Chapitre 2 : DYNAMIQUE EN REFERENTIEL NON-GALILEEN Notions et contenus 1.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen Cas d un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen : force d inertie d entrainement Cas d un référentiel en rotation uniforme autour d un axe fixe dans un référentiel galiléen : force d inertie d entraînement, force d inertie de Coriolis. Exemples : - champ de pesanteur : définition, évolution qualitative avec la latitude, ordres de grandeur ; - équilibre d un fluide dans un référentiel non galiléen en translation ou en rotation uniforme autour d un axe fixe dans un référentiel galiléen. Capacités exigibles Déterminer la force d inertie d entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Exprimer la force d inertie axifuge et la force d inertie de Coriolis. Associer la force d inertie axifuge à l expression familière «force centrifuge». Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel. Établir et utiliser l expression de la force d inertie d entraînement volumique. Approche documentaire : associer les marées à un terme gravitationnel différentiel et comparer l influence de la et du Soleil pour analyser des documents scientifiques. Approche documentaire : utiliser l expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientifiques portant sur les effets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins. Problématique : le programme de première année se restreint aux mouvements dans des référentiels galiléens, or il arrive souvent que l on se trouve dans d autres cas : Voiture ou ascenseur en phase d accélération ; Manège ; Mouvement de la Terre! On peut toujours se rapporter à un référentiel galiléen, cependant il est plus pratique d adapter les lois de la mécanique pour comprendre les expériences vécues en référentiel non galiléen. 1. Rappels : Les référentiels galiléens sont définis par le principe d inertie : dans un référentiel galiléen tout point matériel isolé est animé d un mouvement rectiligne uniforme (PCSI). Les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres (PCSI). Soit R un référentiel galiléen, auquel est attaché un système d axes Oxyz, de vecteurs unitaires e!, e! et e! et R un référentiel non galilen, donc animé par rapport à R d un mouvement à priori quelconque, auquel est attaché un système d axes O x y z d origine O et de vecteurs unitaires e!!, e!! et e!!. Comme dans le chapitre précédent, R est le référentiel absolu et R le référentiel relatif.
2. Cas d un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen : 2.1. Principe fondamental de la dynamique : Dans R, le principe fondamental s exprime par : ma r = F ext + F!e F!e = ma e est la force d inertie d entrainement. 2.2. Théorème du moment cinétique : Soit O un point fixe par rapport au référentiel R : dσ O! dt R! = M O! (F ext + F!e ) 2.3. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique : ΔE c = W F ext + W(F!e ) de c dt = F ext. v r + F!e. v r 3. Cas d un référentiel en rotation uniforme autour d un axe fixe par rapport à un référentiel galiléen : 3.1. Principe fondamental de la dynamique : Dans R, le principe fondamental s exprime par : avec ma r = F ext + F!e + F!c F!e = ma e = mω 2. HM Force d inertie d entrainement, appelée «force axifuge» ou «force centrifuge» H M F!!!!!!e O e!!!!!
F!c = ma c = 2mω v r Force d inertie de Coriolis H ω!!! O F!!!!!!c M e!!!!! v!!!! r 3.2. Théorème du moment cinétique : Soit O un point fixe par rapport au référentiel R ; dσ O! = M dt O! (F ext + F!e + F!c ) R! 3.3. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique : La puissance de la force de Coriolis est nulle, ainsi : ΔE c = W F ext + W(F!e ) Exemple : pendule conique. de c dt = F ext. v r + F!e. v r 4. Dynamique en référentiel terrestre : 4.1. Le référentiel terrestre : La meilleure approximation de référentiel galiléen à l échelle du système solaire est le référentiel de Copernic, dont l origine est au centre de masse du système solaire et dont les axes pointent vers trois étoiles fixes. Le référentiel géocentrique a son origine au centre de masse de la Terre, ses axes pointent vers trois étoiles fixes. Référentiel de Copernic Référentiel terrestre Référentiel géocentrique
En conséquence, son mouvement est celui du centre de masse de la Terre : il est en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic. Le référentiel géocentrique n est pas galiléen ( cf analyse documentaire sur les effets de marée ). On peut le considérer comme tel sur des échelles de temps de l ordre de la journée. Le référentiel terrestre est en rotation par rapport au référentiel géocentrique : il n est donc pas galiléen. 3.2. Le poids : Définition : le poids P d'un point matériel est la résultante de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la terre. Rappel : au voisinage de la surface terrestre et dans l approximation sphérique, le champ de gravitation du à la Terre s écrit :!" A (RT ) = GM!"! T u 2 r R T où : G =6,67.10-11 kg -1.m 3.s -2 est la constante de gravitation ; RT = 6,37.10 6 m est le rayon terrestre ; MT = 5,97. 10 24 kg est la masse de la Terre. On a donc : P = m A M + ω 2 HM où H est le projeté de M sur l axe de rotation. La direction du poids définit la verticale du lieu. L accélération de la pesanteur est donc : g = A M + ω! HM Elle varie entre le Pole et l Equateur : A M = 9,8 m.s -2 ; RT.Ω 2 = 3,4.10-2 m.s -2. 3.3. Le terme de marées : a)modèle très simple : Terre-Soleil. Le principe fondamental appliqué à la Terre de centre O dans le référentiel de Copernic s écrit, en nommant A! (O) le champ gravitationnel en O créé par le Soleil : M! a O = M! A! (O) (1) Or le référentiel géocentrique est non galiléen, en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic ; son accélération d entrainement dans le référentiel de Copernic est a O. On considère un point M de masse m à la surface de la Terre, dans le référentiel géocentrique, soumis à l interaction gravitationnelle due à la Terre et à l interaction gravitationnelle due au Soleil.
Le principe fondamental appliqué à ce point s écrit dans ce référentiel : ma M = F + ma! (M) + ma! (M) ma! où : AT (M ) est le champ de gravitation du à la terre en M, A! (M) est le champ de gravitation du au Soleil en M ; F représente les forces autres que les forces de gravitation exercées sur M. En remplaçant a! par son expression déduite de (1), on obtient : ma M = F + ma! (M) + m A! (M) A! (O) On appelle force de marée ou terme de marée le terme différentiel m A! (M) A! (O). ma!!!! (M)! ma!!!! (O)! b) Modèle plus précis : Terre-Soleil- : Le terme de marée du à la : m A! (M) A! (O) est environ 2 fois plus important que celui du au Soleil! Les termes de marées des deux astres s ajoutent vectoriellement ; on observe en conséquence des marées de mortes eaux et de vives-eaux. Terre Soleil premier quartier (morte eaux) pleine (vive eaux) dernier quartier (morte eaux) nouvelle (vive eaux) Figure 3 : le cycle de vives-eaux / mortes-eaux vient de la superposition des effets de la lune et