Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 : (5 points) IJKL est un rectangle. O, M et I sont alignés ainsi que O, K et J. IJ = 7,5 ; KJ = 3 ; OK = 1,5 Calculer MK..Exercice 2 : Le funiculaire minutes et secondes) (9 points) Un funiculaire part de D pour se rendre en A suivant la droite (DA). On a DM = 420 m ; MP = 252 m et HD = 1 000 m. En utilisant les informations ci-dessous et sachant que le funiculaire se déplace à la vitesse constante de 30 km.h -1 : a) Montrer que DP = 336 m b) Montrer que DA = 1 250 m c) En déduire la durée du trajet DA. (exprimée en.exercice 3 : (6 points) Sur chacune des figures ci-dessous, les droites (EF) et (MN) sont-elles parallèles? 1
3 ème B DS2 théorème de Thalès 2013 2014 sujet 2 Consignes : justifier les réponses en citant correctement les théorèmes utilisés. Exercice 1 : (5 points) ABDC est un rectangle. E, A et B sont alignés ainsi que E, F et D. BD = 5 ; AB = 2 ; EA= 1 Calculer AF.. Exercice 2 : Le funiculaire (9 points) Un funiculaire part de A pour se rendre en C suivant la droite (AC). On a AE = 425 m ; DE = 255 m et AB = 2 000 m. En utilisant les informations ci-dessous et sachant que le funiculaire se déplace à la vitesse constante de 20 km.h -1 : a) Montrer que AD = 340 m b) Montrer que AC = 2 500 m c) En déduire la durée du trajet AC. (exprimée en minutes et secondes) Exercice 3 : (6 points) Sur chacune des figures ci-dessous, les droites (AB) et (EC) sont-elles parallèles? 2
Exercice 1 : (5 points) IJKL est un rectangle. O, M et I sont alignés ainsi que O, K et J. IJ = 7,5 ; KJ = 3 ; OK = 1,5 Calculer MK. IJKL est un rectangle OR dans un rectangle les cotés opposés sont parallèles DONC (LK) // (IJ) (c est à dire (MK) // (IJ) ) Dans les triangles OMK et OIJ on a I (OM) J (OK) (MK) // (IJ) Donc d après le théorème de Thalès on a : OK OJ = MK IJ Soit : 1,5 1,5 + 3 = MK 7,5 D où : 4,5 MK = 1,5 7,5 MK = 11,25 4,5 = 2,5 La longueur MK est de 2,5 cm Exercice 2 : Le funiculaire minutes et secondes) (9 points) Un funiculaire part de D pour se rendre en A suivant la droite (DA). On a DM = 420 m ; MP =252 m et HD = 1 000 m. En utilisant les informations ci-dessous et sachant que le funiculaire se déplace à la vitesse constante de 30 km.h -1 : a) Montrer que DP = 336 m b) Montrer que DA = 1 250 m c) En déduire la durée du trajet DA. (exprimée en a) Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle DPM rectangle en P pour calculer DP : DM² = DP² + MP² Soit DP² = 420²-252² = 176400 63504 = 112896 3
Donc DP = 112896= 336 m b) (PH) et (AH) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à (DH). On peut donc appliquer le théorème de Thalès : DP DH = DM DA = PM AH Soit : 336 1000 = 420 DA = 252 AH Soit 336 DA = 420 x 1000 Donc DA = 420 1000 = 1250 m soit 1,250 km 336 c) La durée du trajet DA est donc : 1,25 30 30 secondes Exercice 3 : (6 points) 1,25 heure soit 60 = 2,5 minutes soit 2 minutes et 30 Sur chacune des figures ci-dessous, les droites (EF) et (MN) sont-elles parallèles? Figure (1) : AN AE = 2 AM et 3 AF = 4 6 = 2 3 Dans les triangles MAN et AEF, les points M,A,F et N,A, E sont alignés dans cet ordre et AN AE = AM, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (MN) et (EF) sont AF parallèles. Figure (2) : AM AE = 3 AN et 4 AF = 4 5,2 = 40 52 = 10 13 3 4 = 3 13 4 13 = 39 AN et 52 AF = 40 AM ; donc 52 AE AN AF 4
Dans les triangles AMN et AEF, les points A, M, N d'une part et les points A, N, F d'autre part sont alignés dans cet ordre et AM AE AN, donc selon la conséquence (ou la contraposée) AF du théorème de Thalès, les droites (MN) et (EF) ne sont pas parallèles. 5
3 ème B DS2 théorème de Thalès 2013 2014 sujet 2 Exercice 1 : (5 points) ABDC étant un rectangle les droites (AF) et (BD) sont parallèles. On peut donc utiliser le théorème de Thalès dans les triangles EAF et EBD : EA EB = EF ED = AF BD Soit : 1 3 = AF 5 ABDC est un rectangle. E, A et B sont alignés ainsi que E, F et D. BD = 5 ; AB = 2 ; EA = 1 Calculer AF. Donc AF = 5 3 Exercice 2 : Le funiculaire (9 points) Un funiculaire part de A pour se rendre en C suivant la droite (AC). On a AE = 425 m ; DE = 255 m et AB = 2 000 m. En utilisant les informations ci-dessous et sachant que le funiculaire se déplace à la vitesse constante de 20 km.h -1 : a) Montrer que AD = 340 m b) Montrer que AC = 2 500 m c) En déduire la durée du trajet AC. (exprimée en minutes et secondes) a) Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle ADE rectangle en D pour calculer AD : AE² = AD² + DE² Soit AD² = 425² - 255² = 180625 65025 = 115600 Donc AD = 115600 = 340 m b) (ED) et (BC) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à (AB). On peut donc appliquer le théorème de Thalès : AD AB = DE BC = AE AC 6
3 ème B DS2 théorème de Thalès 2013 2014 sujet 2 Soit : 340 2000 = 425 AC Soit 340 AC = 425 2000 Donc AC = 2500 m soit 2,5 km c) La durée du trajet AC est donc : 2,5 20 secondes. 2,5 heure soit 60 minutes soit 7 minutes et 30 20 Exercice 3 : (6 points) Sur chacune des figures ci-dessous, les droites (AB) et (EC) sont-elles parallèles? Configuration en papillon : FA FC = 6 11 = 30 FB 55 FE = 3 5 = 33 55 FA FC FB FE Les points A, F, C d'une part et les points B, F et E d'autre part sont alignés dans cet ordre et FA FC FB ; donc selon la conséquence (ou la contraposée) du théorème de Thalès, les FE droites (AB) et (EC) ne sont pas parallèles. Autre configuration : DE DA = 1 DC 4 DB = 1,5 6 = 1 4 Les points D, E, A d une part et les points D, C, B d autre part sont alignés dans cet ordre et DE DA = DC donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (EC) sont DB parallèles. 7