Ondes mécaniques progressives périodiques

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Marie-Thérèse Desmarais
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1 Ondes mécaniques progressives périodiques 1 Une double périodicité 1.1 Notion de périodicité Un mouvement est périodique s il se répète à intervalles de temps égaux. Cet intervalle de temps, noté T, est appelé période du phénomène. On lui associe généralement une fréquence f définie comme l inverse de la période, 1 f T exprimée en hertz (Hz) si la période est exprimée dans le système SI, c est-à-dire en seconde. La fréquence compte alors le nombre de périodes par seconde. Si une onde mécanique progressive est émise par une source animée d un mouvement périodique, cette onde est dite périodique. 1.2 Périodicité temporelle Dans le chapitre précédent, nous avons vu que chaque point du milieu matériel atteint par l onde répète le mouvement de la source avec un retard τ. Si la source a un mouvement périodique de période T, chaque point du milieu sera lui-même animé d un mouvement périodique de période T. Une onde mécanique progressive périodique (OMPP) présente une périodicité temporelle caractérisée par une période temporelle T ayant la dimension d une durée. Mesurer la périodicité temporelle Pour mesurer la période temporelle d une OMPP, on peut parfois «figer» la propagation à l aide d un éclairage stroboscopique : si la période entre deux éclairs est égale (ou multiple) à la période temporelle de l onde, le milieu a l apparence de l immobilité. Soit T e la période des éclairs du stroboscope. Si T e = k T (avec k entier naturel), l objet semble immobile. La valeur la plus faible de T e produisant l immobilité apparente est égale à la période T du phénomène. 1.3 Périodicité spatiale Lors de la propagation d une onde mécanique progressive périodique, dans les limites du modèle étudié au chapitre précédent, la perturbation engendrée pendant une période se répète identique à elle-même sur des distances égales dans la direction de propagation : on dit que l onde présente une périodicité spatiale. période spatiale 1

On lui associe généralement une fréquence f définie comme l inverse de la période, 1 f T exprimée en hertz (Hz) si la période est exprimée dans le système SI, c est-à-dire en seconde.

2 On appelle période spatiale d une onde mécanique progressive périodique la distance, constante, séparant deux motifs identiques consécutifs. Cette période spatiale est égale à la distance de propagation de l onde pendant une période temporelle. Deux points séparés d une période spatiale ont le même mouvement au même instant. Ces points sont tous les trois à la surface de l eau sans perturbation puis vont s élever au-dessus de ce niveau : leur mouvement est le même. 1.4 Cas d une onde sinusoïdale Une OMPP est dite sinusoïdale si l évolution temporelle de la source peut être associée à une fonction sinusoïdale. Dans le cas d une onde mécanique transversale, sur une corde par exemple, l onde se présente alors sous l aspect d une sinusoïde qui se déplace en bloc. Expérience 1 : Observer excit_sinus.avi Expérience 2 : Observer onde_corde.swf La période spatiale d une onde sinusoïdale est appelée longueur d onde, notée en général λ. C est donc la distance de propagation de l onde pendant une période temporelle T, v v T f Des points séparés par n longueurs d onde ont des mouvements identiques simultanément. Dans le cas d un mouvement sinusoïdal, on dit qu ils sont en phase. C est le cas des points M1, M4 et M5, ou encore de M2 et M3. Entre M2 et M3, ou encore entre M4 et M5, il y a une longueur d onde ; entre M1 et M4, 2 longueurs d onde. Les points M1 et M2 sont dits en opposition de phase. M 5 2

Ces points sont tous les trois à la surface de l eau sans perturbation puis vont s élever au-dessus de ce niveau : leur mouvement est le même. 1.

3 La longueur d onde est égale à la plus petite distance, mesurée dans une direction de la propagation, séparant deux points en phase. Pour les sons audibles, dont la fréquence est comprise entre 20 Hz et 20 khz, la longueur d onde est comprise entre 1,7 cm et 17 m (à 20 C). 2 Le phénomène de dispersion Un milieu est dispersif si la célérité des ondes sinusoïdales dépend de leur fréquence ; on dit alors que les ondes qui se propagent dans ce milieu subissent un phénomène de dispersion. L eau est un milieu dispersif : on peut le vérifier en mesurant la célérité d une onde sinusoïdale sur une cuve à ondes. f = 14 Hz λ = 0,58 cm donc v = λ f = 0,081 m.s 1 f = 17 Hz λ = 0,48 cm donc v = λ f = 0,082 m.s 1 L air n est pas dispersif pour les ondes sonores : dans les mêmes conditions, des ondes sonores de fréquences différentes se propagent avec la même célérité. Si l air était dispersif pour les ondes sonores, deux notes de hauteurs différentes jouées simultanément par un instrument pourraient arriver à des instants différents à l oreille, car elles n ont pas la même fréquence. Si le phénomène n était pas négligeable, nous nous écarterions des limites de validité de notre modèle des ondes mécaniques progressives. Dans un milieu dispersif, la célérité n est plus seulement une propriété du milieu puisqu elle dépend aussi de la fréquence de l onde la forme de la perturbation évolue au cours de sa propagation (ce que nous négligeons dans un premier temps) 3

2 Le phénomène de dispersion Un milieu est dispersif si la célérité des ondes sinusoïdales dépend de leur fréquence ; on dit alors que les ondes qui se propagent dans ce milieu subissent un phénomène

4 Lorsqu on produit un choc à la surface de l eau, la perturbation évolue au cours de sa progression en se décomposant en une succession de rides. On peut interpréter ce phénomène en considérant que la perturbation produite est la superposition d une multitude d ondes sinusoïdales émises simultanément. Ces ondes se propagent avec des célérités différentes, les plus rapides se détachant l avant de la perturbation. Dans un milieu dispersif, deux ondes sinusoïdales de fréquences différentes se propagent à des vitesses différentes. Si ces deux ondes sont créées au même endroit, l onde résultant de leur somme va donc se déformer au cours de la propagation ; une onde comprenant plusieurs composantes sinusoïdales se déforme dans un milieu dispersif. Exemple : Un bateau provoque une perturbation, comprenant plusieurs ondes sinusoïdales de fréquences différentes, sur une eau calme. Un observateur sur le rivage verra d abord arriver des vagues très espacées (grandes longueurs d onde) puis ensuite des vagues moins espacées. L eau, milieu dispersif, sépare les différentes fréquences. 3 Le phénomène de diffraction 3.1 Mise en évidence et définition Lorsqu une onde mécanique franchit un obstacle ou traverse une ouverture, il peut se produire un phénomène très particulier : on observe l étalement des directions de propagation sans changement de fréquence, ni de célérité. On dit que l onde est diffractée. 3.2 Influence des dimensions de la fente ou de l obstacle Le phénomène de diffraction produit par une fente s accentue lorsque l ouverture diminue. Pour que la diffraction se manifeste, on admet en général que l ordre de grandeur de la largeur de la fente doit être inférieur ou égal à l ordre de grandeur de la période spatiale de l onde considérée. 4

Ces ondes se propagent avec des célérités différentes, les plus rapides se détachant l avant de la perturbation.

5 Dans le cadre de cette expérience, on pourra observer que, si la fente n est pas très petite, la vibration s annule pour un certain angle de diffraction puis réapparaît plus faiblement au-delà. Si la fente est très petite, en revanche, l onde diffractée est quasiment circulaire. Application : pour une ouverture de d = 80 cm, on considère un son aigu de fréquence f 1 = 3, Hz et un son grave de fréquence f 2 = 100 Hz. La célérité du son est de 340 m.s 1. v 340 v 340 Nous avons 1 0,11 m et 3 2 3, 40 m : le son grave est bien plus diffracté f1 3, 0.10 f2 100 que le son aigu Ce qui le rend souvent plus «communicatif». Pour un son aigu de fréquence 3000 Hz, la diffraction est observée pour des dimensions voisines de 10 cm. Pour un son grave de fréquence 100 Hz, le phénomène de diffraction est sensible pour des ouvertures dont les dimensions sont de 3 m. Si l ouverture est une porte (environ 1 m de large), les basses fréquences seront plus diffractées que les hautes fréquences. Une conversation sera entendue d une autre pièce, si la porte est ouverte, mais assourdie et un peu déformée. Des ultrasons de fréquence 40 khz seront diffractés par des ouvertures ayant pour dimensions quelques mm : les ultrasons subiront très peu la diffraction dans une pièce : ils sont directifs. 3.3 La diffraction et les ondes F. Koenig La diffraction est caractéristique de la propagation des ondes, c est-à-dire qu on considère que l apparition d un phénomène de diffraction lors d une expérience permet d affirmer que cette expérience met en jeu un phénomène ondulatoire. C est le cas des vagues ci-dessus, mais également du son, dont on peut étudier la diffraction à l aide du dispositif suivant. 5

$10 3 Hz et un son grave de fréquence f 2 = 100 Hz. La célérité du son est de 340 m.s 1. v 340 v 340 Nous avons 1 0,11 m et 3 2 3, 40 m : le son grave est bien plus diffracté f1 3, 0.$

6 En relevant la tension détectée par le récepteur en fonction de sa position relevée par l angle θ par rapport à la normale à la surface diffractante, on met en évidence le phénomène (cf. exercice 21 p. 52). sans objet diffractant avec objet diffractant 6

$surface diffractante, on met en évidence le phénomène (cf.$

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