Simuler l aléatoire. Licence 1 MASS, parcours SEMS et ESD Introduction à Java et à l algorithmique

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Raymonde Élisabeth Leroy
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1 Licence 1 MASS, parcours SEMS et ESD Introduction à Java et à l algorithmique [email protected] verel Équipe ScoBi - Université Nice Sophia Antipolis 15 mars 2013

2 Synthèse Introduction Elèves pour la synthèse du jour?

3 Objectifs de la séance 6 Faire la différence entre aléatoire et pseudo-aléatoire Simuler un nombre pseudo-aléatoire entier ou flottant entre 2 bornes données Ecrire un algorithme utilisant un générateur pseudo-aléatoire Ecrire un algorithme qui génère des séries temporelles du type u t+1 = au t + b + ɛ et u t+1 = (a + ɛ)u t + b Question principale du jour : Comment générer une série de nombres qui ont l air d être aléatoires?

pseudo-aléatoire Ecrire un algorithme qui génère des séries temporelles du type u t+1 = au t + b + ɛ et u

4 Plan Introduction 1 Introduction 2 3

5 Aiguille de Buffon Expérience Lancer n fois une aiguille de longueur 2l sur parquet dont les lames sont de largeur 2a. Soit p n le nombre de fois que l aiguille intercepte une lame de parquet. La fréquence pn n permet d approximer le nombre π. lim n p n n = 2l aπ à partir d événements aléatoires, il est possible d approximer une valeur

Soit p n le nombre de fois que l aiguille intercepte une lame de parquet.

6 Besoin de nombres aléatoires Simulation : Modèle économique, sociologique, physique, médicale,... Cryptographie : Génération sûre de clés de chiffrement Optimisation stochastique : méthodes de MonteCarlo, recuit simulé, algorithmes génétiques, Paritcules Swarm Optimisation... Jeux de hasard : Loto, suduko,... Besoin croissant de nombres aléatoires en particulier en simulation et en cryptographie

MonteCarlo, recuit simulé, algorithmes génétiques, Paritcules Swarm Optimisation.

7 Problème de génération Méthodes principales de générateurs de nombres aléatoires : A l aide d un système physique dont l état est aléatoire : Valeur précise d une résistance, apparition des taches solaires, vibration de matière... bonne méthode mais lente A l aide d un ordinateur : Mais un ordinateur est une machine déterministe : tout état prochain est une fonction (image unique) des états précèdents de la machine. rapide, facile à utiliser dans un ordinateur mais PAS aléatoire du tout... Depuis peu : combinaison des deux

.. bonne méthode mais lente A l aide d un ordinateur : Mais un ordinateur est une machine déterministe : tout état prochain est une

8 Technique de génération : le pseudo-aléatoire 2 étapes : Initialisation d un premier nombre appelé graine : Génération d une suite de nombres définie par récurrence : u 0 u n+1 = f (u n ) , 56, , 10048, ,...

Génération d une suite de nombres définie par récurrence

9 Limite des machines : le pseudo-aléatoire Mais : Taille de mémoire limitée Nombre de registres de calcul d un processeur limité inévitable périodicité des nombres générés pseudo-aléatoirement par ordinateur La suite des nombres doit avoir certaines propriétés de l aléatoire générateur pseudo-aléatoire

des nombres générés pseudo-aléatoirement par ordinateur La suite des

10 Petit historique Développement essentiellement dû au besoin en simulation et cryptographie : John Von Neumann, générateur Middle square 1948 : D. H. Lehmer, générateur congruenciel 1958 : G.T. Mitchell, et D.P. Moore, améalioration 1997 : Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura : Mersenne-Twister

1946 : John Von Neumann, générateur Middle square 1948 : D. H.

11 Algorithme de Von Neumann Middle Square Principe : pour calculer le nombre suivant, on élève au carré le nombre précèdent puis on conserve les chiffres du milieu. Exemple : Graine : = , premier nombre : = , deuxième nombre : Périodicité faible Dépend beaucoup de la graine à fonctionnner sur l ENIAC, mais très vite limité.

1111 2 = 1234321, premier nombre : 23432 2. 23432 2 = 549058624, deuxième nombre : 4905862 3.

12 Méthode de Von Neumann // nombre courant pseud-aleatiore int n = 1111; / initialisation generateur pseudo-aleatoire de Von Neumann entree : graine du generateur aleatoire sortie : aucune / void randseed(int k) { n = k;

13 Méthode de Von Neumann / generateur pseudo-aleatoire de Von Neumann entree : aucune sortie : nombre non attendu suivant / int rand() { int nbchiffre = int(log(n n) / log(10)); n = (n n) % int(exp(nbchiffre log(10))) / 10; return n; void setup() { randseed(1111); println(rand()); println(rand());

nbchiffre = int(log(n n) / log(10)); n = (n n) % int(exp(nbchiffre

14 Méthode de Fibonacci Basé sur la suite de Fibonacci et l arithmétique modulaire. avec x 0 et x 1 comme graines x n = (x n 1 + x n 2 ) mod M Ou une variante avec k un entier. avec x 0... x k 1 comme graines x n = (x n 1 + x n k ) mod M Qualité : dépend de k et des nombres utilisés pour graines Peu de consommation de ressources Simple à implémenter...

15 Méthode Fibonacci // nombres courants pseudo-aleatoires int n0 ; int n1 ; // congruence int M = 1000; / generateur pseudo-aleatoire : Methode de Fibonacci entree : graine du generateur aleatoire sortie : aucune / void randseed(int _n0, int _n1) { n0 = _n0; n1 = _n1;

$sortie : aucune / void randseed(int _n0, int _n1) { n0 = _n0; n1 =$

16 Méthode Fibonacci / generateur pseudo-aleatoire Fibonacci entree : aucune sortie : nombre non attendu suivant / int rand() { int suiv = (n0 + n1) % M; n0 = n1; n1 = suiv; return suiv; void setup() { randseed(23456, 9726); println(rand()); println(rand());

rand() { int suiv = (n0 + n1) % M; n0 = n1; n1 = suiv; return

17 Générateurs congruentiels linéaires Basé sur les suites arithmétiquo-géométriques et l arithmétique modulaire. avec x 0 une graine. x n = ax n 1 + c mod m Période au maximum m. m choisit de la taille des nombres en machine Simple à implémenter...

18 Methode par congruence linéaire // nombres courants pseudo-aleatoires int n ; // congruence int M = 1000; int a = 53; int c = 97; / generateur pseudo-aleatoire basee sur la congruence entree : graine du generateur aleatoire sortie : aucune / void randseed(int _n) { n = _n;

int c = 97; / generateur pseudo-aleatoire basee sur la congruence

19 Méthode par congruence linéaire / generateur pseudo-aleatoire base sur la congruence entree : aucune sortie : nombre non attendu suivant / int rand() { n = (a n + c) % M; return n; void setup() { randseed(23456); println(rand()); println(rand());

attendu suivant / int rand() { n = (a n + c) % M; return n;

20 Mersenne-twister (Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura 1997) Basé sur les nombres de Mersenne 2 p 1 Période distribution uniforme sur 623 dimensions N est pas un générateur adapté à la cryptographie, mais très utile en simulation et optimisation.

distribution uniforme sur 623 dimensions N est pas un

21 Propriétés statistiques du pseudo-aléatoire Les générateurs pseudo-aléatoires sont conçus pour générer des nombres selon une loi proche d une loi uniforme U(0, maxvalue 1). Certaines propriétés statistiques attendues Propriété de la distribution des nombres : moments, fréquence d apparition des nombres, comparaison à la loi uniforme Entropie maximale Indépendance statistique des nombres de la série : autocorrélation, test spectral

22 Générateur pseudo-aléatoires de nombres flottants Initialisation de la graine aléatoire randomseed(n) Nombre aléatoire (float) entre 0 et b (b exclu) random(b) Nombre aléatoire (float) entre a et b (b exclu) random(a, b)

23 Générateur pseudo-aléatoires de nombres entiers Nombre aléatoire (int) entre 0 et b 1 int(random(b)) Nombre aléatoire (int) entre a et b 1 int(random(a, b))

24 Jeu où l on doit deviner un nombre entre 0 et 100 / Organise le jeu qui consiste a deviner un nombre entree : - n : nombre a deviner sortie : - aucune / void deviner() { int rep; int n = int(random(101)); rep = n - 1; while (rep!= n) { rep = lire("proposer un nombre entier"); if (rep < n) println("trop petit"); else if (rep > n) println("trop grand"); println("winner is back!");

25 Simulation de lancer de fléchettes / lancer de n flechettes entree : n : entier, nombre de lancer sortie : nombre points sur n lancers / int lancer(int n) { int pts = 0; float rho, theta ; for(int i = 0; i < n; i++) { rho = random(10); theta = random( , ); point(width / rho cos(theta), height / rho sin(theta)); pts += nbpoints(rho); return pts;

26 Simulation de lancer de fléchettes / compte le nombre de point en fonction de la distance au centre entree : rho : distance au centre sortie : nombre de point / int nbpoints(float rho) { if (rho > 10) return 0; else if (rho > 5) return 3; else if (rho > 2) return 5; else if (rho > 1) return 10; else return 20;

27 Simulation de marche aléatoire Simulation une marche aléatoire de n pas sur l ensemble des entiers (positifs ou négatif) en partant du point central. // variable globale int x, y; / marche aleatoire sur Z^2 entree : aucune sortie : aucune / void marche() { if (int(random(2)) == 0) y++; else y--; if (int(random(2)) == 0) x++; else x--;

28 Simulation de marche aleatoire void draw() { // efface stroke(0); point(x, y); marche(); // affiche stroke(255); point(x, y); void setup() { size(200, 200); background(0); strokeweight(20); // position initiale y = height / 2; x = width / 2; framerate(20);

29 Objectifs de la séance 6 Faire la différence entre aléatoire et pseudo-aléatoire Simuler un nombre pseudo-aléatoire entier ou flottant entre 2 bornes données Ecrire un algorithme utilisant un générateur pseudo-aléatoire Ecrire un algorithme qui génère des séries temporelles du type u t+1 = au t + b + ɛ et u t+1 = (a + ɛ)u t + b Question principale du jour : Comment générer une série de nombres qui ont l air d être aléatoires?

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