Programme mat231, 2009 2010 (2 septembre 2009) Pierre Bérard Université Joseph Fourier Pierre.Berard@ujf-grenoble.fr Le programme de l ue mat231 a été recentré. Il portera cette année uniquement sur l algèbre linéaire (en dimension finie principalement). Les polynômes (à coefficients réels ou complexes) seront utilisés comme exemples tout au long du cours et, de manière essentielle, dans la dernière partie du cours (réduction des endomorphismes). Ils feront l objet de rappels (en cours ou en travaux dirigés) aux moments opportuns. Le plan du cours figure ci-dessous, avec des références. Les informations concernant le déroulement de l ue (cours, travaux dirigés, travaux pratiques, devoirs, devoir surveillé, partiel et examens) et les documents pédagogiques seront affichées sur la page http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ pberard/e/e.html Espaces vectoriels, notions fondamentales Espace vectoriel. Exemples. Sous-espace vectoriel. Intersection et réunion de sous-espaces vectoriels. Exemples. Combinaison linéaire. Sous-espace vectoriel engendré par une famille A de vecteurs. Exemples. Famille génératrice. Exemples. Somme de sous-espaces vectoriels. Somme directe. Exemples.
2 Famille libre. Exemples. Base. Exemples. Référence : [Y-EV], 1.1 à 1.4, pages 2 à 12. Testez votre compréhension sur les questions Vrai-Faux, les Exercices et les qcm. Voir aussi la feuille Espaces vectoriels de dimension finie Espace vectoriel finiment engendré. Exemples et contre-exemples. Théorème d existence de bases dans un espace vectoriel finiment engendré. Exemples. Théorème de la dimension. Caractérisation des bases parmi les familles libres et parmi les familles génératrices. Exemples. Rang d une famille de vecteurs. Coordonnées d un vecteur dans une base. Exemples. Théorème de la base incomplète. Exemples. Référence : [Y-DF], 1.3, pages 8 à 12. Testez votre compréhension sur les questions Vrai-Faux, les Exercices et les qcm. Voir aussi la feuille Applications linéaires Application linéaire. Exemples et contre-exemples. Image et image inverse d un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Exemples. Image et noyau d une application linéaire. Interprétation de l injectivité et de la surjectivité. Exemples. Cas de la dimension finie, Théorème du rang. Exemples. Exemples d applications linéaires : projections et symétries (voir T.D. ou D.M.). Applications (voir T.D. ou D.M.). Référence : [Y-EV], 1.6, pages 15 à 18. Testez votre compréhension sur les questions Vrai-Faux, les Exercices et les qcm. Voir aussi la feuille
3 Applications linéaires en dimension finie Rang d une application linéaire. Exemples. Images d une famille génératrice, d une famille libre ou d une base par une application linéaire, relations avec injectivité et surjectivité. Exemples. Représentation d une application linéaire par une matrice. Exemples. Détermination pratique de l image et du noyau d une application linéaire, exemples (voir T.D. ou D.M.). Référence : [Y-DF], 1.5 à 1.7, pages 17 à 27. Testez votre compréhension sur les questions Vrai-Faux, les Exercices et les qcm. Voir aussi la feuille Compléments sur les applications linéaires en dimension finie Les espaces L(E, F ), L(E) et L(E, K) =: E. Bases et applications linéaires élémentaires. Base duale d une base d un espace vectoriel. Base de L(E, F ) associée à la donnée d une base de E et d une base de F. Exemples. Transposée d une application linéaire. Référence : [B1], Transparents 26 à 34. Feuille Voir également Matrices associées à une application linéaire Espaces de matrices. Opérations sur les matrices. Matrices élémentaires. Représentation d une application linéaire par une matrice. Théorème fondamental (isomorphisme entre applications linéaires et matrices). Écriture matricielle. Écriture matricielle et opérations sur les matrices (composition et transposition). Changement de bases. Matrice de changement de base.
4 Changements de bases et représentations matricielles des applications linéaires. Diagrammes commutatifs. Référence : [B1], Transparents 35 à 49. Feuille Voir également Réduction des endomorphismes, I Réduction des endomorphismes : analyse raisonnée. Valeurs propres et vecteurs propres. Espaces propres. Endomorphismes diagonalisables, Théorème fondamental. Exemples. Cas des endomorphismes maximalement scindés. Endomorphismes non diagonalisables, exemples. Endomorphismes trigonalisables, Théorème fondamental. Exemples. Référence : [B1], Transparents 50 à 57. Feuille Voir également Groupe des permutations Groupe des permutations. Transposition. Signature. Référence : [B1], Transparents 58 à 63. Feuille Voir également Formes multi-linéaires Formes multi-linéaires. Formes symétriques, anti-symétriques, alternées. Exemples et propriétés. Référence : [B1], Transparents 64 à 72. Feuille Voir également
5 Déterminants Déterminant associé à une base d un espace vectoriel. Exemples. Déterminant d un n-uplet de vecteurs. Déterminant d un endomorphisme. Propriétés. Déterminant d une matrice carrée. Propriétés. Calcul des déterminants. Exemples. Référence : [B1], Transparents 73 à 88. Feuille Voir également le résumé [B3] et Réduction des endomorphismes, II Polynôme caractéristique d un endomorphisme. Application à la réduction des endomorphismes. Référence : [B1], Transparents 89 à 90. Feuille Voir également Références [B1] Bérard, Pierre. mat231, Algèbre linéaire. Résumé du cours 2009-2010. [B2] Bérard, Pierre. mat231, Algèbre linéaire. Feuille d exercices 2009-2010. [B3] Bérard, Pierre. mat231, Résumé sur les propriétés des déterminants. Ces documents sont disponibles sur http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ pberard [Y-EV] Ycart, Bernard. Espaces vectoriels. Université Joseph Fourier, Grenoble. [Y-DF] Ycart, Bernard. Dimension finie. Université Joseph Fourier, Grenoble.
6 [Y-CM] Ycart, Bernard. Calcul matriciel. Université Joseph Fourier, Grenoble. [Y-SL] Ycart, Bernard. Systèmes linéaires. Université Joseph Fourier, Grenoble. Ces documents sont disponibles sur http ://ljk.imag.fr/membres/bernard.ycart/mel/ [LFA] Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie. Cours de mathématiques, Tome 1. Algèbre. Dunod universités 1977. [M] Monasse, Denis. Mathématiques. Vuibert 1998.