Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables
Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique bilan d énergie (entropie) 2/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Masse On suit un ensemble de particules de masse dm contenue initialement dans le volume dv en X Ω 0 dm = ρ 0 (X ) dv champ de masse volumique initiale. L élément de volume dv devient dv en x Ω t à l instant t mais la masse contenue dans dv est la même, par définition du point matériel dm = ρ(x, t) dv dm = ρ 0 (X )dv = ρ(x, t) dv = Constante masse totale m(m) = ρ 0 (X ) dv = Ω 0 ρ(x, t) dv Ω t Quantité de mouvement, moment cinétique 6/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Vitesses Vitesse d une particule en mouvement V (X, t) := d Φ Φ(X, t) = (X, t) dt t représentation matérielle/lagrangienne de la vitesse Quantité de mouvement, moment cinétique 8/43
Vitesses Vitesse d une particule en mouvement V (X, t) := d Φ Φ(X, t) = (X, t) dt t représentation matérielle/lagrangienne de la vitesse C est aussi la vitesse instantanée de la particule se trouvant à la position x à l instant t v (x, t) := V (Φ 1 (x, t), t) représentation spatiale/eulérienne de la vitesse Quantité de mouvement, moment cinétique 9/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Quantité de mouvement Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t (t) ρ(x, t)v (x, t) dv = Quantité de mouvement, moment cinétique 11/43
Quantité de mouvement Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t ρ(x, t)v (x, t) dv = ρ 0 v (Φ(X, t), t) dv (t) 0 = ρ 0 V (X, t) dv 0 Quantité de mouvement, moment cinétique 12/43
Quantité d accélération Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t A () = d ρ(x, t)v (x, t) dv dt (t) = d ρ 0 (X )V (X, t) dv dt 0 Ω t En l absence de discontinuités, Quantité de mouvement, moment cinétique 13/43
Quantité d accélération Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t Ω t A () = d ρ(x, t)v (x, t) dv dt (t) = d ρ 0 (X )V (X, t) dv dt 0 En l absence de discontinuités A () = ρ 0 (X ) dv (X, t) dv 0 dt = ρ 0 (X ) V (X, t) dv 0 t = ρ 0 (X )A (X, t) dv 0 = ρ(x )a (x, t) dv Quantité de mouvement, moment cinétique 14/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Moment cinétique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O OP ρ(x, t)v (x, t) dv OP = x x 0 Quantité de mouvement, moment cinétique 16/43
Moment dynamique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O d OP ρ(x, t)v (x, t) dv dt Quantité de mouvement, moment cinétique 17/43
Torseur dynamique Soit (t) Ω t un sous domaine matériel de M à l instant t et un point O de l espace, fixe dans le référentiel R P Ω t O torseur dynamique pour le domaine : {O, d ρ(x, t)v (x, t) dv, d OP ρ(x, t)v (x, t) dv} dt (t) dt Quantité de mouvement, moment cinétique 18/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Relation fondamentale de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts appliqués (référentiel galiléen) d ρv dv = R dt d OP ρv dv = M dt 0 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 21/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Un théorème de transport f (x, t) fonction tensorielle sur Ω t continue dans sa représentation spatiale/eulérienne, dérivable/t, (t) Ω t un domaine matériel d ρ(x, t)f (x, t) dv = dt Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 23/43
Un théorème de transport f (x, t) fonction tensorielle sur Ω t continue dans sa représentation spatiale/eulérienne, dérivable/t, (t) Ω t un domaine matériel d ρ(x, t)f (x, t) dv = d f (x, t)ρ(x, t)dv dt dt = d F (X, t)ρ 0 (X )dv dt 0 d = 0 dt (F (X, t))ρ 0(X )dv = ḟ (x, t)ρ(x, t)dv F (X, t) := f (Φ(X, t), t) dérivée particulaire ou en suivant le mouvement : d dt F (X, t) = d f f f (Φ(X, t), t) =.v + dt x t = ḟ (x, t) Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 24/43
Un théorème de transport Formellement, pour un domaine matériel (t), on dérive sous le signe somme (grâce à la conservation de la masse) d ρf dv = (ḟ ρdv + f dt {}}{ ρdv ) = ρḟ dv autres formules de transports plus générales (Reynolds...) Application au moment dynamique (en l absence de discontinuités...) d dt OP ρv dv = OP ρa dv Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus 25/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Il existe une Champs de forces une densité massique f (x, t) de forces R dist = ρf (x, t) dv Exemple : accélération de la pesanteur (unité N.kg 1 m.s 2 ) f := g hypothèse simplificatrice : f ne dépend pas du domaine Représentation des efforts 28/43
Il existe une Champs de forces une densité massique f (x, t) de forces R dist = ρf (x, t) dv Exemple : accélération de la pesanteur (unité N.kg 1 m.s 2 ) f := g hypothèse simplificatrice : f ne dépend pas du domaine une densité massique de couples M dist 0 = (OP ρf + ρm ) dv i.e. le moment des forces volumiques + des couples volumiques intrinsèques (électromagnétisme) simplification : m = 0 Représentation des efforts 29/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Efforts surfaciques Ω t efforts de contact sur Ω t R surf = t (x, Ω t, t) ds Ω t Ω t vecteur densité surfacique de forces / vecteur contrainte (unité N.m 2 ) Représentation des efforts 31/43
Efforts surfaciques Ω t efforts sur? Ω t Représentation des efforts 32/43
Efforts surfaciques Ω t efforts sur? Représentation des efforts 33/43
Efforts surfaciques Ω t efforts surfaciques sur R surf = t (x,, t) ds Le pari de remplacer les efforts de champ à courte distance par des efforts surfaciques remplacer une action non locale par une action locale; en pratique, décroissance rapide des forces de cohésion ( 10 atomes) Représentation des efforts 34/43
Efforts surfaciques Ωt densité surfacique de forces R surf = t (x,, t) ds densité surfacique de couples M surf 0 = (x x 0 ) t (x,, t) ds hypothèse : pas de densité surfacique de couples intrinsèque (milieu non polaire) Représentation des efforts 35/43
Plan 1 Quantité de mouvement, moment cinétique Conservation de la masse Champ de vitesses Quantités de mouvement et d accélération Moments cinétique et dynamique 2 Equations de bilan global de la dynamique des milieux continus Torseur dynamique = Torseur des efforts extérieurs Un théorème de transport 3 Représentation des efforts Efforts volumiques Efforts surfaciques et de cohésion Lois d Euler du mouvement
Lois d Euler du mouvement d ρv dv = R dt Ω t d OP ρv dv = M dt 0 Ω t Représentation des efforts 37/43
Lois d Euler du mouvement d ρv dv = dt Ω t d OP ρv dv = dt Ω t + ρ(x, t)f (x, t) dv + t (x, Ω t, t) ds Ω t Ω t OP ρ(x, t)f (x, t) dv Ω t OP t (x, Ω t, t) ds Ω t Elles s appliquent à tout sous domaine Ω t. On a besoin des deux équations! Référentiel non galiléen : mettre les forces d inertie dans f Représentation des efforts 38/43
Espace et référentiels Représentation des efforts 39/43
Espace et référentiels Représentation des efforts 40/43
Espace et référentiels Représentation des efforts 41/43
Changements de référentiel référentiel (E, E), point de l espace x, un autre référentiel (E, E ) changement de référentiel galiléen x = Q 0.x + v 0 t, t = t t 0 changement de référentiel euclidien commodité : Q (t 0 ) = 1 x = Q (t).x + c (t), t = t t 0 Représentation des efforts 42/43
Changements de référentiel référentiel (E, E), point de l espace x, un autre référentiel (E, E ) changement de référentiel galiléen x = Q 0.x + v 0 t, t = t t 0 changement de référentiel euclidien x = Q (t).x + c (t), t = t t 0 commodité : Q (t 0 ) = 1 grandeurs invariantes par changement de référentiel grandeurs objectives scalaires vecteurs m = m m = m f (x, t ) = Q (t).f (x, t) Représentation des efforts 43/43