Capteurs et Conditionneurs

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1 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 2/15 Sommaire Sommaire... 2 TD 1 : Capteur de position Montage push-pull... 3 TD 2 : Influence de la résistance des fils de mesure : Méthode des quatre fils... 4 TD 3 : Choix d un capteur de température... 6 TD 5 : Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie TD 6 : Conditionnement d un capteur capacitif & Thermistance TD 7 : Linéarisation par résistance Travaux Dirigés deconto@lpsc.in2p3.fr olivier.gallot-lavallee@grenoble.cnrs.fr Capteurs et Conditionneurs (SP )

2 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 3/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 4/15 TD 1 : Capteur de position Montage push-pull Un capteur de déplacement rectiligne est constitué d'un potentiomètre linéaire schématisé sur la figure On désigne par x la valeur du déplacement du curseur par rapport à la position milieu que l'on prend pour origine de l'axe x - 1. La course utile du potentiomètre est 2l = 10cm et sa résistance totale est 2R 0. En déduire l'expression des résistances R b ( x) et R h ( x) du potentiomètre (voir figure) pour un déplacement x du curseur par rapport à la position milieu. 2. Le potentiomètre est monté suivant le schéma de la figure. La tension de mesure V mes, image de la position du curseur, est mesurée par une électronique d'impédance d'entrée R app. Exprimer V mes en fonction de R b ( x), R h ( x), R g, R app et V g. TD 2 : Influence de la résistance des fils de mesure : Méthode des quatre fils On considère une résistance thermométrique PT100 de résistance R C (T) = R 0 (1+ αt) où T représente la température en C, R 0 = 100Ω la résistance à 0 C et α = 3, C -1 le coefficient de température. On dispose, pour alimenter cette résistance thermométrique, d'une carte de conditionnement fournissant une sortie de courant parfaite calibrée à I = 5 ma, les deux entrées différentielles d'un amplificateur d'instrumentation, la borne de sortie de ce dernier et une borne de masse. La résistance ajustable R permet de faire varier le gain de l'amplificateur et les impédances d'entrée de ce dernier sont considérées infinies. La carte est schématisée figure La PT 100 est directement connectée entre la source de courant et la masse et ses bornes sont reliées à l'amplificateur d'instrumentation (voir figure 2). Les fils de liaison sont de longueur négligeable. Déterminer la tension de mesure V mes et calculer la sensibilité de la mesure S mes = dv mes /dt. Quel doit être le réglage du gain de l'amplificateur d'instrumentation pour obtenir une sensibilité S mes = 0,1 V/ C? 2. La PT100 est maintenant mise en service à distance de la carte et on doit donc tenir compte de la résistance des fils de liaison. Ces fils de liaison sont des fils de cuivre de résistivité ρ =1, Ω.m, de diamètre 0.5 mm et de longueur l= 5 m. Chaque fil est modélisé par sa résistance r (voir figure 3). Déterminer la nouvelle tension de mesure V mes2. En déduire l erreur δv 2 = V mes2- V mes sur la tension de mesure introduite par la résistance des fils de liaison. Quelle est alors l'erreur δt 2 engendrée sur la mesure de la température? 3. Pour pallier cette erreur, on modifie le montage pour obtenir un montage classique dit à quatre fils : deux fils amenant le courant à la résistance thermométrique et deux fils servant à la prise de tension aux bornes celle-ci (voir figure 4). Déterminer la nouvelle tension de mesure V mes4 et conclure. 3. Que devient cette expression pour R app >>R 0 4. En déduire la sensibilité S mes de la mesure. 5. Quelle valeur doit-on donner à R g pour que cette sensibilité soit maximale? Que deviennent dans ce cas V mes et S mes? Calculer la sensibilité réduite S r. 6. Afin d'assurer un fonctionnement correct du capteur, le constructeur a fixé une limite vmax=0,2m/s pour la vitesse de déplacement v du curseur. En admettant que le curseur a un mouvement sinusoïdal d'amplitude a = 1cm autour d'une position x 0 donnée, calculer la fréquence maximale des déplacements que l'on peut traduire avec ce système.

3 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 5/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 6/15 TD 3 : Choix d un capteur de température On désire mesurer la température à l'intérieur d'une enceinte soumise à le brusques variations de température (c'est en fait la chambre de combustion d'un moteur à explosion monocylindre schématisé sur la figure). La mesure de la température est effectuée par un thermocouple. La quantité de chaleur passant pendant un intervalle de temps dt d'un milieu de température T2 à un milieu de température T1 est donnée par : dq=k(t 2 -T 1 )dt où K est le coefficient d échange entre les milieux. Figure 1. Conditionnement. On suppose V mes =G(e + -e - ) Figure 2 : Montage 2 fils de résistance négligeable Figure 3 : Montage 2 fils réel On note T ext la température absolue extérieure (supposée constante), T cap celle du capteur et T enc celle de l enceinte. K ext est le coefficient d échange entre le capteur et l extérieur et K enc celui entre l enceinte et le capteur. M désigne la masse du capteur et C sa chaleur massique tels que : dq=m.c.dt 1. Établir le bilan énergétique lors d'une variation dt cap de la température du capteur pendant l'intervalle élémentaire de temps dt. Donner l équation différentielle qui donne l évolution de la température du capteur. On suppose que la température extérieure est constante et on pose : T * enc= T enc - T ext T * cap= T cap - T ext Figure 4 : Montage 4 fils 2. Donner l équation différentielle qui donne l évolution de T * cap 3. On se place en régime sinusoïdal et on suppose que T * enc= T 0 enc.cos(ω.t). A partir des résultats démontrés en cours sur les systèmes passe-bas du premier ordre, exprimer la fréquence de coupure à 3dB du système de mesure. 4. On considère trois thermocouples donnés dans le tableau. Calculer leurs fréquences de coupure.

4 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 7/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 8/15 8. TD 4 : Jauge d extensométrie capacitive haute température On cherche à enregistrer les déformations d une structure pour laquelle, pour des raisons de températures élevées, 1 utilisation de jauges d extensometrie collées classiques est impossible On se propose d étudier la jauge capacitive de la figure Le moteur tournant à 730 tours/minute, l'évolution de la température l'intérieur de l'enceinte est rapide (explosion du mélange comburant), choisir le capteur le plus adapté parmi les trois proposés. Quelle est l erreur commise sur la mesure si l on utilisait ce capteur dans cette chaîne mais en régime statique? Les trois métallisations forment les armatures de deux condensateurs C12 et C13 schématises figure 2 L aire des armatures est S, leur longueur l et la distance entre les armatures e La permittivité électrique de I air envi- sonnant est considérée égale à celle du vide ε On fait l'approximation grossière que la température dans l'enceinte varie sinusoïdalement, la température extérieure restant constante et égale à 20 C. 7. Calculer les valeurs extrêmes de la température de l'enceinte sachant que les valeurs extrêmes données par le capteur sont 288,8 C et 960,6 C. Figure 1 : Principe de la jauge cpacitive hautes températures (2) (3) (1) Figure 2 : Armatures des condensateurs de la jauge 1. À l origine l armature (1) se trouve au milieu des armatures (2) et (3). Donner 1 expression des capacités des condensateurs C12 et C13 ainsi formés. On note C0 = ε 0 S/2e. 2. On considère que la distance entre le milieu de l armature (1) et la fixation vissée est initialement de longueur L. La structure subit une contrainte σ orientée selon la direction x. En déduire le déplacement x de l armature (l) par rapport aux armatures (2) et (3) si le matériau de la structure est de module d Young E. 3. Donner alors les nouvelles expressions de C 12 et C 13 en fonction de L, l et C0. 4. Les condensateurs sont montés en demi-pont push-pull avec deux résistances fixes selon le schéma de la figure 3. Le pont est alimenté en alternatif par une source de tension de fem Vg, de pulsation ω g et d impédance interne négligeable. Donner l expression de la tension de mesure en fonction de C 12, C 13 et des caractéristiques de l alimentation puis de L, l et des caractéristiques de l alimentation.

5 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 9/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 10/15 TD 5 : Influence de la résistance transversale des jauges d'extensométrie Etude d'un brin d'une jauge d'extensomètre On considère un fil cylindrique, rectiligne, de longueur l, de section s=10-2 mm 2, de résistance R égale au repos à R = 10 Ω, dont le matériau est de module d'young E = 1, N.m -2 et de coefficient de Poisson ν=0,3. Ce fil est placé dans un pont de Wheatstone alimenté par une source de courant parfaite, Ig = 10mA (voir figure 1). Figure 3 Alimentation du capteur 5. Face à quel type de modulation se trouve-t-un? (AM, FM, MLI etc ). Y-a-t il on non conservation de la porteuse? (ie. la porteuse apparaît elle dans le spectre fréquentiel?) De façon à disposé d une tension Vmes, référencée à la masse, la tension Vmes du pont de la figure 3 est utilisée comme entrée d un amplificateur. D instrumentation de gain unité. A la sortie de ce dernier, on dispose d une tension Vmes référencée à la masse. 6. Pour récupérer l information intéressante, on se propose de réaliser la détection synchrone de la figure 4 où k est une constante, Vref une tension continue constante et où toutes les tensions sont référencées à la masse. Déterminer l expression de la tension de sortie Vs du montage. Figure 1 : Pont alimenté en courant A l'équilibre mécanique, le fil n'étant soumis à aucune contrainte, les quatre résistances du pont sont égales et le pont est équilibré. 1. On soumet le fil à une force de traction F=4N dans le sens de sa longueur. Déterminer la contrainte appliquée σ. 2. Sachant que la limite élastique du matériau utilise est de Nm -2, vérifier que la contrainte subie par le fil demeure dans le domaine élastique. 3. Calculer la variation relative l/l de la longueur du fil. Figure 4 Détection synchrone On s intéresse maintenant aux effets parasites et premièrement à l effet de la température au travers de la dilatation thermique des matériaux. 7. Comment réaliser le support des armatures (2) et (3) pour que la dilatation thermique du support et de la structure n entraîne pas de déplacement x parasite? 8. Expliquer pourquoi la dilatation thermique du support ayant pour effet d entraîner une variation de l épaisseur e des condensateurs est sans effet sur la mesure. 9. Expliquer comment on peut s affranchir d un défaut de fabrication qui donnerait des épaisseurs différentes e12 et e23 aux condensateurs C12 et C13 de façon à toujours avoir Vmes=0 pour L= En supposant tous les problèmes précédents réglés, quelle source d erreur subsiste sur la mesure de la valeur de la contrainte σ. 4. Etablir l'expression de la tension de mesure différentielle du pont Vmes en fonction de Ig, R et r, nouvelle valeur de la résistance du fil. 5. Sachant que cette tension de déséquilibre du pont est de 0.13 mv lorsqu'on applique la force de traction F au fil, calculer la variation relative R/R de la résistance de ce dernier. 6. En déduire le cœfficient de jauge K du fil. Réalisation de la jauge On réalise une jaune d'extensométrie (voir schéma figure 2) avec du fil du type précèdent et on se propose de calculer son coefficient de jauge K j en fonction du coefficient de jauge K du brin étudié précédemment. la jauge est constituée de n brins longitudinaux de longueur l et de brins transversaux de longueur totale a. 1. En l'absence de contrainte les expressions de la résistance longitudinale R l des brins longitudinaux, la résistance transversale R t des bruns transversaux et la résistance totale R j

6 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 11/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 12/15 2. La jauge est parfaitement collée sur une barre cylindrique parallèlement à l axe de celleci (cf figure). La barre, qui constitue le corps d épreuve est de longueur au repos L, de module d Young E 0 et de coefficient de Poisson ν 0. Elle est soumise à une contrainte σ 0 dans le domaine élastique. Exprimer en fonction de K, n, a, l, σ 0, E 0 et ν 0 la variation relative de R l, la variation relative de R t, et en déduire la variation relative de R j Figure 2 : Jauge d extensométrie et jauge collée sur le corps d épreuve 3. Établir l'expression du coefficient de jauge K j = ( R j / R j )/( L / L) de la jauge en fonction de K, n, a, l et ν 0 4. On pose α=r t /R l. Donner l'expression approchée de Kj dans le cas où α est petit. La jauge est utilisée sur deux supports métalliques différents : un acier de coefficient de Poisson ν 1 = 0.28 et un alliage d'aluminium de coefficient de Poisson ν 2 = 0.35 ; les facteurs de jauge étant respectivement K j1 et K j2. 5. Calculer l'écart relatif δk/k = K j1 - K j2 /K sur le coefficient de jauge. TD 6 : Conditionnement d un capteur capacitif & Thermistance Problème 1 On désire mesurer le niveau d hydrocarbure dans un réservoir. Le niveau peut varier entre 0 et L=2 mètres. Le capteur est constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux (voir figure 1) plongés dans le réservoir (non représenté). Le conducteur interne est en métal plein. On mesure la capacité entre les conducteurs, séparés partiellement par de l hydrocarbure et partiellement par de l air. On rappelle que la capacité d un condensateur constitué de deux conducteurs cylindriques coaxiaux en regard est 2πε rε 0λ C = ln ext int ( r / r ) où ε 0 est la permittivité diélectrique du vide (ou de l air), ε r la permittivité relative du diélectrique (hydrocarbure ou air selon le cas), λ la longueur du condensateur et r ext et r int sont les rayons internes et externes du capteur. On rappelle également que deux condensateurs de capacité C1 et C2 placés en parallèle ont une capacité C1+C2 (question1.3). 2πε 0 On posera a =. ln r / r ( ) ext int On donne ε 0 = , r ext =2.1cm, r int =0.7cm, ε r =1 pour l air et 12 pour l hydrocarbure. 6. Déterminer les valeurs maximales de α compatibles avec un écart relatif δk/k < 10-2 puis δk/k < Comment réduire pratiquement le rapport α? Les conditions de la question précédente sont-elles rédhibitoires compte tenu du fil utilisé? On étudiera, par exemple, la possibilité de réaliser une jauge carrée de 3 mm de côté. Figure 1 : Schéma du capteur Figure 2 : Pont de mesure 1. Calculer numériquement la capacité du capteur quand le réservoir est vide. 2. Calculer numériquement la capacité du capteur quand le réservoir est plein. 3. De manière générale, x étant la hauteur de liquide, calculer la capacité C(x) du capteur.

7 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 13/15 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 14/15 4. Pour mesurer la capacité, on monte le capteur sur un pont décrit figure 2. Que vaut la capacité C0 qui assure l équilibre du pont (Vmes=0) quand le niveau d hydrocarbure est à zéro? 5. Le générateur assure une tension à ses bornes V g =V 0.cos(ωt). Que vaut la tension Vmes en fonction de la hauteur de liquide, toujours notée x? capteur V g V a 6. Application numérique : donner les valeurs numérique de Vmes (valeur crête) pour une tension Vg=24V et x=0, 0.5, 1 et 2m. En reportant ces points sur une courbe Vmes en fonction de x, conclure sur la bonne, mauvaise ou très mauvaise linéarité de la mesure. Plutôt que d utiliser le pont décrit figure 2, on utilise celui donné figure 3. Figure 4 : Conditionnement par ampli 5. On donne R1=1kΩ, R2=10 MΩ, C=100 pf, C1=10pF et une fréquence de 1 khz. Déduire numériquement le module de V s /V e. V s 6. Compte tenu des valeurs précédentes, comparer R 1 Cω et R 2 C 1 ω au nombre 1 et déduire de la question 2.4 que le module de V s varie à peu près linéairement avec C. Déduire de la question 1.5 (si vous l avez faite), en donnant maintenant la valeur explicite de C en fonction de x, que le module de V s varie linéairement avec x (avec une bonne précision). Ecrire V s /V e sous la forme α+βx et donner la valeur numérique de α et β. Problème 3 Figure 3 : Conditionnement en pont 7. Que vaut l impédance complexe Z0 qui assure Vmes=0 quand C(x)=C0? Donner la valeur littérale et la valeur numérique pour R=100Ω et une fréquence de 1 khz. 8. Comment la réalise-t-on? A l aide de quel composant et de quelle valeur (capacité, inductance, résistance?). Problème 2 (optionnel) Plutôt que de monter le capteur en pont comme précédemment, on le monte directement selon le schéma donné figure 4. On ne demande pas de valeurs numériques en dehors de la question 2.5. Le générateur fournit une tension V g =V e.cos(ωt). Une de ses bornes est connectée à la masse, comme l entrée «+» de l amplificateur le point de référence de V s. On suppose que le capteur a une capacité que l on notera C (sans plus de détail). On considère une thermistance dont la résistance est donnée par R=a.e b/t où T est la température absolue. La résistance est parcourue par un courant I de 1 microampère qui a un effet thermique négligeable sur la thermistance. On mesure 492 mv aux bornes de la résistance à la température de 25 degrés Celsius et 385 mv à 50 degrés Celsius. 1. Calculer numériquement les valeurs de a et b 2. Déduire la sensibilité S de la thermistance en ohms par degré, à la température de référence de 25 degrés (indication : la sensibilité n est pas du tout constante en fonction de la température. Se rappeler ce qu est la sensibilité de manière générale). 3. En déduire la sensibilité réduite S/R 0 où R 0 est la résistance à 25 degrés C 1. Que vaut la tension Va? 2. En déduire le courant I traversant R1 3. Quelle est l impédance complexe du circuit constitué de R2 et C1 montés en parallèle? 4. Déduire des questions précédentes la valeur de la tension de sortie Vs

8 TD Capteurs et Conditionneurs (SP413-14) 15/15 TD 7 : Linéarisation par résistance On considère une photorésistance. Sa résistance varie avec l éclairement E selon les relations : R=R 0 //R E avec R E =K.E α On étalonne la résistance à l aide d un luxmètre et d un ohmmètre et on obtient le tableau suivant : On mesure la résistance d obscurité et l on trouve R0=6.032MΩ 1. Déterminer les caractéristiques du capteur 2. On monte le capteur en série avec une résistance r. L ensemble est alimenté par un générateur de tension V. On mesure la tension Vmes aux bornes du capteur. 3. Quelle est alors la valeur à donner à r pour que la tension de mesure soit linéarisée autour de E0=1000 lux? Pour cela on chercher un critère sur la courbe Vmes(E) en E0. 4. En calculant la tension de mesure pour 0, 1000 et 2000 lux, estimer l erreur de linéarité résiduelle.