Chapitre 3: TESTS DE SPECIFICATION

Chapitre 3: TESTS DE SPECIFICATION Rappel d u c h api t r e pr é c é d en t : l i de n t i f i c a t i o n e t l e s t i m a t i o n de s y s t è m e s d é q u a t i o n s s i m u lt a n é e s r e p o s e n t s u r la c la s s i f i c a t i o n a p r i o r i de s v a r i a b le s e n v a r i a b le s en d o g è n es e t e n v a r i a b le s ex o g è n es C e t t e c la s s i f i c a t i o n r e p o s e à la f o i s : 1. sur des a priori économiques: les variables exogènes sont déterminées hors du système d équations structurelles économiques que l on souhaite estimer, alors que les variables endogènes sont déterminées par le système d équations structurelles 2. mais aussi sur des a priori empiriques 1

Point dé lic a t m a is e sse ntie l: f a ir e la différence ent re l ex o g énéit é éco no m iq u e et l ex o g énéit é s t a t is t iq u e E n e f f e t, u ne v a r ia b le e x og è ne da ns le m odè le é c onom iq u e p e u t ê tr e e ndog è ne da ns le m odè le é c onom é tr iq u e : c a r l e x og é né ité a u se ns é c onom é tr iq u e se dé f init c om m e l a b s ence de co rréla t io n ent re rég res s eu r et erreu r L a situ a tion inv e r se ne se r e nc ontr e p a s e n p r a tiq u e : c a r u ne v a r ia b le e ndog è ne a u se ns du m odè le é c onom iq u e e st g é né r iq u e m e nt e ndog è ne d u n p oint de v u e é c onom é tr iq u e I llu s t ra t io n de ce p ro b lè m e: H y p oth è se : u ne de s é q u a tions de la f or m e r é du ite d u n sy stè m e d é q u a tions str u c tu r e lle s s é c r it sou s la f or m e su iv a nte : y i x i u i (1) le s v a r ia b le s x sont de s v a r ia b le s dé te r m iné e s h or s du sy stè m e e t donc ex o g è nes du p oint de v u e é c onom iq u e 2

On i nt er p r èt e le t er me d er r eu r u i c o mme u n t er me d h é t é r o g é né i t é i no b s er v ab le ent r e ag ent s I l s e p eu t alo r s q u e les v ar i ab les x s o i ent ex p li q u é es p ar u ne au t r e h é t é r o g é né i t é i no b s er v ab le c o r r é lé e av ec la p er t u r b at i o n u i D ans c e c as, la c o ndi t i o n de mo ment Ex i u i 0 n es t p as v ali de et les v ar i ab les x s o nt endo g ènes L es t i mat eu r des M C O c o nv er g e v er s u ne v aleu r di f f é r ent e de la v r ai e v aleu r du p ar amèt r e : p li m 1 n Ex i x i Ex i u i I l y a do nc biais d e n do g é n é it é S ans i nf o r mat i o n s u p p lé ment ai r e s u r les mo ment s Ex i u i, i l es t i mp o s s i b le d aller p lu s lo i n Les t es t s d ex o g é né i t é r ep o s ent s u r l e x ist e n c e de v ar iabl e s in st r u m e n t al e s (v o i r c o u r s de 2ème anné e) 3

Autre m a n i è re d e p ré s en ter c e p ro b l è m e: l é q u a t i o n (1) e s t la f o r m e r é du i t e o u s em i -s truc turel l e d u n m o dè le p lu s g é n é r a l: y i x i u i x i z i v i V a r i a b le s e x o g è n e s : z V a r i a b le s e n do g è n e s : x O n c o m p lè t e do n c le m o dè le e n f a i s a n t l h y p o t h è s e q u e : E z u E z v 0 L i de n t i f i c a t i o n de s p a r a m è t r e s p r o c è de de s r è g le s dé v e lo p p é e s da n s le c h a p i t r e 2 C o m m e o n e x c lu t le s v a r i a b le s z de l é q u a t i o n d i n t é r ê t, la r è g le d i de n t i f i c a t i o n e s t c e lle de s é q u a t i o n s s i m u lt a n é e s K 1 L K 2 4

Le t est d ex o g é né i t é p eu t s a p p l i q u er à n i m p o r t e q u el m o dè l e l i né a i r e p e r m e t d e s a v o i r Il : 1. si les variables explicatives sont exogènes ou non dans l équation d intérêt 2. si les deux conditions de validité des variables instrumentales sont vérifiées: non corrélation des VI avec les erreurs capacité de prédire les variables explicatives O b j e c t i f s d u c h a p i t r e : 1. exposer le principe du test d exogénéité de variables explicatives 2. présenter le principe des tests de validité des variables instrumentales 5

1. Test d exogénéité 1.1. Présentation Supposons q ue l on di spose de de ux g r oupe s de r é g r e sse ur s L e m odè le s é c r i t a lor s c om m e sui t : y i x 1i 1 x 2i 2 u i (2) x 1i v e c t e ur de K 1 v a r i a b le s x 2i v e c t e ur de K 2 v a r i a b le s K K 1 K 2 O b j e c t i f : t e st e r q ue le s v a r i a b le s x 1i sont endogènes sous l h y pot h è se m a i nt e nue q ue le s v a r i a b le s x 2i sont ex ogènes C e t t e h y pot h è se se f a i t sa ns pe r t e de g é né r a li t é pui sq ue le nom b r e d e x og è ne s pe ut ê t r e nul (K 2 0) 6

On c o m p lè t e l équation d intér ê t (2) p a r la f or m e r éduite du s y s t è m e, q u i e x p r i m e le s v a r i a b le s p o t e nt i e lle m e nt e ndo g è ne s c o m m e f o nc t i o n de t o u t e s le s v a r i a b le s e x o g è ne s z i x 2i : x 3i o ù x 3 s o nt de s v a r i a b le s e x o g è ne s n a p p a r a i s s a nt p a s da ns l é q u a t i o n d i nt é r ê t (2) F or m e r éduite : x 1i z i 1 v 1i x 1i v e c t e u r de di m e ns i o n 1, K 1 z i v e c t e u r de di m e ns i o n 1, K 2 K 3 1 m a t r i c e de di m e ns i o n K 2 K 3, K 1 L e x og énéité de s v a r i a b le s z i s e t r a du i t i c i p a r : Ez i u i Ez i v 1i 0 7

Par so u c i de si m p l i f i c at i o n, o n su p p o se au ssi q u e : E u i u i z i v 1i v 1i L e n do g é n é i t é é v e n t u e l l e de s v ari ab l e s x i se t radu i t m ai n t e n an t e n t e rm e de s covariances ent re t erm es d erreu rs dans l es deu x é q u at ions p u i sq u e : Ex 1i u i E 1 z i u i v 1i u i Ev 1i u i u v o ù e st u n v e c t e u r de di m e n si o n K 1, 1 (so u s-v e c t e u r de l a m at ri c e L h y p o t h è se d e x o g é n é i t é de s v ari ab l e s x 1i s é c ri t do n c au ssi c o m m e : u v 0 8

1.2. Construction du test Soit l a m a tr ic e d e v a r ia n c e s -c ov a r ia n c e s d e v 1i (s ou s -m a tr ic e d e l a m a tr ic e : Ev 1i v 1i z i 1 a v e c d im 1 K 1, K 1 O n p e u t tou j ou r s é c r ir e l a r é g r e s s ion l in é a ir e p r ob a b il is te : u i v 1i i a v e c Ev 1i i 0 E n e f f e t, c e tte d e r n iè r e c on d ition im p l iq u e q u e : Ev 1i u i Ev 1i v 1i Ev 1i i Ev 1i v 1i 9

e t Donc, p a r dé f i ni t i on: 1 1 uv R é ci p r oq u e m e nt, si 1 1 uv i u i v 1i, a lor s la condi t i on de m om e nt Ev 1i 1 i Ev 1i u i v 1i uv 1 1 uv 0 e st v é r i f i é e. N ot ons q u e l h y p ot h è se d e x og é né i t é de x 1i : uv 0 p e u t m a i nt e na nt s é cr i r e 0 10

On no t e r a a u s s i q u e : Ez i i Ez i u i v 1i 0 E i 2 z i Eu i v 1i u i v 1i z i 2 Eu i Eu i v 1i Ev 1i u i Ev 1i v 1i uv 1 1 uv 1 2 u uv 1 1 uv Ev 1i i z i 0 S u p p o s o ns q u e l o n c o nna i s s e le p a r a m è t r e 1, c o e f f i c i e nt de la r é g r e s s i o n li né a i r e de s v a r i a b le s x 1i s u r le s v a r i a b le s e x o g è ne s z i On p e u t do nc c a lc u le r la v a le u r de s p e r t u r b a t i o ns v 1i x 1i z i 1 On p e u t a lo r s r é é c r i r e l é q u a t i o n d i nt é r ê t (2): y i x 1i 1 x 2i 2 u i x 1i 1 x 2i 2 v 1i i (3) 11

Montrons q u e l e s c ondi ti ons de v a l i di té d u ne e sti m a ti on de (3) p a r l e s MC O sont re m p l i e s I l f a u t s a ssu re r q u e l a c ov a ri a nc e du te rm e d e rre u r i e t de s di v e rs O r ré g re sse u rs e st nu l l e Ev 1i i 0 e t Ez i i 0 C om m e x 2i e st u n sou s-e nse m b l e de s v a ri a b l e s z i, Ex 2i i 0 F i na l e m e nt: Ex 1i i E 1 z i i v 1i i 0 L e sti m a ti on de 1, 2 e t p a r l e s MC O e st donc c onv e rg e nte 12

Remarque: l é quat i o n (2) y i x 1i 1 x 2i 2 u i (2) o met un t erme v 1i qui es t c o rré lé aux v ari ab les ex p li c at i v es i nc lus es d ans l é quat i o n: Ex 1i v 1i E 1 z i v 1i v 1i v 1i 1 c arez i v 1i 0 s auf s i 0 L e biais d e n do g é n é it é d ans l es t i mat i o n p ar M C O d e (2) p eut ai ns i s e c o mp rend re c o mme un b i ai s d û à l o m issio n de v ar iabl e s P ro b lè me: 1 n es t p as c o nnu. I l es t d o nc i mp o s s i b le d e c alc uler les p ert urb at i o ns v 1i N é anmo i ns no us p o uv o ns o b t eni r un e st im at e u r c o n v e r g e n t d e 1 p ar les M C O que l o n no t e 1n P ri nc i p e d e la p ro c é d ure: remp lac er les v ari ab les i nc o nnues v 1i p ar les v ari ab les ap p ro c h é es, les ré s i d us v 1i 13

Cette p r o c é d u r e es t c o n n u e c o m m e l a procédure de H ol l y-s a rg a n : 1. 1ère étape : Régresser les variables potentiellement endogènes x 1i sur les variables exogènes z i pour estimer les paramètres 1 2. 2ème étape : Construire les résidus de cette régression v 1i x 1i z i 1 et estimer par MCO le modèle auxiliaire: y i x 1i 1 x 2i 2 v 1i i Soit n l estimateur MCO de et V n un estimateur de sa variance asymptotique 3. 3ème étape : Construire la statistique de Wald (4) W n n n V 1 n n associée à l hypothèse nulle 0 Rejeter l hypothèse nulle à un niveau si W n est supérieure au quantile d ordre 1 d une loi du à 2 K 1 degrés de liberté 14

Proposition: L a s t at i s t i q u e de W ald W n c o n v e r g e e n di s t r i b u t i o n s o u s l h y p o t h è s e n u lle v e r s u n e v ar i ab le alé at o i r e do n t la di s t r i b u t i o n e s t u n e lo i du 2 à K 1 de g r é s de li b e r t é A v an t de p r o u v e r c e t t e p r o p o s i t i o n e t p o u r la s i m p li f i e r, o n n o t e r a u n e proprié té r e m ar q u ab le de l e s t i m at e u r de s M C O de l é q u at i o n (4) C o m m e x 1i x 1i v 1i o n p e u t r é é c r i r e (4) c o m m e : y i x 1i 1 x 2i 2 v 1i 1 i O n r e m q u e r s q u e n u x g r o u p e s r é g r e s s e u r s n e p t e t t r e p t ar alo l o a de de x 1i, x 2i ) d u ar, v 1i d au ar O r, p ar c o n s t r u c t i o n, c e s de u x g r o u p e s de r é g r e s s e u r s s o n t o r t h o g o n au x e n t r e e u x : X 1 V 1i 0 e t X 2 V 1i 0 15

Les esti m a teu r s M C O des c o ef f i c i en ts des deu x g r o u p es de r é g r esseu r s p eu v en t do n c ê tr e o b ten u s p a r les deu x r é g r essi o n s a u x i li a i r es: y i x 1i 1 x 2i 2 1i y i v 1i 1 2i I l f a u t a lo r s r em a r q u er q u e l esti m a teu r M C O des c o ef f i c i en ts du p r em i er m o dè le est p a r c o n str u c ti o n l esti m a teu r D M C de l é q u a ti o n d i n té r ê t: c et esti m a teu r est c o n v er g en t et o n c o n n a i t sa lo i a sy m p to ti q u e Les esti m a teu r s de 1 et 2 du m o dè le (4) so n t do n c c o n v er g en ts I l n o u s r este à m o n tr er q u e l esti m a teu r du p a r a m è tr e est convergent et m o n tr er q u e sa lo i a sy m p to ti q u e est la m ê m e q u e da n s le c a s o ù les p er tu r b a ti o n s v 1i so n t c o n n u es C ette dé m o n str a ti o n est u ti li sé e c o m m e u n ex em p le de r a i so n n em en t a sy m p to ti q u e u su el en é c o n o m é tr i e 16

1.3. Preuve de la proposition Principe de la preu v e: m o nt rer q u e l erreu r de m es u re v 1i v 1i f ait e s u r le ré g res s eu r v 1i n a pas d im pact s u r les pro prié t é s de l es t im at eu r de Po u r allé g er les no t at io ns, o n s e placera dans le cadre s im plif ié o ù o n v eu t es t im er u n m o dè le : y i v 1i i (5) av ec v 1i v ariab le u nidim ens io nnelle no n o b s erv ab le O n dis po s e d u ne es t im at io n de v 1i par le ré s idu d u n m o dè le au x iliaire: x 1i z i 1 v 1i O n a par h y po t h è s e Ev 1i i 0 17

e t On s u p p o s e q u e l e s t i m at e u r 1n e s t c o nv e r g e nt e t d e lo i as y m p t o t i q u e : n 1n 1 d ˆ N0, V n e s t i m e d o m o d è p r o c h é e r e m p r é g r e s s e u r i o p r é g r e s s e u r o t r u i t On nc le le ap n laç ant le nc nnu ar le c ns v 1i : y i v 1i i i i v 1i v 1i Or c o m m e v 1i x 1i z i 1 v 1i x 1i z i 1n o n a : i i z i 1n 1 18

L e s t i m at e u r de s M C O de (5) e s t do n n é p ar : n V 1 V V 1 V 1 1 V 1 Y 1 1 V 1 V 1 V 1 V 1 1 V 1 V V 1 1 1 V 1 Z 1n 1 V 1 V 1 1 V 1 (6) p u i s q u e V 1 Z 0 p ar c o n s t r u c t i o n P o u r é t u di e r la c o n v e r g e n c e de c e t e s t i m at e u r, o n do i t c o n t o u r n e r la di f f i c u lt é du e à l u t i li s at i o n d u n r é g r e s s e u r c o n s t r u i t v 1i à la p lac e de v 1i O r : V 1 V 1 Z 1n 1 O n a au s s i p ar c o n v e r g e n c e de l e s t i m at e u r : p l i m 1n 1 0 n 19

e t Il e s t a lo r s i m m é di a t de m o n t r e r q u e s o u s le s h y p o t h è s e s du m o dè le : plim n V 1 V n 1 plim n V 1 V 1 n plim n V 1 n plim n V 1 n 0 L e s t i m a t e u r de s M C O s u r le m o dè le a u x i li a i r e a v e c r é g r e s s e u r c o n s t r u i t e s t do n c c o n v e r g e n t e n u t i li s a n t (6) : p li m n p li m V 1 V 1 1 V 1 n n P o u r é t u di e r la lo i a s y m p t o t i q u e de c e t e s t i m a t e u r, o n n o t e r a d a b o r d q u e p a r h y p o t h è s e : n V 1 d n ˆ n N0, V 0 P a r a i lle u r s 1n 1 Z Z 1 Z X 1 1 Z Z 1 Z V 1 V 1 V 1 ZZ Z 1 Z V 1 20

Donc n V 1 n n V 1 n n V 1 P Z n O r com m e la d i m e ns i on d e z e s t f i x e, e t com m e Ez v 1 0, la d e u x i è m e q u a nt i t é à d r oi t e conv e r g e e n p r ob a b i li t é v e r s 0 e t d onc: n V 1 d n ˆ n N0, V 0 A i ns i n n n V 1 V n 1 1 V 1 n d ˆ n N0, V où V Ev 1i v 1i 1 V 0 Ev 1i v 1i 1 C onclu s i on: la m a t r i ce d e v a r i a nce cov a r i a nce a s y m p t ot i q u e d e l e s t i m a t e u r n e s t la m ê m e q u e s i on a v a i t u t i li s é le r é g r e s s e u r or i g i na l a u li e u d u r é g r e s s e u r cons t r u i t 21

2. Test de restrictions suridentifiantes 2.1. Enoncé du problème Supposons q ue l e m odè l e s é c r iv e sous une f or m e un peu pl us g é né r a l e: y i x i u i x i z i v i où des v a r ia b l es peuv ent ê t r e c om m unes à x et à z (l es v a r ia b l es x 2 de l a sec t ion pr é c é dent e) Si c el a est l e c a s, l es é q ua t ions c or r esponda nt à l a deux iè m e pa r t ie du m odè l e (x i z i v i ) s é c r iv ent c om m e des ident it é s (i.e. x 2 x 2 ) sa ns t er m es d er r eur s et en c ont r a ig na nt l es pa r a m è t r es 22

K : n o m b r e de v a r i a b l e s da n s x L : n o m b r e de v a r i a b l e s da n s z H y p o t h è s e : l e s c o n di t i o n s de r a n g s o n t s a t i s f a i t e s : r g E x i x i K e t r g E z i z i L L a condition d or dr e p ou r l ide ntif ica tion d u n t e l s y s t è m e e s t L K E n e f f e t, s o i t K 1 l e n o m b r e de v a r i a b l e s e n do g è n e s da n s x e t do n c K K 1 l e n o m b r e de v a r i a b l e s e x o g è n e s da n s x L e n o m b r e de v a r i a b l e s e x o g è n e s e x c l u e s de l a p r e m i è r e é q u a t i o n e s t do n c L K K 1, s o i t L K K 1 K 1, c e q u i p r o u v e l e r é s u l t a t S i L K e t l a c o n di t i o n de r a n g e s t s a t i s f a i t e, o n n e p e u t a l l e r b e a u c o u p p l u s l o i n 23

Par c o nt re s i L K, o n di s p o s e de p lu s de v ari ab le s e x o g è ne s q u i l n e s t né c e s s ai re L é q u at i o n d i nt é rê t e s t s u ri de nt i f i é e e t o n di t q u e l o n di s p o s e de re s t ri c t i o ns s u ri de nt i f i ant e s C e lle s -c i s o nt s i m p le m e nt le s c o nt rai nt e s d e x c lu s i o n s u p p lé m e nt ai re s q u e l o n a i m p o s é s u r le s y s t è m e O n p o u rrai t e n e f f e t re lâ c h e r au m o i ns u ne h y p o t h è s e d e x c lu s i o n d u ne v ari ab le z de l é q u at i o n d i nt é rê t s ans v i o le r la c o ndi t i o n d o rdre p o u r l i de nt i f i c at i o n du s y s t è m e Tests d i r ec ti o n n el s: Pe u t -o n re lâ c h e r c e rt ai ne s c o ndi t i o ns d e x c lu s i o n (re s t ri c t i o ns a p ri o ri ) s ans af f e c t e r l i de nt i f i c at i o n de s p aram è t re s? Test d e S a r g a n (p lu s g é né ral): s i o n n a p as de t e lle s re s t ri c t i o ns a p r i o r i, c e q u i e s t le c as le p lu s c o u rant 24

2.2. Test directionnel On se p lac e dans le c as o ù la c o ndi t i o n d o r dr e e st sat i sf ai t e L K e t o n su p p o se q u e la c o ndi t i o n de r ang l e st au ssi S u p p o so ns q u e l o n ai t e x c lu à t o r t u ne v ar i ab le z 1 de l é q u at i o n d i nt é r ê t : y x z 1 u x z v L h y p o t h è se d e x c lu si o n de la v ar i ab le z 1 de l é q u at i o n d i nt é r ê t s é c r i t alo r s 0 : t e st t r è s f ac i le à m e t t r e e n o e u v r e N é anm o i ns, c e t e st a le dé f au t de ne p as p o u v o i r ê t r e u t i li sé p o u r p lu si e u r s r e st r i c t i o ns su r i de nt i f i ant e s p u i sq u e le s t e st s p o u r di f f é r e nt e s v ar i ab le s i nst r u m e nt ale s ne so nt p as i ndé p e ndant s 25

Les r é g i o n s c r i t i q u es de r ej et de c es p r o c é du r es de t est so n t i n t er dé p en dan t es I l n e p eu t en f ai t s ap p li q u er q u e si o n a des a p r i o r i f o r t s su r l o r dr e dan s leq u el do i v en t se f ai r e c es t est s O n do i t su p p o ser q u e l o n a c h o i si u n o r dr e a p r i o r i des v ar i ab les ex o g è n es su i v an t le n i v eau de c o n f i an c e q u e l o n ac c o r de à leu r ex c lu si o n de l é q u at i o n d i n t é r ê t S o i t p ar ex em p le l o r dr e z 1, z 2,..., z L O n ado p t er a alo r s la dé m ar c h e su i v an t e: 1. on teste l exclusion de z 1 2. si elle est acceptée, on s arrête 3. sinon, on teste l exclusion de z 2 4. etc., jusqu à arrêt de l algorithme ou violation de la condition d ordre 26

e t 2.3. Test de Sargan Proposition: S o i t t u n v e c t e u r d e M v a r i a b le s a lé a t o i r e s c o m b i n a i s o n s li n é a i r e s d e s v a r i a b le s z. C e s v a r i a b le s s o n t s u p p o s é e s n o n c o li n é a i r e s e t d o n c M L. S o i t P T le p r o j e c t e u r o r t h o g o n a l, d é f i n i d a n s R n, s u r l e s p a c e e n g e n d r é p a r le s v a r i a b le s T, o ù T s o n t le s r é a li s a t i o n s d e t d e d i m e n s i o n n, M. A lo r s P T TT 1 T T 1 2 U P T U d ˆ n 2 M Pre u v e : S o u s c e r t a i n e s c o n d i t i o n s s u p p o s é e s s a t i s f a i t e s, la lo i f a i b le d e s g r a n d s n o m b r e s d o n n e : T U n P Et i u i 0 n e t p a r u n t h é o r è m e c e n t r a l li m i t e : 27

n T U n 0 d ˆ N 0, Et i u i u i t i n o ù Et i u i u i t i 2 Et i t i D o n c : 1 Et i t i 1/2 T U d ˆ N0, I M n 2 n E n p r e n a n t l a n o r m e e u c l i d i e n n e d e c e v e c t e u r, o n o b t i e n t : 1 n 2 U TEt i t i 1 T U d ˆ n 2 M p u i s e n r e m p l a c a n t l e t e r m e c e n t r a l p a r s a c o n t r e p a r t i e e m p i r i q u e q u i e n e s t u n e s t i m a t e u r c o n v e r g e n t : 1 n 2 U T T T n 1 T U d ˆ n 2 M 28

Donc 1 2 U P T U d ˆ 2 M n Cas p ar t i c u l i e r : T Z 1 2 U P Z U d ˆ n 2 L C ons i d é r ons m a i nt e na nt l a s t a t i s t i q u e d e t e st d e S ar g an : S U P Z U 2 où U s ont l e s r é s i d u s ob t e nu s p a r l a m é t h od e d e s DM C : U Y P Z X Y P Z XX P Z X1 X P Z Y X P Z X U P Z XX P Z X1 X P Z U M Z X M P Z X U 29

ù d o P Z U P Z M P Z XU c a r P Z M Z 0 S o i t Q P Z M P Z X le p r o j e c t e u r s u r l e s p a c e i n c lu s da n s l e s p a c e e n g e n dr é p a r le s v a r i a b le s Z e t o r t h o g o n a l à P Z X S o i t T u n e b a s e de c e t e s p a c e de di m e n s i o n : di m Z di m P Z X L K D o n c, s o u s l h y p o t h è s e n u lle H 0 : S U P Z U 2 U QU 2 d ˆ n H 0 2 L K R é g i o n c r i t i q u e du t e s t : W S F 1 2 L K o ù F 1 dé n o t e le f r a c t i le d o r dr e 1 30

Deux r em a r q ues f i n a l es : 1. il y a équivalence entre cette procédure et la procédure qui consiste à inclure les variables T dans la régression : Y P Z X. T U T et à tester l hypothèse 0 2. la statistique de Sargan s obtient facilement par l intermédiaire d une régression auxiliaire des résidus des DMC sur les variables z : û i z i i P r euv e : s o i t l e R 2 d e c e t t e r é g r e s s i o n : R 2 Z Z U ZZ Z 1 Z U U U U U 31

p Donc: R 2 U P z U S. 2 U U U U P os ons S nr 2. Com m e l i m n U U n 2 le s s t a t i s t i q u e s S e t S s ont a s y m p t ot i q u e m e nt é q u i v a le nt e s Donc s ou s l h y p ot h è s e nu lle : S nr 2 d ˆ n 2 L K H 0 C e s t ce d e r ni e r t e s t q u i e s t u t i li s é e n p r a t i q u e p u i s q u i l e s t f a ci le à m e t t r e e n oe u v r e e n u t i li s a nt u n log i ci e l d e r é g r e s s i ons 32