Lycée Thiers CORRECTION FX 6 Première fournée Ex Ex Les matrices élémentaires E p,q = [ δ i,p δ j,q ] i,j n, qui forment la base canonique de M n (K), sont de rang Il s ensuit (cf preuve vue en classe) que si M M n (K) commutent avec toute matrice de rang, alors M est une matrice scalaire Proposons maintenant une généralisation de ce résultat Etant donné E M n (K), on note C (E) son commutant dans M n (K), défini par : C (E) = {M M n (K) ; A E, AM = MA} En notant H = {λi n ; λ K}, Il est immédiat que H C (E) Pour r n, notons : R r = { A M n (K) ; rg (A) = r } En particulier : R = {O} et R n = GL n (K) Commutant de GL n (K) : Si M C (GL n (K)), alors (astuce!) M commute en particulier avec les I n + E p,q (qui sont inversibles puisque triangulaires, voire diagonales si p = q, à éléments diagonaux tous non nuls) La matrice M commute donc aussi avec les E p,q et donc M H Commutant de R : Comme on l a expliqué au tout début de l exercice : C (R ) = H Commutant de R r, pour r n : On adapte la méthode utilisée pour le commutant de GL n (K) Soit M C (R r ) Etant donné ( p, q ) N n, considérons I {,, n} tel que card (I) = r et ( ) p, q I Soit alors la matrice : D = i I On constate que rg ( D + E p,q ) = rg (D) = r Par conséquent, M commute avec D + Ep,q et avec D, donc aussi avec E p,q par différence Comme ceci vaut pour tout ( p, q ) N n, alors M H Conclusion générale : E i,i r {,, n}, C (R r ) = H Ajoutons pour finir que C (R ) = M n (K) : toute matrice commute en effet avec la matrice nulle! Si rg (A) =, il existe a,, a n K non tous nuls tels que, en posant U = t [a a n ], les colonnes de A soient b U,, b n U, avec les b j non tous nuls En posant V = t [b b n ], on a V et A = [ a i b j ] i,j n = U t V Réciproquement, si A = U t V avec U, V M n, (K) {}, alors les colonnes de A sont b U,, b n U et l une d elles au moins est non nulle, donc rg (A) =
Ex Ex Ex CORRECTION FX 6 Il existe U M n, (K) {} et V M,n (K) {} telles que A = UV Comme VU = tr (A) =, il vient : A = U (VU) V = UV = A Il s agit d une réciproque partielle d un résultat classique sur les projecteurs Soit M M n,p (K) de rang r On sait que M est équivalente à J n,p,r : Or J n,p,r est la somme de r matrices de rang : (P, Q) GL p (K) GL n (K), J n,p,r = Q MP J n,p,r = où E i,j désigne la matrice de M n,p (K) dont les termes sont tous nuls, à l exception de celui situé (ligne i, colonne j) qui vaut Il s ensuit que : r M = QE i,i P L équivalence des matrices préserve le rang, donc M est la somme de r matrices de rang i= Identifions chaque matrice et son application linéaire canoniquement associée Soit A M n,p (R) Il est clair que ker (A) ker (t AA ) Réciproquement : soit X R p tel que t AAX = ; alors t X t AAX =, c est-à-dire t YY =, où l on a posé Or r i= Y = AX = t YY = et donc (somme nulle de réels positifs), chaque y i est nul Ainsi AX = Finalement : ker (A) = ker (t AA ) D après le théorème du rang, on en déduit que : rg (A) = rg (t AA ) Remarque Ce résultat s applique aussi à t A; ce qui donne rg (t A ) = rg ( A t A ) Comme une matrice et sa transposée ont le même rang, on conclut que : rg (t AA ) = rg ( A t A ) Soit la matrice : A = [ i Manifestement : rg (A) = Pourtant t AA = n i= ] E i,i y y n y i M (C)
Ex 6 Ex 7 CORRECTION FX 6 On peut voir l inversibilité de B comme conséquence de la propriété générale selon laquelle le rang d une matrice est égal au rang de la famille de ses lignes et du fait qu une permutation des vecteurs d une famille n affecte évidemment pas son rang (qui, par définition, est la dimension du sev engendré par cette famille) Autre point de vue : notons τ : {,, n} {,, n} la transposition qui échange p et q Par définition τ ( p ) = q, τ ( q ) = p et τ (i) = i pour tout i {,, n} { p, q } Notons S p,q = [ δ τ(i),j ] i,j n On sait que S p,q est inversible et que S p,q = S p,q On sait aussi que B = S p,q A Comme A et S p,q sont inversibles, B l est aussi Enfin : B = A S p,q = A S p,q et donc B se déduit de A en échangeant les colonnes p et q Si l un des a k est nul, alors A n est pas inversible (une colonne nulle) Sinon, considérons le système linéaire associé AX = Y, c est-à-dire : a n x n = y Ex 8 a k x k = y n+ k a x = y n Comme chaque a k est non nul, on obtient aussitôt : x = et donc : a n a y n a x k = y n+ k a k x n = = y a n /a /a n On pouvait aussi considérer u = l ECA à A En notant (e,, e n ) la base canonique de K n, on voit que : j {,, n}, u ( e j ) = aj e n+ j Lorsque a j pour tout j, la base canonique est transformée en une base, donc u un automorphisme Dans ce cas : u ( e n+ j ) = a j e j, c est-à-dire (en ré-indexant) u ( e j ) = a n+ j e n+ j ; d où l expression de A Matrice initiale : A = En appliquant la suite d opérations élémentaires : 6 9 L L L ; L L + L ; L L ; L L L L L ; L L L ; C C + C ; C C + C
CORRECTION FX 6 6 9 C C + C ; C C + C ; C C + C On a montré au passage que rg (A) = Ex 9 En appliquant la suite d opérations élémentaires : M = donc rg (M ) = L L L ; L L L L ; L L + L En appliquant la suite d opérations élémentaires : M = donc rg (M ) = 7 L L + L ; L L + L ; L L L L L ; L L ; L L 9L ; L L L 7 9 9 7 7 9 9 En appliquant la suite d opérations élémentaires : 7 9 9 7 L L L ; L L + L 7 9 9 7
CORRECTION FX 6 L 8 L ; L L L M = donc rg (M ) = 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 En appliquant la suite d opérations élémentaires : 8 M = L L ; L L L L + 7L ; L L ; L L L L L ; L L + L ; L L ; L L + 6L 7 7 8 6 6 7 7 8 6 6 donc rg (M ) = Autrement dit : M est inversible En appliquant la suite d operations elementaires : 7 7 8 6 6 L L ; L L L ; L L 6L ; L L 9L L L 7L ; L L ; L L L ; L L L L L ; L L 9L ; L L L ; L 6 L M = 6 9 7 9 L L + 6 L 6 9 7 9 9 7 8 9 9 7 8 9 6
CORRECTION FX 6 6 donc rg (M ) = 9 6 Série Ex On effectue les opérations élémentaires suivantes : puis : et enfin : Ainsi : L L ml ; L L L ; L L L m m + m A m = m m m m C C ; L L + L ; L L + ml m + m m m + m m m + L L m + m L m + m m m +m + si m + m + rg (A m ) = sinon Ex Pour tout j {,, n}, notons A j (resp P j, Q j ) la j-ème colonne de A (resp P, Q) Par hypothèse, il existe Z C n {} tel que pour tout j {,, n} : A j = λ j Z avec λ j C En posant λ j = α j + iβ j et Z = X + iy, avec α j, β j R et X, Y R n, il vient donc : P j + iq j = ( ) α j + iβ j (X + iy) d où en particulier P j = α j X β j Y Ainsi, toutes les colonnes de P appartiennent à Vect {X, Y} De ce fait, rg (P) On voit de même que rg (Q) Ex
CORRECTION FX 6 7 Inversion de A : A = Inversion de B (non détaillée) : Inversion de C : I = 8 8 A = B = I = 8 6 8 6 76 76 89 9 8 C = Inversion de D (non détaillée) : I = 7 C = I = 8 7 8 8 8 7 D =
Ex CORRECTION FX 6 8 Le système proposé s écrit matriciellement sous la forme AX = B, avec : x 7 y A =, X =, B = 9 6 z 7 t 8 On applique l algorithme du pivot à la matrice augmentée A B jusqu à obtenir une matrice de la forme I C, ce qui s avère possible car A est inversible La colonne C indique alors l unique solution On obtient finalement : {( S = )}, 7, 8 9, Ex Le système proposé s écrit matriciellement : 6 8 9 On effectue L L L puis L L L : 7 + a + a Notons S a l ensemble des solutions Alors S a = si a et sinon : S = { ( x, y, z, ) ; ( x, y, z ) R et x + y + z = } c est-à-dire : S = { ( x, y, x y, ) ; ( x, y ) R } Ex 6 Le système proposé s écrit matriciellement, après échange des équations et : On effectue L L L, L L L puis L L L : 8 8 7 7 9 suivies de L L 8 L et L L 7 8 L : 8 9 8 9 On peut donc éliminer la dernière équation et résoudre le système résiduel (qui est de Cramer car sa matrice est triangulaire à éléments diagonaux tous non nuls) Au final : S = {(,, )}
CORRECTION FX 6 9 Ex 7 En effectuant sur A les opérations élémentaires L i L i L i+, pour i = à i = n, on obtient I n Les mêmes opérations appliquées à I n donnent donc : A = Comme B = A, alors B est aussi inversible et B = (I n J) = I n J + J, soit : B = Ex 8 On note l équivalence des matrices On effectue C j C j C pour j = à n, puis L L + n L i α α α α α + (n ) α α α α α α α α α α α α α α Conclusion : rg (A) = si α = n si α = / ( n) n sinon i= Ex 9 On constate (petit calcul ) que (AB) = AB, c est-à-dire : A (BA I ) B = () D autre part : rg (AB) = Comme rg (AB) rg (A) et rg (AB) rg (B), on a : rg (A) = rg (B) = Ainsi les applications linéaires canoniquement associées à A et B sont respectivement injective et surjective Donc A est inversible à gauche et B est inversible à droite Il résulte alors de () que BA = I