PSI FEUILLE D EXERCICES DE PHYSIQUE N 14 19/1/218 217/218 Thème: Electrostatique Applications directes : 1. Atome de Bohr L atome de Bohr est une représentation de l atome d Hydrogène, consitué d un proton et d un électron. a) Calculer la valeur numérique du champ électrostatique produit par un proton à une distance de a= 53pm, appelée rayon de Bohr. b) Représentez la force subie par l électron de l atome d hydrogène dont la probabilité de présence maximale se trouve sur le rayon de Bohr. Déterminer la valeur de cette force. Dans le modèle de Bohr, on suppose que l électron est animé d un mouvement circulaire uniforme autour du proton. c) Exprimer l accéleration de l électron en coordonnées polaires. En déduire la vitesse de l électron sur sa trajectoire, sachant que la masse d un électron est de 9,.1-31 kg. 2. Champs et forces électrostatiques Soient deux charges Q et Q respectivement en M et M, deux points distants de d. 1. Comparer les normes des champs électrostatiques auxquels sont soumises les charges Q et Q. 2. Même questions pour les forces subies par Q et Q. 3. On suppose que Q = - 3Q. Tracer l allure des lignes du champ électrostatique, un tube de champ et préciser dans ce tube les régions où le champ est plus intense. (On pourra s aider d un logiciel) existe-t-il un endroit où le champ est nul? 3. Plan de symétrie et d antisymétrie 1. Déterminer la position de M, symétrique de M par rapport au plan M E(M) 2. Tracer le champ électrostatique en M si est un plan de symétrie de la distribution de charges. Proposer une distribution de charges satisfaisant cette condition. 3. Tracer le champ électrostatique en M si est un plan d antisymétrie de la distribution de charges. Proposer une distribution de charges satisfaisant cette condition. 4. Boule creuse Une boule creuse de centre O et de rayon R, porte une charge q répartie uniformément à sa surface. a) Déterminer le champ électrique créé en tout point de l espace et représenter graphiquement la fonction trouvée. Est-ce que ce champ est continu en R? b) En déduire le potentiel en tout point de l espace et représenter graphiquement la fonction trouvée. c) Exprimer V(R) en fonction de E(R). d) Au Palais de la Découverte, une telle sphère est portée au potentiel Vo = 1 V. Quelle valeur minimale doit-on donner au rayon de la sphère si la valeur du champ sur la sphère doit rester inférieure au champ disruptif de l air Ed = 3.1 6 V.m -1? Si le champ sur la sphère devient supérieur au champ disruptif de l air une étincelle se produit et la sphère se décharge. e) Déterminer pour ce rayon la valeur de la charge portée alors par la sphère. f) Que se passe-t-il si R diminue? Justifier le «pouvoir des pointes»
5. Electrisation du sol Lors d un orage peut se développer au niveau du sol une zone chargée. On a tracé les équipotentielles au niveau d une aspérité. Celle-ci est supposée conductrice donc sa surface est une équipotentielle. L unité de longueur choisie ici est celle du rayon de la sphère R = 1m. V = - 1,5 kv V = - 1, kv V = -,5 kv V = -,3 kv V = a) Représenter l allure de quelques lignes de champ. b) Quel est le signe de la charge portée par l aspérité? c) Dans quelles régions le champ est-il le plus intense? d) Evaluer sa valeur au sommet de l aspérité. e) La valeur du champ disruptif de l air est de 3 kv.cm -1. Commenter. 6. Champ électrique à l intérieur d un condensateur plan : Dans quelles conditions peut-on modéliser un condensateur plan par deux plans infinis uniformément chargés? Montrer que le champ créé par une telle distribution est forcément perpendiculaire aux plans et qu il ne dépend que de la distance aux plans. En choisissant une surface de Gauss qui engloble les deux plans, montrer que le champ à l extérieur du condensateur est nul. En choisissant une surface de Gauss qui englobe un seul des deux plans, montrer que le champ à l intérieur du condensateur est uniforme et donner sa valeur. Tracer les lignes de champ et les équipotentielles. EXERCICES : Conséquences d une distribution à symétrie sphérique On considère une sphère de centre O et de rayon R. 1. On suppose que cette sphère est uniformément chargée en surface avec une densité surfacique de charge. Déterminer les éléments de symétrie de ce système. Que peut-on en déduire quant au champ créé par cette distribution? Tracer une surface de Gauss adaptée et déterminer le champ créé par cette distribution de charges en tout point de l espace. Représenter graphiquement le champ obtenu. Est-ce une fonction continue en R? Si non, déterminer la valeur de cette discontinuité : E(R + ) E(R - ). 2. Déterminer la valeur du potentiel électrique en tout point de l espace et tracer V(r). 3. Sur la sphère précédente, on munit l espace d un repère cartésien (O, ux, uy, uz). On suppose que la densité surfacique de charge sur la sphère précédente vaut -pour z > et + pour z <. Etudier les symétries de ce système. Que peut-on en déduire quant au champ créé par cette distribution? II. Distribution linéïque On considère une droite Oz chargée avec une densité uniforme linéïque.
1. Définir et donner les unités de 2. Déterminer les éléments de symétrie de cette distribution. Que peut-on en déduire quant au champ créé par cette distribution? 3. Tracer une surface de Gauss adaptée. 4. Déterminer le champ électrique créé par cette distribution en tout point de l espace et en faire une représentation graphique. 5. Mêmes questions pour le potentiel. III. Champ créé par un répartition volumique infinie de charges Soient les plans d abscisse z = a et z = -a entre lesquels se trouve une distribution volumique de charge uniforme égale à o. A l extérieur des plans la charge est nulle. Déterminer le champ électrique en tout point de l espace. Que se passe-t-il lorsque a tend vers zéro? IV. Champ électrique dans une cavité 1. Calculer le champ électrique créé par une sphère uniformément chargée en volume de centre O, de rayon R en tout point de l espace. Représenter graphiquement ce champ. A l intérieur de cette sphère on creuse une cavité sphérique de centre O et de rayon R. (R forcément inférieur à R!). Il n y a pas de charges à l intérieur de cette cavité. 2. Justifier que l application directe du théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique en un point M de la cavité est impossible. 3. En remarquant que la cavité vide de charges peut être modélisée par la superposition d une sphère uniformémént chargée de charge + Q et d une sphère uniformément chargée de charge Q, déterminer le champ électrique à l intérieur de la cavité et montrer qu il y est uniforme. V. Champ électrostatique créé par une spire chargée Soit une spire de rayon R, de centre O et d axe Oz. Cette spire porte une charge positive Q répartie uniformément avec une densité linéïque. 1. Quelles sont les unités de? Exprimer Q en fonction de 2. Quelle est la valeur du champ électrique au centre de la spire? Soit M un point quelconque de l axe de la spire de cote z. 3. Déterminer la direction du champ électrostatique en M. Comparer E(z) et E(-z). 4. Quelle doit-être la valeur de E lorsque z tend vers l infini? En déduire l allure de la fonction E(z). 5. Pourquoi ne peut-on pas utiliser le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique en M? On donne l expression de E(z) =. 6. Vérifier l homogénéïté de la relation. Tracer précisement le graphe de E(z). On s intéresse maintenant au champ électrostatique créé par cette distribution de charges en M au voisinage de l axe Oz. 7. Après avoir choisi un repère adéquat, déterminer la direction et les coordonnées spatiales dont dépend le champ électrique. 8. Calculer le flux du champ électrique à travers une surface fermée cylindrique d axe Oz dont les bases sont des disques de rayon r petit, centré, sur Oz et de cotes z et z + dz. Puisque les disques sont petits et qu on reste à proximité de l axe, on suppose que le champ uniforme sur les disques. En déduire l expression de la composante radiale du champ électrique. Quelles sont les valeurs de z qui annulent cette composante? VI. Modèle plan d atmosphère chargée Bien que la terre soit sphérique, une étendue locale de la répartition des charges au sol et de celles de l atmospère, peut être simplifiée en négligeant toute courbure pour des étendues de quelques kilomètres. On considère que l atmosphère occupant le demi espace z porte la densité volumique de charge, a étant une constante positive et d une distance
caractéristique, alors que la surface terrestre, assimilée à un plan infini, porte la densité surfacique uniforme de charge t. 1. Donner les unités de t et a. Déterminer la charge atmosphérique contenue dans un cylindre de section S, d axe Oz et de hauteur h. Sachant que l ensemble terre-atmosphère est électriquement neutre, déterminer une relation entre t et a. 2. Déterminer la direction du champ électrique créé par la terre et l atmopshère. 3. On admet que le champ électrique est nul dans le sol. Déterminer l expression du champ électrique en fonction de l altitude z en appliquant le théorème de Gauss. Représenter graphiquement la fonction E(z). 4. Au niveau du sol, on mesure un champ électrique dont la valeur est de 1 V.m -1 et à l altitude de 17 m la valeur de E est égale à 1% de sa valeur initiale. Déterminer les valeurs de a et d. VII. Mesure de charges On cherche à détecter, par microscopie à force électrostatique, des charges électriques stockées dans un isolant déposé sur un conducteur. Deux plaques conductrices de surface S (armatures) occupent les plans z = et z = l. Les charges sont uniformément réparties à l intérieur d un volume en grisé, défini par z h.on note la densité volumique de charges dans cet espace. L origine des potentiels électriques est choisie sur la surface conductrice étudiée en z =. Les deux surfaces conductrices sont reliées à la masse. a) A partir de l équation de Poisson, déterminer les équations différentielles vérifiées par le potentiel dans chacune des deux régions de l espace. b) Déterminer V(z). On rappelle que le potentiel et le champ sont des fonctions continues à l interface d une distribution volumique de charges. Déterminer E( l ) c) Représenter graphiquement V(z). On prendra h / l =,2. d) On suppose que l armature en z = l porte une densité surfacique de charge. Le champ électrique au dessus de cette armature étant nul, déterminer en appliquant le théorème de Gauss, la valeur du champ électrique juste en dessous de cette armature, en fonction de. e) En déduire l expression de en fonction de et des dimensions du problème. f) Quelle est l expression de la force subie par l électrode supérieure? Quel peut-être le principe de la mesure de la charge q présente au voisinage de la surface z =? VIII. Capteur de proximité capacitif Comme le montre la figure 1a ci-contre, la tête de mesure de ce capteur est formée d un conducteur cylindrique (A) et d une enveloppe métallique coaxiale (B). L interaction entre l armature interne A et l armature externe B est modélisée par un condensateur de capacité fixe Ce. Le but de la mesure est de détecter la distance z entre la tête de mesure et la cible métallique. Lorsque la cible métallique s approche de l extrémité des conducteurs (A) et (B), ceux-ci constituent avec elle deux autres condensateurs : l un, de capacité C(z), a pour armatures le disque externe du Figure 1a conducteur central cylindrique (A) de diamètre 2r et z est la distance qui le sépare de la cible ; l autre est un condensateur parasite, de capacité Cp(z), formé par l enveloppe extérieure (B) du capteur et la cible. Le schéma électrique équivalent du capteur est représenté sur la figure 1b. 1) Justifier le schéma électrique de la figure 1b. z cible métallique armature interne (A) 2 r e armature externe (B) Tête de mesure B A
Dans ce problème, on envisage le cas de condensateurs plan ou cylindrique, pour lesquels on néglige les effets de bord. 2) Donner la définition d un condensateur électrostatique. Représenter les condensateurs Ce et C(z), avec leurs dimensions caractéristiques. Précisez les relations d ordre imposées à ces grandeurs caractéristiques pour pouvoir négliger les effets de bord. Après une étude des propriétés de symétrie de chaque condensateur, dessinez, dans chaque cas les lignes de champ électrique à l intérieur de ceux-ci. Quelle est la relation qui lie le champ électrique et le potentiel électrostatique? Rappeler la définition d une surface équipotentielle, puis en représenter une pour chacun des cas envisagés. 3) On considère un plan «infini» de surface S portant une charge + Q répartie uniformément. Déterminer le champ électrique créé par cette distribution de charges en tout point de l espace. Considérons un condensateur plan dont les faces en regard sont distantes de d et de surfaces S, supposées «infinies» ; le vide règne entre ces deux électrodes. 4) Exprimer, en le justifiant, le champ électrique dans le condensateur en fonction de la charge Q qu il emmagasine, de S et de ; en déduire sa capacité C. Que vaut le champ électrique à l extérieur du condensateur? Etudions maintenant un condensateur cylindrique de longueur infinie. Le rayon de son armature interne est r1 et le rayon de son armature externe est r2 ; est la permittivité du vide entre ces deux électrodes et Q la charge d une armature de longueur. 5) Exprimer, en le justifiant, le champ électrique dans le condensateur. En déduire la capacité C de ce condensateur pour une longueur commune des électrodes. Ecrire le résultat sous la forme : C ln r / r et identifier. 2 1 6) Ecrire l expression de la capacité C(z) en fonction de, r et z, puis celle de la capacité Ce en fonction de,, r et e. 7) Déterminer la capacité CAB de la tête de mesure en fonction de Ce, C(z) et Cp(z). 8) Proposer une opération technique simple permettant de s affranchir de la capacité parasite Cp(z) (ce qui sera le cas dans la suite de l exercice : Cp ). 9) Ecrire l expression finale de la capacité CAB en fonction de,, r, e et z, sachant que la distance e entre les armatures en regard est faible devant leurs rayons respectifs. (effectuer pour cela un développement limité au 1 er ordre en e/r) Le capteur fonctionne pour une distance cible-tête de mesure z variant d une faible quantité z à partir d une valeur de référence z : z z Δz (avec l approximation z / zo << 1). 1) Montrer que la capacité CAB peut s écrire sous la forme : CAB C 1 k z ; identifier C et k, z puis calculer de façon approchée leurs valeurs numériques à l aide des données suivantes : r 1 mm, C(z) Cp(z) Figure 1b Ce 1 mm, e 1mm, z A B 2 mm et 12 1. 9.1 F.m