SAPU-L814 Chapitre IV: Corrélation et régression linéaire. Caroline Verhoeven
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1 SAPU-L814 Chapitre IV: Corrélation et régression linéaire Caroline Verhoeven
2 Table des matières 1 Association de 2 variables quantitatives 2 Corrélation linéaire Coefficient de corrélation 3 Régression linéaire Formule pour la droite de régression Inférence pour la régression 4 Les problèmes Ne pas extrapoler Un graphique dit beaucoup Exercice Caroline Verhoeven SAPU-L814 2 / 28
3 1. Association de 2 variables quantitatives Le nuage de points I Exemple 1 Pour de nombreuses races d oiseaux, on a le même partenaire année après année pour la reproduction. Chez certaines races, les partenaires mâles et femelles migrent vers des endroits différents. Comment retrouvent-ils leur partenaire au printemps? En 2004, Gunnarsson et al. ont enregistré la date du retour de mâles et de femelles s étant accouplé par le passé chez les barges a queue noire. Sur le slide suivant, on voit combien de jours après le 31 mars les oiseaux sont revenus pour 10 couples. Caroline Verhoeven SAPU-L814 3 / 28
4 1. Association de 2 variables quantitatives Le nuage de points II Exemple 1 Couple femelle mâle Caroline Verhoeven SAPU-L814 4 / 28
5 1. Association de 2 variables quantitatives Le nuage de points III Comment voir le lien entre 2 variables quantitatives visuellement? Caroline Verhoeven SAPU-L814 5 / 28
6 1. Association de 2 variables quantitatives Le nuage de points III Comment voir le lien entre 2 variables quantitatives visuellement? male femelle le nombre de jours des femelles : coordonnées x le nombre de jours des mâles : coordonnées y Caroline Verhoeven SAPU-L814 5 / 28
7 Relation linéaire 1. Association de 2 variables quantitatives Si on regarde le graphique, il paraît étiré le long d une droite male femelle Caroline Verhoeven SAPU-L814 6 / 28
8 Relation linéaire 1. Association de 2 variables quantitatives Si on regarde le graphique, il paraît étiré le long d une droite male femelle On dit qu il y a une relation linéaire entre les 2 variables Caroline Verhoeven SAPU-L814 6 / 28
9 1. Association de 2 variables quantitatives Relation linéaire positive et négative Relation linéaire positive : y grandit avec x y x Caroline Verhoeven SAPU-L814 7 / 28
10 1. Association de 2 variables quantitatives Relation linéaire positive et négative Relation linéaire positive : y grandit avec x y x Relation linéaire négative : y diminue quand x augmente y x Caroline Verhoeven SAPU-L814 7 / 28
11 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : définition Le coefficient de corrélation r : Caroline Verhoeven SAPU-L814 8 / 28
12 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : définition Le coefficient de corrélation r : donne l intensité d une relation linéaire Caroline Verhoeven SAPU-L814 8 / 28
13 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : définition Le coefficient de corrélation r : donne l intensité d une relation linéaire dit si cette relation est positive ou négative Caroline Verhoeven SAPU-L814 8 / 28
14 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : définition Le coefficient de corrélation r : donne l intensité d une relation linéaire dit si cette relation est positive ou négative 1 r 1 Caroline Verhoeven SAPU-L814 8 / 28
15 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation et non linéarité Coefficient de corrélation : donne l intensité de la relation linéaire Caroline Verhoeven SAPU-L814 9 / 28
16 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation et non linéarité Coefficient de corrélation : donne l intensité de la relation linéaire r = Caroline Verhoeven SAPU-L814 9 / 28
17 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation et non linéarité Coefficient de corrélation : donne l intensité de la relation linéaire r = Caroline Verhoeven SAPU-L814 9 / 28
18 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : calcul Formule pour le coefficient de corrélation de Pearson : r = 1 (N 1)s x s y N (x i x)(y i y) i=1 En Excel : COEFFICIENT.CORRELATION Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
19 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : Interprétation graphique male 60 x y femelle Contribution du sujet i : (x i x)(y i y) x i x y i y (x i x)(y i y) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
20 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : Interprétation graphique male x femelle Haut-droite : contribution positive y Contribution du sujet i : (x i x)(y i y) x i x y i y (x i x)(y i y) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
21 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : Interprétation graphique male x femelle Haut-droite : contribution positive Bas-gauche : contribution positive y Contribution du sujet i : (x i x)(y i y) x i x y i y (x i x)(y i y) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
22 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : Interprétation graphique male x femelle Haut-droite : contribution positive Bas-gauche : contribution positive Haut-gauche : contribution négative y Contribution du sujet i : (x i x)(y i y) x i x y i y (x i x)(y i y) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
23 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Coefficient de corrélation : Interprétation graphique male x femelle Haut-droite : contribution positive Bas-gauche : contribution positive Haut-gauche : contribution négative Bas-droite : contribution négative y Contribution du sujet i : (x i x)(y i y) x i x y i y (x i x)(y i y) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
24 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Corrélation causalité Exemple 2 Des chercheurs allemands (Sies, 1998 ; Höffer, 2004) ont trouvé une forte corrélation entre le nombre de nids de cigognes et le taux de natalité à Brandbourg. Le nombre de nids et le taux de naissance ont baissé simultanément entre 1965 et 1980 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
25 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Corrélation causalité Exemple 2 Des chercheurs allemands (Sies, 1998 ; Höffer, 2004) ont trouvé une forte corrélation entre le nombre de nids de cigognes et le taux de natalité à Brandbourg. Le nombre de nids et le taux de naissance ont baissé simultanément entre 1965 et 1980 Cela démontre-t-il la théorie des cigognes? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
26 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Corrélation causalité Exemple 2 Des chercheurs allemands (Sies, 1998 ; Höffer, 2004) ont trouvé une forte corrélation entre le nombre de nids de cigognes et le taux de natalité à Brandbourg. Le nombre de nids et le taux de naissance ont baissé simultanément entre 1965 et 1980 Cela démontre-t-il la théorie des cigognes? NON! Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
27 2. Corrélation linéaire 1. Coefficient de corrélation Corrélation causalité Exemple 2 Des chercheurs allemands (Sies, 1998 ; Höffer, 2004) ont trouvé une forte corrélation entre le nombre de nids de cigognes et le taux de natalité à Brandbourg. Le nombre de nids et le taux de naissance ont baissé simultanément entre 1965 et 1980 Cela démontre-t-il la théorie des cigognes? NON! Une explication alternative pour ces 2 phénomènes : l urbanisation Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
28 Régression 3. Régression linéaire Régression : Méthode pour prédire la valeur d une variable quantitative à partir de la valeur d une autre. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
29 3. Régression linéaire Régression Régression : Méthode pour prédire la valeur d une variable quantitative à partir de la valeur d une autre. On déterminer une fonction y = f(x) modélisant la relation entre Y et X. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
30 3. Régression linéaire Régression Régression : Méthode pour prédire la valeur d une variable quantitative à partir de la valeur d une autre. On déterminer une fonction y = f(x) modélisant la relation entre Y et X. La fonction la plus simple : une droite régression linéaire. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
31 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Exemple I Exemple 3 En 2004, Whitman et al. ont montré que la quantité de pigmentations noirs sur le nez des lions mâles augmentait avec leur âge. Peut-on déterminer l âge des lions mâles à partir de ces pigmentations? Voici la proportion de pigmentations noirs du nez et l âge (en années) pour 32 lions de Tanzanie. noir âge noir âge noir âge noir âge 0,21 1,1 0,23 2,4 0,30 4,3 0,48 7,3 0,14 1,5 0,22 2,1 0,42 3,8 0,44 7,3 0,11 1,9 0,20 1,9 0,43 4,2 0,34 7,8 0,13 2,2 0,17 1,9 0,59 5,4 0,37 7,1 0,12 2,6 0,15 1,9 0,60 5,8 0,34 7,1 0,13 3,2 0,27 1,9 0,72 6,0 0,74 13,1 0,12 3,2 0,26 2,8 0,29 3,4 0,79 8,8 0,18 2,9 0,21 3,6 0,10 4,0 0,51 5,4 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
32 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Exemple II Exemple 3 L exemple des lions nous donne ce nuage de points : Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
33 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Exemple II Exemple 3 L exemple des lions nous donne ce nuage de points : Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir Quelle est la meilleure droite passant à travers ces points? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
34 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Exemple II Exemple 3 L exemple des lions nous donne ce nuage de points : Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir Quelle est la meilleure droite passant à travers ces points? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
35 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Exemple II Exemple 3 L exemple des lions nous donne ce nuage de points : Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir Quelle est la meilleure droite passant à travers ces points? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
36 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Calcul Equation d une droite y = b 0 + b 1 x b 0 : l ordonnée à l origine b 1 : pente Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
37 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Calcul Equation d une droite y = b 0 + b 1 x b 0 : l ordonnée à l origine b 1 : pente b 0? b 1? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
38 Droite de régression : Calcul II 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Age 4 3 y i : valeur d Y pour le sujet i 2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Porportion noir Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
39 Droite de régression : Calcul II 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Age y i : valeur d Y pour le sujet i ŷ i = b 0 + b 1 x i 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Porportion noir Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
40 Droite de régression : Calcul II 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Age 4 d 5 3 d 1 d 3 d 4 2 d 2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Porportion noir y i : valeur d Y pour le sujet i ŷ i = b 0 + b 1 x i d i = y i ŷ i : résidu Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
41 Droite de régression : Calcul II 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Age 4 d 5 3 d 1 d 3 d 4 2 d 2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Porportion noir La meilleure droite : celle qui minimise y i : valeur d Y pour le sujet i ŷ i = b 0 + b 1 x i d i = y i ŷ i : résidu Q = N i=1 d 2 i Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
42 Droite de régression : Calcul II 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Age 4 d 5 3 d 1 d 3 d 4 2 d 2 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 Porportion noir La meilleure droite : celle qui minimise y i : valeur d Y pour le sujet i ŷ i = b 0 + b 1 x i d i = y i ŷ i : résidu Q = N i=1 d 2 i Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
43 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Résolution de l exemple Exemple 3 Equation de la droite de régression } b 1 = 10, 65 y = 0, 88+10, 65x b 0 = 0, 88 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
44 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Résolution de l exemple Exemple 3 Equation de la droite de régression } b 1 = 10, 65 y = 0, 88+10, 65x b 0 = 0, 88 Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
45 3. Régression linéaire 1. Formule pour la droite de régression Droite de régression : Résolution de l exemple Exemple 3 Equation de la droite de régression } b 1 = 10, 65 y = 0, 88+10, 65x b 0 = 0, 88 x Age ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Porportion noir y Dessiner la droite en Excel : faire un nuage de points et choisir Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
46 Inférence statistique 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression 2 variables ont une relation linéaire dans 1 population avec une droite de régression y = β 0 +β 1 x Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
47 Inférence statistique 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression 2 variables ont une relation linéaire dans 1 population avec une droite de régression y = β 0 +β 1 x β 0, β 1? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
48 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Inférence statistique 2 variables ont une relation linéaire dans 1 population avec une droite de régression y = β 0 +β 1 x β 0, β 1? On connaît b 0 et b 1 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
49 Inférence statistique 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression 2 variables ont une relation linéaire dans 1 population avec une droite de régression y = β 0 +β 1 x β 0, β 1? On connaît b 0 et b 1 Trouver de l info sur β 0,β 1 à partir de b 0, b 1 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
50 Conditions 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression d i = y i ŷ i N(0,σ 2 ) Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
51 Conditions 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression d i = y i ŷ i N(0,σ 2 ) σ : indépendant de x Homocédasticité FCM Age FCM Hétérocedasticité Age Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
52 Conditions 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression d i = y i ŷ i N(0,σ 2 ) σ : indépendant de x Homocédasticité FCM Age FCM Les mesures doivent être indépendantes Hétérocedasticité Age Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
53 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
54 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
55 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Pas d inférence pour la corrélation? Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
56 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Pas d inférence pour la corrélation? Mais oui! Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
57 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Pas d inférence pour la corrélation? Mais oui! ρ : coefficient de corrélation pour la population Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
58 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Pas d inférence pour la corrélation? Mais oui! ρ : coefficient de corrélation pour la population On a r = s x s y b 1 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
59 Inférence avec Excel 3. Régression linéaire 2. Inférence pour la régression Excel : Données Utilitaire d analyse Régression Intervalle de confiance pour β 1 Intervalle de confiance pour β 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Test de conformité : H 0 : β 0 = 0 ; H a : β 0 0 Pas d inférence pour la corrélation? Mais oui! ρ : coefficient de corrélation pour la population On a r = s x s y b 1 Conclusion : équivalence entre le tests de conformité : Test de conformité : H 0 : ρ = 0 ; H a : ρ 0 Test de conformité : H 0 : β 1 = 0 ; H a : β 1 0 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
60 Extrapolation : Exemple I 4. Les problèmes 1. Ne pas extrapoler Exemple 4 En 1995, Heathcote a mesuré la longueur des oreilles d un échantillon d adultes d au moins 30 ans. Une régression linéaire entre l âge (en années) et la longueur des oreilles (en mm) nous donne : y = 55, 9+0, 22x Longueur oreille Age Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
61 Extrapolation : Exemple II 4. Les problèmes 1. Ne pas extrapoler y = 55, 9+0, 22x De la régression : un nouveauxné aurait des oreilles longues de 55.9mm. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
62 4. Les proble mes 1. Ne pas extrapoler Extrapolation : Exemple II y = 55, 9 + 0, 22x De la re gression : un nouveauxne aurait des oreilles longues de 55.9mm. Il aurait l air de Dumbo Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
63 4. Les proble mes 1. Ne pas extrapoler Extrapolation : Exemple II y = 55, 9 + 0, 22x De la re gression : un nouveauxne aurait des oreilles longues de 55.9mm. Il aurait l air de Dumbo Conclusion : On ne peut pas extrapoler le re sultat pour des adultes vers des enfants Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
64 4. Les problèmes 1. Ne pas extrapoler Ne jamais extrapoler! Il ne faut pas utiliser les résultats de la régression si : Si le x est plus petit que le plus petit des x i utilisés pour la régression Si le x est plus grand que le plus grand des x i utilisés pour la régression Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
65 4. Les problèmes 2. Un graphique dit beaucoup Les chiffres ne disent pas tout Toujours faire un graphique avant de commencer Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
66 4. Les problèmes 2. Un graphique dit beaucoup Les chiffres ne disent pas tout Toujours faire un graphique avant de commencer Pour tous le 4 : x = 9 y = 7, 50 r = 0, 816 b 0 = 0, 500 b 1 = 3, 00 Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
67 Plot résiduel 4. Les problèmes 2. Un graphique dit beaucoup On fait un graphique de y i ŷ i en fonction des x i Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
68 4. Les problèmes 3. Exercice Exercice 1 Alicia : Y a-t-il un lien linéaire significatif entre l IMC et l âge? Déterminer le coefficient de corrélation entre ces deux variables. Bethy : Y a-t-il un lien linéaire significatif entre l âge de la mère et le nombre de semaines de grossesses à l accouchement? Déterminer le coefficient de corrélation entre ces deux variables. Frédéric : Y a-t-il un lien linéaire significatif entre la taille et le tour de taille? Déterminer le coefficient de corrélation entre ces deux variables. Joseph : La quantité de cannabis consommée est-elle liée de manière linéaire à l âge? Déterminer le coefficient de corrélation entre ces deux variables. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
69 4. Les problèmes 3. Exercice Exercice 2 Alicia : Prédire l IMC moyen d une personne faisant du sport 4 fois par semaine. Bethy : Prédire l âge moyen à laquelle une personne a attrapé le diabète si son IMC est de 28. Frédéric : Prédire le poids moyen d un bébé né après 38 semaines de grossesse. Joseph : Prédire la quantité moyenne que consommera un consommateur de cannabis de 30 ans. Caroline Verhoeven SAPU-L / 28
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