéristiques de position (moyenne, médiane), Approche de caractéristiques de dispersion (étendue), exprimer et exploiter les résultats de mesures d une grandeur Puissances Triangle rectangle, relations trigonométriques (définitions et calculs de longueurs et d angles) Identités remarquables (développements) Notion de fonction Factorisation (Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent) 9
Notion de probabilité Grandeurs et mesures Configurations dans l espace Fonction Ecritures littérales Equations et inéquations du 1 er degré Calculs élémentaires sur les radicaux Figures planes Nombres entiers et rationnels Fonction Configurations dans l espace Grandeurs et mesures Notion de probabilité Equations et inéquations du 1 er degré Figures planes Calculs élémentaires sur les radicaux Figures planes Equations et inéquations du 1 er degré Figures planes Statistique Figures planes Notion de probabilité Notion de probabilité (Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité, calculer des probabilités dans des contextes familiers) Proportionnalité, grandeurs composées, changements d unités Problèmes de sections planes de solides (cube, parallélépipède rectangle, cylindre de révolution, cône de révolution, pyramide) Fonction linéaire Identités remarquables (factorisations) Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits Racine carrée d un nombre positif Effet d une réduction ou d un agrandissement Nombres entiers et rationnels Fonction affine Sphère, sections planes d une sphère, aire, volume Notion de probabilité (Entretien des capacités, notion d événements incompatibles, d événement contraire) Résoudre une inéquation du premier degré ; représenter ses solutions sur une droite graduée Angle inscrit, angle au centre Produit et quotient de deux radicaux Configuration de Thalès (utiliser un énoncé réciproque) Problèmes du premier degré : système de deux équations à deux inconnues Polygones réguliers Quartiles Relations trigonométriques (cos²â + sin²â = 1 et tan  = sin  / cos Â) Expériences aléatoires à deux épreuves Problèmes de synthèse Les «apprentissages parallèles» 1 ne sont pas précisés dans ce paragraphe Dans le reste de cette annexe, on s intéressera exclusivement à l apprentissage parallèle sur le calcul littéral afin de montrer comment ces notions sont travaillées à petites touches tout au long de l année Ces apprentissages parallèles sont abordés de deux façons : soit sur un temps très court pendant la séance (en début ou en fin), soit lors des devoirs à la maison (exercices à faire pour la séance suivante, devoirs à rendre sur copie ils seront appelés ici «devoirs non surveillés» en abrégé DNS, narrations de recherche) C est ce travail régulier demandé aux élèves qui permet véritablement de consolider les compétences attendues (un DNS chaque semaine sauf les semaines comportant une évaluation sommative) En début d année, un temps important réparti sur les premières semaines est consacré à la méthode de travail ; à chaque séance, il est demandé aux élèves où ils en sont dans leur travail à la maison, des aides sont éventuellement apportées Lors de la restitution des DNS, des 1 Voir paragraphe II du document de synthèse 10
conseils sont donnés, un travail spécifique sur un exercice moins bien réussi peut être engagé avec à l appui des productions d élèves, un corrigé est distribué à chaque élève d Explicitation complète de la progression concernant le calcul littéral Semaine 1 Lors de la prise de contact, une courte évaluation diagnostique écrite est proposée aux élèves L objectif est clairement affiché aux élèves : l évaluation n est pas notée et est simplement indicative pour le professeur sur les éléments déjà maîtrisés par les élèves et ceux qu il conviendra de consolider rapidement en vue de permettre un bon départ en classe de 3 ème Il est également précisé aux élèves que cette évaluation ne sera pas restituée Concernant le calcul littéral, seule une question (technique) est posée : Développer et réduire l expression littérale suivante : E x 1 3x Les élèves ont min 30 s pour y répondre Sur les 70 élèves présents (issus des trois classes présentées plus haut), aucun ne trouve la solution correcte, trois élèves seulement parviennent à appliquer la formule de double-distributivité (mais se trompent ensuite dans la réduction) Le thème central de cette semaine est consacré au théorème de Thalès mais deux apprentissages parallèles sont également menés de front grâce à un devoir à réaliser à la maison et à rendre la semaine suivante L un de ces apprentissages parallèles concerne le développement d expressions littérales L exercice proposé dans le devoir (devoir non surveillé n 1, noté par la suite DNS1) est le suivant : Exercice 3 (Objectif : savoir développer une expression littérale simple) Développer et réduire les expressions suivantes : A4 x3 C z 3 z 5 E b 5 b 3 B9 y6 D a 4 a 7 F c 3 c 6 Les élèves ayant montré de grandes difficultés lors de l évaluation diagnostique, il convient de les préparer à ce genre d exercice technique, afin que le devoir ait un impact positif Ainsi en début de séance, il est proposé des calculs similaires, la technique est retravaillée avec les élèves et le logiciel WxMaxima leur est présenté, du moins uniquement pour l instant la fonction expand qui permet d obtenir la forme développée réduite d une expression littérale Les élèves sont invités à installer le logiciel chez eux, il est par ailleurs présent sur le réseau pédagogique du collège L intérêt du logiciel de calcul formel est pour l instant double : - Permettre aux élèves de vérifier leurs calculs - Etre conscient des simplifications d écriture, WxMaxima ne les intégrant pas, il faut alors préciser tous les signes de multiplication Semaine Le thème central de cette semaine concerne les équations : il s agit principalement de donner du sens aux équations au travers de petits problèmes (mise en équation, puis résolution) Un lien est également fait avec le thème central précédent sur le théorème de Thalès (recherche d une longueur inconnue à partir de l égalité des trois rapports obtenue lors de l application du théorème de Thalès) Au cours de cette semaine, une nouvelle fonction de WxMaxima est présentée : la fonction solve L intérêt du logiciel pour l instant reste le même : vérifications des calculs, prise de conscience des signes de multiplication implicites 11
Dans le nouveau devoir non surveillé (DNS), deux exercices techniques de calcul littéral sont proposés, afin d entretenir les connaissances réactivées en début d année Des petits temps en début de séances sont également mis en place Exercice 3 (Objectif : maîtrise du calcul littéral) Développer et réduire les expressions suivantes : E y 6 y F y 3 y 4 G y 5 y 7 5 3 4 H y y Exercice 4 (Objectif : maîtrise du calcul littéral) Soit l expression 3 5 5 4 3 5 E x x x x 1) Développer et réduire E ) Calculer la valeur exacte de E lorsque : a) x 0 b) 1 x 3 Semaine 3 En apprentissage parallèle cette semaine, un petit travail sur les programmes de calcul est conduit et l utilisation du tableur est encouragée en classe Le lien est également fait avec les expressions littérales, en écho aussi avec le DNS (dans l exercice 4, des calculs d expressions littérales pour des valeurs de la variable étant proposés) L intérêt du logiciel de tableur est double : - Obtenir rapidement un grand nombre de calculs - Travailler le lien entre calculs numériques et calcul littéral par le biais des formules sur le tableur La notion de variable prend son sens Le DNS3 permet d entretenir la technique (développements d expressions littérales, résolution d équations du premier degré), de consolider le travail sur les programmes de calcul et de faire un lien entre calcul littéral et géométrie Exercice (Objectif : maîtrise du calcul littéral) 1) Développer et réduire les expressions suivantes 5 3 A x x D 5 x 3 7x -a) Calculer l expression B lorsque y = -b) Calculer l expression D lorsque x = -1 3 7 B y y E 1 u 3 3u 1 5u 4 35 C z z Exercice 3 (Objectif : maîtrise des programmes de calcul) Voici un programme de calcul : «Choisis un nombre, lui ajouter 5, tripler le résultat obtenu puis lui retrancher 10, retrancher au nombre obtenu le double du nombre choisi» 1) Appliquer ce programme pour les nombres ; 5 ; 10 ) Ecrire une expression littérale correspondant à ce programme en appelant x le nombre choisi Exercice 5 (Objectif : résoudre des équations du 1 er degré) Résoudre les équations suivantes : 3 4x x 1 5y 1 4 7 y 8z 3 5 4z 1 1
Exercice 6 (Objectif : calcul littéral et géométrie) Dans cet exercice, x est un nombre supérieur à On considère un rectangle VOUS tel que VO x 7 et VS x 3 1) On donne 7 3 E x x et G x 7 x 3 a) Développer et réduire E b) Développer et réduire G ) Que représente, géométriquement, l expression E? l expression G? 3) Déterminer x pour que VO soit le double de VS Que vaut la valeur de G dans ce cas? Semaines 4 et 5 Une évaluation sommative (devoir surveillé n 1, noté DS1) est réalisée Les exercices concernant le calcul littéral sont les suivants : Exercice (Sur 3) 1) Développer et réduire les expressions littérales suivantes : A 3y 5 y ) Calculer l expression B pour Exercice 5 (Sur,5) Résoudre les équations suivantes : b) 3 7 a)5x 7 67 x y y B x 4 3x 4 Exercice 6 (Sur 3) Trois entiers consécutifs ont pour somme 9771 Combien valent ces trois nombres? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche Elle sera prise en compte dans la notation Les progrès sont notables par rapport à l évaluation diagnostique de début d année même si des difficultés persistent dans les réductions d expressions littérales (plutôt dues à des erreurs de calculs avec les nombres relatifs) Lors de la restitution en classe, on revient sur la méthode experte de l exercice 6 (mise en équation du problème), nombre d élèves ayant résolu l exercice (certes simple) sans recours aux équations Le nouveau DNS (DNS4) est très centré sur les équations, les petits problèmes, ainsi que la suite du travail sur les programmes de calcul qui prépare un futur thème central sur les fonctions Exercice 1 (Objectif : DNB) est-il solution de l équation a 3a 5 1? Justifier Exercice (Objectif : résolution d équations) Résoudre les équations suivantes : 4 3x 5x y 7 3 4 y z z 4 3 1 3 3 13
Exercice 3 (Objectif : maîtrise des programmes de calcul) Voici un programme de calcul : «Choisis un nombre, lui ajouter 4, doubler le résultat obtenu puis lui retrancher 7, retrancher au nombre obtenu le triple du nombre choisi» 1) Appliquer ce programme pour le nombre ) Ecrire une expression littérale correspondant à ce programme en appelant x le nombre choisi Développer et réduire cette expression Exercice 6 (Objectif : DNB) Ce semestre, la moyenne de Kévin en mathématiques est 13 Il a effectué cinq contrôles, mais il ne se souvient que de quatre notes : 09 ; 16 ; 1 ; 13 Quelle est la note de son cinquième devoir? Justifier soigneusement Exercice 7 (Objectif : liaison collège/lycée) Trois cousins ont respectivement 3, 0 et 6 ans Dans combien d années l âge de l aîné sera-t-il égal à la somme des âges des deux autres? Semaine 6 En apprentissage parallèle, le DNS5 permet d entretenir la technique de résolution d équations du premier degré et la résolution de petits problèmes du 1 er degré Exercice (Objectif : résolution d équations) Résoudre les équations suivantes : y 4 8 y 5x9x3 4 z 6 z 3 3z Exercice 5 (Objectif : prise d initiative) Julie a dépensé la moitié de ses économies pour l achat de livres Elle a en plus payé 7 pour une place de cinéma Il lui reste exactement le tiers de ses économies Quel était le montant des économies de Julie? Justifier Exercice 6 (Objectif : maîtrise des notions de statistiques) On a relevé la taille, en cm, de dix des onze joueurs d une équipe de football professionnelle : 189 180 181 176 178 183 173 178 185 178 1) Combien vaut l étendue parmi ces dix joueurs? ) Il manque la taille du gardien de but, qui est supérieure à celle des autres joueurs Trouver la taille médiane dans cette équipe de football 3) Sachant que la taille moyenne des onze joueurs est 181 cm, calculer la taille du gardien de but La notion d équation est par ailleurs réinvestie dans le thème central consacré à la trigonométrie 14
Semaine 7 Cela se poursuit d ailleurs au cours de la semaine 7 dans la classe mais aussi dans le DNS6 Exercice 6 (Objectif : entretien des connaissances géométriques des années précédentes) ABC est un triangle rectangle en A tel que : cm 1) Tracer ABC Placer le point H sur [BC] tel que la droite (AH) soit une hauteur du triangle ABC ) Calculer l aire du triangle ABC 3) En déduire AH Une narration de recherche (à réaliser à la maison) est donnée aux élèves dont voici le sujet et les consignes Enoncé du problème Fabien possède une collection de jetons multicolores tous du même diamètre En disposant ses jetons les uns à côté des autres, il a réussi à constituer un carré Mais il est déçu car 15 jetons n ont pas été utilisés Il décide alors de constituer un carré plus grand, avec un jeton de plus sur AB 7, cm et AC 5,4 chaque côté Nouvelle déconvenue! Cette fois, il lui manque 8 jetons pour obtenir son carré De combien de jetons la collection de Fabien est-elle constituée? Un exemple d un carré constitué avec 9 jetons Consignes : Racontez sur votre copie les différentes étapes de votre recherche, les remarques, les aides, les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait changer de méthode ou qui vous ont permis de trouver La réponse doit être complètement justifiée!!! Semaines 8 et 9 Les productions des élèves lors de cette narration de recherche ont été riches (tout comme la restitution en classe) : nombreux tests, volonté de mise en équation du problème (la notion commence donc à prendre son sens), schémas astucieux (comme celui représenté ci-dessous) Certaines copies sont encore confuses sur ce qu est une équation et les difficultés de modélisation du problème persistent 15
Des mises en équation correctes apparaissent cependant Le blocage de certains élèves sur le carré d une expression du premier degré donne tout son sens au thème central engagé sur les développements avec identités remarquables Le thème central sur les identités remarquables fait la jonction avec l apprentissage parallèle engagé sur les développements d expressions littérales depuis le début de l année Le logiciel WxMaxima, régulièrement utilisé depuis, est à nouveau utilisé dans le cadre d une vérification d un développement et il est venu comment élever au carré une expression littérale du 1 er degré (avec ^) : le parallèle est alors fait avec ce qui avait été vu lors de l utilisation du tableur (thème central sur les puissances en semaine 5) et de certaines calculatrices Semaine 10 Le thème central sur la notion de fonction est amorcé, ce qui permet toujours de réinvestir l usage du tableur, les programmes de calcul, et donc un peu de calcul littéral Le DNS8 permet de consolider le thème central précédent sur les identités remarquables Exercice 1 (Objectif : utilisation des identités remarquables) Développer les expressions littérales suivantes : A x7 B y3 C 5 z 5 z Exercice 4 (Objectif : application des identités remarquables) 1) Sophie dit qu elle peut calculer mentalement 01 Comment fait-elle? ) Même question avec 399 401 16
Semaine 11 L entretien des connaissances sur le calcul littéral se poursuit à travers le DNS9 : développements, équations L accent est mis notamment sur la suppression de parenthèses précédées du signe moins aux débuts des séquences Exercice 3 (Objectif : maîtrise du calcul littéral et des identités remarquables) 1) Développer et réduire les expressions suivantes A x4 B 5x 1 3x 5 x 3 C x x x 8 5 ) Calculer l expression E pour x 6 D x x x 9 1 8 8 7 7 E x x F x x x x Exercice 5 (Objectif : DNB) Choisir un nombre On donne le programme de calcul ci-contre : Multiplier ce nombre par 4 1) Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : Ajouter 6 a Le nombre choisi est 1 Ecrire le résultat b Le nombre choisi est x ) Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 14? Le calcul de la valeur d une expression littérale lorsque la valeur de la variable est connue est également réinvesti lors de la poursuite du thème central sur la notion de fonction L utilisation de la calculatrice (avec la touche f(x)) est effective en classe pour les calculs d images Semaine 1 Le thème central porte sur les factorisations d expressions littérales avec facteur commun A cette occasion, une nouvelle fonction est présentée dans Wxmaxima : la fonction factor, qui permet d obtenir la forme factorisée d une expression littérale Le nouvel intérêt du logiciel de calcul formel est qu il est une aide à la factorisation lorsque le facteur commun optimal n est pas clairement apparent ou lorsque de petites manipulations techniques sont à prévoir Exemples : Pour ce premier exemple, les élèves ne voient pas toujours que 1x est le facteur commun optimal, se contentant de repérer par exemple x, x, La vérification avec le logiciel fait prendre conscience aux élèves qu ils peuvent mieux faire Il en est de même dans cet exemple Les élèves indiquent qu ils ne penseront pas forcément à toutes ces optimisations sans recours au logiciel Il leur est précisé qu obtenir le résultat sous la forme x 4x 6 est déjà tout à fait satisfaisant et qu il faut considérer l étape ultime comme un défi pour le moment, ce qui permet de différencier le niveau d exigence selon le niveau initial des élèves 17
La factorisation de l expression littérale A t 3 t 1 t 3 élèves L utilisation du logiciel leur montre que le facteur commun est des parenthèses autour de 3 1 1 3 A t t t a particulièrement désarçonné les t 3, ce qui les incite à placer t 3 Le passage ensuite à l expression littérale est facilité par l apprentissage parallèle récent sur les suppressions de parenthèses En outre, la présentation du résultat par le logiciel engage une courte discussion sur la commutativité de la multiplication Semaine 13 Une évaluation sommative (DS4) est réalisée Les exercices en lien avec le calcul littéral sont les suivants, la factorisation ayant été abordée très récemment, elle n est pas évaluée ici Exercice (Sur 5) Développer et réduire les expressions littérales suivantes : x 7 A B( y1) 8 58 5 C y y D 3 z 5 z Exercice 3 (Sur 5,5) On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Ajouter 1 Calculer le carré du résultat obtenu Soustraire le carré du nombre de départ Soustraire 1 1-a) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu on obtient 0 1-b) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 3 et montrer qu on obtient 6 1-c) Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5 ) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul? Démontrer cette conjecture Exercice 5 (Sur 3) On considère la fonction f définie par 1) Calculer l image de 0 par la fonction f ) Calculer f 3 f x x x : 5 4 3 3) 0,8 est-il un antécédent de 3 par la fonction f? Justifier La question de l exercice 3 a été rarement réussie, seule la conjecture a été la plupart du temps observée, le lien avec le calcul littéral est encore peu remarqué La technique est à nouveau retravaillée dans le DNS10 Exercice 1 (Objectif : maîtrise du calcul littéral) Développer, réduire et ordonner les expressions littérales suivantes : t A 3 5 3 D x x x B 3y7 4 9 4 9 C z z 7 7 5 E x x x Exercice 6 (Objectif : maîtrise du calcul littéral Factoriser les expressions suivantes 3 1 3 4 7 1 5 3 51 A x x x x B x x x x C 6x x 1 x 1 4 5 4 D x x x 18
Semaine 14 Poursuite de l apprentissage devenu maintenant parallèle sur les factorisations dans le DNS11 Exercice 1 (Objectif : maîtrise du calcul littéral) Factoriser les expressions suivantes 53 1 53 8 A x x x x B 7x 3x 3x Semaine 15 Le devoir de vacances de l été austral (DNS1) est présenté aux élèves Il pourra notamment permettre aux élèves de retravailler les attendus liés au calcul littéral Exercice (Equations du 1 er degré) Résoudre les équations suivantes : a) 4 9 63 b) 13 6 c) 7 z 4 4 5 x y y Exercice 3 (Equations du 1 er degré) Si l on augmente la longueur du côté d un carré de 3 centimètres, son aire augmente de 36 centimètres carrés Quelle est la longueur initiale de son côté? (Penser à mettre en équation le problème) Exercice 7 (Calcul littéral : développer et réduire) 1) Développer et réduire les expressions littérales suivantes : A 5x x 1 3 3 D z z ) Calculer l expression B pour 3 1 C 4y 3 B x x E x 3 Exercice 9 (Factorisations) Factoriser les expressions suivantes : A 18x 9x C 5 z 3z 1 5 z 7x5 7 3 7 4 1 E y y y y F 3 x 5x 1 x 35 7 3 5 B y y y y D 3x 1 4x 3 5 4x 3 Voici un exemple de production d élève qui atteste de l utilisation de WxMaxima en autonomie en dehors de la classe Un retour en plénière permet de faire le lien entre les deux résultats et de continuer à encourager les élèves à utiliser chez eux le logiciel 19
Semaine 16 Toujours en apprentissage parallèle, le DNS13 permet un entretien des connaissances sur les développements (double distributivité, identités remarquables, suppression des parenthèses précédées du signe moins) et les factorisations (avec facteur commun apparent) Exercice 1 (Objectif : DNB) On considère l expression littérale A : 1) Développer et réduire A ) Factoriser A 3) Calculer A pour x 3 Exercice (Objectif : DNB) On considère l expression littérale B : 1) Développer et réduire B ) Factoriser B 3) Calculer B pour y 5 4 5 A x x x B 3y 1 y 1 3y 1 Semaine 17 Cette semaine déjà très chargée (thème central sur les sections, travaux sur les productions d une narration de recherche) n inclut pas des apprentissages parallèles sur le calcul littéral Semaine 18 Lors d une évaluation sommative (DS5), un point est fait sur la maîtrise des factorisations d expressions littérales lorsque le facteur commun est apparent Exercice 1 (Sur 5,5) Factoriser les expressions suivantes : B y 3 5y 1 5 5y 1 7 3 1 7 31 A x x x x C 4x 1 4x 1 x 3 1 5 3 1 4 E x x x x D 5y 10y Les trois premiers calculs n ont pas posé en général de difficultés majeures La factorisation de l expression D n a été optimale que dans peu de copies La gestion correcte du signe moins dans l expression E n est encore que rarement maîtrisée (10% des copies environ) Semaine 19 L apprentissage parallèle sur les développements et les factorisations se poursuit dans le DNS15, en particulier sur la gestion du signe moins devant des parenthèses A l approche du thème central sur les factorisations avec identités remarquables, un accent particulier est mis sur les trois identités à bien connaître Exercice 3 (Objectif : développements d expressions littérales) 1) Rappeler les identités remarquables (Elles seront utiles dans les trois derniers calculs de la prochaine question) ) Développer et réduire les expressions littérales suivantes : A 4x 7 x 9 B 7y 3 y C 5z z 4z 1 D x 9 E 53y5 3y F 7z 4 3) Calculer la valeur de A lorsque x 3 0
Exercice 4 (Objectif : factorisations d expressions littérales) Factoriser les expressions littérales suivantes : A 7x 14x 4 13 5 14 1 C z z z z 3 5 4 3 3 B y y y Dans ce même DNS, un exercice facultatif est proposé en géométrie Assez déstabilisant pour les élèves qui ont habitude d avoir des valeurs numériques lors de l application du théorème de Thalès, il leur permet d appréhender la démonstration d une égalité d aires dans un contexte algébrique Exercice 6 (Objectif : lycée) Exercice facultatif Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A tel que AB = 5 cm On place un point E sur le segment [AB] tel que BE = x Sur la demi-droite [AC), on place un point F tel que C [AF] et CF = x La droite (EF) coupe la droite (BC) en un point O La droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point E coupe la droite (BC) en un point T Montrer que l aire du triangle OTE est égale à l aire du triangle OCF Environ un quart des élèves engage une véritable recherche de cet exercice, une élève parvient véritablement à la fin de l exercice malgré une rédaction encore maladroite Semaine 0 Un seul exercice de calcul littéral très technique est proposé cette semaine en DNS16 Présenté aux élèves comme facultatif et étant donc un objectif de réussite à moyen terme, il est cherché sérieusement par la moitié des élèves et est globalement réussi par environ 15% des élèves Exercice 6 (Objectif : lycée) Exercice facultatif On considère les expressions R et S suivantes : 53 7 5 3 R x x x x 1) Factoriser les expressions R et S ) Développer et réduire les expressions R et S 13 3) Calculer la valeur de R pour x et la valeur de S pour ; 91 41 S y y y 5 y 6 Semaine 1 Le thème central de cette semaine est consacré aux factorisations avec identités remarquables Pas de difficulté notable pour les élèves, le logiciel WxMaxima est sollicité pour certaines vérifications Semaine Le thème central sur les équations-produits est traité Il est également l occasion de réinvestir les connaissances vues antérieurement Une activité en particulier (issue du manuel Transmath 008 3 ème, Nathan), permet notamment de développer l intelligence de calcul avec WxMaxima 1
En effet, les élèves les plus avancés lors de la recherche individuelle ou en binômes parviennent à ce type de production Les élèves indiquent leur souhait d utiliser WxMaxima, le fait d ayant développé les expressions ayant abouti à une impasse La première idée avancée par certains d entre eux est d utiliser la fonction solve Les solutions sont donc obtenues mais ne permettent pas aux élèves de comprendre comment elles ont été obtenues Une autre idée surgit alors : l utilisation de la fonction factor directement avec l équation Ceci est alors testé : Le logiciel met alors en évidence l existence d un facteur commun et qu il semble nécessaire d observer avec attention le second membre de l équation afin de factoriser dans un premier temps ce second membre L utilisation ici d un logiciel de calcul formel a aidé les élèves à résoudre un problème et trouver certaines étapes intermédiaires Semaine 3 Le DNS18 propose des exercices techniques sur les factorisations et les équations-produits Un exercice nettement plus difficile et facultatif fait le lien entre calcul littéral, géométrie et fonction linéaire Il n est abordé de manière consistante que par 11% des élèves et deux élèves sont proches d une résolution complète Exercice 4 (Objectif : factorisations avec identités remarquables) Factoriser les expressions littérales suivantes C 10 5 A t 8118t D36 5x B x x 1 36 E x1 5 Exercice 5 (Objectif : résolution d équations-produits) Résoudre les équations-produits suivantes : x 4 x 3 0 y 3 y 0 3 7 5 F i i z z Exercice 6 (Objectif : factorisations et équations-produits) Après avoir effectué une factorisation, résoudre les équations suivantes : 5x 7 x 5x 7 x 4 0 3 4 5 0 a) b) c) x x 5 x 11 x 0 d) x x xx x 3 x 7 x 3 11 x 0 5 5 3 5 5 4 0
Exercice 7 (Objectif : lycée) Exercice facultatif La figure ci-contre représente un carré ABCD de côté a On a tracé l arc de cercle EM de centre D, de rayon DM = x, et l arc de cercle MF de centre C, de rayon CM 1) Montrer que le périmètre P de la surface colorée est égal à ) Montrer que P est une fonction linéaire de variable a a a Semaine 4 x Le thème central inclut un travail sur l équation En apprentissage parallèle, le DNS19, outre l entretien des techniques, permet aux élèves de se confronter à des exercices de brevet Un problème plus compliqué et facultatif illustre une situation géométrique faisant intervenir le calcul littéral Suite au retour en classe sur le DNS18, il est davantage traité (environ 0% des élèves) Exercice 3 (Objectif : DNB) On considère l expression 1) Développer et réduire l expression E ) Factoriser l expression E 3) Résoudre l équation a E 4x 3 4x 3 x 5 4x3 5x 0 Exercice 4 (Objectif : factorisations avec identités remarquables) Factoriser les expressions littérales suivantes A x 18x 81 B x x 4 1 9 C 5y 16 Exercice 5 (Objectif DNB) 1) On considère l expression: 1-a) Développer et réduire E E x 3 x 1 x 1-b) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de -a) Factoriser l expression: -b) Résoudre l équation: 4 1 4 17 6 F x x x 4x1 7 3x 0 Exercice 6 (Objectif : DNB) On a posé à des élèves de 3e la question suivante : «Est-il vrai que, pour n importe quelle valeur du nombre x, on a : 99997 99999 99998? 5x 10x 7x 4 Léa a répondu : «Oui, c est vrai En effet, si on remplace x par 3, on a : 734 17» Myriam a répondu : «Non, ce n est pas vrai En effet, si on remplace x par 0, on a : et 704 4» Une de ces deux élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l exercice Indiquer laquelle en expliquant pourquoi 50 100?» 53 103 17 et 3
Exercice 7 (Objectif : lycée) Exercice facultatif On considère la figure ci-contre dans laquelle les triangles TER et GEF sont des triangles rectangles isocèles en E ER = ET = x cm (avec soit égale au quart de l aire du triangle GEF 1) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles TER et GEF x 0 ) ; RG = TF = 5 cm On souhaite déterminer x afin que l aire du triangle TER ) Montrer que le problème revient à résoudre l équation : 3) Résoudre cette équation et conclure x 4x 5 0 Semaine 5 Le DNS0 permet de revenir sur le thème central de la semaine précédente avec un petit exercice technique Un nouvel exercice faisant le lien entre calcul littéral et géométrie est proposé : les exigences augmentent, il est désormais obligatoire Exercice 1 (Objectif : résolution de l équation Résoudre les équations suivantes : x 75 y 49 15 x a Exercice (Objectif : calcul littéral et géométrie) Les questions 1 et sont largement indépendantes ) 3z 1 364 Dans cette figure, AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés On suppose également que 0 4 1-a) Calculer AH en fonction de x 1-b) En déduire l'aire de AHIJ en fonction de x x 4x 4 1-c) Démontrer que l'aire la partie hachurée est : -a) Développer et réduire -b) Factoriser F x F 4 4 x x 6 0 -c) Résoudre l'équation -d) Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire de la partie hachurée est-elle nulle? Semaine 6 Pas de calcul littéral cette semaine L utilisation du tableur pour programmer l algorithme d Euclide permet cependant de travailler avec des variables Semaine 7 Lors du brevet blanc n (7 ème évaluation sommative de l année), deux exercices en lien avec le calcul littéral sont proposés Dans un troisième exercice non reproduit ici (QCM), il est demandé la forme factorisée de Exercice 5 (Sur 3,5) 16x 49 Soit l expression littérale E x 3 x 3 x 1 1) Développer et réduire l expression E ) Factoriser l expression E x 3 3x 4 0 3) Résoudre l équation 4
Exercice 8 (Sur 4) La copie d écran ci-dessous montre le travail qu a effectué Camille à l aide d un tableur à propos des fonctions g et h définies par : g x 5x x 7 et x 7 h x Elle a recopié vers la droite les formules qu elle avait saisies dans les cellules B et B3 1) Donner un nombre qui a pour image -1 par la fonction g g 11 ) Ecrire les calculs montrant que : 3) Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3? 5x x 7 x 7 4-a) Déduire du tableau une solution de l équation 4-b) Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur? Si oui, laquelle? Les progrès sont significatifs, l exercice technique est plutôt bien réussi tout comme l exercice incluant la maîtrise du tableur (hormis la question 4-b) Semaine 8 Un «défi factorisations» est proposé aux élèves sur une séquence de 1h30 min Ce travail en groupes permet de faire la synthèse sur les factorisations et d approfondir la réflexion Il est présenté dans ce TRAAM (voir paragraphe suivant) Défi «factorisations» L objectif est de factoriser les cinq expressions littérales proposées ci-dessous 3 1 37 5 56 9 3 6 A x x x x B y y y y C 4t 9 1t D 81z 9z 1 3z 4 118z 3 1 E x x x - Indique à chaque fois quelle démarche tu souhaites entreprendre au vu de ton expérience - Effectue ensuite la factorisation en précisant les différentes étapes - En cas de blocage, indique-le et précise ton problème - Si tu utilises le logiciel WxMaxima (après accord du professeur), précise ce que tu as fait et en quoi le logiciel t a aidé à mener à bien les calculs Semaines 9 à 34 Il est prévu de poursuivre le travail sur le calcul littéral en apprentissage parallèle Une huitième et dernière évaluation sommative permettra une évaluation du calcul littéral concernant notamment la factorisation d expressions littérales avec identités remarquables, la résolution d équations-produits Deux thèmes centraux, l un sur les inéquations du premier degré, l autre sur les systèmes d équations viendront achever le travail engagé sur les équations 5