A. Rappels sur les matrices

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1 Chapitre 7 : Le calcul matriciel 95 Chapitre 7 : Le calcul matriciel Calculs mathématiques, statistiques et financiers A. Rappels sur les matrices Sans rentrer dans les définitions théoriques qui sortent du cadre de cet ouvrage, nous considérons dans ce qui suit qu'une matrice se présente sous forme d'un tableau rectangulaire de n lignes et de m colonnes contenant des nombres réels. Chaque élément de la matrice peut être désigné par son index de ligne et son index de colonne : a ij représente le nombre situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j. Editions ENI - All rights reserved Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes est une matrice carrée. Addition de matrices : des matrices de mêmes dimensions peuvent être additionnées. Si A et A' sont deux matrices de dimensions n x m, l'élément générique de la matrice C=A + A' se calcule par : c ij = a ij + a' ij Multiplication par un scalaire k : le résultat est une matrice de même dimension dont l'élément générique est : c ij = k.a ij

2 Calculs mathématiques, statistiques et financiers 96 Avec Excel 2010 Multiplication de deux matrices : la multiplication d'une matrice A (n lignes x m colonnes) par une matrice B (m lignes x p colonnes) est une matrice C de n lignes x p colonnes ayant pour élément générique : Matrice identité (I) : matrice dont tous les éléments valent 0 sauf les éléments de la diagonale qui sont égaux à 1. Transposée d'une matrice : la transposée d'une matrice M d'élément générique a ij est la matrice M'= t M d'élément générique a ji. Matrice inverse : l'inverse d'une matrice carrée A est une matrice B = A -1 telle que A.B = B.A = I (matrice identité). Matrice diagonale : c'est une matrice dont tous les éléments sauf ceux de la diagonale sont égaux à 0. Matrice orthogonale : une matrice M est dite orthogonale si elle satisfait à la relation t M.M = M. t M = I. Matrice symétrique : c'est une matrice égale à sa transposée, soit M = t M. Déterminant : le déterminant d'une matrice carrée est un nombre servant à de nombreuses applications matricielles. Il permet par exemple de déterminer si une matrice est inversible ou non. Il peut être calculé par récurrence en se ramenant finalement au calcul du déterminant d'une matrice 2 x 2. Le déterminant de la matrice suivante : se note et prend la valeur a.d - b.c

3 Chapitre 7 : Le calcul matriciel 97 Exemple : soit la matrice carrée M (3 x 3) suivante.. Le déterminant de M se calcule par la formule : qui donne par développement : B. Traitement des matrices dans Excel 1. Désignation des matrices La forme la plus simple de désignation d'une matrice est la plage rectangulaire de cellules repérée par son adresse ou par son nom. Dans l'exemple ci-dessous, la plage A3:D6 (nommée M) représente une matrice. Editions ENI - All rights reserved

4 Calculs mathématiques, statistiques et financiers 98 Avec Excel 2010 Une matrice peut également être désignée sous forme de constante matricielle. L'expression {2.3;4.7;2.9} désigne la matrice 3 lignes x 2 colonnes suivante : Une constante matricielle peut être utilisée sous cette forme dans une formule mettant en jeu plusieurs matrices (addition, multiplication...). Elle peut également être utilisée sous forme d'écriture "matricielle" (cf. chapitre Conseils de bonne pratique - Les formules matricielles) pour remplir une plage de cellule. Dans l'exemple la plage D11:E13 a été remplie en effectuant dans l'ordre suivant : y la sélection de la plage D11:E13 y la saisie de la formule ={2.3;4.7;2.9} y la validation sous forme matricielle par la combinaison des touches CsE. Pour extraire une sous-matrice d'une matrice de base, il faut utiliser la fonction DECA- LER dont la syntaxe générale permet de désigner toute plage rectangulaire de cellules contigües à l'intérieur de cette matrice de base : =DECALER (matrice de référence; décalage de lignes; décalage de colonnes; [nombre de lignes]; [nombre de colonnes]) Les deux derniers arguments sont facultatifs. S'ils sont ignorés la sous-matrice s'étendra jusqu'aux limites basse et droite de la matrice de base. Voici 2 exemples de désignation de sous-matrices à partir de la matrice de base M. La partie grisée représente la sous-matrice à désigner.

5 Chapitre 7 : Le calcul matriciel 99 Exemple 1 : Formule matricielle : {=DECALER(M;1;2)} Soit un décalage d'1 ligne vers le bas et de 2 colonnes vers la droite. Exemple 2 : Formule matricielle : {=DECALER(M;1;1;2;2)} La désignation de la plage grisée est obtenue par décalage d'1 ligne vers le bas, d'1 colonne vers la droite sur une hauteur de 2 lignes et une hauteur de 2 colonnes. 2. Les fonctions de matrices L'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire ne posent aucune difficulté puisqu'il suffit de reprendre les opérateurs arithmétiques habituels et d'écrire la formule sous forme matricielle. Par exemple, la multiplication de la matrice M par un scalaire (10) s'obtient simplement par la formule matricielle: {=10*M} écrite sur une plage de même dimension que M. Editions ENI - All rights reserved La fonction PRODUITMAT effectue le produit matriciel de 2 matrices An,m et Bm,p. Rappelons que le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Le résultat est une matrice ayant le nombre de lignes de A et le nombre de colonnes de B. La syntaxe, obligatoirement matricielle, est : {=PRODUITMAT(A;B)} La fonction est saisie sur une plage de cellules de n lignes et p colonnes.

6 Calculs mathématiques, statistiques et financiers 100 Avec Excel 2010 Exemple : La multiplication matricielle de A (3 l. x 4 c.) par B (4 l. x 2 c.) donne une matrice résultat de 3 lignes et 2 colonnes. La fonction INVERSEMAT calcule la matrice inverse d'une matrice carrée M. La syntaxe matricielle est : {INVERSEMAT(M)}. G Une matrice ne peut être inversée que si son déterminant est différent de 0. La fonction non matricielle DETERMAT(M) permet le calcul du déterminant. Dans l'exemple, le déterminant de M calculé par =DETERMAT(M) a pour valeur Nommons MI la matrice inverse de M qui vient d'être calculée, vérifions que PRODUI- MAT(M;MI) ou PRODUITMAT(MI;M) donne pour résultat la matrice identité.