PARALLELOGRAMME I- Définition: (AB) est parallèle à (DC) (AD) est parallèle à (BC) ABCD est un parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux II- Propriété des diagonales: Soit ABCD un parallélogramme et O le point d'intersection de ses diagonales O est le milieu de [AC] O est le milieu de [BD] Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu Remarques: 1) O est le centre de symétrie du parallélogramme 2) O s'appelle le centre du parallélogramme Soit RSTU un parallélogramme de centre I. On donne: RT = 7,8 cm et SI = 2,1 cm Calculer RI et SU (Justifier) RI = RT : 2 = 7,8 : 2 = 3,9 cm SU = 2 x SI = 2 x 2,1 = 4,2 cm car: Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu III- Propriété des côtés: Soit ABCD un parallélogramme. AB = DC et AD = BC Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur 1
EFGH est un parallélogramme tel que: EF = 5,1 cm et FG = 2,7 cm Compléter: HG =... cm et EH =... cm (Justifier) HG = 5,1 cm et EH = 2,7. cm car: Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur 3) Construction avec le compas: [AB]et [AD] étant donnés, construire le point C tel que ABCD soit un parallélogramme IV- Propriété des angles: On trace; - un arc de cercle de centre D, de rayon AB - un arc de cercle de centre B, de rayon AD Le point C est à l'intersection de ces deux arcs Soit ABCD un parallélogramme. 1) A = C et B = D 2) A + B = 180 ; B + C = 180 ; C + D = 180 D + A = 180 Dans un parallélogramme: - les angles opposés sont égaux - deux angles consécutifs sont supplémentaires Soit IJKL un parallélogramme tel que: I = 58 1) Compléter K =... (Justifier) 2) Calculer J (Justifier) 1) K = 58 car: Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont égaux 2) J = 180-58 = 122 ccar: Dans un parallélogramme deux angles consécutifs sont supplémentaires 2
V- Quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu: Soient [AC] et [BD] deux segments ayant le même milieu Alors ABCD est un parallélogramme Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme Soit DEF un triangle. 1) Construire: G symétrique de D par rapport à F H symétrique de E par rapport à F 2) Montrer que DEGH est un parallélogramme 1) On obtient la figure ci-contre 2) Par construction des symétriques, on a: F milieu de [DG] F milieu de [EH] Donc DEGH est un parallélogramme car: Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme VI- Quadrilatère ayant deux côtés parallèles et de même longueur: Soient [AB] et [CD] deux segments parallèles et de même longueur Cas 1 Cas 2 ABCD est un parallélogramme ABCD n'est pas un parallélogramme (c'est un quadrilatère croisé) Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 3
C est le milieu de [BD] BCEF est un parallélogramme Montrer que CDEF est un parallélogramme. Comme BCEF est un parallélogramme, alors BC = EF car: Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Comme C est le milieu de [BD], alors BC = CD Comme BC = EF et BC = CD, alors EF = CD De plus, comme BCEF est un parallélogramme, on a (BC) parallèle à (EF), donc, comme B, C, D sont alignés, (CD) parallèle à (EF) Finalement, on a donc: CD = EF et (CD) parallèle à (EF) Donc CDEF est un parallélogramme car: Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. VII - Exercices: Exercice 1: Soit STUV un parallélogramme La parallèle à (TV) passant par S coupe (UV) en I et (TU) en J 1) Faire une figure 2) Montrer que JTVS est un parallélogramme 3) Montrer que TU = SV et JT = SV 4) Montrer que T est le milieu de [JU] Exercice 2: LMN est un triangle tel que MLN = 62 et LM = 4,5 cm I est le milieu de [MN] K est le symétrique de L par rapport à I 1) Montrer que LNKM est un parallélogramme. 2) Compléter: NK =... cm (Justifier) 3) Compléter MKN =... (Justifier) 4) Calculer LNK (Justifier) Exercice 3: Montrer que FGHI est un parallélogramme 4
PARALLELOGRAMME - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: Exercice 2: Exercice 3: 1) On obtient la figure ci-contre 2) Comme STUV est un parallélogramme, alors: (SV) est parallèle à (TU), donc à (JT) Comme (SV) est parallèle à (JT) et (JS) est parallèle à (TV) d'après l'énoncé, alors JTVS est un parallélogramme 3) Comme STUV est un parallélogramme, alors TU = SV car: Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur Comme JTVS est un parallélogramme, alors JT = SV d'après la même propriété. 4) Comme TU = SV et JT = SV, alors TU = JT Les points J, T, U sont alignés, et JT = SV, donc T est le milieu de [JU] 1) I est le milieu de [MN] et de [LK] Donc LNKM est un parallélogramme car: Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est un parallélogramme 2) NK = 4,5 cm car: Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur 3) MKN = 62 car: Dans un parallélogramme les angles opposés sont égaux. 4) LNK = 180-62 = 118 car: Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires D'après le codage, les angles FGI et GIH sont égaux, donc (FG) est parallèle à (IH) car: Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes internes égaux, alors ces droites sont parallèles On a alors: (FG) est parallèle à (IH) et FG = IH (d'après le codage). Donc FGHI est un parallélogramme car: Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme 5