avec E i j = (a kl ) 1 k n (K)). Le produit AB peut alors se calculer par blocs :

I Rappels sur les matrices 1 Opérations et structure Proposition 1 Structure d espace vectoriel L ensemble (M n,p (K),+, ) est un K-espace vectoriel de dimension np (isomorphe à K np ) La base canonique de M n,p (K) est la famille (E i j ) 1 i n 1 j p avec E i j = (a kl ) 1 k n 1 l p { 1 si k = i et l = j et a kl = 0 sinon Définition 1 : Produit de deux matrices Soient A = (a i j ) M n,p (K) et B = (b j k ) M p,q (K) La matrice produit de A et B est AB = (c i k ) M n,q (K) avec i,k 1,n 1, q, c i k = p a i j b j k On note I p la matrice identité de M p (K) : les coefficients diagonaux valent 1 et les autres sont nuls On a alors A M n,p (K), A I p = A et B M p,q (K), I p B = B On retiendra que le produit de matrices n est pas commutatif, et que AB = 0 n entraîne pas nécessairement A ou B nulle j =1 Proposition 2 Soit M M n,p (K) Si pour tout X M p,1 (K), M X = 0 alors M = 0 Dans cette propriété, le pour tout X est primordial! Produit par blocs Considérons deux matrices A M n,p (K) et B M p,q (K) qui se décomposent par blocs (avec n = n 1 + n 2, p = p 1 + p 2, q = q 1 + q 2 et A i j M ni,p j (K), B i j M pi,q j (K)) Le produit AB peut alors se calculer par blocs : AB = A 11 A 12 A 21 A 22 B 11 B 12 B 21 B 22 = A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Définition 2 : Transposée Soit A = (a i j ) M n,p (K) On appelle transposée de A, et on note t A la matrice de M p,n (K) définie par (α i j ) 1 i p où α i j = a j i 1 j n Proposition 3 A M n,p (K), t ( t A) = A L application M n,p(k) M p,n (K) A t A est un isomorphisme d espaces vectoriels Soient A M n,p (K) et B M p,q (K), on transpose t (AB) = t B t A 2 Ensemble des matrices carrées M n (K) On appelle matrice carrée d ordre n toute matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans K On note M n (K) l ensemble de ces matrices, c est un anneau muni de la somme et du produit Itérés : On définit par récurrence, les itérés d un élément A M n (K) : A 0 = I n et k N, A k = A k 1 A = A A k 1 Magali Hillairet 1 Lycée Franklin, Orléans

Formule du binôme de Newton : On démontre par récurrence, Soient A, B M n (K) tels que AB = B A, on a p N, (A + B) p = p k=0 ( p k ) A k B p k Matrices inversibles Définition 3 : A M n (K) est inversible si et seulement si il existe B M n (K) telle que AB = B A = I n La matrice B est alors l inverse de A et elle est notée A 1 On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) Proposition 4 Soit A M n (K) On note (C 1,,C n ) ses vecteurs colonnes (vus comme des éléments de K n ) Soit E un K espace vectoriel de dimension n muni d une base B Pour f L(E) tel que Mat B (f ) = A, A est inversible si et seulement si f est bijective A est inversible si et seulement si X M n,1 (K) (AX = 0 = X = 0) A est inversible si et seulement si, pour tout Y M n,1 (K), le système Y = AX (d inconnue X M n,1 (K)) admet une unique solution A est inversible si et seulement si rg(a) = n A inversible (C 1,,C n ) est une base de K n (C 1,,C n ) est une famille libre de K n (C 1,,C n ) est une famille génératrice de K n A est inversible si et seulement si A L I n Remarque 1 : Soient A et B dans M n (K) Si AB = I n alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre Proposition 5 Soient A et B dans GL n (K) AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 La matrice t A est dans GL n (K) et ( t A) 1 = t (A 1 ) II Matrices et applications linéaires 1 Matrice d une famille de vecteurs dans une base Soit E un K espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = (e 1,,e n ) On considère une famille F = (u 1,u 2,,u p ) de p vecteurs de E La matrice de la famille F dans la base B est formée en inscrivant en colonne j les coordonnées de u j dans la base B Elle se note M at B F ou M at B (u 1,,u p ), et elle appartient à M n,p (K) 2 Matrice d une application linéaire dans des bases Soit E un K espace vectoriel de dimension p, muni d une base B = (e 1,,e p ), et F un K espace vectoriel de dimension n, muni d une base C Soit f L (E,F ) La matrice d une application linéaire f dans des bases B et C est notée Mat C (f ) : elle est formée en inscrivant dans la colonne j les coordonnées du vecteur f (e j ) dans la base C = (ε 1,,ε n B ) Définition 4 : La matrice de f dans les bases B et C, notée Mat C B (f ) est la matrice de M n,p(k) définie par Mat C B (f ) = (a i j ) 1 i n 1 j p n où j 1, p, f (e j ) = a i j ε i i=1 Magali Hillairet 2 Lycée Franklin, Orléans

La relation vectorielle y = f (x) avec x E et y F se traduit matriciellement par M at C (y) = M at C B (f )M at B(x) Remarque 2 : Pour un endomorphisme f L (E), on définit la matrice de f dans une base B de E comme ci-dessus en prenant la même base au départ et à l arrivée On la note Mat B (f ) : c est une matrice carrée de taille p = dime et ses colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs f (e j ) dans la base B = (e 1,,e p ) Exemple fondamental : La matrice de l application identité de E, espace de dimension p, dans une base B, est M at B (I d E ) = I p En revanche, si on prend deux bases différentes de E, la matrice obtenue dans ces bases n est pas l identité Proposition 6 Soient E et F deux K ev de dimensions finies, munis des bases B et C L application ϕ : L (E,F ) M n,p (K) f M at C B (f ) est un isomorphisme d espaces vectoriels Interprétation du produit matriciel Soient E muni d une base B, F muni d une base C et G muni d une base D Si f L(E,F ) de matrice A = Mat C B (f ) et g L(F,G) de matrice B = MatD (g ), alors B A est la matrice de C g f dans les bases B et D : Mat D B (g f ) = MatD C (g ) MatC B (f ) Remarque 3 : ϕ : L (E) M n (K) induit un isomorphisme de groupes de (GL(E), ) dans (GL n (K), ) f Mat B (f ) Pour tout f GL(E), en notant A = Mat B (f ), on a A 1 = Mat B (f 1 ) 3 Changements de bases Matrice de passage Soit E un espace de dimension n, soient B = (e 1,,e n ) et B = (e 1,,e n ) deux bases de E Définition 5 : On appelle matrice de passage de la base B (ancienne) à la base B (nouvelle), et on note P(B,B ) ou P B B, la matrice de M n (K) de la famille B dans la base B Elle est aussi égale à Mat B B (Id E ) Cette matrice est donc formée en inscrivant les coordonnées des vecteurs e j dans la base B, en colonnes C est donc Mat B (B ) = Mat B (e 1,,e n ) Proposition 7 Une matrice de passage est une matrice inversible, et (P B B ) 1 = P B B démo Posons P = P B B et Q = P B B On forme le produit en considérant P et Q comme la matrice de l identité dans des bases bien choisies : PQ = Mat B B (Id E ) Mat B B (Id E ) = Mat B B (Id E ) = I n Et voilà! Remarque 4 : Une matrice de passage est inversible et toute matrice inversible peut-être interprétée comme une matrice de passage ( ) 1 1 Par exemple, la matrice P = est inversible On peut l interpréter comme P 1 1 B B avec B la base canonique de R 2 et B = ((1, 1),(1,1)) Magali Hillairet 3 Lycée Franklin, Orléans

Effet sur les coordonnées d un vecteur Proposition 8 démo Soit E un K ev muni de deux bases B et B Soit x E, on note X = Mat B (x) (vecteur des coordonnées dans B), et X = Mat B (x) (vecteur des coordonnées dans B ) On a alors X = P X En général, on souhaite obtenir X en fonction de X Il faudra alors utiliser X = P 1 X et donc calculer P 1 Effet sur les matrices d une application linéaire Proposition 9 démo Soit f L(E,F ) avec B et B deux bases de E et C, C bases de F On note P = P B B et Q = P C C les matrices de passages, et A = Mat C B (f ) et A = Mat C B (f ) les matrices de f On a alors A = Q 1 AP Dans le cas des endomorphismes, on effectue le même changement de base au départ et à l arrivée On a donc, avec A = Mat B (f ) et A = Mat B (f ), A = P 1 AP 4 Rang d une matrice Nous avons déjà parlé du rang d une application linéaire f : c est la dimension de l image de f d une famille de vecteurs (u 1,,u p ) : c est la dimension de Vect(u 1,,u p ) Ces deux notions sont liées par le fait que, pour f L(E,F ), et pour (e 1,,e p ) une base de E, l image de f est Imf = Vect(f (e 1 ),, f (e p )) Cela est valable pour toute base (e 1,,e p ) de E, et cela ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit les vecteurs à l arrivée (dans F ) En notant C 1,,C p les vecteurs colonnes de la matrice de f dans les base B et C de E et F, on constate que le rang de f est aussi le rang de la famille (C 1,,C p ) vecteurs de R n Définition 6 : Le rang d une matrice de M n,p (K) est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes Remarque 5 : Si A représente une application linéaire f L(E,F ) dans des bases B et C, alors le rang de A est le rang de f (ie la dimension de Im(f )) C est aussi le rang du système correspondant à A Pour A M n,p (K), rg(a) min(n, p) Soit A M n (K) A est inversible si et seulement si son rang est n Proposition 10 Soit A M n,p (K) a Si B M p (K) est inversible, alors le rang de AB est égal au rang de A b Si B M n (K) est inversible, alors le rang de B A est égal au rang de A Proposition 11 (Admis) Soit A M n,p (K) Le rang de t A est égal au rang de A Définition 7 : Soit A M n,p (K), on définit le noyau de A : ker A = {X M p,1 (K) / AX = 0}, qui est un sous-espace vectoriel de M p,1 (K) (identifié à K p ), l image de A : ImA = {AX, X M p,1 (K)}, sous-espace de M n,1 (K) (identifié à K n ) Magali Hillairet 4 Lycée Franklin, Orléans

Proposition 12 Théorème du rang pour les matrices Soit A M n,p (K) On a alors dimker A + dimima = p démo : découle directement du théorème du rang pour les applications linéaires 5 Utilisation des matrices inversibles Proposition 13 Caractérisation des bases Soit E un K espace vectoriel de dimension n muni d une base B Une famille (u 1,,u n ) de vecteurs de E est une base de E si et seulement si M at B (u 1,,u n ) est une matrice inversible Remarque 6 : Une famille (u 1,,u n ) de vecteurs de E est une base de E si et seulement si le rang de la famille est n, si et seulement si le rang de sa matrice dans une base de E est n Proposition 14 Caractérisation des isomorphismes Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies Soit f L (E, F ) f est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases de E et F est inversible Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit f L (E) f est bijective si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible III Trace d une matrice carrée 1 Matrices semblables Définition 8 : Soient A et B dans M n (K) Si il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP, on dit que A et B sont semblables Deux matrices représentant le même endomorphisme dans des bases différentes sont semblables Réciproquement, deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes 2 Trace Définition 9 : n Soit A = (a i j ) M n (K) La trace de A est le scalaire noté tr(a), défini par tr(a) = a i i La trace d un matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux i=1 Proposition 15 A,B M n (K), tr(a + B) = tr(a) + tr(b) A M n (K), λ K, tr(λa) = λtr(a) A,B M n (K), tr(ab) = tr(b A) Les deux premiers points expriment le fait que tr : M n (K) K A tr(a) est une forme linéaire Proposition 16 Remarque 7 : Deux matrices semblables ont la même trace On appelle trace d un endomorphisme la trace de n importe quelle matrice le représentant (elles sont toutes semblables) Soit p un projecteur de E On a tr(p) = rg(p) Magali Hillairet 5 Lycée Franklin, Orléans

IV Déterminant d une matrice carrée 1 Définition Définition 10 : Définition du déterminant dans M n (K) Il existe une unique application de M n (K) dans K appelé déterminant, telle que (1) le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes (de la matrice A M n (K)), (2) l échange de deux colonnes a pour effet de multiplier le déterminant par 1, (3) le déterminant de la matrice I n vaut 1 Explications et notations : soit A = (a i j ) M n (K), on définit det : M n (K) K A det A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Le déterminant est aussi noté det A = a n1 a n2 a nn On note (C 1,,C n ) les colonnes de A (ce sont des vecteurs-colonnes de M n,1 (K) que l on peut identifier à des vecteurs de K n ) On note alors det A = det(c 1,,C n ) Les propriétés du déterminant concernent les colonnes (1) Pour toutes colonnes C 1,,C n et C de M n,1 (K), pour tout λ K, on a k 1,n, det(c 1,,C k +C,,C n ) = det(c 1,,C k,,c n ) + det(c 1,,C,,C n ), k 1,n, det(c 1,,λC k,,c n ) = λdet(c 1,,C k,,c n ) Le déterminant est dit n-linéaire : il est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes, les autres étant momentanément fixées Le déterminant n est pas linéaire Proposition 17 Soit A M n (K), soit λ K, on a det(λa) = λ n det A (2) Pour toutes colonnes C 1,,C n et pour tout (k,l) 1,n 2 tel que k l, on a det(c 1,,C k,,c l,,c n ) = det(c 1,,C l,,c k,,c n ) Exemple 1 a Le déterminant ( dans ) M 2 (R) a b Soit A = On définit det A = ad bc c d Vérifier que le déterminant ainsi défini possède les propriétés de la définition 1 Montrer que det( t A) = det A b Le déterminant dans M 3 (R) x 1 x 2 x 3 Soit A = y y 1 y 2 y 2 y 3 3 On définit det A = x 1 z z 1 z 2 z 2 z 3 x 2 y 1 y 3 z 1 z 3 + x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 3 Vérifier que le déterminant ainsi défini possède les propriétés de la définition 1 Montrer que det( t A) = det A Proposition 18 démo a Le déterminant d une matrice ayant deux colonnes égales est nul b Le déterminant d une matrice ayant une colonne nulle est nul c Le déterminant d une matrice dont l une des colonnes est Combinaison Linéaire des autres colonnes est nul Magali Hillairet 6 Lycée Franklin, Orléans

a On utilise l échange de deux colonnes (celles identiques ici) b On utilise la linéarité par rapport à une colonne c On écrit C j = λ k C k et on utilise le premier point k j Proposition 19 (admis) Pour toute matrice A M n (K), det( t A) = det A Cela implique que le déterminant de A est aussi le déterminant de la famille de ses lignes dans la base canonique de K n Si on note C 1,,C n les colonnes de A et L 1,,L n les lignes de A, on a donc det A = det(c 1,,C n ) = det(l 1,,L n ) 2 Calcul de déterminants a Effet des opérations élémentaires On appelle opération élémentaire sur un déterminant les mêmes opérations élémentaires que celle définies sur les matrices (ou les systèmes) : échange de deux colonnes, ou de deux lignes, multiplication d une colonne (ou d une ligne) par un scalaire non nul, ajout à une colonne (ou une ligne) d une CL des autres colonnes (ou lignes) Ces opérations ont un effet simple sur le déterminant Opération sur les lignes Effet sur le déterminant Opération sur les colonnes L i L i + αl j inchangé C i C i + αc j, α K L i L j ( 1) C i C j L i αl i, α 0 1 α C i αc i, α K Proposition 20 Soit A une matrice triangulaire supérieure Le déterminant de A est égal au produit de ses coefficients diagonaux démo : Nous montrons, en travaillant avec les opérations sur les lignes pour obtenir un déterminant d une matrice échelonnée réduite, que Si l un des coefficients diagonaux de A est nul alors det A = 0 n Si tous les coefficients diagonaux de A sont non nuls alors det A = a i i i=1 En pratique : on utilise la méthode du pivot pour transformer le déterminant et se ramener à calculer le déterminant d une matrice triangulaire b Développement suivant une ligne ou une colonne Théorème 1 (admis) Soit A = (a i j ) M n (K) Soit j 1,n Le développement de det A par rapport à la colonne j est det A = n ( 1) i+j a i j det A i j, où A i j M n 1 (K) est la matrice déduite de A en supprimant la ligne i et la colonne j i=1 Remarque 8 : Vocabulaire : on appelle b i j = ( 1) i+j det A i j le cofacteur de a i j dans la matrice A et det(a i j ) s appelle un mineur On retrouve le fait que le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux Magali Hillairet 7 Lycée Franklin, Orléans

Puisque le déterminant est le même pour la matrice transposée, on peut aussi développer suivant une ligne : Proposition 21 Soit A = (a i j ) M n (K) Soit i 1,n Le développement de det A par rapport à la ligne i est det A = n ( 1) i+j a i j det A i j où A i j M n 1 (K) est la matrice déduite de A en supprimant la ligne i et la colonne j j =1 3 Propriétés et utilisations du déterminant Proposition 22 Déterminant d un produit (admis) Pour toutes matrices A, B M n (K), on a det(ab) = det A detb Pour toute matrice A M n (K), k N, det(a k ) = (det A) k Proposition 23 Soit A M n (K), A est inversible si et seulement si det A 0 démo : Soit A M n (K), A est équivalente par ligne à une matrice échelonnée réduite A 1 Cette matrice est triangulaire Les déterminants de ces deux matrices ne sont pas égaux mais proportionnels (les opérations élémentaires peuvent amener des changements de signes, et des multiplications par un scalaire non nuls) : det A 1 = αdet A avec α K Puisque A 1 est triangulaire, A 1 est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls Or det A 1 est égal au produit de ces coefficients diagonaux Donc A 1 est inversible si et seulement si det A 1 0 Mais on sait aussi que A 1 est inversible si et seulement si A est inversible On en conclut que A est inversible si et seulement si det A 0 Proposition 24 Soit A M n (K) inversible On a det(a 1 ) = 1 det A Proposition 25 Soit A et B deux matrices de M n (K) Si A et B sont des matrices semblables alors detb = det A 4 Déterminant d une famille de vecteurs dans une base Définition 11 : Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit (u 1,,u n ) une famille de n vecteurs de E On pose A = Mat B (u 1,,u n ) M n (K) On appelle déterminant dans la base B de (u 1,,u n ) le déterminant de la matrice A, et on note ce déterminant det B (u 1,,u n ) Proposition 26 Caractérisation des bases par le déterminant Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit (u 1,,u n ) une famille de n vecteurs de E La famille (u 1,,u n ) est une base si et seulement si det B (u 1,,u n ) 0 démo : (u 1,,u n ) est une base si et seulement si A = Mat B (u 1,,u n )est inversible, donc si et seulement si det A = det B (u 1,,u n ) est non nul Magali Hillairet 8 Lycée Franklin, Orléans

Remarque 9 : Cette propriété est valable quelle que soit la base B choisie : le déterminant d une famille de vecteurs dépend de la base dans laquelle on l exprime mais le fait que ce déterminant soit nul ne dépend pas du choix de la base Notez bien qu il faut exactement n vecteurs dans une famille de vecteurs d un espace de dimension n pour calculer un déterminant : c est ce qui assure que la matrice A = Mat B (u 1,,u n ) est bien une matrice carrée! Propriétés du déterminant dans une base d une famille de vecteurs Proposition 27 Le déterminant d une famille de vecteurs dont deux d entre eux sont égaux est nul Le déterminant d une famille de vecteurs contenant le vecteur nul est nul Le déterminant d une famille liée est nul Considérons le déterminant dans une base comme une application : det B : E n K (u 1,,u n ) det B (u 1,,u n ) Proposition 28 Le déterminant dans une base B est linéaire par rapport à chacune de ses variables Le déterminant d une famille est transformé en son opposé si l on échange deux vecteurs On ne change pas le déterminant d une famille de vecteurs en ajoutant à l un des vecteurs une CL des autres Traduction des deux premières propriétés : Multi-linéarité : (u 1,,u n ) E n, u E, λ K, on a pour tout k 1,n, det B (u 1,,u k + u,u n ) = det B (u 1,,u k,u n ) + det B (u 1,,u,u n ), det B (u 1,,λu k,u n ) = λ det B (u 1,,u k,u n ) Echange de deux vecteurs : pour tout (u 1,,u n ) E n, (i, j ) 1,n, i j, det B (u 1,,u j,,u i,u n ) = det B (u 1,,u i,,u j,,u n ) On dit que l application det B est une forme multilinéaire alternée 5 Déterminant d un endomorphisme Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B 0 et B 1 deux bases de E Soit f L (E) On note A 0 = Mat B0 (f ) et A 1 = Mat B1 (f ) Ces deux matrices sont semblables : A 1 = P 1 A 0 P avec P = P(B 0,B 1 ) GL n (K) Leur déterminants sont donc égaux : det A 0 = det A 1 Définition 12 : Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit f L (E) On appelle déterminant de f, et on note det f, le déterminant de la matrice A M n (K) représentant f dans la base B Ce déterminant ne dépend pas de la base choisie Proposition 29 Soit E un K ev de dimension n muni d une base B = (e 1,,e n ) et soit f L (E) Le déterminant de f est égal à det B (f (e 1 ),, f (e n )) démo : Posons A = Mat B (f ) On remplit A en inscrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs f (e j ) dans la base B, donc A = Mat B (f (e 1 ),, f (e n )) On a donc det f = det A = det B (f (e 1 ),, f (e n )) Magali Hillairet 9 Lycée Franklin, Orléans

Proposition 30 Caractérisation des automorphismes Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit f L (E) f est un automorphisme si et seulement si det f 0 démo : f est linéaire par hypothèse f est bijective si et seulement si sa matrice A dans une base de E (quelconque) est inversible, donc si et seulement si det f = det A 0 Proposition 31 Soit E un K espace vectoriel de dimension n det(id E ) = 1 λ K, f L (E), det(λf ) = λ n det(f ) f, g L (E), det(f g ) = det(f )det(g ) f L (E), k N, det(f k ) = (det f ) k Soit f L (E) Si f est bijective alors det(f 1 ) = 1 det f démo : direct en utilisant les propriétés du déterminant d une matrice Gabriel Cramer (1704-1752) Pierre simon Laplace (1749-1827) Magali Hillairet 10 Lycée Franklin, Orléans