Entraînement personnel aux calculs de dérivée Ex1 Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction dérivée (ne pas oublier l ensemble de dérivabilité) a) La fonction est définie sur et = +3² +1. b) La fonction est définie sur et =3+1. c) La fonction est définie sur ] 3 ; + [ et = d) La fonction est définie sur [ 2 ; + [ et = e) La fonction est définie sur ]0 ; + [ et =2 +5+ 1. EXERCICE 2 On considère la fonction définie sur par =.+1² 1 Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer (. on montrera que ( = +15+3 2 Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction. 4 En déduire le tableau de signe de. EXERCICE 3 On considère la fonction définie sur ) ;1* par = 1 4 1 + 1 1 1 Déterminer l ensemble de dérivabilité et calculer (. 2 Etudier le signe de la dérivée. 3 Dresser le tableau de variation de la fonction. f) La fonction est définie sur et =!" g) La fonction est définie sur et = # " +0,25² + 1 h) La fonction est définie sur - {- 5/3} et = i) La fonction est définie sur % ; + % et = 2 1. j) La fonction est définie sur -{ 2 }et = k) La fonction est définie et dérivable sur et =2 5. 3+4
Calcul de dérivées : a) La fonction est définie sur et = +3² +1. b) La fonction est définie sur et =3+1. c) La fonction est définie sur ] 3 ; + [ et = d) La fonction est définie sur [ 2 ; + [ et = e) La fonction est définie sur ]0 ; + [ et =2 +5+1. f) La fonction est définie sur et =!" g) La fonction est définie sur et = # " +0,25² +1 h) La fonction est définie sur - {- 5/3}et =
i) La fonction est définie sur % ; + % et = 2 1. Cette fonction est dérivable sur + ; + % j) La fonction est définie sur -{ 2 }et = k) La fonction est définie et dérivable sur et =2 5. 3+4 Ex2 : On considère la fonction définie sur par =.+1² 1 Dérivée : est une fonction polynôme donc est dérivable sur. pour tout de, on a :,=, ( =3²
-=+1 - ( =2 1+1=2+1 Avec,.- ( =, (.-+- (., ( =3 +1 +2+1 = 3+1 +2+1 = +13+1+2 =²+15+3 2 Signe de la dérivée : ² +1 5+3 Sens de variation de la fonction : La fonction est strictement croissante sur ] ; 1], La fonction est strictement décroissante sur % 1 ; + La fonction est strictement croissante sur % ; + %, 3 Tableau de variation de la fonction -1-3/5 0 + ( + 0 0 + 0 + 0 0-108/3125 4 Du tableau de variation, on peut déduire le tableau de signe de -1 0 + 0 0 + EXERCICE 3 On considère la fonction définie sur ) ;1* par Dérivée : = + est une fonction rationnelle donc est dérivable sur 0 1, c est-à-dire sur ) ;1* pour tout de ) ;1*, on a :,=4 1, ( =4 -=1 - ( = 1 Avec 2 ( = 23 2 ( 4 1 = 4 1+ 1 = 41 +4 1 4 1 1 = 4 1 41 4 1 1
= 44 1 21 544 1+21 5 4 1 1 = = 6 32+1 4 1²1 ² Signe de la dérivée : -1/2 ¼ ½ 1 + 6 3 2+1 4 1² 1 ² + 0 0 + + Tableau de variation de la fonction f -1/2 ¼ ½ 1 + + 0 0 + + 1/3 3 Exercice supplémentaire : Exercice Soit la fonction définie sur par = Calculer ( Déterminer le sens de variation de la fonction. Dresser son tableau de variation Déduire l intervalle image par de l intervalle [0 ;4]. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf en l origine O du repère Etudier la position relative de la courbe par rapport à la tangente en O Tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé d unité 1 cm 1 ) a) Calculer ( est dérivable sur comme fonction rationnelle définie sur 2 8 ( = 23 88 3 2 8,=10, ( =10 -=1+ - ( =2 9:,; <:,< ;é>?, ( = 10 +1 2.10 1+ b) Déterminer le sens de variation de la fonction. Racines de la dérivée : on travaille sur = = 10 10 1+ =101 1+ Le numérateur est un second degré tronqué, pour chercher ses racines il suffit de la factoriser. (Discriminant inutile)
101 =0 101 1+=0 1 =0 :, 1+ =0 =1 :, = 1 : ce sont les racines de la dérivée Le dénominateur n a pas de racine donc pas de valeur interdite d après l ens de définition donné par l énoncé. Signe de la dérivée : grâce au tableau : - 1 1 + 10 10-0 + 0-1+ + + + On applique la règle du signe d un polynôme du second degré ( - 0 + 0 - Donc la fonction est strictement décroissante sur ] ; 1] puis sur [ 1;+ [ Et est strictement croissante sur [ 1;1] Dresser son tableau de variation - 1 0 1 4 + ( - 0 + 0-5 - 5 0 " c) Déduire l intervalle image par de l intervalle [0 ;4]. D après le tableau de variation complété par les images de 0 et 4 : 0=0 >< 4= " 2,4 le minimum de f sur l intervalle [0 ;4 ] est 0 et le maximum est 5 Donc l intervalle image par B de l intervalle [C ;D] est l intervalle [C ;E] d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf en l origine O du repère Formule d une équation de tangente T : F = ( G G+G ( 0=10 ;0=0 T a pour équation F =10 0+0 H:I< F =10 contact O (0 ;0) Cette tangente passe bien par le point de e) Etudier la position relative de la courbe par rapport à la tangente en O Méthode : On étudie le signe de 10 10= 10 10 1+ 10 =10 10 1+ = 10 1+ Racine du numérateur =0 Le dénominateur n a pas de racine et J:,; <:,< ;é>?, 1+ >0
Donc F L a le même signe que 10 c'est-à-dire le signe contraire de celui de 0 + F L - 0 + Conclusion Sur M ;0N, la courbe est au -dessus de la tangente T Sur ]0;+ [, la courbe est en dessous de la tangente T En O ( 0 ; 0 ), la courbe traverse sa tangente f) Tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé d unité 1 cm y 6 5 4 3 2 1-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1-2 -3-4 -5 y=10x0-6