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1 Christian JUTTEN Conception de systèmes électroniques analogiques Université Joseph Fourier - Polytech Grenoble Cours de deuxième année du département 3i Janvier 2007

2 Table des matières Modèle mathématique du transistor bipolaire. Introduction Modèle mathématique de la diode Diode en régime statique Diode en régime dynamique Modèle complet Influence de la température Modèle du transistor bipolaire Généralités Modèle d Ebers et Molls en grands signaux Modèle d Ebers et Molls en petits signaux Fonctionnement en saturation Amélioration du modèle d Ebers et Molls Conclusion Polarisation et stabilité thermique Introduction Polarisation Première approche Montage de polarisation Schéma équivalent Equation générale de polarisation Optimisation Influence de V BE Influence de I CB Influence de β N Influence de la température Stabilité thermique Modèles thermiques i

3 2.3.2 Equations thermiques Boucle thermique Calcul de G pour le montage en classe A Conclusion Amplification à courant continu 3 3. Présentation du problème Généralités Problème pour un étage Emetteur commun Dérives en température du montage Amplificateur différentiel Schéma équivalent et équations Linéarisation de la relation entrée-sortie Paramètres de l amplificateur différentiel Conception d un amplificateur différentiel intégré Cahier des charges Structure générale Générateurs de courant Translation de niveau Conception d un étage d entrée Etage d entrée à charges actives Limitation due à l effet Miller Correction de l effet Miller : montage cascode Etage d entrée à super-gain Amélioration de l étage d entrée Amplificateur à transistors à effet de champ Etage de sortie Conclusion Amplificateurs opérationnels intégrés 5. Introduction Principe de calcul Montage inverseur Montage non inverseur Erreur due au gain Remarque Erreur de calculs Erreur due à l impédance d entrée Z E finie Erreur due à l impédance de sortie Z S non nulle ii

4 .3.3 Cas général avec des impédances d entrée et de sortie non idéales Conclusion Erreurs statiques Erreur due à la tension de décalage Courant de polarisation d entrée Taux de réjection des tensions d alimentation Réponse en fréquence Origine de la réponse en fréquence Comportement en boucle fermée Autre approche de la stabilité Amplificateurs à réponse du premier ordre Erreur due à la vitesse de balayage Compensation en fréquence Bruit Généralités Origine du bruit Définitions Spécifications concernant le bruit Calcul des tensions et courants efficaces de bruit Bruit thermique dans une résistance Calcul du bruit d un montage amplificateur non inverseur2.7 Conclusion Applications des amplificateurs opérationnels Introduction Circuits de base de calcul analogique Sommateur inverseur Sommateur non inverseur Remarque sur les entrées non utilisées Additionneur-soustracteur Amplificateur à gain variable Montage à gain variable de + à Augmentation de l impédance d entrée d un montage inverseur Montage intégrateur Montage de base Influence de la tension de déport de l amplificateur Correction de la tension de déport Influence de l impédance d entrée de l amplificateur.. 36 iii

5 5.3.5 Réponse à un échelon Montage dérivateur Cas idéal Amplificateur différentiel d instrumentation Position du problème Première amélioration de l additionneur-soustracteur Seconde amélioration Solution optimale Amplificateur de tension à très grande impédance d entrée Fonctionnement idéal Cas d un amplificateur réel Convertisseur d impédances Multiplieur de capacités Convertisseur d impédance négative Oscillateur Analyse du fonctionnement Calcul détaillé Oscillateur contrôlé en tension Générateur de signaux triangle et carré Etude du trigger Etude de la charge de la capacité Analyse critique Redresseurs Redresseur mono-alternance Redresseur double alternance Redresseur double alternance symétrique Conclusion Documentations techniques de quelques composants Diode BAV Diode N Transistor 2N Amplificateur opérationnel LM Amplificateur opérationnel LF iv

6 a v

7 Chapitre Modèle mathématique du transistor bipolaire. Introduction L objectif de ce chapitre est de fournir un outil simple et efficace de description et d analyse de schémas à transistors bipolaires. Il ne s agit donc pas de développer des outils mathématiques sophistiqués qui nécessiteraient des ordinateurs puissants. En effet, ces modèles - tels que ceux utilisés en conception assistée par ordinateur (CAO) et quoique très performants - ne sont pas adaptés à des calculs manuels. Le modèle d Ebers et Molls (95) que nous proposons dans ce chapitre peut paraître simpliste, voire obsolète. Il présente malgré tout de nombreux avantages : Une grande simplicité qui autorise des calculs manuels. Une représentation unique de tous les régimes de fonctionnement des transistors bipolaires : linéaires direct et inverse, saturation, bloqué ; grands et petits signaux. Une représentation valable pour les transistors NPN comme PNP, moyennant des conventions de signe. Ces avantages suffisent à expliquer l intérêt du modèle pour l analyse rapide et la compréhension de montages déjà complexes (voir chapitre 3). Il permettra aussi aux futurs ingénieurs micro-électroniciens d appréhender le fonctionnement global d un montage avec ses points critiques et de mieux

8 utiliser les outils de simulation par ordinateur. Ce modèle peut aussi être affiné de façon simple en introduisant : la tension d Early pour tenir compte de l effet de modulation de largeur de base, responsable de l impédance de sortie limitée, les capacités parasites des jonctions base-émetteur et base-collecteur pour rendre compte des propriétés dynamiques..2 Modèle mathématique de la diode.2. Diode en régime statique Modèle simplifié La théorie simplifiée de la diode jonction prévoit une relation couranttension de la forme : [ I V = I SV exp( qv ] D kt ), (.) où I V est le courant volumique, I SV est le courant de saturation (ou inverse) en volume, V D est la tension aux bornes de la diode, et q, K et T sont respectivement la charge de l électron, la constante de Boltzmann et la température en K. La quantité kt/q, homogène à une tension, est fréquemment noté V T ou φ T. A température ambiante (T 295K), on retiendra : V T = φ T = kt q 25mV. (.2) En réalité, il faut aussi tenir compte des courants de surface, surtout lorsque la géométrie du dispositif devient petite, ce qui est inhérent à la miniaturisation ultime des circuits intégrés. Par ailleurs, ces courants de surface dépendent de l état de surface du composant, donc de la qualité du processus technologique de fabrication. Pour les courants de surface, on peut écrire : [ I S = I SS exp( V ] D ), (.3) n S V T où I S est le courant surfacique, I SS est le courant de saturation (ou inverse) en surface, V T est la tension thermique définie en (.2) et n S est le coefficient d émission en surface. 2

9 Modèle réel Le modèle réel, qui doit tenir compte de l ensemble des courants, de volume comme de surface, est décrit par la relation : [ ( VD ) ] I D = I 0 exp, (.) nv T où I D est le courant de diode, I 0 est le courant de saturation (ou inverse) et n est un coefficient tel que n 2. La fonction, I D (V ), étant inversible, on utilise aussi fréquemment la relation : Approximations usuelles ( ID ) V D = nv T ln +. (.5) I 0 Généralement, le coefficient n n est pas fourni par le constructeur, et, par défaut, on utilise n =. De plus, dès que le rapport I D /I 0 est très supérieur à, on peut simplifier l expression (.5). En pratique, puisque I 0 0 à 0 5 A, dès que I D 0 2 A, l expression simplifiée suivante sera vérifiée : De même, la relation I D (V D ) se simplifie : V D = V T ln I D I 0. (.6) ( VD ) I D = I 0 exp, (.7) V T dès que exp(v D /V T ), c est-à-dire V D 5V T = 25mV (exp(5) 25). Valeurs typiques Pour une diode au Silicium, la théorie physique prévoit un courant de saturation volumique I A. En pratique, dans un composant discret, compte tenu des fuites, le constructeur garantit seulement un courant inverse I 0 0 A. Par ailleurs, le courant inverse varie selon les références de composants. Pour les composants à faible courant de saturation (par exemple BAV5), on atteint effectivement I 0 < 0pA, mais pour des diodes signal (par exemple 3

10 N), le constructeur donne I 0 < 25nA. Enfin, il faut savoir que le courant inverse mesuré par le constructeur dépend des conditions de mesure, en particulier de la température et de la tension inverse V R appliquée à la diode : V D = V R. Exercice On considère une diode de courant inverse I A. Calculer la tension de diode V D telle que I D = ma. Pour I D = ma I 0, on peut utiliser la relation simplifiée (.6), soit : V D = V T ln I D = ln 0 3 = 0.69V. (.) I Calculer l augmentation de V D lorsque le courant I D est multiplié par un facteur 0. d où : Pour le courant 0I D, on a une tension V D + V D. On a alors la relation : ( VD + V ) ( D VD ) 0I D = I 0 exp = I D exp (.9) V T V T V D = V T ln0 57mV. (.0) La caractéristique courant-tension d une diode est exponentielle. La tension V D aux bornes d une diode conductrice est de l ordre de 0.6 à 0.7V, et varie très peu même pour des variations considérables du courant de diode : V D 57mV pour un courant multiplié par 0! Résistance série Les contacts électriques entre la jonction et les composants voisins (pour un composant discret), ou entre la jonction et les électrodes du boitier (pour un composant intégré) présentent une résistance série statique R S. Typiquement cette résistance vaut de quelques mω à quelques Ω. Si les courants sont importants (composants de puissance), la chute de potentiel dans la résistance série peut devenir non négligeable. Pour en tenir compte, on corrige le modèle (.5) par : ( ID ) V D = V T ln + + R S I D. (.) I 0

11 ,,,, % Fig.. Modèle idéal de diode : caractéristique (à gauche), schéma équivalent en grands signaux de la diode conductrice (à droite). Résistance dynamique En différentiant la relation (.), on trouve une relation entre les variations di D et dv D : di D = ( VD ) I 0 exp dv D I D dv D. (.2) V T V T V T On peut définir la résistance dynamique (petits signaux), notée r D, par le rapport : dv D V T. (.3) di D I D On retiendra que : la résistance dynamique varie comme l inverse du courant de diode I D, à I D = ma et à température ambiante, on a la valeur typique r D 25Ω. Modèles simplifiés Le modèle le plus simple considère la diode bloquée ou conductrice, avec les deux états : V > V D r D = 0, (.) V V D r D =. On peut associer à ce modèle le schéma équivalent en grands signaux (statique) de la figure.. En petits signaux, la diode conductrice devient un simple court-circuit et la diode en inverse (ou plutôt pour V V D, donc bloquée) est un circuit ouvert (Fig..). 5

12 , G,,,, H, G, F A J A H,, 6 6 Fig..2 Modèle amélioré de diode : caractéristique (à gauche), schéma équivalent en grands signaux de la diode conductrice (à droite). En petits signaux, la diode conductrice se réduit à sa résistance dynamique. On peut proposer un modèle plus fin, qui prend en compte la résistance dynamique lorsque la diode est conductrice. Ceci revient à approximer la partie exponentielle de la courbe I D (V D ) par une droite de pente /r D (Fig..2) tangente à l exponentielle au point choisi (V D0, I D0 ). Pour I D > 0 c està-dire V D (V D0 V T ), on a donc l équation : V D = (V D0 V T ) + I D r D. (.5) Pour V D < (V D0 V T ), le courant I D est nul : la diode est bloquée. Exercice Calculer le point de polarisation (I D, V D ) d une diode reliée à une tension d alimentation de 5V par l intermédiaire d une résistance R = kω. On prendra I 0 = 0 5 A à T = 25C. Deux équations décrivent le fonctionnement du montage. La première est l équation de la droite de charge : I D = (V CC V D ). (.6) R Mais, I D et V D sont aussi liées par la loi de diode (on prend la loi simplifiée car on suppose que I D sera très supérieur à I 0 ) : On a finalement le système suivant : { I D = (V CC V D ) V D = V T ln I D I O. (.7) R, IO, V D = V T ln I D 6 (.)

13 , + +, + + Fig..3 Résolution itérative du système d équations (.). qui est transcendant, et n admet pas de solution analytique. Il est cependant possible de trouver simplement la solution, par une résolution numérique en itérant deux étapes de calcul. L algorithme, illustré à la figure.3, est le suivant : Choisir une valeur initiale pour V D : (V D ) 0 i = Répéter (I D ) i = (V CC (V D ) i ) R (V D ) i = V T ln (I D) i I O Jusqu à (I D ) i (I D ) i < seuil On choisit (V D ) 0 = 0.6V, qui est une valeur raisonnable. On itère et on trouve au bout de quelques (3) itérations : V D = 0.73V et I D =.3mA. (.9) Remarque. Si V CC V D 0.6V, on a une bonne approximation du courant par la relation : I D = (V CC V D ) R qui évite des itérations de calculs. V CC R, (.20) 7

14 .2.2 Diode en régime dynamique Le régime dynamique de la diode peut être modélisé par deux capacités, la capacité de transition et la capacité de diffusion. Le fonctionnement en commutation traduit également les performances dynamiques de la diode. Capacité de transition En régime dynamique, et en particulier en commutation, il faut tenir compte du temps mis pour déplacer les charges accumulées dans la jonction. En effet, en polarisation inverse (diode bloquée), il existe une zone de déplétion dont la largeur varie avec la tension inverse appliquée. De chaque côté de cette zone, les charges s accumulent et on peut modéliser ce phénomène par une capacité C T appelée capacité de transition : C T = C T0 ( ), (.2) V α φ où V est la tension inverse de diode, φ est la barrière de potentiel de la jonction, et α est un coefficient qui dépend du dopage dans la jonction (/3 pour une jonction graduelle, /2 pour une jonction brutale). La capacité C T0 pour V = 0V vaut quelques pf. L équation (.2) n est valable que pour des valeurs de V inférieure à φ, qui est de l ordre de 0.5V. En particulier, C T ne tend pas vers l infini pour V φ, car le modèle n est plus valide. La capacité de transition est de faible valeur (quelques pf) mais elle joue un rôle important dans les montages à transistors. En effet, pour un transistor conducteur, la diode B-C est en inverse et présente une capacité de transition. En raison de l effet Miller, la capacité équivalente est multipliée par le gain β N (quelques centaines!). Capacité de diffusion La capacité de diffusion, C D, modélise la recombinaison des porteurs injectés dans la jonction, porteurs dont la durée de vie est τ. On montre que : C D = τ r D, (.22) où r D = V T /I D est la résistance dynamique de la diode. La capacité de diffusion est donc proportionnelle au courant I D traversant la diode.

15 J B H, J Fig.. Temps de recouvrement direct d une diode. Pour une diode au Silicium, la durée de vie des porteurs est de l ordre de τ = ns. Pour un courant I D = 0 3 A, on a r D 25Ω et C D 0 9 /25 = 0pF. Réponse impulsionnelle En raison des charges accumulées dans la jonction, le fonctionnement en commutation introduit des comportements transistoires particuliers, caractérisés par des temps dits de recouvrement (recovery time) direct et inverse, notés t fr (forward recovery time) et t rr (reverse recovery time). Supposons la diode bloquée. Il existe donc une zone de déplétion qui ne contient pas de charges d espace. A l instant où la tension du générateur devient positive, la tension directe de la diode s établira après avoir déplacé les charges dans la jonction. La conduction, qui n est donc pas immédiate, est caractérisée par la courbe de la figure.. Supposons maintenant la diode conductrice, des charges sont accumulées dans la jonction. Pour bloquer la diode, il faut d abord évacuer les charges de la jonction pour créer la zone de déplétion. Ce déplacement ne peut pas être instantané et entraîne un retard de commutation, le temps de recouvrement inverse, t rr. Les valeurs typiques sont données pour deux diodes classiques, une diode de commutation, rapide, et une diode à faible courant inverse, dans le tableau.5. Attention, soyez critiques dans la lecture des spécifications et surtout soyez attentifs aux conditions expérimentales. En effet, le montage type pour ces mesures, donné à la figure.6, conduit à des temps de recouvrement très différents selon les valeurs de tension du générateur G. En particulier, la 9

16 Référence Types de diode t fr t rr N Diode de commutation ns BAV 5 Faible courant inverse 350ns Fig..5 Valeurs typiques des temps de recouvrement. Fig..6 Schéma de mesures d une diode en commutation. tension négative du générateur a une très grande influence sur ces temps, car, pour passer de l état conducteur à l état bloqué, les charges accumulées dans la jonction doivent être évacuées. Cette évacuation est d autant plus rapide que le courant de décharge est grand. Or celui-ci est majoré par I max = (V D V G )/R. De façon évidente, si la tension du générateur est très négative, le courant augmente, ce qui a pour effet de raccourcir les temps de recouvrement. Vérifiez également la température de mesure, car elle a beaucoup d influence..2.3 Modèle complet En conclusion, une diode peut être modélisée par le schéma de la figure.7, où le composant diode est supposé idéal, et la résistance série et les capacités représentent des différents éléments parasites. La diode conductrice idéale peut être modélisée par le schéma équivalent de la figure.2, c est-àdire une générateur de tension constante (qui vaut environ 0.6 à 0.7 V) en série avec la résistance dynamique r D. 0

17 Fig..7 Schéma équivalent d une diode..2. Influence de la température La relation I D (V D ) fait intervenir explicitement la température absolue T dans le terme V T = kt/q. Cependant, la variation de ce terme avec T n est pas la plus importante. En effet, le courant de saturation I 0 varie considérablement avec T. On montre par l application de la théorique statistique de Fermi-Dirac que ce courant suit la loi : I 0 = AT 3 exp( N/T), (.23) où A et N sont des coefficients qui dépendent des propriétés physiques du semi-conducteur. Calculons la dérivée de I 0 par rapport à T : ) di 0 dt = A exp( N/T) (3T 2 + T 3 NT ( ) 2 = AT 3 exp( N/T) T 3 + N T (.2) = I 0 T (3 + N T ). Enfin, on met cette expression sous la forme : di 0 = dt ( 3 + N ). (.25) I 0 T T Cette relation (.25) traduit les variations relatives de I 0 en fonction des variations relatives de la température T. De façon usuelle, pour un doublement du courant, c est-à-dire I 0 = I 0 soit I 0 /I 0 =, on calcule la variation de température T : T = T 2 3T + N. (.26) Les valeurs diffèrent notamment pour le Germanium et pour le Silicium.

18 * * * B + * B B Fig.. Conventions de courants et tensions. B Pour le Silicium, N = 000 o K, d où : T = T 2 3T + N T 2 N = 6.o K. (.27) En pratique, on considère que, pour une diode au Silicium, le courant inverse double tous les 7 o C environ. Ceci peut paraître modeste, mais sur une gamme de température de 70 o C = 0 7 o C, en admettant que l approximation cidessus reste valable, on a une variation de courant I 0 = 2 0 I I 0!.3 Modèle du transistor bipolaire.3. Généralités Notations Dans cette partie, on utilise des conventions sur les sens des courants et des tensions qui permettent de traiter indifféremment des transistors PNP et NPN. Ces conventions, illustrées à la figure. sont les suivantes : les courants sont positifs entrants, les tensions sont référencées par rapport au matériau N. Fonctionnement simplifié En polarisation normale, on doit tenir compte de quatre courants (figure.9). Pour un transistor PNP, on a :. le courant de trous traversant la base, I (effet transistor), 2. le courant de trous qui se recombinent dans la base, I 2, 3. en HF, le courant de trous qui revient vers l émetteur, I 3,. le courant de saturation de la jonction C-B, I CB0. 2

19 -! * " B B + Fig..9 Principaux courants dans un transistor PNP. Dans un transistor NPN, on a des courants similaires, mais les courants sont des courants d électrons et non de trous. Une portion seulement du courant émis par l émetteur atteint donc le collecteur. On introduit le gain en courant, noté α N = i C /i E, l indice N étant associé à la polarisation normale et le signe lié aux conventions sur les courants. On peut alors estimer le gain : I α N = <. (.2) I + I 2 + I 3 Si l effet transistor est très fort, la portion de courant I est très grande et la gain est donc très voisin de. En tenant compte des conventions, le courant I C s écrit alors : I C = α N I E + I CB0. (.29) Fonctionnellement, rien ne distingue le collecteur de l émetteur, et si on polarise le transistor en inverse, c est-à-dire en permuttant le rôle du collecteur et de l émetteur, on obtient une relation analogue : dans laquelle α I = i E /i C est le gain en inverse. Remarques. I E = α I I C + I EB0, (.30). En pratique, pour augmenter l effet transistor, le constructeur réalise des transistors avec des bases très fines. Par ailleurs, les dopages des zones de collecteur et d émetteur sont différentes de façon à avoir α N, alors que α I <. Les valeurs typiques sont 0.99 α N et 0.2 < α I < 0.. 3

20 - B ) 6 7 ) 6 B * + ) / - ) Fig..0 Régions de fonctionnement d un transistor. 2. En fonctionnement normal, la jonction B-E est une diode polarisée en direct alors que la jonction B-C est en inverse : la tension B-E vaut donc φ E 0.6V, et φ C < 0V. En fonctionnement inverse, c est la jonction B-C qui est une diode polarisée en direct alors que B-E est en inverse : on a alors φ C 0.6V et φ E < 0V. 3. Pour un transistor PNP, en raison des conventions, les courants inverses I CB0 et I EB0 sont négatifs. Ils sont positifs pour les transistors NPN. Modèle simplifié et régions de fonctionnement Le fonctionnement d un transistor dépend des valeurs des tensions φ E et φ C qui polarisent le transistor. On a quatre régions de fonctionnement associées aux quatre quadrans du plan (φ E, φ C ) (Fig..0). Les régimes de fonctionnement sont : la polarisation directe, ou normale : φ E > 0 et φ C < 0, la polarisation inverse : φ E < 0 et φ C > 0, la saturation : φ E > 0 et φ C > 0, le blocage : φ E < 0 et φ C < 0. Les modèles précédents (Eq..29 et.30) associent une équation à chaque région de fonctionnement. Il faudrait d ailleurs rajouter les deux équations décrivant les régimes de blocage et de saturation. Pour simplifier, il serait intéressant de disposer d un modèle unique, décrivant en totalité le fonctionnement du transistor dans ces quatre régions. Pour le transistor bipolaire unidimentionnel, un tel modèle a été proposé pour la première fois en 95 par Ebers et Molls. Depuis, des modèles plus fins, mais aussi plus compliqués, ont été proposés par la suite. Le modèle d Ebers et Molls a l avantage de se prêter à des calculs simples, manuels, et donc d être facile à manipuler

21 pour comprendre qualitativement un montage même complexe avec de nombreux transistors, et pour effectuer des calculs approchés de ses paramètres principaux. Bien sûr, pour faire de la simulation sur ordinateur, ce modèle n est pas assez précis. Mais, pour utiliser efficacement la simulation sur ordinateur, il est nécessaire de comprendre qualitativement le fonctionnement du montage, au moins pour éviter un listing long inexploitable de résultats de simulations inutiles. C est ce qui justifie son développement dans ce cours..3.2 Modèle d Ebers et Molls en grands signaux On considère la transistor comme deux diodes têtes-bêches et on suppose que le courant d émetteur et le courant de collecteur s écrivent comme la somme des courants de ces deux diodes polarisées par φ E et φ C, c est-àdire : { IE = a (exp(φ E /φ T ) ) + a 2(exp(φ C /φ T ) ) I C = a 2 (exp(φ E /φ T ) ) + a 22 (exp(φ C /φ T ) ) (.3) où φ T = kt/q et les a ij sont des coefficients réels à déterminer. Ces équations doivent bien entendu coïncider avec les équations (.29) et (.30) en fonctionnement normal et inverse. Fonctionnement normal. Ce régime correspond à φ E > 0 et φ C < 0. On supposera en outre que φ C /φ T est suffisamment négatif pour que exp(φ C /φ T ). Ainsi, le terme exp(φ C /φ T ). Dans ce régime, les équations d Ebers et Molls se réduisent à : { IE = a (exp(φ E /φ T ) ) a 2 I C = a 2 (exp(φ E /φ T ) ) a 22 (.32) De la première équation, on tire : et en reportant dans la seconde : exp(φ E /φ T ) = I E + a 2 a, (.33) I C = a 2I E a + a 2a 2 a a 22. (.3) En identifiant avec l équation (.29), I C = α N I E + I CB0, on tire les deux équations : { αn = a 2 I CB0 = a 2a 2 (.35) a a 22. 5

22 Fonctionnement en inverse. Ce régime correspond à φ E < 0 et φ C > 0. On supposera en outre que φ E /φ T est suffisamment négatif pour que exp(φ E /φ T ). Ainsi, le terme exp(φ E /φ T ). Dans ce régime, les équations d Ebers et Molls se réduisent à : { IE = a + a 2 (exp(φ C /φ T ) ) (.36) I C = a 2 + a 22 (exp(φ C /φ T ) ) De la seconde équation, on tire : et en reportant dans la première : exp(φ C /φ T ) = I C + a 2 a 22, (.37) I E = a 2I C a 22 + a 2a 2 a 22 a. (.3) En identifiant avec l équation (.30), I E = α I I C + I EB0, on tire les deux équations : { αi = a 2 22 I EB0 = a 2a 2 (.39) a 22 a. On a donc le système de quatre équations à quatre in- α N = a 2 I CB0 = a 2a 2 a a 22 α I = a (.0) 2 22 I EB0 = a 2a 2 a 22 a. Calcul des a ij. connues : En utilisant la première équation dans la seconde, on a : I CB0 = a 2a 2 a a 22 = α N a 2 a 22, (.) puis en factorisant par a 22 et en utilisant la troisième équation, on écrit : ( a ) ( ) 2 I CB0 = a 22 α N = a 22 α N α I. (.2) a 22 On en déduit finalement : a 22 = I CB0 α N α I, (.3) 6

23 et : a 2 = α II CB0 α N α I. (.) De façon similaire, à partir de la dernière équation, on trouve : et : a = I EB0 α N α I, (.5) a 2 = α NI EB0 α N α I. (.6) Equations du transistor bipolaire Les équations d Ebers et Molls sont donc complètement définies. Il faut y ajouter deux équations supplémentaires : la loi des noeuds qui lie les courants et la relation d Onsager qui lie les gainet les courants inverses. On a finalement le jeu des quatre équations : I E = I EB0 α N α I (exp(φ E /φ T ) ) + α II CB0 α N α I (exp(φ C /φ T ) ), I C = α NI EB0 α N α I (exp(φ E /φ T ) ) I CB0 α N α I (exp(φ C /φ T ) ), I B + I C + I E = 0, α N I EB0 = α I I CB0. (.7) En régime de polarisation normale, on peut donc représenter un transistor PNP ou NPN par un schéma équivalent du type de la Fig... Notez que, dans ce régime, la jonction B-C est une diode polarisée en inverse, et la jonction B-E est une diode polarisée en direct. La tension φ E est proche de 0.6V et le courant du générateur de courant est négligeable par rapport au courant de diode. De même, la contribution I CB0 dans le courant de collecteur est négligeable par rapport au courant α N I E dès que I E dépasse quelques picoampères..3.3 Modèle d Ebers et Molls en petits signaux Supposons le transistor en polarisation normale, c est-à-dire φ C < 0 et φ E > 0. En supposant que φ C > 25 mv, on peut négliger le terme exp(φ C /φ T ) devant et on a : I E = I EB0 α N α I (exp(φ E /φ T ) ) α II CB0 α N α I, I C = α NI EB0 α N α I (exp(φ E /φ T ) ) + I CB0 α N α I = α N I E + I CB0. (.) 7

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