Travaux pratiques d automatique. Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 1ère Année,

Transcription

1 Travaux pratiques d automatique Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 1ère Année,

2 Automatique, 1ère Année, Travaux pratiques d automatique 1ère Année 1 Préparation Il est impératif de préparer chaque séance de travaux pratiques. On estime à 1 heure le temps nécessaire pour préparer un TP. Dans la mesure du possible, la quantité de calculs nécessaire a été limitée. Par exemple, il est souvent demandé de tracer l allure des courbes. Dans ce cas il n est pas utile de développer des calculs complexes. Pour rassembler les éléments importants de la préparation, on donne également une feuille de préparation à la fin de chaque énoncé. Son utilisation n est pas obligatoire, mais vivement conseillée. Cette feuille n est ni rendue ni notée. 2 Présentation des sujets 1. Le TP 1 peut être considéré comme un TD sur machine (simulation sous Matlab et Simulink). Il servira à revoir des notions de base sur les systèmes linéaires et à effectuer une synthèse de correcteur par le lieu d Evans. 2. Le TP 2 porte sur l identification fréquentielle l asservissement de position (maquette moteur faible puissance). 3. Le TP 3 porte sur l identification indicielle et l asservissement de température (maquette pédagogique d un système thermique). 4. Le TP 4 porte sur la représentation d état et l asservissement par retour d état d un système sur machine (simulation sous Matlab et Simulink). 3 Déroulement des TPs Lors de la première séance, tous les binômes effectueront le même TP, à savoir le TP 1. Les autres sujets s effectueront par rotation. Le planning des rotations vous sera remis lors de la première séance. 4 Evaluation L évaluation des TPs se fera à partir : 1. de la validation par l enseignant des points indiqués dans l énoncé; 2. du compte-rendu. Des feuilles de réponses permettant de rassembler les résultats des manipulations pourront être distribuées en début de chaque séance. En principe, deux étudiants d un même binôme ont la même note. Cependant, si un déséquilibre important apparaît, il est possible qu ils aient des notes différentes. En cas d absence non justifiée, un élève se voit attribuer la note 0. En cas d absence justifiée, sa moyenne sera calculée sur l ensemble des TPs auquel il a participé. Un élève dont le binôme est absent effectue le TP en monôme. 2

3 Automatique, 1ère Année, TP 1 TP 1 Relation entre le lieu des pôles et la réponse d un système linéaire. Synthèse par lieu d Evans 1 Objectif En Automatique, on utilise différentes représentations des systèmes linéaires : on considère parfois leur réponse fréquentielle, leur réponse temporelle, ou encore la carte des zéros et des pôles. L objectif de la première partie de ce TP est de bien comprendre les correspondances entres ces différentes représentations. Dans un deuxième temps, on effectuera une synthèse d asservissement en considérant le lieu des pôles en boucle fermée (lieu d Evans). L ensemble du TP est effectué en simulation sous Matlab. 2 Préparation Ce TP ne demande pas de préparation spécifique. On aura intérêt cependant à revoir les cours et TD sur les systèmes linéaires et sur le lieu d Evans, ainsi qu à lire la partie concernant la manipulation pour tenter de répondre aux questions à partir du cours. Si un rappel vous semble nécessaire sur l utilisation de Matlab et Simulink : 3 Manipulation Pour ce TP, il n y a pas de compte-rendu. Seule votre participation est notée. Voir les explications sur l évaluation (page 1). 3.1 Relation entre valeurs des pôles et des zéros, réponse fréquentielle et réponse indicielle La manipulation consiste à simuler sous Matlab différentes fonctions de transfert linéaires, et à visualiser leurs cartes de pôles et zéros (fonction pzmap) leur réponse indicielle (fonction step) et leur réponse fréquentielle (fonctions nyquist et bode). La boîte à outils Control de Matlab permet de manipuler des objets symboliques représentant des fonctions de transfert linéaires continues ou échantillonnées (notion de LTIMODEL). La commande tf permet de créer un système continu ou discret en donnant les coefficients des polynômes au numérateur et au dénominateur, ou de façon symbolique. Utiliser l aide en ligne (help tf) pour plus d informations. Liste des fonctions de transferts continues à simuler : s, , 1s, 1 s, s, 1. Où sont les pôles des systèmes stables? Comment reconnaît-on un 1 s intégrateur sur la carte des pôles et des zéros? Quelle est sa réponse indicielle? Est-il stable? s, , 1s, 1. Où sont les pôles des systèmes rapides? Entre deux systèmes de bandes passantes différentes, quel est le plus 1 + 0, 01s lent? ξ s, en prenant d abord ω 0 constant et ξ variable, puis l inverse. Où sont les pôles d un système + s2 ω 0 ω 2 0 du second ordre sur amorti? Même question pour un système sous amorti. Où sont les paires de pôles ayant même ω 0? Même ξ? Quel est l intérêt de l abaque tracé par la fonction sgrid? 3

4 Automatique, 1ère Année, TP s 1 + s + s 2, 1 + 0, 9s 1 + 0, 01s, 1 + s + s2 1 + s + s 2, s 1 + s + s 2, 1 s. Quelle est l influence d un zéro? Pourquoi? A 1 + s + s2 quoi reconnaît-on la réponse indicielle d un système à phase non minimale? Expliquer la notion de pôle dominant. Dans une paire de pôles complexes conjugués, lequel domine? 3.2 Synthèse d un correcteur par le lieu d Evans On considère un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte est : GH(s) = Note : on peut entrer ce système sous Matlab en tapant >> s=tf( s ) >> gh=1/(s^2+0.4*s+1) Correcteur proportionnel 1 s 2 + 0, 4s + 1. On souhaite asservir ce système avec un correcteur proportionnel. Régler le gain pour avoir une marge de phase de 50 o. Pour cela on utilisera rltool, qui est un outil de synthèse de correcteur par le lieu des pôles : Tapez rltool. Alors, la fenêtre rltool comportant un lieu d Evans vierge apparaît. Choisir dans le menu File de la fenêtre rltool la commande Import Model. Placer dans le processus à asservir, P, le modèle de gh, puis cliquer OK. La fenêtre rltool trace automatiquement le lieu d Evans du système. Cocher la case Bode. Une seconde fenêtre, appelée LTI viewer, apparaît avec le lieu de Bode en boucle ouverte. On peut faire varier le gain de la boucle ouverte soit en changeant la valeur de la case Gain dans la fenêtre rltool, soit en faisant glisser les pôles sur le lieu d Evans. Régler ce gain pour obtenir sur le lieu de Bode une marge de phase de 50 o. Noter que l on pourra afficher automatiquement la marge de phase sur le lieu de Bode en utilisant l option Characteritics->Stability margins (bouton de droite de la souris). Cocher la case step de la fenêtre rltool dans la fenêtre LTI viewer. Il apparaît la réponse indicielle. Pour supprimer le lieu de Bode de cette fenêtre, décocher la case Bode dans la fenêtre rltool. La réponse est-elle correctement amortie? Pourquoi était-ce prévisible à partir du lieu d Evans? Correcteur proportionnel - intégral On se propose d utiliser un correcteur PI : C(s) = K c(1 + τ c s). s Pour cela, on ajoute un pôle à l origine et un zéro réel au lieu d Evans (cliquer sur la case correspondant aux pôles ou zéros, puis cliquer sur le lieu d Evans à l endroit où l on souhaite les placer). On pourra ensuite faire glisser ce zéro et observer comment se déforme le lieu d Evans. Essayer de régler ce correcteur. Pourquoi est-ce une mauvaise idée d utiliser un correcteur PI? Correcteur proportionnel - intégral - dérivé (PID généralisé ) On se propose d utiliser un correcteur PID généralisé : C(s) = K c(1 + as + bs 2 ) où les zéros sont complexes s(1 + τ d s) conjugués ou réels. Première stratégie de réglage : compensation de pôles Dans un premier temps, on choisit de compenser les pôles du système par les zéros du correcteur. Régler le correcteur pour un dépassement de 20% et un temps de réponse de 0, 55 s. Pour évaluer la robustesse du réglage, essayer le correcteur sur le système suivant : GH 2 (s) = 1 s 2 + 0, 2s

5 Automatique, 1ère Année, TP 1 Deuxième stratégie de réglage : placement de pôles Afin de gagner en robustesse, on utilise cette fois les zéros complexes conjugués pour éloigner les pôles du système bouclé de l axe imaginaire. Etudier les déformations du Lieu d Evans produites par le déplacement des zéros du correcteur. Régler le correcteur. Evaluer sa robustesse en considérant les deux modèles du système. 3.3 Simulation du système en boucle fermée On souhaite tester les 3 correcteurs obtenus dans la section 3.2. Pour cela on utilisera l outil de simulation Simulink : Taper simulink. Une fenêtre comportant plusieurs bibliothèques de blocs fonctionnels apparaît. Choisir dans le menu File de la fenêtre Simulink l option New->Model. Construire le modèle du système en boucle fermée comprenant le système GH et le correcteur proportionnel déterminé précédemment. Pour cela, on cherche dans les bibliothèques de Simulink les différents blocs (fonction de transfert, gain, sommateur, oscilloscope) que l on fait glisser dans le modèle. Afficher la réponse indicielle du système en boucle fermée pour un échelon unitaire. Construire les 2 autres modèles du système en boucle fermée en considérant les correcteurs PI et PID. Afficher la réponse indicielle. Etudier la robustesse des différents correcteurs en remplaçant la fonction de transfert GH par GH 2. 5

6 Automatique, 1ère Année, TP 2 TP 2 Identification et commande d un système de positionnement 1 Objectif - Système étudié Dans ce TP on se propose : D identifier le comportement fréquentiel d un système de positionnement. D étudier une commande par correction parallèle (retour tachymétrique). Le système étudié est constitué d un moteur à courant continu, d un amplificateur de puissance et de capteurs. On suppose qu il admet le modèle de la figure 1, où : ω et θ représentent respectivement la vitesse et la position de l arbre moteur, V e est la tension de commande, V ω est la tension délivrée par une génératrice tachymétrique montée sur l arbre moteur, telle que : V ω = gω, V θ est la tension délivrée par un potentiomètre, proportionnelle à la position de l arbre moteur : V θ = βθ. V e ω θ kv 1 ( 1+ τs) s V ω g V θ β Fig. 1 Modèle simplifié en boucle ouverte. 2 Préparation 2.1 Réponse du système en boucle ouverte On cherche à prévoir la réponse du système en boucle ouverte d après le modèle. Lors du TP, on utilisera une entrée sinusoïdale pour identifier le comportement fréquentiel (diagramme de Bode). On cherche ici à prévoir l allure de V ω et de V θ, en régime établi : si V e est sinusoïdal de valeur moyenne nulle. si V e est sinusoïdal de valeur moyenne non nulle. Pourquoi est-il presque impossible de mesurer directement V θ en régime sinusoïdal? Pourquoi est-il préférable de mesurer V ω? On effectuera donc, dans le TP, la mesure de V ω, à partir de laquelle on cherchera à déduire V θ. Montrer que si l on connaît les gains des capteurs g et β, on peut calculer, pour une fréquence d excitation f donnée, le gain V θ V e db et le déphasage Φ(V e, V θ ) à partir de la mesure de V e, V ω et Φ(V e, V ω ). Quel est le comportement harmonique théorique du système (allure du diagramme de Bode en gain et phase pour V θ V e )? 6

7 Automatique, 1ère Année, TP 2 Influence des non linéarités En pratique, le système n est pas linéaire pour tous les points de fonctionnement. On cherche ici à trouver les conditions que doit respecter la tension d entrée pour que les non linéarités principales n interviennent pas lors de l identification en boucle ouverte. En premier lieu, la maquette présente, en plus des frottements visqueux (partie linéaire des frottements dont on a tenu compte pour établir le modèle de la figure 1), des frottements secs, dont l influence n est pas forcément négligeable. Ces frottements peuvent approximativement se représenter par une fonction signe : lorsque la vitesse est nulle, le système est collé. Il le reste tant que le couple moteur est inférieur à une certaine limite. Enfin, lorsque le couple moteur dépasse les frottements secs, le système décolle, et les frottements secs restent constants, de même signe que la vitesse (cf. figure 2). γ f Frottement total = Frottement sec + ω Frottement visqueux Fig. 2 Modèle non linéaire des frottements. En tenant compte des frottements secs, prévoir (sans calculs) l allure de V ω lorsque V e est un signal sinusoïdal. On considérera différentes amplitudes (y compris des très petits signaux) et différentes valeurs moyennes. En particulier, comment choisir la valeur moyenne du signal d entrée pour effectuer une identification de la partie linéaire du système? Une autre non linéarité présente dans la quasi-totalité des systèmes physiques est la saturation. Prévoir (sans calcul) l influence des saturations sur l allure de V ω lorsque V e est d amplitude grande. En conclusion, quelles sont les conditions sur V e (en régime sinusoïdal) pour que le comportement du système soit le plus linéaire possible? 2.2 Comportement en boucle fermée Asservissement proportionnel On effectue un asservissement proportionnel, comme indiqué sur la figure 3. V p V ref + - K V e ω θ V - θ kv 1 β + ( 1+ τs) s Fig. 3 Bouclage de la mesure de position. 7

8 Automatique, 1ère Année, TP 2 K représente un gain réglable et V p une perturbation externe sur la tension de commande du moteur. V θ Calculer les fonctions de transfert et V θ K 0 en boucle fermée sous la forme canonique V ref V p + 2ξ s ω Donner les erreurs permanentes d ordre 0 et 1 vis-à-vis de la consigne. Donner l erreur statique vis-à-vis de la perturbation. Quelle est l influence de K sur le comportement en boucle fermée? Utilisation d un retour tachymétrique Pour pouvoir régler indépendamment marge de phase et bande passante en boucle fermée, on utilise un retour tachymétrique. On a alors le système représenté sur la figure 4. s 2 ω 2 0 V θd + K 2 + V e ω θ k v 1 ( 1+ τs) s - - K 1 V ω Boucle interne g V θ β Fig. 4 Correction parallèle à action tachymétrique. En calculant la fonction de transfert de la boucle interne, montrer qu on peut se ramener au système étudié en Quelle est l influence du gain K 1? Quelle est l influence du gain K 2? 3 Manipulation La maquette utilisée dans ce TP est un banc expérimental H.M.C. composé d un moteur à courant continu de capteurs de position et de vitesse. Les correcteurs seront réalisés sur un simulateur analogique de fonctions de transfert Opale I. 3.1 Identification de la réponse fréquentielle Tracer le diagramme de Bode expérimental de V θ V e. Remarques : Choix des caractéristiques du signal d entrée V e : l amplitude et la valeur moyenne doivent limiter l influence des non linéarités; la fréquence doit varier sur au moins 5 octaves, en choisissant la fréquence centrale par une mesure initiale, en fonction de l allure théorique de la courbe. Conformément à la préparation, on relèvera V e, V ω et Φ(V e, V ω ) pour chaque fréquence, et on en déduira le module et le déphasage de la fonction de transfert V θ V e. On donne : g = 1V/rad.s 1 et β = 4V/rad. Faire valider votre résultat. 8

9 Automatique, 1ère Année, TP Correction proportionnelle (cf. figure 3) Etude de la dynamique de réponse (prendre ici V p = 0) K Comme la fonction de transfert en boucle ouverte est du type, on peut utiliser l abaque donné en s(s + a) annexe A, indiquant la correspondance entre marge de phase et dépassement en régime indiciel en boucle fermée, pour régler le gain proportionnel. Déterminer avec cet abaque et le diagramme de Bode obtenu en 3.1, le gain de correction proportionnel pour avoir un dépassement en boucle fermée de 15%, 25% et 40%. Vérifier expérimentalement les caractéristiques de la réponse indicielle (cf. figure 5) pour les trois valeurs de gain. Remarque : L amplitude des échelons d entrée (signal carré) sera choisie suffisamment grande pour éviter trop d influence des frottements secs; suffisamment petite pour éviter une saturation de l amplificateur de puissance. Typiquement, on réglera l amplitude d entrée telle que la commande envoyée sur la maquette ait une amplitude de ±9V. Faire valider votre résultat Etude de la précision statique Vis-à-vis de la consigne (prendre ici Vp=0) Pour un gain correspondant à un dépassement prévu de 15%, mesurer l erreur statique vis-à-vis de la consigne. En quoi l erreur n est elle pas conforme aux prévisions théoriques? Pourquoi? Vis-à-vis de la perturbation (prendre ici Vref=0) Régler le gain pour un dépassement prévu de 40%. Etudier la précision statique vis-à-vis de l entrée de perturbation. Tracer la courbe donnant l erreur statique en fonction de l amplitude de l échelon de perturbation. Faire valider votre résultat. t 1 1/f a V 2 Dépassement : V 2 /V 1 Gain statique : V 1 /V 0 Temps de réponse au premier maximum : t 1 V 0 entrée V 1 Temps de retard : t 2 t 2 sortie Fréquence amortie : f a temps Fig. 5 Caractérisation de la réponse indicielle d un système linéaire. 3.3 Correction tachymétrique Réglage de la commande On souhaite obtenir une marge de phase de 50 o avec une fréquence de coupure en boucle ouverte de 4 Hz. On procède pour cela à un réglage expérimental de K 1 et K 2. Câbler d abord la boucle de vitesse. Avec une entrée sinusoïdale à 4 Hz, régler le gain K 1 pour obtenir le déphasage voulu entre la consigne de vitesse et V ω. Relever le module G 0 du gain entre la consigne de vitesse et V ω à cette fréquence. 9

10 Automatique, 1ère Année, TP 2 Déterminer le gain K 2 à partir de G 0 (connaissant g et β). Câbler ensuite la boucle de position. Appliquer une consigne en position constituée par un signal carré. Relever les caractéristiques de la réponse indicielle. Le dépassement correspond-il à ce qui était prévu? Note : du fait dun jeu dans le réducteur, le système peut se mettre à osciller. Dans ce cas diminuer K 2. Ne pas laisser le système vibrer trop longtemps. Faire valider votre résultat Erreurs d ordre 1 Appliquer une consigne en position constituée par un signal triangulaire, de composante continue nulle, et d amplitude ±5 V. Relever l erreur permanente d ordre 1 ( pendant les phases montantes et les phases descendantes ) en faisant varier la fréquence du signal pour faire varier la pente. Tracer la courbe donnant l erreur permanente d ordre 1 en fonction de la pente de la consigne (positive et négative). Comparer aux prévisions théoriques. Faire valider votre résultat. La figure 5 rappelle comment mesurer les caractéristiques de la réponse indicielle d un système linéaire. 10

11 Automatique, 1ère Année, TP 2 Réponse prévue du système 1. Compléter avec l allure prévue des courbes Feuille de préparation V e V e V θ / V e db 0 t 0 t V ω (en régime établi) V ω (en régime établi) log ω φ(v e,v θ ) t t V θ (en régime établi) V θ (en régime établi) log ω t t 2. Donner l expression de V θ V e db et de Φ(V e, V θ ) en fonction de g, β, V e, V ω et Φ(V e, V ω ), pour une fréquence d excitation f donnée (A.N. : g = 1V/rad.s 1 et β = 4V/rad). 11

12 Automatique, 1ère Année, TP 2 3. Influence des non linéarités Tracer l allure de la réponse pour une entrée sinusoïdale basse fréquence, de valeur moyenne nulle, en tenant compte des frottements secs et des saturations. a) V e «très petite» b) V e «très grande» V ω (en régime établi) V ω (en régime établi) t t Comportement en boucle fermée 1. Asservissement proportionnel K 0 ω 0 ξ V θ V ref V θ V p Erreurs permanentes d ordre 0 et 1 vis-à-vis de l entrée : Erreur statique vis-à-vis de la consigne : 2. Utilisation d un retour tachymétrique Décrire une procédure de réglage de K 1 puis de K 2 (voir aussi TD9) : 12

13 Automatique, 1ère Année, TP 3 TP 3 Identification d un système thermique et régulation PID 1 Objectif - Système étudié On se propose d étudier un régulateur PID en température après avoir déterminé la fonction de transfert en boucle ouverte du processus à commander. L étude expérimentale est réalisée à l aide d une maquette Feedback PT326Mk2 qui comporte un système dont on désire régler la température ainsi qu une chaîne de mesure. 1.1 Système à commander Il est constitué par un ventilateur qui souffle de l air froid sur une résistance chauffante; l air est ensuite rejeté à l extérieur par l intermédiaire d un tube en plastique, long d une trentaine de centimètres environ. Celui-ci est percé de trois trous dans lesquels on peut insérer une thermistance en vue de mesurer la température θ de l air, à une distance l de l élément chauffant égale à 28, 154 ou 280 mm. 1.2 Chaîne de retour Elle comprend la sonde pyrométrique et un pont de Wheatstone, alimenté en continu, dont le capteur forme l une des branches : pour des variations modérées de la température, on peut admettre qu en régime permanent la tension de déséquilibre V r, apparaissant au point Y, est proportionnelle à θ. En reliant les bornes Y et X, le signal de retour est comparé à la tension de consigne V c. 80W P 15W V -5,6V 5,6V π V c ε V P θ1 + Etage de Echangeur Correcteur puissance de chaleur + - V r Pont de Wheatstone sonde + θ Tube de plastique Fig. 6 Schéma fonctionnel. 1.3 Régulateur Constitué du correcteur et de l étage de puissance, il a pour fonction de régler la puissance P fournie à la résistance chauffante, proportionnellement à l écart ε (ε = V c V r ). Le signal d erreur ε est appliqué à l entrée d un amplificateur dont le gain K a peut être ajusté de 0, 5 à 20, à l aide du potentiomètre marqué proportional band. La tension résultante K a ε, après limitation à une valeur comprise entre 5, 6 et +5, 6 V, pilote un étage qui commande la puissance P dissipée par effet Joule, suivant une loi linéaire : avec K t = 5, 8W/V et K a ε 5, 6V. P = K t K a ε + 47, 5 13

14 Automatique, 1ère Année, TP 3 Comme par ailleurs, le temps de réponse de la partie électronique du régulateur est très court devant celui du système à régler, on peut considérer que, tant que l on reste dans la plage linéaire (hors saturations de l étage de puissance) la fonction de transfert P/ ε, associée aux variations par rapport aux conditions d équilibre, se réduit à une constante égale à K t K a. Il est aisé de déduire de la description précédente le schéma fonctionnel simplifié reproduit sur la figure 6. Un sommateur supplémentaire a été inséré après le bloc correspondant à l échangeur de chaleur. L entrée secondaire π représente une perturbation provoquée par la modification de la vitesse du ventilateur. Pour obtenir un modèle linéaire du système, on ne considère que les variations par rapport au régime d équilibre, défini par l égalité de V c et V r. Dans ces conditions, on peut admettre que tous les éléments du système bouclé sont linéaires. Il est alors possible d associer à chacun des blocs une fonction de transfert. Ainsi, nous noterons : F(s) la transmittance de l échangeur de chaleur F(s) = θ 1(s) P(s) ; G(s) celle du tube en plastique G(s) = θ(s) θ 1 (s) ; H(s) celle de l ensemble thermistance - pont de Wheatstone, qui sera prise égale à une constante K en raison de la rapidité du capteur pyrométrique : H(s) = V r(s) θ(s) = K. 2 Préparation Lors du TP, on cherchera à établir le modèle du système en boucle ouverte en analysant la réponse indicielle. Le but de la préparation est de prévoir l allure des signaux et des diagrammes en supposant connue la structure du modèle. De plus, on présente ici une méthode d identification pratique (la méthode de Strejc) qui sera utilisée dans le TP. Enfin, un exercice simple permet de revoir comparativement les correcteurs P, PI et PID. 2.1 Modélisation On suppose que le transfert en boucle ouverte incluant l amplificateur, l échangeur, le tube et le transducteur peut s écrire sous la forme : V r (s) ε(s) = K 0e Ts, n 1. (1) n (1 + τ i s) i=1 Que représente le terme e Ts? Quel phénomène physique du système à asservir représente-t-il? Comment modifier la valeur de T (d après la description de la maquette donnée dans la première partie)? 2.2 Réponse indicielle Tracer l allure de la réponse indicielle dans les cas suivants : n = 1; n = 2;, τ 1 = τ 2 n = 2, τ 1 τ 2. Comment distinguer, en analysant la réponse indicielle, les systèmes du premier et du second ordre? En pratique, pour n > 2, il est difficile de déterminer n par la réponse indicielle. On pourra alors utiliser la méthode de Strejc. L hypothèse de base, qui se vérifie expérimentalement, est que la réponse indicielle du système décrit par l équation (1) peut être interprétée avec une bonne approximation au moyen de n constantes de temps égales à τ. On prend pour transmittance du modèle à identifier : K 0 e Ts (1 + τs) n. (2) A partir du relevé de la réponse indicielle (pour un échelon unité) on détermine d abord K 0 comme la valeur du gain statique. 14

15 Automatique, 1ère Année, TP 3 Ensuite on trace la tangente à la réponse au point d inflexion Q, et on fait apparaître les points A, B, C, D, E, F et G, comme représenté sur la figure 7. On détermine les paramètres restants dans l ordre suivant : pour l ordre n, on mesure le rapport OF/OE. On se reporte ensuite au tableau 1 (sixième colonne) pour trouver la valeur de n la plus vraisemblable. On peut également utiliser la dernière colonne (CG/AG) ; pour la constante de temps τ, on utilise la mesure de AG et la colonne AG/τ (n étant cette fois connu). On peut également utiliser la colonne CG/τ ; pour le retard T, il faut en fait placer le point 0 sur l axe des abscisses. Ceci est possible en consultant le tableau la colonne OA/AG E D B F Q 0.4 T O A C G Fig. 7 Réponse indicielle d un système d ordre n > 2. n AG/τ OA/τ OA/AG OC/τ OF/OE CG/τ CG/AG ,718 0,282 0, ,264 2,000 0, ,695 0,805 0, ,323 2,500 0, ,463 1,425 0, ,353 2,888 0, ,119 2,100 0, ,371 3,219 0, ,699 2,811 0, ,384 3,510 0,616 Tab. 1 Tableau d identification de Strejc. A titre d exercice, et pour plus d efficacité en TP, il est vivement conseillé d appliquer la méthode de Strejc à l exemple donné sur la feuille de préparation. 2.3 Correction P, PI, PID A titre de préparation, on pourra réfléchir à l exercice suivant. Un système a pour fonction de transfert : On considère trois correcteurs : 1. un correcteur proportionnel : C(s) = K ; GH(s) = 1 (1 + s)(1 + 2s). 15

16 Automatique, 1ère Année, TP 3 2. un correcteur PI : C(s) = K 1 + 2s ; s (1 + s)(1 + 2s) 3. un correcteur PID ( réel ) : C(s) = K. s(1 + 0, 2s) Justifier le choix des zéros dans les correcteurs PI et PID. Tracer sur une même figure les lieux d Evans du système corrigé dans chacun des cas. Analyser comparativement l action de chacun des correcteurs. Comment déterminer le gain K, dans chaque cas, pour avoir un amortissement en boucle fermée de 0, 6? Quel est alors le système le plus précis? Le plus rapide? Le plus stable? 3 Manipulation 3.1 Système sans retard Identification par la méthode de Strejc Conditions de manipulation : La mesure est effectuée en boucle ouverte : on déconnecte les bornes X et Y et on observe, en Y, la réponse V r à une variation V c de la consigne. La sonde est placée au plus près de l élément chauffant (l = 28 mm). La vitesse du ventilateur est réglée sur v = 4. Le gain variable de la maquette est réglé sur 1 (potentiomètre Prop. Band B p à 100%). Rappel : B p (%) = 100 K p. La température de consigne moyenne, autour de laquelle est appliquée l échelon, est réglée à 30 o C. Cette valeur est indiquée par le galvanomètre set value. L échelon, appliqué en D, est un signal V c rectangulaire de valeur moyenne nulle. L amplitude est choisie telle que la température de consigne (galva. set value ), varie entre 25 o et 35 o. La fréquence est choisie suffisamment petite pour que la réponse V r ait le temps de se stabiliser entre deux commutations de l entrée (régler la fréquence en observant la réponse). Réglage de l oscilloscope : afin d effectuer une identification correcte à partir de l oscillogramme, il est impératif d avoir des signaux qui couvrent l ensemble de l écran. Choisir convenablement la base de temps et l échelle verticale. Pour centrer les signaux, on utilisera la fonctionnalité vertical offset. Les signaux étant bruités, on utilisera le filtre moyenneur de l oscilloscope (attention à régler correctement le déclenchement). Relever un tableau de mesures et tracer la réponse indicielle correspondante sous Matlab. 1 Effectuer l identification. Tracer la réponse indicielle du modèle identifié paramétrique. 2 On pourra à cette occasion affiner l estimation des paramètres du modèle. Faire valider votre résultat Correction proportionnelle A l aide du lieu d Evans (on pourra utiliser Matlab sur PC), régler le gain pour un amortissement en boucle fermée de 0, 6. Expérimenter (on évitera les saturations en travaillant avec des échelons d amplitude bien choisie). Visualiser les signaux de mesure, de commande, d erreur. Faire valider votre résultat Correction proportionnelle - intégrale On compense un pôle lent et on ajoute un intégrateur. A l aide du lieu d Evans (on pourra utiliser Matlab sur PC), régler le gain pour un amortissement en boucle fermée de 0, 6. Expérimenter (on évitera les saturations en travaillant avec des échelons d amplitude bien choisie). 1 t=[ ] ; v=[ ] ; plot(t,v, p- ); grid; 2 clear ; s=tf( s ); H =...; set(h, inputdelay,2) ; step(h) ; 16

17 Automatique, 1ère Année, TP 3 Visualiser les signaux de mesure, de commande, d erreur. Faire valider votre résultat. 3.2 Système avec retard Identification par la méthode de Strejc On place cette fois la sonde au milieu du tube, puis à l extrémité du tube (l = 154 mm, l = 280 mm). Effectuer une identification par la méthode de Strejc Correction PI d un système à retard Simuler le système sous Simulink et régler le correcteur. Expérimenter. Commenter. Faire valider votre résultat. 17

18 Automatique, 1ère Année, TP 3 Feuille de préparation 1. Modélisation : signification et correspondance du terme e Ts. 2. Réponse indicielle. Exercice : pour identifier la fonction de transfert d un système linéaire, on applique un échelon unitaire à l entrée à l instant t = 0. La réponse indicielle mesurée est représentée ci-dessous. En utilisant la méthode de Strejc, proposer un modèle pour la fonction de transfert G(s) de ce système temps en secondes 18

19 Automatique, 1ère Année, TP 3 3. Correction P, PI et PID. Tracer sur la même figure les trois lieux d Evans. Im(s) Re(s) Comparaison des trois correcteurs : 19

20 Automatique, 1ère Année, TP 4 TP 4 Asservissement d un pont roulant par retour d état 1 Objectif - Système étudié Un pont roulant permet de déplacer une charge sur une distance déterminée. Lors de l automatisation de ce processus, la charge entre en oscillation du fait de la mise en marche et du freinage du chariot. Ces oscillations s amortissent très lentement à cause du faible amortissement du procédé. De plus, ces oscillations sont nuisibles et diminuent le rendement du système. Nous souhaitons améliorer les performances de ce système et réduire les oscillations. Pour cela nous utilisons une loi d asservissement par retour d état. M cp, x cp F x z c x c θ l M c x cp - position du chariot M cp - masse du chariot x c, z c - position de la charge M c - masse de la charge l, θ - longueur et angle du filin z Fig. 8 Le pont roulant Le pont roulant à étudier est schématisé sur la figure 8. Pour la suite, nous supposerons que le chariot et la charge se déplacent uniquement dans le plan (z, x) et que ni le poids de la charge ni la longueur du filin ne changent pendant le transport. 2 Préparation Mise en équation et étude du système Les équations décrivant la dynamique du système sont : { (Mc + M cp )ẍ cp + (M c l cosθ) θ (M c l 2 sin θ) θ 2 + B cp ẋ cp = F M c l 2 θ + (M c l cosθ)ẍ cp + B c θ + Mc gl sin θ 2(M c l sin θ)ẋ cp θ = 0 avec B cp et B c les coefficients de frottement associés au chariot et au filin. 1. A partir des équations précédentes déduire le modèle du système dans sa représentation d état en choisissant le vecteur d état : x = (x cp ẋ cp θ θ) T. Ce modèle est-il linéaire? 2. Tracer le schéma fonctionnel traduisant le modèle précédent. 3. Linéariser ces équations en considérant des mouvements angulaires faibles de la charge et en négligeant les frottements. 20

21 Automatique, 1ère Année, TP 4 4. En déduire le modèle linéaire du système dans sa représentation d état. 5. Etudier la stabilité du système. 6. Déterminer la commandabilité et l observabilité du système en supposant qu on mesure successivement la position du chariot, seule, et puis l angle de filin, seul. 3 Manipulation Le TP consiste à une étude en simulation : on dispose de Matlab et des boites à outils Control Toolbox et Simulink. Vous disposez pour cela d un fichier à remplir, nommé structure pont.mdl. 3.1 Boucle ouverte 1. Copier ce fichier sous un autre nom pour toujours conserver l original. 2. Lancer Simulink et ouvrir votre schéma. Implémenter le schéma fonctionnel non linéaire du système dans le sous-système nommé Sous-système pont roulant. Pour définir toutes les grandeurs utiles du système on créera un script calcul pont.m. Les valeurs numériques choisies sont les suivantes : M cp = 1000 kg, M c = 4000 kg, l = 10 m, g = 9, 8 m/s Simuler les trajectoires de x cp, ẋ cp et θ en réponse à un échelon de force de 1000N. Qu observe-t-on? 3.2 Asservissement par retour d état On souhaite construire une asservissement par retour d état de la position du chariot permettant de minimiser les oscillations de la charge suspendue. Le cahier des charges est le suivant. Pour une consigne de position de type échelon, la réponse du système doit avoir : un régime transitoire assez bien amorti (dépassement < 5%) et assez rapide (temps de montée de 10 s pour une consigne de déplacement de 50 m) une erreur statique nulle. 1. Réaliser la commande par retour d état du système. 2. Tester les performances du système en boucle fermée. On comparera pour cela les résultats obtenus avec le modèle complet et ceux obtenus avec le modèle linéaire équivalent. 21

22 Automatique, 1ère Année, TP 4 1. Donner le modèle d état non linéaire. Feuille de préparation 2. Donner le modèle d état linéarisé. 3. Donner le schéma de l asservissement par retour d état. 4. Donner le principe de calcul et le coefficient de préfiltrage de la consigne. 22