TP3 : des listes python aux tableaux numpy.. 1 Mini cours avec expérimentation sur machine :

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1 TP3 : des listes python aux tableaux numpy.. 1 Mini cours avec expérimentation sur machine : 1.1 Identifiant et affectation Lorsqu on fait l affectation a=3.2, le nom de variable a pointe (on peut imaginer un fil) vers une adresse mémoire avec un numéro, et à cette adresse est stockée une valeur. Si on tape : >>>a=3.2 >>>id(a) La commande id() donne le numéro de la case mémoire où est stockée la valeur de a. Si l on fait l affectation ensuite : b=a le nom de variable b pointe non pas vers le nom a mais vers l adresse mémoire vers laquelle pointait déjà a. Déduire de ce qui précède les réponses données par le shell python aux commandes suivantes et vérifier! id(b) a=2 print(b) id(a) id(b) 1.2 Comment est représentée une liste en mémoire Une liste L = [1, marcel, 5.2] a elle aussi un identifiant mémoire. Donc le nom L pointe comme au paragraphe précédent vers une case mémoire. Ce qui change est le contenu de cette case mémoire! En effet chaque entrée de la liste a elle-même un identifiant mémoire propre comme on peut le tester. Essayez : L=[1,"marcel",5.2] id(l[0]) id(l[1]) id(l[2]) Les numeros d adresse n ont rien de remarquables à part qu ils sont différents. Ce qu il faut savoir : le nom de liste L pointe en fait vers une case contenant la liste des adresses (des id.) des entrées de la liste, et pas vers leurs valeurs! 1.3 Ce qui se passe lors de l affectation entre listes : la même chose... Pour la liste L du paragraphe précédent, si on crée une nouvelle liste M par l affectation M=L alors le nom de variable M va pointer vers l adresse mémoire vers laquelle pointait L exactement comme au 1.1. La différence est que cette adresse mémoire contient elle-même une liste d adresse. 1

2 1.4 Ce qui est différent est l effet d une modification de la liste initiale Exercice important à faire : Reprendre la liste du 1.2. Essayez : La modification d une entrée. L[0]=12 id(l[0]) L[1]=24 Morale : Que dire de l identifiant mémoire de L quand on modifie une entrée de L? La modification d une tranche (slice) : L=[4,3,5,1] L[0:2]=[5,6,7] L Morale : Que dire de l identifiant mémoire de L quand on modifie toute une tranche de L? N.B. Cette façon de modifier toute une tranche de la liste est efficace pour programmer le del() des listes demandé au T.P. 2. A retenir : toutes ces modifications de L ne sont pas des reaffectations de L car Conséquence pour la copie des listes : les alias Essayez le code suivant : L=[4,3,5,1] M=L print(m) L[0:2]=[5,6,7] print(l) print(m) Justifier le résultat avec ce qui précède. On dit que la liste M créée par M=L se comporte comme un alias de L Moralité : Ce qui distingue un objet mutable (liste) d un objet non mutable (int, bool, float, str, tuple) : à compléter à l oral 1.6 Un exemple avec des matrices On peut coder une matrice comme liste de listes. Par exemple A = [[1, 2], [3, 4]] pour A = ( ). Ainsi A[1] donnera la deuxième ligne de A par exemple. Exercice : On veut créer une matrice n n remplies de zéros, dont on pourra ensuite modifier les entrées, disons pour simplifier n = 10. 2

3 Une solution pour créer une liste formée de 0 est X = [0] n. On peut ensuite en modifier les entrées. On pourrait se dire que pour un tableau, on peut faire pareil, mais il y a un piège. Q1 La méthode suivante semble donner satisfaction pour n = 2 A = [[0, 0]] 2. Cependant que se passe-t-il si on la modifie ensuite via A[0][0] = 1? Justifier ce comportement étrange. Q2 Trouver une bonne méthode pour répondre à l objectif de l exercice. (La tester avec n petit!). Indication : utiliser des boucles. 2 Comment fabriquer une copie plus autonome d une liste 2.1 La première méthode : la copie par extraction On a vu (chap. 1, extraction, slicing) que si L est une liste comme celle de notre exemple, la commande L[0:2] va fabriquer une nouvelle liste contenant L[0] et L[1]. Ce qui est intéressant avec cette commande, c est que la nouvelle liste ainsi créée a un identifiant mémoire différent de celui de L donc si on extrait toutes les valeur de L, on a une copie du contenu de L qui est cette fois à un endroit différent dans la mémoire. L=[13,4,5,6] M=L[0:4] print() print(id(m)) Du coup cette fois, M apparaît bien comme autonome de L puisque L[0]=45 print(l) print(m) Pratique : pour extraire tout le contenu d une liste L, commande L[:] 2.2 Pourquoi Python appelle-t-il le type de copie précédente une shallow copy? Shallow copy : copie peu profonde. La raison est qu on peut faire des listes de listes! On l a vu dans l exemple des matrices ci-dessus au 1.6. Considérons le code : L=[1,2,3] G=[L,"bidule"] Gbis=G[:] N.B. Gbis a un id différent de G mais il contient la même liste d adresses mémoires. Exercice : On fait la modification L[0]=4 Que dire de Gbis[0][0]? Vérifier! 2.3 Comment faire une copie vraiment autonome? A deep copy Il y a plusieurs méthodes. Il serait amusant de programmer cela en descendant les ramifications de la mémoire. En Python le module copy est disponible pour le faire avec la commande deepcopy. Exercice Reprendre les données précédentes. Importer la fonction deepcopy du module copy. Créer Gter=copy(G). Tester le même code qu au 2.2 : 3

4 L=[1,2,3] G=[L,"bidule"] Gter=copy(G) L[0]=4 Tester alors Gter[0][0]. 3 Introduction à numpy 3.1 Les tableaux Le module numpy contient un grand nombre de fonctions permettant du faire du calcul numérique en python. a) Importer ce module et lister les fonctions correspondantes. Dans la suite on considère qu on a importé numpy avec le nom np. N.B. Eviter de faire help(numpy) : elle est tellement longue qu on n en sort plus! Par contre, help(np.nom_d une_fonction)est utile. b) Présentation des tableaux de numpy : on dispose dans numpy d un type array (comme tableau en anglais), dont les entrées par défaut sont des flottants. Un array peut être réduit à une ligne comme A=np.array([1,2]) Il peut être formé de plusieurs lignes comme M=np.array([[1,2],[3,4]]) On obtient un joli affichage avec print(a) et print(m). c) Avec numpy, il est très facile de fabriquer ce qu on a eu du mal à faire au 1.6 : des tableaux tout faits remplis de 0 et de 1, qu on peut modifier à loisir. Voir l aide des commandes zeros ou ones. 3.2 Application de fonctions à un tableau Pour tracer un graphe de fonctions, on va d abord créer un array contenant toutes les valeurs en abscisses où l on va faire calculer la fonction. Une fonction de numpy permet de créer une subdivision régulière d un intervalle [a, b] en N points : np.linspace(a,b,n) Une autre possibilité est d utiliser l équivalent numpy du range de Python à savoir np.arange qui permet d avoir des pas non entiers. Ensuite il faut connaître : Un paradigme de numpy (hérité de SciLab, Matlab) : les fonctions numpy peuvent agir directement sur les tableaux. Autrement dit on peut utiliser le code suivant : import numpy as np X=np.linspace(0,2*np.pi,256) S=np.sin(X) On aura alors deux tableaux à une ligne chacun : X pour les valeurs en abscisses et S pour les valeurs en ordonnées correspondantes. 3.3 Le plot de matplotlib On va utiliser le sous-module pyplot du module matplotlib. On l importe donc via import matplotlib.pyplot as plt # abrev. standard On va utiliser la fonction plot de ce (sous)-module. Par défaut, pour deux arrays X et Y à une ligne plot(x,y) va tracer des segments entre les points (X[i],Y[i]) successifs. Pour mieux comprendre : 4

5 import matplotlib.pyplot as plt # abrev. standard X=np.array([1,2,3]) Y=np.array([3,2,4]) plt.plot(x,y) # crée la courbe mais ne l affiche bizarrement pas plt.show() # affiche la courbe plt.savefig("essai-courbe.pdf",format= pdf )# fabrique un pdf dans le répert. courant Pour le graphe de sin sur [0, 2π] : Essayez en faisant varier le nombre de points de la subdivision! X=np.linspace(0,2*np.pi,256) S=np.sin(X) plt.plot(x,c) # si on veut voir les points de (X,C) : plt.show() 4 Application à la méthode d Euler Cadre général : On fixe un problème de Cauchy : y (x) = F (x, y(x)), avec la C.I. y(x 0 ) = y 0 plt.plot(x,c, o ) Autrement dit, on se donne la fonction F, et le couple (x 0, y 0 ). Notre exemple : on prendra l E.D. très simple y (x) = x.y(x), pour la C.I. y(0) = 1. Autrement dit, (x 0, y 0 ) = (0, 1) et F (x, u) x.u. Retour à la théorie générale : On suppose que la fonction F est telle qu il y ait une et une seule fonction solution à l E.D. pour la condition initiale y(x 0 ) = y 0 (Cauchy-Lipschitz). Le principe de la méthode d Euler est le suivant : sur un petit intervalle [x 0, x 0 + p] où p s appelle le pas, et p est pris petit, on va approcher la fonction solution y qu on ne connaît pas par la fonction affine définissant la tangente au graphe de y, au point d abscisse x 0, autrement dit par z 0 x y 0 + y (x 0 )(x x 0 ). L essentiel : on connaît y (x 0 ) = F (x 0, y 0 ). En notant M 0 = (x 0, y 0 ), on considère alors le segment [M 0, M 1 ] sur le graphe de la fonction affine z 0 où M 1 = (x 1, y 1 ) est le point d abscisse x 1 = x 0 + p. Ensuite, au point M 1 = (x 1, y 1 ) on considère le segment partant de M 1 et de pente cette fois F (x 1, y 1 ). 1. On poursuit ce segment jusqu au point M 2 d abscisse x 0 + 2p. En itérant ce procédé, on obtient une courbe continue qui est une succession de segments [M k, M k+1 ] avec M k = (x k, y k ), et dont on espère qu elle n est pas trop loin de la solution y de l E.D. Question 1 Donner la formule de récurrence donnant y k+1 en fonction de y k et x k pour chaque k. Question 2 Ecrire une fonction Python qui prend comme argument F,p,x0,y0,n où n est le nombre de points qu on veut tracer et tracer la solution approchée au pb. de Cauchy correspondant avec la méthode d Euler. On la testera sur l exemple donné ci-dessus, en traçant sur le même graphe la solution exacte. 1. Cette pente est celle de la tangente au graphe de la solution de l E.D. qui passerait par M 1 5

6 Solution pour l exercice sur les matrices de la fin du 1 Q1 Avec A=[[0,0]]*2 on a bien A=[[0,0],[0,0]] mais en fait le deuxième [0,0] pointe vers la même adresse que le premier, de sorte que la modification de l un (dans mon exemple le premier A[0]) va modifier aussi le second A[1]. N.B. Cela ne se produit pas pour X=[0]*n car ce qu on copie n est pas une liste mais l entrée 0. Q2 X=[0]*n A=[X]# initialisation for i in range(n-1): A.append([0]*n) Solution pour la méthode d Euler a) Comme expliqué en T.P. la relation de récurrence est : y n+1 = y n + pf(x n, y n ). b) def euler(f,p,x0,y0,n): """tracé d une sol. approchée à l E.D. y =F(x,y) avec la C.I. y(x0)=y0 suivant la méthode d Euler avec un pas p et n itérations""" X=np.arange(x0,x0+p*n,p) # création du tableau des X s arr^ete à x0+p*(n-1) Y=np.zeros(n) # tableau unidim à n entrées initialisées à 0 Y[0]=y0 for i in range(n-1): Y[i+1]=Y[i]+F(X[i],Y[i])*p plt.clf()# clear figure plt.plot(x,y) plt.show() plt.savefig("euler.pdf",format="pdf") # par défaut enregistre dans votre home directory # Test sur une fonction def F(x,y): return x*y euler(f,0.1,0,1,10) Remarque comme vu au chap. 7, pour enregistrer dans le répertoire de votre choix : from os import chdir chdir("/users/romain/documents/mpsi/informatique/tp6-dichotomie-analyse") # là où je veux... c) Si je veux en plus tracer la vraie solution, rajouter (au bon endroit!) Z=np.exp(X**2/2) plt.plot(x,y) plt.plot(x,z, color= r ) 6