Bellepierre 25 septembre 2013
Introduction Arthur Cayley En 1858, Arthur Cayley (1821-1895), un mathématicien anglais, utilise pour la première fois la notation matricielle. Cayley suggérait que cette notation simplifiait les systèmes d équations linéaires. Cette pratique a par la suite été popularisée par le physicien Werner Heisenberg au milieu des années 1920. Aujourd hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l économie.
Exemple Un magasin d informatique Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 10 5 15 Pc(Bureau) 4 3 7 Pc(Serveur) 2 6 5 Pc(Jeu) 10 1 9 Les matrices sont en quelque sorte des tableaux avec des colonnes, des rangées (lignes) et des éléments. On définit donc une matrice comme étant un tableau rectangulaire de nombres. 10 5 15 4 3 7 2 6 5 10 1 9
Notations Lignes et colonnes 10 5 15 M = 4 3 7 2 6 5 10 1 9 La matrice M a 4 lignes et 3 colonnes Coefficients m 1,1 m 1,2 m 1,3 M = m 2,1 m 2,2 m 2,3 m 3,1 m 3,2 m 3,3 m 4,1 m 4,2 m 4,3 m i,j est le coefficent de la ligne i et la colonne j. Notations On note la matrice M = (m i,j ) pour 1 i 4 et 1 j 3. On dit que m i,j est le terme général de la matrice M.
s particulières s carrées 10 5 15 4 3 7 Autant de ligne que de colonne. 2 6 5 s identités 1 0 0 0 1 0 carrée avec une diagonale principale de 1. 0 0 1 nulle 0 0 0 M = 0 0 0 0 0 0 Tout les coefficients sont nuls. 0 0 0 m i,j = 0 pour tout i et j tels que 1 i 4 et 1 j 3.
Égalité de deux matrices Définition Pour que deux matrices A et B soient égales, il faut : qu elles soient de même taille, c est-à-dire qu elles aient le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, et que leurs coefficients de mêmes indices soient égaux deux à deux. Contre exemple Les matrices A = ( ) 0 0 0 0 0 et B = 0 0 ne sont pas égales. 0 0 0 0 0
Calcul matriciel élémentaire Exemple : la fusion de 2 magasins A et B A Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 10 5 15 Pc(Bureau) 4 3 7 B Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 2 4 11 Pc(Bureau) 1 1 5 A+B Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 10+2=12 5+4=9 15+11=26 Pc(Bureau) 4+1=5 3+1=4 7+5=12
Calcul matriciel élémentaire : addition Exemple ( ) 10 5 15 A = 4 3 7 ( ) 2 4 11 B = 1 1 5 ( ) 12 9 26 A + B = = 5 4 12 Remarque ( 10 + 2 5 + 4 ) 15 + 11 4 + 1 3 + 1 7 + 5 On peut additionner ou soustraire deux matrices si et seulement si elles sont de mêmes dimensions.
Calcul matriciel élémentaire : multiplication par un nombre exemple en doublant A Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 10 5 15 Pc(Bureau) 4 3 7 2A Processeurs Cartes mère Disque dur Portable 20 10 30 Pc(Bureau) 8 6 14 Définition La multiplication d une matrice A par un nombre réel k donne une nouvelle matrice ayant les mêmes dimensions que A, mais dont chaque élément est multiplié par k.
Calcul matriciel élémentaire : multiplication de deux matrices Exemple Le magasin décide de représenter sous forme de matrices ses profits. Notons A = ( p c m ) où p= Processeurs, c=cartes mère et d=disque dur 100 et B = 150 la matrice des prix en Euro. 80 Le profit s obtient en multipliant le nombre de chaque produit par son prix puis en ajoutant les montants. C = ( p 100 + c 150 + d 80 ) Supposons que p=10, c=2 et d=5. C = ( 10 100 + 2 150 + 5 80 ) = ( 1700 )
Calcul matriciel élémentaire : multiplication de deux matrices Exemple 2 Le propriétaire de magasins d informatique spécialisé dans la vente de d ordinateurs portables possède des magasins à Saint-Benoit, Saint-Denis, Saint-Paul, Saint-Pierre. Trois modèles sont disponibles dans ses magasins : Base à un prix de 200 euros, Média qui se vend à 300 et Super disponible à 500. Le coût payé par le propriétaire pour obtenir ces ordinateurs dans ses magasins est de 100 pour le modèle Base, 200 pour le modèle Média et 350 pour le modèle Super. Au cours de la dernière semaine, le magasin de Saint-Benoit a vendu 5 Base, 6 Média et 4 Super. À Saint-Denis, les ventes au cours de la même période ont été de 3 Base, 5 Média et 3 Super alors qu à Saint-Paul les ventes ont été de 4 Base, 7 Média et 2 Super. À Saint-Pierre, 6 Base, 11 Médias et 2 Super ont été vendus durant la même semaine.
Que représente les matrices suivantes? 5 6 4 A = 3 5 3 4 7 2 6 11 2 200 B = 300 500 4800 5 6 4 Et C = 3600 3900 = 3 5 3 200 4 7 2 300 500 5500 6 11 2 Comment calcule-t-on la matrice C?
5 6 4 Que représente les matrices A = 3 5 3 4 7 2 6 11 2 200 100 B = 300 200 500 350 4800 3100 5 6 4 C = 3600 2350 3900 2500 = 3 5 3 200 100 4 7 2 300 200 500 350 5500 3500 6 11 2 Comment calcule-t-on la matrice C?
Calcul matriciel élémentaire : compatibilité des dimensions Addition Pour pouvoir ajouter deux matrices, elles doivent avoir les mêmes dimensions. Multiplication Pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonne de la première matrice doit être égale au nombre de ligne de la seconde matrice. a 1,1...... a 1,n a 2,1...... a 2,n b 1,1... b 1,q.......................................... = b a p,1...... a n,1... b n,q p,n avec pour 1 i p et 1 j q, c i,j = n k=1 a i,kb k,j c 1,1... c 1,q........................... c p,1... c p,q
Calcul matriciel élémentaire : Propriétés Commutativité de l addition A + B = B + A Associativité de l addition A + (B + C) = (A + B) + C Distributivité de la multiplication par un scalaire sur l addition m(a + B) = ma + mb Distributivité de la somme de scalaires sur la multiplication par un scalaire (m + n)a = ma + na
Calcul matriciel élémentaire : Propriétés Associativité du produit matriciel A (BC) = (AB)C Distributivité du produit matriciel sur l addition A (B + C) = AB + AC à gauche (A + B)C = AC + BC à droite Associativités mixtes m(ab) = (ma)b m(na) = (mn)a Non-commutativité du produit matriciel en général AB BA Existence de diviseurs de zéro AB = 0 ne signifie pas que A=0 ou B=0
Notion d inverse Définition A et B sont deux matrices carrés de même ordre. notation B = A 1 Si AB=BA=I alors la matrice B est l inverse de la matrice A. Exemple ( ) ( ) 4 3 4 3 A = et B = 5 4 5 4 ( ) ( ) ( ) 4 3 4 3 1 0 = 5 4 5 4 0 1 Ainsi AB = I. On a bien B = A 1
Existence éventuelle d une matrice inverse Contre exemple Toutes les matrices carrées n admettent pas forcément une matrice inverse. 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Unicité de l inverse Lorsque la matrice inverse existe, elle est unique et elle commute avec son inverse. inverse et résolution de systèmes Y=AX Je connais Y et A Je cherche X. Si A est inversible alors X = A 1 Y
inverse et résolution de systèmes Exemple x 2y + 2z = 1 2x + 12y + z = 5 revient à résoudre AX=Y avec 3x 12y + 8z = 1 1 2 2 x 1 A = 2 12 1, X = y, Y = 5 On donne 3 12 8 z 1 54/7 4/7 13/7 A 1 13/14 1/7 3/14 Déterminer X? 30/7 3/7 8/7
3 X = 0 1