03 èmes Jeudi 19 novembre 2015 Consignes : Formulaire pour le DS DS de mathématiques n 3 Sans calculatrice - Scotcher l énoncé à la fin de la copie (comme dernière page). - Soigner la présentation des calculs les notations l orthographe. - Sauf mention contraire détailler les calculs et justifier les réponses. 11² = 121 ; 12² = 144 ; 13² = 169 ; 14² = 196 ; 15² = 225 ; 16² = 256 ; 17² = 289 18² = 324 ; 19² = 361 ; 20² = 400 ; 21² = 441 ; 22² = 484 ; 23² = 529 ; 24² = 576 Exercice 1 (6 points) 1) Donner l écriture décimale de A sachant que A = ( ) ². 2) Donner l écriture scientifique de B sachant que B = ². 3) Les grains de sable de la plage de Syracuse sont fins puisqu il en faut 10 pour faire un volume de 1 mm 3. Il y a du sable sur une épaisseur de 1 m et la plage mesure 50 m de large sur 2 km de long. Exprimer sous forme de puissance de 10 l ordre de grandeur du nombre de grains de sable. Exercice 2 (3 points) On veut remplir une piscine à l'aide d'un robinet dont le débit est de 3 m 3 h 1. Cette piscine a la forme d un pavé droit dont la base a pour dimensions 4 m sur 6 m 1) Il y a 15 m de hauteur d'eau. Calculer le volume d'eau de cette piscine. 2) Combien de temps faut-il pour remplir cette piscine? 3) Convertir le débit du robinet en L min 1. Exercice 3 (7 points) Un professeur d'eps fait courir ses élèves autour d'un stade rectangulaire mesurant 90 m de long et 60 m de large. 1) Calculer en mètres la longueur d'un tour de stade. 2) Les élèves ont 24 minutes pour effectuer 15 tours à vitesse constante. Combien de temps un élève doit-il mettre pour faire un tour? On donnera la réponse en minutes secondes. 3) Jason a parcouru six tours en neuf minutes. a) Calculer sa vitesse en m/min puis en km/h. b) En supposant que sa vitesse soit constante Jason réussira-t-il l objectif fixé par le professeur?
Exercice 4 (7 points) Le tableau suivant donne l alcoolémie en g/l (taux d alcool dans le sang) d un individu en fonction du temps passé en h depuis l absorption de deux verres de vin. On note A la fonction qui au temps (en h) associe l alcoolémie (en g/l) Temps (en h) 0 05 1 15 2 25 3 35 4 6 7 Alcoolémie (en g/l) 0 02 04 06 08 07 06 05 04 01 0 1) Lire A (05) puis interpréter le résultat par une phrase. 2) Trouver le ou les nombre(s) t tels que A (t) = 06 puis interpréter par une phrase. 3) Au bout de combien de temps l alcoolémie semble-t-elle atteindre son maximum? 4) Quelle semble être la durée nécessaire à une élimination totale de l alcool contenu dans le sang? 5) En France l alcoolémie d un conducteur doit être inférieure ou égal à 05 g/l. Au bout de combien de temps l individu pourrait-il conduire? 6) Dans le repère fourni en annexe (que vous découperez et collerez à la suite de cet exercice) représenter graphiquement la fonction A. On choisira comme unités : 1 graduation pour 05 h sur l axe des abscisses ; 1 graduation pour 01 g/l sur l axe des ordonnées. Exercice 5 (5 points) Soit f une fonction. Traduire chaque phrase par une égalité de la forme f (a) = b 1) L image de 5 par f est 2. 2) 5 est solution de l équation f (x) = 2. 3) 1 est l image de 2 par la fonction f. 4) 4 est un antécédent de 1 par f. 5) Le point A (1 ; 5) est sur la courbe qui représente f.
Exercice 6 (12 points) On veut réaliser un tipi qui aura la forme d une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH]. Le tipi aura les dimensions suivantes : AD = 08 m ; CD = 06 m et SH = 12 m. 1) Calculer le volume V de cette pyramide. 2) Calculer la longueur BD. 3) L armature du tipi est faite de baguettes de bambou. Elle est constituée du cadre rectangulaire ABCD et de quatre arêtes latérales de même longueur issues de S a) Montrer que SD = 13 m. b) On ajoute à l armature une baguette [EF] comme indiquée sur le dessin de sorte que (EF) // (AD) et SF = 091 m. Montrer que EF = 056 m. 4) Dans un magasin on a trouvé des tiges de bambou de 2 m 40. Une tige peut être coupée pour obtenir deux baguettes mais une baguette ne peut pas être fabriquée par collage de deux morceaux de bambou. Combien faut-il acheter de tiges de bambou au minimum pour réaliser les neuf baguettes de l armature du tipi? Annexe de l exercice 4
3 ème Correction du DS de mathématiques n 3 Exercice 1 (6 points) 1) A = A = A = ( ) ² A = 8 5² = 8 25 = 2) B = B = ² = 536 B = 536 10 = 536 10 10 B = 3) On appelle V le volume de sable sur la plage qui est assimilé à un pavé droit. V est en mm 3. V = largeur longueur hauteur = 10 (50 10 ) (2 10 ) = 100 10 = 10 mm 3 On appelle N le nombre de grains sur la plage. N = 10 V = 10 10 = 10 grains. Il y a environ 10 15 grains de sable sur la plage. Exercice 2 (3 points) 1) Calcul du volume d eau V dans la piscine (assimilée à un pavé droit) : = h = 6 4 15 = 36. Le volume d eau est de 36 m 3. 2) Calcul du temps pour remplir la piscine. Débit = donc temps = é = = 12h. Il faudra 12h pour remplir cette piscine. 3) Conversion du débit du robinet en L.min -1 3m 3 = 3 000 L et 1h = 60 min donc Débit = = = 50 L. min. Le débit vaut aussi 50 L.min -1. Exercice 3 (7 points) 1) Périmètre rectangle = 2 (longueur + largeur) = 2 (90 + 60) = 2 150 = 300 m La longueur d un tour de stade est de 300 m. 2) Comme la vitesse est constante au cours des tours Temps total Temps par tour = t = Nombre de tours = 24 15 = 2 2 2 3 3 5 Un élève doit mettre 1 min et 36 s pour faire un tour. 3) a) = = = Jason va à une vitesse de 20 m.min -1 soit 12. = 8 min = 16 min = 1 min 36 s 5 = 200 m. min = 02 km. min = 12 km. h b) Si Jason fait 6 tours en 9 minutes et que sa vitesse est constante son temps par tour est : = = min = 15 min = 1 min 30 Or d après la question 2) le temps par tour de Jason doit être inférieur à 1 min 36 s ce qui est le cas. OU Il faut faire 15 tours de 03 km en 24 minutes soit 45 km en 04 h Il faut donc courir à une vitesse minimum de = = 1125 km/h OU Jason court à 200 m/min donc il parcourt 24 200 soit 4 800 m en 24 minutes soit plus que 15 tours donc Jason réussira à atteindre l objectif fixé par le professeur
Exercice 4 (7 points) 1) On lit A(05) =02. L alcoolémie au bout d une demi-heure est de 02 g/l après avoir pris deux verres de vin. 6) 2) Il existe deux nombres t tels que A(t) = 06 à savoir 15 et 3. L alcoolémie est de 06 g/l au bout d une heure et demie et de 3 heures. 3) D après le tableau l alcoolémie est au plus haut 2h après l absorption des deux verres. 4) A(7) = 0. Il faut 7 heures pour éliminer l alcool dans le sang. 5) Il pourra conduire 3h30 min après la prise des verres de vin. Exercice 5 (5 points) 1) f(5) = 2 ; 2) f( 5) = 2 ; 3) f(2) = 1 ; 4) f(4) = 1 ; 5) f(1) = 5 Exercice 6 (12 points) 1) La pyramide est de hauteur 12 m et la base est un rectangle de dimension 08 m et 06 m V = 1 3 aire de la base hauteur = 1 3 longueur largeur hauteur = 1 AD CD SH 3 V = 08 06 12 = 04 048 = 2) ABCD est un rectangle donc AB = CD = 06 m et ABD est un triangle rectangle en A. Donc d après le théorème de Pythagore : BD = AB + AD = 06 + 08 = 036 + 064 = 1 Or BD est une longueur donc positive Donc = 3) a) [SH] est la hauteur de la pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H. Donc le triangle DHS est rectangle en H. De plus H est le centre du rectangle ABCD donc H est le milieu de la diagonale [BD] et DH = = 05 m d après le théorème de Pythagore : SD = DH + SH = 05 + 12 = 025 + 144 = 169 = 13 Or SD est une longueur donc positive donc = b) Les droites (EA) et (DF) sont sécantes en A et (EF) // (AD) Donc d après le théorème de Thalès : = = en particulier : = soit SF AD = EF SD Donc EF = = = = 4) Il faut acheter au minimum 5 tiges de bambou de 2 m 40. Les 4 premières tiges seront coupées à 1 m 30 puis à 06 m et serviront à l armature de la pyramide SABCD. La dernière tige sera coupée à 056 m pour le segment [EF].