THÈSE. Présentée devant. DOCTEUR de L ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE

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1 THÈSE Présentée devant DOCTEUR de L ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE École Doctorale : Matériaux - Structures - Mécanique Spécialité : Génie Mécanique par Victorien BELLOEIL DÉVELOPPEMENT ET OPTIMISATION D UN REVÊTEMENT ALVÉOLAIRE POUR LE CONTRÔLE PASSIF DE VIBRATIONS soutenue le 8 décembre 26 devant le jury : M. : Daniel BRUN-PICARD Président MM. : Ivan IORDANOFF Rapporteurs Roger OHAYON MM. : Grégoire CASALIS Examinateurs Thomas MANFREDOTTI MM. : Yves GOURINAT Directeur de thèse Jacques HUET Co-directeur de thèse Thèse préparée au Laboratoire Matériaux et Structures - SUPAERO - et au Département de Génie Mécanique - ENSICA - sous financement de la Délégation Générale pour l Armement

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3 For the things we have to learn before we can do them, we learn by doing them ("Nous devons apprendre avant de faire les choses et nous apprenons en les faisant") par Aristote ( BC) A ma famille et à Céline...

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5 Remerciements Ce mémoire de thèse est le fruit de trois années de travail de collaboration au sein du Laboratoire Matériaux et Structures (LMS) de SUPAERO, du Département de Génie Mécanique (DGM) de l ENSICA et du service Vibration / Bruit interne d EUROCOPTER. Cette thèse a été financée par la Délégation Générale pour l Armement. Je commencerais par remercier les membres du jury : Monsieur Daniel BRUN-PICARD, Professeur à l ENSAM d Aix en Provence, pour m avoir fait l honneur de présider le jury de thèse. Monsieur Roger OHAYON, Professeur titulaire de la chaire de mécanique au CNAM Paris, et Monsieur Ivan IORDANOFF, Professeur ENSAM-Talence, de m avoir fait l honneur d être rapporteurs de mon mémoire de thèse, pour le temps qu ils ont consacré à son étude et le jugement constructif qu ils ont formulé. Ainsi que Monsieur Grégoire CASALIS, professeur à SUPAERO, qui m a fait l honneur de participer à l évaluation ce travail. Je continuerais en témoignant toute ma reconnaissance à mon directeur de thèse Monsieur Yves GOURINAT, Professeur à SUPAERO, qui m a apporté tout son soutien et ses compétences dans le domaine de la mécanique, et à Monsieur Jacques HUET, Professeur à l ENSICA, co-directeur de cette thèse, pour m avoir fait confiance dès mon premier entretien et pour m avoir donné les moyens de réaliser cette thèse. J exprime toute ma gratitude à Monsieur Thomas MANFREDOTTI, qui a encadré cette thèse pour le compte d EUROCOPTER, pour son suivi tout au long de ces trois années et ses conseils avisés. Je tiens à remercier également Monsieur Tomasz KRYSINSKI, chef de service à EUROCOPTER, qui m a proposé ce sujet de thèse et qui m a fait confiance pour cette aventure et Monsieur Rogelio FERRER, pour m avoir permis de la réaliser. Je remercie également Mesdames Christine ESPINOSA, sans qui cette thèse n aurait pas vu le jour, et Valérie POMMIER-BUDINGER, pour sa patience lors de mes campagnes d essais. J ai eu la chance de bénéficier d un environnement de travail exceptionnel dans chaque lieu, et je remercie tous les membres pour leur disponibilité et leur gentillesse. Toute ma gratitude va à Monsieur Serge CREZÉ, chef du LMS de SUPAERO, pour son accueil et les moyens d essais qu il a mis à ma disposition. Je remercie aussi Monsieurs Michel LABARÈRE, Daniel GAGNEUX, Pierre ERIZÉ et Daniel BOITEL du DGM de l ENSICA, pour leurs assistances techniques lors de la réalisation des éprouvettes et des essais. Je tiens à remercier vivement tous les personnels du LMS et du DGM que j ai rencontrés durant ces trois années et qui m ont permis de travailler dans d agréables conditions. Et plus particulièrement : les thésards de l équipe du LMS : Sandrine, Elie, Elias, Issam, Javier, Damien, Amir, Matthieu, Samuel pour leurs bonnes humeurs, les repas au labo et leurs amitiés ; les thésards de l équipe du DGM : Sandrine, Eric (pour m avoir ouvert à d autre musique), Yann, Jerome, Jihad, Christophe pour leurs amitiés et les parties de foot ; l ensemble du personnel d OTGV pour leurs échanges fructeux et leurs convivialités. Je voudrais aussi remercier tout particulièrement Nicolas B, pour ses conseils et son soutien lors des moments difficiles de la thèse. Enfin je ne serais oublier Philippe G pour son amitié et toutes les corrections qu il m a apporté durant la dernière ligne droite, et Céline pour son soutien et pour tout le reste. Enfin, je souhaiterais remercier l ensemble de ma famille pour le soutien et l affection qu ils m apportent depuis toujours.

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7 Table des matières Introduction générale 1 Table des notations 5 1 Méthode de contrôle vibratoire : étude bibliographique et solution proposée Méthodologies de contrôle Méthode active et semi-active Méthode passive Caractéristiques des matériaux viscoélastiques Définition du module complexe Facteurs environnementaux Modèle d amortissement Méthodes de mesure de l amortissement Concept ASDC Bilan du chapitre Caractérisation des effets du traitement amortissant sur une structure de type poutre Formulations analytiques des éléments constitutifs du concept ASDC Comportement des ellipses Comportement vibratoire d une poutre avec une armature elliptique Comportement d une poutre avec un revêtement viscoélastique Approches expérimentales Elaboration des maquettes expérimentales Principe de mesure Mesures expérimentales Comparaisons avec des produits commerciaux Modélisations numériques Description du modèle numérique Validation du modèle analytique d une poutre avec armature elliptique Modélisation numérique de la dépendance en fréquence du VEM Outils de recalage Détermination des paramètres matériaux Résultats numériques Bilan du chapitre

8 ii TABLE DES MATIÈRES 3 Caractérisation et optimisation du traitement ASDC sur une structure de type plaque Approches expérimentales Plaque en aluminium sans traitement amortissant Produits commerciaux Traitements ASDC Conclusions et résultats des essais expérimentaux Modélisations numériques Modèles numériques de type plaque Corrélation Expérimental-Numérique Principe des réseaux de neurones Principe de l homogénéisation par les modules effectifs Configuration ASDC en modèle de type Free-Layer Configuration ASDC en modèle de type Constrained-Layer Bilan du chapitre Conclusion générale et perspectives 157 Table des figures 166 Liste des tableaux 169 Références bibliographiques 177 Annexes 181 A Applications aux modèles rhéologiques 181 A.1 Modélisation dans le domaine temporel A.1.1 Le modèle de MAXWELL A.1.2 Le modèle de VOIGT A.1.3 Le modèle de ZENER A.1.4 Remarque A.2 Modélisation dans le domaine fréquentiel A.2.1 Modèle de MAXWELL A.2.2 Modèle de VOIGT A.2.3 Modèle de ZENER A.2.4 Modèle avec module constant A.2.5 Remarques B Programme MATLAB poutre avec viscoélastique 187 C Résultats expérimentaux avec le traitement ASDC 193 C.1 Résultats configuration C.2 Résultats configuration C.3 Résultats configuration

9 TABLE DES MATIÈRES iii D Résultats numériques avec le traitement ASDC 199 D.1 Résultats configuration D.2 Résultats configuration D.3 Résultats configuration E Principe de la vibro-acoustique 25 E.1 Choix de maillage E.2 Principe vibro-acoustique

10 iv TABLE DES MATIÈRES

11 Introduction générale L ES progrès technologiques de ces dernières années permettent d améliorer la qualité des transports aéronautiques. Au préalable, les efforts ont surtout été apportés sur la sécurité des passagers désormais les constructeurs mettent l accent sur l amélioration du confort. En particulier le confort acoustique à l intérieur des aéronefs représente aujourd hui un enjeu économique majeur. Dans cette voie on cherche à diminuer les nuisances acoustiques, mais aussi à réduire la fatigue engendrée lors du fonctionnement de l appareil. Mais comme toute amélioration celle-ci doit se faire sous la contrainte de la masse ajoutée et du coût des solutions proposées. Notre étude a été réalisée en collaboration avec un industriel : EUROCOPTER. Nous développerons donc ce mémoire pour le cas d un aéronef de type hélicoptère. Dans cet optique, il convient de distinguer les différentes sources de bruit de l appareil, qui sont nombreuses tels que les moteurs, les boites de transmission principale (BTP) et arrière, les systèmes de ventilation, climatisation et chauffage, les écoulements aérodynamiques (bruits de couche limite et des rotors), le fonctionnement des systèmes électriques et électroniques. Toutes ces sources primaires font de l hélicoptère un véhicule complexe. Il recèle de très nombreux mécanismes sophistiqués avec en outre des contraintes de visibilité d architecture imposant de nombreuses surfaces vitrées et des panneaux minces, qui sont extrêmement favorables aux vibrations. Ces structures constituent autant de chemins pour le passage du bruit, tels que le plancher mécanique, les barres BTP, le fond de BTP, la paroi cabine, les hublots, les portes, les verrières. Ces passages de bruit (ou voie de transfert) peuvent ainsi prendre deux types de chemin : aérien ou solidien. La FIG. 1 montre les différents chemins menant à la gêne acoustique. L objectif de l industriel est de préconiser des solutions techniques pour améliorer le confort acoustique. En l absence de tout traitement et de toute protection individuelle, le niveau de pression acoustique dans une cabine d hélicoptère serait insupportable, et de nature à entraîner des pertes d audition temporaires ou définitives pour les occupants. EUROCOPTER, comme tous les hélicoptéristes, applique donc systématiquement des traitements acoustiques permettant de limiter le niveau de bruit à un niveau tolérable. Ils se déclinent en deux méthodes de contrôles : active et passive. La méthode de contrôle passif [98] sur les chemins solidiens consiste à améliorer la nature et la répartition des matériaux dans l aéronef. On peut ainsi agir sur le cheminement solidien du bruit pour lequel les contre mesures classiques au sein de l appareil sont les habillages insonorisants, les matériaux amortissants locaux et la séparation cabine-cockpit. La méthode de contrôle actif (interne à la cabine) nécessite des algorithmes sophistiqués basés sur une intéraction entre les fondements de l acoustique et de l automatique. L utilisation conjointe de ces deux méthodes est possible, du fait de leur complémentarité. En effet la méthode passive permet de travailler dans les hautes fréquences et sur une plage de fréquence importante, tandis que la méthode

12 2 INTRODUCTION GÉNÉRALE FIG. 1 Problème vibro-acoustique de l hélicoptère active présente une meilleure efficacité dans la partie base de la gamme fréquentielle audible. Lorsque l on tente d abaisser encore le niveau sonore à bord de l hélicoptère, la masse des éléments d insonorisation augmente alors très rapidement. Ainsi toute tentative d augmentation suivant les technologies passives actuelles se traduit par des pénalités sur la charge marchande. En pratique, cela les rend peu applicables sur les appareils légers en raison du devis de masse pénalisant. A titre d exemple, le Dauphin EC155 en version de base affiche un niveau moyen de 91 db-sil4 tandis que la version dite "Confort" permet d abaisser ce niveau à 85 db. Malgré ce niveau confortable pour un hélicoptère, le bruit à bord de l appareil se place 1 db au-dessus des avions régionaux actuellement en service. Ce gain de 6 db représente un supplément de masse de l ordre de 8 kg, soit un passager. Pour des demandes très particulières, il est possible d abaisser le bruit en cabine de 8dB supplémentaires. Il faut pour cela aller aux limites des technologies actuelles et ce niveau se paye par un surcroît de masse représentant parfois jusqu à 1% de la masse décollable : de telles pénalités ne sont évidemment pas admissibles pour une utilisation commerciale ou utilitaire. Comme on peut le constater cette pénalité est extrêmement lourde d un point de vue opérationnel et l insonorisation poussée à ce niveau représente une part significative du coût de l appareil. Il apparaît donc que la transmission du bruit constitue un enjeux pour les hélicoptéristes, le sujet de cette thèse est d ouvrir une voie pour des matériaux nouveaux prenant en compte le comportement des matériaux visqueux et d effets géométriques afin de franchir un seuil technologique. Cette étape permettrait d envisager des applications VIP pour les appareils moyen et mi-lourd et des applications confort pour les appareils légers. Les moyens de traitement acoustique passif actuellement employés sont similaires à ceux couramment

13 INTRODUCTION GÉNÉRALE 3 utilisés dans l aviation générale et commerciale. Il s agit principalement : de matériaux visco-contraints collés sur la structure (fonction amortissement) ; de matelas d isolation, avec ou sans finition, appliqués sur la structure et sur certains équipements (fonction absorption) ; de panneaux d habillage en sandwich de stratifié et nid d abeille, fixés par plots souples ; de remplissage par matériau granulaire des barres de support BTP et/ou des panneaux d habillage ; de mousses type mélamine rapportées sur certains panneaux. La FIG. 2 montre l application de traitement amortissant sur un hélicoptère de la gamme Dauphin. FIG. 2 Exemple d application de traitement passif Notre travail s inscrit dans la continuité des travaux de recherches menés au sein du Service Vibration / Bruit interne d EUROCOPTER. Ce travail de recherche a été financé par la Délégation Générale pour l Armement (DGA). Cette étude a été précédée par des projets d étudiants [74, 68, 43]. Ils ont proposé des solutions pour réduire les vibrations et le niveau sonore au sein du Dauphin, et ont montré l importance et les localisations de traitements amortissants. Ces solutions sont détaillées en fonction de la partie du fuselage, de la source ou du mode de transfert du bruit considérés. Ces parties sont : Les portes : l ajout de matériau absorbant permettrait de limiter les vibrations des portes dues au effet aérodynamique. Les vitres, verrières et pare-brise : l ajout de matériau absorbant n est pas réalisable, de par leur opacité, mais le traitement des joints est une solution possible. Les cadres : ces parties sont soumises à de forte vibration et constituent un passage obligatoire des vibrations. Une solution par l utilisation de matériau amortissant est envisageable. La cloison arrière : le problème est le même que pour le cadre, les solutions à envisager sont donc du même ordre. Une solution active peut toutefois être employée pour éliminer la raie à 16 Hz, car cette raie est très importante en comparaison avec toutes celles remarquées sur les spectres des autres éléments de la structure. le plafond arrière : situé entre le cadre et la cloison arrière, il participe aussi à l ancrage de la BTP. Une solution comme celles proposées pour les deux éléments précédents est donc envisageable : l utilisation de matériau absorbant de type lamifié. Les barres BTP : l idée est de filtrer le passage des vibrations traversant la barre par un système de point d ancrage lamifié. La BTP : les effets de la BTP seront traités sur les autres organes de la structure. Les moteurs : l orientation des tuyères est à définir de manière à ce que les sorties et entrées d air

14 4 INTRODUCTION GÉNÉRALE n émettent pas en direction du fuselage. Une étude a été réalisée pour prendre en compte les effets du bruit sur les passagers (étude psychoacoustique) [43]. Elle montre que la principale gêne acoustique provient de la BTP (Boite de Transmission Principale) qui produit un spectre de raies à très fort niveau dans la bande 1Hz-4Hz. Cet intervalle correspondant au maximum de sensibilité de l oreille. L autre source majeure est causée par le bruit aérodynamique d avancement large-bande dont la contribution au niveau du bruit total semble également essentielle. Les travaux réalisés au cours de cette thèse et présentés dans ce mémoire, s inscrivent dans la thématique "contrôle vibratoire". Le traitement étudié est un revêtement passif innovant, nommé ASDC. Il est composé d une part d un matériau viscoélastique et d autre part d un réseau d ellipse. Les principaux objectifs sont de comprendre l effet du réseau elliptique sur la réponse vibratoire et de définir un traitement amortissant performant d un point de vue contrôle mais aussi d un point de vue masse. La complexité et les technologies de la mise au point de specimens expérimentaux ont nécessité l intégration d un spécialiste du domaine la société LORD CORPORATION. Cette société a ainsi réalisé une partie des éprouvettes d essais. Les essais expérimentaux ont été réalisés à l ENSICA au sein du département DGM, avec les équipements de mesure du département DAS. L étude de ce concept est organisée en trois chapitres. Le Chapitre 1 traite du contrôle vibratoire. On propose dans un premier temps quelques références bibliographiques et historiques à propos du contrôle passif, complétées de quelques généralités sur le contrôle actif. On traite ensuite les matériaux viscoélastiques avec quelques rappels de l influence des facteurs environnementaux sur le comportement de ces derniers. Enfin, on expose le principe et les composants du concept innovant ASDC qui sont l objet du présent mémoire et sont détaillés de façon plus approfondis dans les chapitres suivants. Dans le Chapitre 2 de ce mémoire, on s intéresse dans un premier temps à l effet d amplification de l ellipse et son action sur le comportement vibratoire d une poutre. Ensuite, on présente les dispositifs d essais mis au point, dans le cadre de ce travail de recherche, puis on s oriente sur la caractérisation des matériaux utilisés et sur les performances du concept ASDC. Pour cela, un plan d expérience est réalisé afin de voir la dépendance entre les paramètres géométriques et les réponses de la structure sous sollicitation sinusoïdale. Enfin, une étude numérique est utilisée et recalée sur les expériences afin d orienter les recherches du chapitre suivant. Enfin, le Chapitre 3 se focalise sur le comportement d une structure de type plaque, structure type en aéronautique. Dans le but d optimiser notre traitement, la méthode des réseaux de neurones est employée pour déterminer la réponse de la structure. Deux types de traitement ASDC sont étudiés : le premier est de type FLD et le second de type CLD. Sur ces deux traitements, les réseaux de neurones sont employés et une optimisation est réalisée. On développe également une étude vibro-acoustique afin de mettre en évidence le gain de pression acoustique pour les traitements ASDC ainsi déterminés. Enfin, une homogénéisation pour ce "stratifié" est mise au point afin d utiliser de façon plus pratique le concept ASDC notamment dans les phases de conception (préventif) ou de correction (curatif) sur des modèles numériques complexes.

15 Table des notations TERMINOLOGIE DE BASE f Fréquence (Hz) ω Pulsation (rad/s) E Module d YOUNG (Pa) G Module de cisaillement (Pa) ν Coefficient de POISSON (SU) η Facteur de perte (SU) ζ Amortissement (SU) E Module de stockage (Pa) I(E ) Partie imaginaire de E R(E ) Partie réelle de E N Effort normal T y Effort tranchant en y T z Effort tranchant en z M t Moment de torsion M y Moment de flexion en y Moment de flexion en z M z PARAMÈTRES ELLIPTIQUES E xy Épaisseur des branches elliptiques dans le plan (xy) (mm) E z Hauteur des ellipses en z (mm) GD Grand axe des ellipses (mm) PT Petit axe des ellipses (mm) HP Hauteur des plots (mm) D plot Diamètre des plots (mm) Ez visco Hauteur de la couche viscoélastique en z (mm) E ellipse Module d YOUNG du réseau elliptique (Mpa) E visco Module d YOUNG du viscoélastique (Mpa) η ellipse Facteur de perte du réseau elliptique (SU) η visco Facteur de perte du viscoélastique (SU) ρ ellipse Masse volumique du réseau elliptique (kg/m 3 ) ρ visco Masse volumique du viscoélastique (kg/m 3 )

16 6 TABLE DES NOTATIONS VECTEUR, MATRICE x Axe x x y Axe y y z Axe z Oz ω Vecteur des rotations Λ Vecteur des translations diag(1) Matrice diagonale remplie de 1 [M] Matrice de masse [K] Matrice de raideur φ k Vecteur propre du mode k v Valeur absolue de v {v} Vecteur v {v} T Transposée du vecteur v {v} H Vecteur v en ligne ABRÉVIATIONS NVM Average Vibration Level Niveau Vibratoire Moyen FRF Frequency Response Function Fonction de réponse en fréquence EF Finite elements Éléments finis FFT Fast Fourier Transform Transformée de Fourier Rapide FLD Free Layer Damping Couche amortissante CLD Constrained Layer Damping Couche amortissante avec contre plaque TVD Tuned Viscoelastic Damping Amortissement viscoélastique accordé VEM Viscoelastic Material Matériau viscoélastique ASDC Advanced Skin Damping Concept Concept de revêtement innovant amortissant PZT Piezoelectric Transducer Matériau piézoélectrique LHS Latin Hypercube Sampling Échantillonnage par Hypercube Latin PMC Multi Layer Perceptron Perceptron Multi-Couches ddl Degree of freedom Degré de liberté PEI Polyetherimide Polyetherimide MAC Modal Assurance Criterion Critère de corrélation modale NFD Natural Frequency Difference Différence de fréquence propre LFD Loss Factor Difference Différence de facteur de perte SAC Signature Assurance Criterion Critère de corrélation de la signature du signal FDAC Frequency Domain Assurance Criterion Critère de corrélation du domaine fréquentiel FRAC Frequency Response Assurance Criterion Critère de corrélation de la réponse fréquentielle SERVICE OU DÉPARTEMENT DGM DAS DMI LMS Département de Génie Mécanique Département Avionique et Système Département Mathématique et Informatique Laboratoire Matériaux et Structures

17 CHAPITRE 1 Méthode de contrôle vibratoire : étude bibliographique et solution proposée INTRODUCTION DU CHAPITRE S il est un fait bien établi dans nos sociétés industrialisées, c est que le bruit est considéré comme un polluant environnemental. Un changement des attitudes se perçoit aussi bien au niveau de la population tolérant de moins en moins le bruit émis par la circulation automobile, les trains et les avions, qu au niveau du législateur évoluant vers le contrôle et la réglementation des émissions sonores. Dans de nombreuses applications industrielles, le bruit rayonné par les machines est également un problème persistant. Le contrôle du bruit est donc devenu une exigence importante à prendre en compte dès la conception des structures. L étude présentée s inscrit dans le cadre d une amélioration du confort acoustique au sein d un hélicoptère. La voie d étude est le contrôle acoustique provenant du chemin solidien par l utilisation de matériau absorbant. Dans ce chapitre nous passerons en revue les méthodes de contrôle vibratoire qui permettent de diminuer les gênes acoustiques. Nous décrirons dans la Section 1.1 les méthodes de contrôle des vibrations mises en oeuvre actuellement. Puis un développement des modèles et des recherches en cours sur la méthode de contrôle choisie - la méthode passive - sera réalisé. Le contrôle vibratoire par voie passive consiste à réaliser des modifications structurales par l ajout de matériaux spécifiques, et l avantage de ce type de contrôle est sa robustesse. En effet, il est efficace dans une plage de fréquence relativement large, et n est pas limité à certains modes structuraux. Ce type de contrôle est réalisé avec des matériaux viscoélastiques. Dans la Section 1.2, le comportement viscoélastique sera étudié afin de comprendre les effets de l amortissement vibratoire pour le contrôle passif. En effet, le pouvoir dissipatif de ces matériaux est utilisé. L énergie vibratoire (mécanique) est dissipée sous forme d énergie non récupérable (chaleur, rayonnement). Finalement, la Section 1.3 présentera une description du concept ASDC, développé avec le Service Vibration / Bruit interne d EUROCOPTER. Ce concept est un traitement de type passif, il est fondé sur l effet de non-linéarité matériau et géométrique pour augmenter les dissipations intrinsèques au traitement.

18 8 CHAPITRE Méthodologies de contrôle Actuellement, les sujets d étude concernant le contrôle des vibrations et du bruit dans les véhicules et en particulier les avions ont augmenté, montrant ainsi la nécessité d être compétitif sur le marché et de prendre en compte les attentes des clients pour le confort environnemental [36]. La réduction du bruit interne et des niveaux vibratoires ont dans un premier temps concerné l automobile, les véhicules militaires puis l industrie aéronautique à cause d un accroissement des réglementations pour la réduction de l émission de nuisance sonore. Une cavité close à paroi mince est une structure couramment utilisée, comme par exemple les compartiments de passagers dans l automobile, l aviation et le naval. Ainsi, comprendre les caractéristiques vibro-acoustiques de ce type de structure est un impératif pour une conception optimale. Dans un effort de diminuer les niveaux vibratoires et les bruits internes des structures closes, plusieurs techniques ont été développées lesquelles peuvent être classées en deux groupes : méthode de contrôle actif ; méthode de contrôle passif. FIG. 1.1 Méthodes de contrôle Le contrôle du bruit vibratoire actif consiste à ajouter des sources acoustiques secondaires, plus généralement sous la forme de haut-parleur incorporé sur les parois de la structure. Cette seconde source est utilisée pour minimiser le niveau de pression acoustique. Pour cela des actuateurs (PZT par exemple) sont placés sur les surfaces de la structure ou les murs. Ainsi une boucle de contrôle est réalisée avec les haut-parleurs afin de contrôler l ensemble en temps réel. Cette méthode de contrôle présente l intérêt de neutraliser totalement le bruit au niveau des oreilles des passagers, mais n est pas qu un élément correctif de bruit. En effet, les vibrations ne sont pas contrôlées et donc la tenue en fatigue des organes mécaniques n est pas améliorée. Le contrôle du bruit vibratoire passif est une approche plus simple, laquelle inclue l utilisation d absorbeurs, de barrières, d amortisseurs, ou autres ; pour réduire le bruit interne dans la structure fermée, par exemple l isolation acoustique ou le traitement amortissant. Pour les structures closes sous contrôle passif du bruit, les vibrations et le bruit peuvent être réduits en ajoutant des éléments passifs appropriés

19 1.1. MÉTHODOLOGIES DE CONTRÔLE 9 (comme des matériaux viscoélastiques) ou en modifiant la structure de façon à ne plus se placer sur une fréquence pénalisante. RAO [98] a récemment décrit les applications sur les technologies passives d amortissement utilisant les matériaux viscoélastiques pour contrôler le bruit et les vibrations dans les véhicules et les avions commerciaux. Dans notre étude, seul le contrôle passif des vibrations est étudié. L objectif est de limiter l impact du bruit d origine solidien pour améliorer le confort acoustique au sein de l hélicoptère. En effet, les vibrations des organes mécaniques (BTP par exemple) influent sur le spectre sonore de l appareil. Le traitement des problèmes vibratoires par la méthode de contrôle passif de diminution du bruit est divisible en trois catégories, comme on peut le voir sur la FIG. 1.1 : méthode passive ; méthode active ; méthode hybride (ou semi-active). Nous noterons ici, que la méthode active est une technologie de contrôle utilisant des éléments PZT, mais contrôlant la diminution du bruit par la méthode de contrôle passif Méthode active et semi-active Les techniques actives [117, 99] permettent de contrôler les vibrations à chaque instant par un système d actionneurs qui agit sur la structure selon une loi de commande conçue pour minimiser l intensité des vibrations indésirables. Les mesures du système sont, soit basées sur une référence, soit fournies par des capteurs plus ou moins intégrés dans la structure. Dans le premier cas, le système est dit feedforward et, dans l autre feedback, ce dernier étant dû à la rétroaction des mesures effectuées sous forme d action de contrôle des vibrations. Une structure contenant des actionneurs et capteurs collés ou intégrés et couplés par un système de contrôle (FIG. 1.2) est dite intelligente ou adaptative. En effet, les mesures fournies par le capteur sont traitées par un système de contrôle approprié, qui envoie ensuite à l actionneur un signal capable de modifier le comportement de la structure, l adaptant à un comportement requis. FIG. 1.2 Définition de la méthode active La conception d un tel système consiste à définir les actionneurs, capteurs et systèmes de contrôle. Les actionneurs et capteurs sont, généralement, fabriqués à partir de matériaux, dits intelligents, capables de fournir une action distribuée, générée par le couplage naturel de leurs déformations ou contraintes avec différents facteurs externes comme des champs électrique, magnétique ou de température. Parmi les matériaux intelligents les plus utilisés, on peut citer les céramiques et les polymères piézo-électriques, les

20 1 CHAPITRE 1 matériaux à mémoire de forme, les matériaux électrostrictifs ou magnétostrictifs et les fluides électrorhéologiques. Une des applications, PLUMP et HUBBARD ont introduit un concept de "couche active" pour augmenter l efficacité des traitements CLD. Ils ont identifié leur efficacité sur les vibrations à faible amplitudes : "[... ] Avec un traitement passif CLD, le cisaillement, et par conséquent l énergie dissipée par la structure tend vers zéro quand les vibrations tendent vers zéro. Avec une couche active il est possible d avoir une dissipation donnée à faible amplitude. [... ]" La nécessité de systèmes de contrôle à la fois, fiables et robustes, comme le contrôle passif, et efficaces et commandables, comme le contrôle actif, a motivé le développement de systèmes de contrôle semi-actif, utilisant dans le même traitement les matériaux viscoélastique (passif) et piézo-électrique (actif). Le premier assure la fiabilité et la robustesse du système puisqu en cas de mauvais fonctionnement du contrôle actif, le système reste amorti. Le second améliore les performances du système pour les très basses fréquences. Les deux contrôles passif et actif agissent donc en complémentarité. Ce type de méthode a pour avantage de nécessité peu d énergie par rapport à la méthode purement active. Ces deux méthodes (actives et semi-active) permettent d obtenir une grande efficacité dans la partie basse de la gamme fréquentielle audible. En contre partie, elles nécessitent des algorithmes sophistiqués basés sur les fondements scientifiques de la vibration et de l automatique, et un apport d énergie pour son fonctionnement Méthode passive Introduction Les techniques passives d amortissement de vibrations utilisent l intégration ou l ajout de matériaux ou systèmes, possédant des propriétés amortissantes, couplées à la structure de telle façon que les vibrations de la structure soient passivement amorties. L amortissement peut être réalisé de différentes manières : amortissement interne (viscosité, hysteresis) ou structural (frottement de COULOMB). La plus grande partie des techniques passives utilisent des revêtements composés de matériaux polymères viscoélastiques. Ils constituent des traitements très efficaces pour réduire les amplitudes de résonance de structures vibrantes. Les propriétés de tels matériaux sont détaillées dans la Section 1.2. Ces matériaux sont capables de transformer l énergie de déformation en énergie thermique, dissipant ainsi sous forme de chaleur l énergie vibratoire de la structure sur laquelle ils sont collés. La méthode passive est donc une méthode fiable et robuste car elle fonctionne sans la nécessité de source d énergie externe. Elle dépend seulement des propriétés de la couche viscoélastique. L amortissement introduit par cette méthode a pour but de contrôler les réponses de résonance et d atténuer les ondes se propageant dans la structure. Cette méthode de contrôle se différencie selon l utilisation qui est faite des matériaux viscoélastiques. En effet, ceux-ci peuvent être utilisés dans deux configurations : une masse amortie, notée TVD (tuned viscoelastic damping) ; une couche de viscoélastique amortissant - la couche rajoutée peut être de deux types : FLD (free layer damping) ou CLD (constrained layer damping).

21 1.1. MÉTHODOLOGIES DE CONTRÔLE 11 La FIG. 1.3 représente le système TVD. Ce système est généralement applicable pour réduire vibrations et bruits associés à une fréquence seule ou dans une bande étroite de fréquence. Elle est constituée d une couche viscoélastique en série avec une masse. La couche viscoélastique introduit la raideur et l amortissement au système. On peut ainsi éliminer une résonance indésirable en dédoublant la crête originale. Une méthode de point fixe peut être également utilisée pour minimiser les nouveaux pics vibratoires. FIG. 1.3 Méthode passive : TVD Les traitements amortissants créés à l aide de couches viscoélastiques permettent d avoir un bon niveau d amortissement vibratoire avec un coût, une masse et une épaisseur relativements faibles. Ces traitements sont : de type unconstrained (FLD - free layer damping) : la couche amortissante viscoélastique est placée sur la structure élastique, ainsi l énergie de dissipation s effectue en traction compression, la FIG. 1.4(a) schématise le phénomène. Le degré d amortissement est limité par les utilisations industrielles avec des exigences de restrictions en masse et en épaisseur. de type constrained (CLD - constrained layer damping) : une couche élastique, possédant un module élastique plus élevé que la couche amortissante, est ajoutée et elle est placée sur la couche viscoélastique pour que l énergie se dissipe par cisaillement, voir la FIG. 1.4(b). (a) (b) FIG. 1.4 Méthode passive : (a) FLD (b) CLD [65] Le FLD et le CLD sont peu épais, légers, simples dans leur utilisation, peu coûteux et efficaces dans différents environnements. Ils peuvent être incorporés d une part dans la phase de conception ou d autre part dans une phase de correction. Pour ces raisons, ils sont couramment utilisés dans le contrôle vibratoire [98, 87, 88]. Avant de présenter un état de l art de la méthode passive de contrôle des vibrations, l influence des propriétés des éléments de contrôle sur la réponse est exposée à l aide d un système simple à 1ddl [89]. L approche usuelle dans l application de matériaux amortissants sur structure consiste à optimiser le système

22 12 CHAPITRE 1 pour avoir seulement un amortissement maximal. Une telle approche, bien que correcte d un point de vue optimisation de l amortissement, néglige les effets que d autres paramètres modaux peuvent avoir sur la réponse dynamique de la structure. C est pour cela qu il faut prendre en compte les trois paramètres : amortissement, masse et raideur. L optimisation pourra être faite de façon efficace en jouant simultanément sur ces trois paramètres. Prenons un système à 1ddl (cf FIG. 1.5) avec un amortissement hystérésis de façon à expliquer ce phénomène, avec M la masse de la structure, K la raideur de l absorbeur, η le facteur de perte, et z o le déplacement imposé. FIG. 1.5 Condition de l excitation Considérons donc une structure excitée et vibrante autour de son mode fondamental. L équation du mouvement est donnée par : M z + K(1 + iη)(z z o ) = (1.1) Le rapport de la réponse de la masse sur la réponse d entrée, z/z o, est illustrée sur les FIG. 1.6 (a) et (b), pour deux valeurs de fréquence propre (ω o = k/m) : ω o 1 = 1 rad/s et ω o 2 = 2 rad/s. Ces deux cas illustrent les effets de deux possibilités de modification de la raideur ou/et de la masse, sans changer l amortissement de la structure. Considérons le premier cas pour lequel f o =.3 Hz, en supposant qu il s agisse de la structure de base et que la réduction de l amplitude est recherchée au dessus de cette fréquence. En agissant sur le couple raideur/masse, il est possible de diminuer la valeur de f o (à f o 1 =.15 Hz sur l exemple). Pour cela on peut augmenter la masse (a) ou diminuer la raideur (b), ainsi l amplitude vibratoire observée au dessus de f o =.3 Hz est réduite. Les effets d une modification du niveau d amortissement sont repris sur la FIG. 1.6 (c), avec η =.1 et η =.4. L amplitude de la réponse est d autant plus faible que l amortissement est important sans pour autant modifier la fréquence propre du système. On remarque également que la réponse est inchangée en dehors du pic de résonance. On constate donc à l aide de cet exemple que le contrôle des vibrations doit prendre en compte trois paramètres : raideur, amortissement et masse. Néanmoins sur les structures aéronautiques, la masse est un élément prépondérant et donc doit être diminuée au maximum. Ainsi nous agirons sur les deux paramètres restants : raideur, amortissement (principe du concept ASDC).

23 1.1. MÉTHODOLOGIES DE CONTRÔLE η=.1 et k=1 1 1 η=.1 et m=1 1 1 FRF m=1 m=.25 FRF k=1 k= (a) Frequence en Hz (b) Frequence en Hz 1 1 m=1 et k=1 1 FRF η=.1 η= (c) Frequence en Hz FIG. 1.6 Réponses de la structure sous : (a) effets de la masse, (b) effets de la raideur, et (c) effets de l amortissement Méthode passive : modèles analytiques et expérimentaux Le traitement amortissant dans les structures (CLD ou FLD) est une technologie courante pour maîtriser les amplitudes de résonance des vibrations. Les travaux initiaux sur les traitements amortissants passifs datent des années 5 et ont pour précurseurs OBERST et FRANKENFELD [91]. LIÉNARD en 1951 [66] a mis en avant une méthode permettant d obtenir une perte d énergie par cycle pour des revêtements travaillant en flexion. Il a fait apparaître pour la première fois le phénomène d amortissement interne des matériaux. Ils ont ainsi posé les premiers jalons de la méthode passive du contrôle vibratoire. Par la suite, PLASS en 1957 a analysé une structure avec une couche de CLD, les deux faces élastiques étant minces. L amortissement introduit par cette technologie dépend de l épaisseur, de la raideur et de l amortissement du matériau viscoélastique. Par la suite, ROSS, UNGAR et KERWIN en 1959 [11, 61] ont développé les modèles analytiques couramment utilisés pour l analyse des traitements CLD et FLD. En 1959, LAZAN [65] présente des techniques de contrôle vibratoire. Il les classe en 2 types : l amortissement de type hystérétique dans le matériau structural ; l amortissement structural lié au mouvement de glissement de l interface ou au frottement de COULOMB et des déformations de cisaillement dans la couche viscoélastique. Chacun de ces mécanismes est analysé pour mettre en avant les paramètres importants dans l utilisation de l amortissement. L intérêt du viscoélastique est présenté comme une solution efficace contre les

24 14 CHAPITRE 1 problèmes de fatigue de la structure. Dans les modèles CLD et FLD sont pris en compte : les effets du cisaillement et de l extension, l influence de la géométrie et des paramètres matériaux sur la réponse vibratoire. Une attention particulière est donnée aux concepts analytiques pour maximiser l amortissement de cisaillement dans une interface adhésive par une procédure d optimisation. Il montre qu un amortissement optimal pour un paramètre de cisaillement donné est dépendant du mode vibratoire et du facteur de perte du VEM (matériau viscoélastique). En 196, UNGAR [122] présente les méthodes FLD et CLD, et montre leurs intérêts avec des exemples d applications structurales, comme par exemple sur un hélicoptère YHC-1A. Ces premières études ont montré l action des traitements amortissants pour diminuer les vibrations et la fatigue des structures. Par la suite, les progrès sur les VEM ont permis d améliorer les performances de contrôle vibratoire [123]. Des études ont été réalisées pour améliorer les capacités amortissantes du produit. Elles consistaient en un décalage de la fibre moyenne par l ajout d une entretoise entre la couche viscoélastique et la structure, afin d engendrer de grandes déformations au sein de la couche viscoélastique produisant ainsi un fort amortissement, comme le montre la FIG FIG. 1.7 Méthode passive avec entretoise [65] D autres études étaient basées sur les VEM. Dans cette optique, UNGAR et HATCH en 1961 [124] présentent une solution pour dissiper de l énergie par l utilisation de matériaux à haut pouvoir amortissant. Les matériaux viscoélastiques peuvent être ajoutés sous plusieurs formes : complète ou partielle, insérés avec des pièces structurales, lamifiés. Le comportement de ces matériaux est complexe et est dépendant de la température et de la fréquence d excitation. Cette étude montre une première voie à l étude des placements du viscoélastique sur la structure. En 1964, UNGAR et KERWIN [125] ont analysé la dissipation d énergie due à la variation de l épaisseur des couches viscoélastiques, afin de compléter leurs analyses précédentes sur l atténuation due aux mouvements de cisaillement et de flexion des plaques. Ils ont étudié le comportement général de la réduction de l épaisseur des couches amortissantes sur la base d une analyse relativement simple. Ils ont trouvé qu aux fréquences inférieures au premier mode, l amortissement augmente avec la fréquence et prend sa valeur maximale pour la fréquence propre de la structure. Ils ont également trouvé que l atténuation maximale augmente avec le rapport de la masse du matériau amortissant sur celle de la plaque. En 1968,

25 1.1. MÉTHODOLOGIES DE CONTRÔLE 15 PUJARA et NAKRA [96] ont repris les travaux de UNGAR et al. Ils ont déterminé les équations du mouvement d une poutre avec FLD soumise à une vibration forcée transverse de type harmonique. Les études précédentes ont montré que l amortissement peut être amélioré en jouant sur l épaisseur ou en se basant par rapport à la base modale de la structure. Ainsi par la suite, des études ont été réalisées pour rendre le paramètre amortissant optimal. GROOTHENHUIS [49] en 197 est le premier à étudier la réponse d une poutre ou d une plaque excitée par des modes de flexion vibratoire. Pour cela, il a comparé les techniques FLD et CLD à 4 couches. Il a ainsi montré qu un traitement FLD peut être aussi performant qu une structure avec une couche CLD pour une épaisseur de viscoélastique identique, en modifiant les propriétés du viscoélastique. Ensuite, BAUMGARTEN et PEARCE en 1971 [1, 11] ont développé un modèle poutre et un modèle plaque. Ces modèles sont amortis et composés d une structure élastique (structure de base) et d une couche FLD. Une méthode énergétique similaire à la méthode de RAYLEIGH est employée. L étude est limitée à une structure libre-libre. Des modèles avec deux couches de FLD en symétrie par rapport à la fibre moyenne ont été également développés. Des essais expérimentaux ont été réalisés afin de valider les modèles. Cette théorie analytique a permis de développer une configuration optimale. Dans cette même optique, TORVIK et STRICKLAND [116] en 1972 ont employé des traitements FLD sur une plaque carrée, dont ils ont augmenté significativement la dissipation en vibration libre et forcée, au prix d une légère augmentation de la masse. Dans leurs configurations, les auteurs ont ajouté une couche viscoélastique à la plaque simplement appuyée, entraînant une augmentation de 3% de la masse et de 15% de l épaisseur. La mise en place de cet élément se fait sur une seule face de la structure plaque. Une seconde configuration du même type avec changement d un seul paramètre, pour lequel la valeur optimale est atteinte, a donné un amortissement moins important, justifiant ainsi l optimum atteint. Cette structure a également été évaluée pour un mode différent du premier mode dans lequel l amortissement est naturellement plus significatif compte tenu du caractère visqueux de l amortissement ajouté. Au début des années 8, l étude du contrôle passif reprend un nouvel élan. Ainsi, plusieurs articles ont été réalisés, afin de résumer les approches développées depuis le tout premier modèle d OBERST [97, 85, 86]. Le traitement de type CLD est alors étudié afin d être optimiser en jouant sur le nombre de couches. Ce nombre de couches peut être augmenté, par exemple en 1976 NAKRA [84] a étudié des structures en configuration poutre avec 5 couches (ie 3 couches de viscoélastiques et 2 couches élastiques). Mais aussi en 1984 ALAM et ASNAMI [3] ont déterminé les équations gouvernant le mouvement vibratoire d une plaque avec un nombre arbitraire de couches alternant viscoélastique et contre-plaque. La plaque est simplement supportée sur son pourtour. Le facteur de perte structural est déterminé pour trois, cinq et sept couches. Un amortissement optimal pour les modes de flexion peut être atteint par la selection d un paramètre de cisaillement (G) et d un ratio, qui est le rapport des épaisseurs entre la couche viscoélastique et la contre-plaque convenable. Ils constatent qu une configuration symétrique a un facteur de perte structural très légèrement plus élevé qu une configuration assymétrique. L augmentation du nombre de couches, tout en gardant l épaisseur totale de la plaque constante, a pour conséquence une légère diminution du facteur de perte structural. Plus récemment, en 2 YELLIN et al [129] ont développé un modèle analytique qui prend en compte l effet d une entretoise entre la couche CLD et la structure, ce type de technologie est noté PSOL (Passive Stand-Off Layer). La structure étudiée est une poutre encastrée. Des séries d essais expérimentaux ont

26 16 CHAPITRE 1 été réalisées afin de valider le modèle analytique, et ont montré une bonne adéquation avec les résultats analytiques. Ce qui a permis la validation de leur modèle analytique. Cette étude fait ainsi apparaître l importance de l entretoise sur l amortissement vibratoire. Enfin, HAO et RAO [52] en 25 ont étudié une poutre contenant un matériau viscoélastique contraint. La structure avec les couches viscoélastiques apporte une solution simple pour un panneau en vibration. L article présente une formulation analytique pour prédire la raideur et l amortissement d une poutre avec trois couches dont deux couches viscoélastiques différentes adjacentes. La méthode des modules complexes est employée pour le matériau viscoélastique. Les résultats sont ensuite comparés aux essais réalisés et montrent une adéquation entre eux. Ainsi, une procédure d optimisation est réalisée afin de maximiser l amortissement et de minimiser la masse pour une température donnée Méthode passive : modèles d optimisation La volonté d augmenter les performances des techniques FLD et CLD a conduit à chercher des moyens pour accroître les dissipations d énergie. Pour cela des méthodes d optimisation ont été développées. Elles sont de plusieurs types et agissent sur l emplacement des couches amortissantes, les propriétés et le comportement de la couche viscoélastique. Les premiers à avoir cette idée sont : NOKES et NELSON [9] en Ils ont réalisé des études théoriques et expérimentales sur des poutres partiellement recouvertes de viscoélastique, mais sans étape d optimisation, une amélioration a ainsi été constatée. PLUNKETT et LEE en 197 ont alors optimisé les dimensions d un traitement CLD sur des poutres dans le but de maximiser le facteur de perte structural. LUNDER en 198 a examiné une conception optimale de CLD pour des poutres et des structures complexes. LEKSZYCHI et OLHOFF en 1981 ont optimisé les formes d une couche FLD pour une poutre en utilisant des techniques variationnelles. YILDIZ et STEVENS [132] en 1985 ont étudié une distribution optimale de l épaisseur pour un FLD collé sur une plaque. Le facteur de perte structural est exprimé en considérant les propriétés mécaniques de la plaque, de la couche FLD et du rapport entre l épaisseur de la plaque et de la couche. Les résultats présentés sont basés sur deux modèles : une plaque simplement appuyée sur deux côtés et une plaque ayant ses quatre côtés encastrés, avec un rapport d épaisseur de 1 et 4. Les résultats montrent que le facteur de perte structural peut être augmenté de façon significatif (>1%) pour une distribution optimisée de l épaisseur de la couche viscoélastique. A partir de ce dernier aspect, qui montrent clairement l importance d une étude d optimisation du traitement passif, de nombreuses études d optimisation sont employées. HAJELA et LIN [51] en 1991 ont amélioré les caractéristiques amortissantes d une structure poutre à travers l application d un matériau viscoélastique amortissant. Pour cela une méthode d optimisation multi-critère est appliquée sur le matériau viscoélastique. Également MARCELIN et al [75] en 1992 ont cherché un amortissement optimal pour des structures de type poutre, celles-ci ayant une ou plusieurs portions de leurs surfaces recouvertes de viscoélastique. Les variables d optimisation sont les dimensions et les emplacements imposés des couches viscoélastiques. La fonction objectif est de maximiser le facteur de perte. Leur article traite seulement d une structure poutre encastrée-libre.

27 1.1. MÉTHODOLOGIES DE CONTRÔLE 17 Plus récemment, ROY et GANESAN [15] ont étudié des plaques avec un traitement FLD modélisé par EF, lequel est appliqué partiellement ou sur toute la structure. Plusieurs configurations de la couche amortissante partielle sont étudiées, et dans tous les cas le volume de viscoélastique est gardé constant. Quand une plaque est soumise à une excitation harmonique à une de ses fréquences propres, l amplitude vibratoire et les contraintes dynamiques dans la plaque sont dépendantes de la valeur de l amortissement structural. Trois conditions aux limites sont traitées et la force d excitation est ponctuelle et de type harmonique. Cet article montre que les réponses de la configuration partiellement recouverte adoptée pour contrôler les vibrations et les contraintes dans la plaque dépendent des conditions aux limites et des modes vibratoires à contrôler. Par la suite ROY et GANESAN [16] en 1996 ont étudié par EF des structures poutre et plaque recouvertes partiellement d une couche FLD. La couche amortissante est appliquée de façon uniforme ou de façon distribuée. Les effets d une distribution du traitement amortissant sur les déplacements dynamiques et les contraintes sont étudiés. La poutre est soumise à une excitation ponctuelle sur ces trois premières fréquences propres. Il est montré que la distribution permet d augmenter le facteur de perte. Ils montrent aussi que la réponse dynamique est dépendante des conditions aux limites et des modes à contrôler. YI, AHMED et HILTON [13] en 1996 étudient les réponses dynamiques transitoires des plaques avec des couches amortissantes viscoélastiques afin d évaluer la performance de ce type de traitement. Les effets des fréquences d excitation et des températures sur l amortissement viscoélastique en flexion sont examinés analytiquement. Le rapport des modules d YOUNG de la structure et celui de la couche amortissante est étudié, en tenant compte de l influence des épaisseurs. Les auteurs ont montré que l augmentation de l épaisseur de la couche mince viscoélastique provoque une diminution et un glissement vers les basses fréquences de l amplitude vibratoire. Pour des couches amortissantes plus épaisses, un petit fluage de déformation se produit à cause du volume du matériau qui est relativement grand par rapport à celui de la plaque. Les plus petites amplitudes et les plus grandes fréquences de vibration sont observées entre 18 o C et 4 o C. La capacité d amortissement diminue si le module d YOUNG de la couche viscoélastique est faible. Des études paramétriques montrent que les réponses dynamiques des systèmes amortissants viscoélastiques dépendent du quotient de dégradation des matériaux, de la température, de la fréquence, de l épaisseur et du rapport des modules d YOUNG. La diversité des paramètres influents offre de grandes possibilités pour l utilisation de matériau viscoélastique dans le contrôle vibratoire. LUMSDAINE et SCOTT [72] en 1998 ont optimisé pour la première fois une structure avec une couche FLD à partir d un code EF, comme le montre la FIG Le problème consiste à minimiser le pic de déplacement en optimisant la forme du traitement FLD, tout en supposant un volume de viscoélastique constant. Plusieurs conditions aux limites sont examinées pour une structure de type poutre ou plaque. Les résultats sont ensuite comparés à la structure élastique non traitée. Les pics sont ainsi réduits de 98%. KUNG et SINGH [63] ont développé en 1998 un modèle analytique, pour prédire la réponse vibratoire d une poutre amortie avec un traitement de plusieurs traitements CLD collés à la structure. Le modèle ainsi développé peut être appliqué à des poutres minces partiellement ou complètement recouverte de CLD. Ils ont également identifié les propriétés d un matériau viscoélastique, en recalant les mesures modales entre modèles analytiques et éprouvette test. Des méthodes d optimisation topologique intégrant des méthodes d homogénéisation sont utilisées actuellement afin de maximiser les caractéristiques amortissantes des matériaux viscoélastiques. Ces tra-

28 18 CHAPITRE 1 FIG. 1.8 Exemple de modification topologique d un traitement FLD vaux ont été menés par YI et al en 2, dans le cadre d une structure avec une couche de CLD. LUMSDAINE en 22 [7] a optimisé une couche de CLD, pour cela les épaisseurs de la couche amortissante sont diminuées ou augmentées localement afin de prévenir au mieux les vibrations de la structure poutre. CHEN et HUANG [28] en 22 ont réalisé une étude sur le positionnement optimal d un CLD pour la suppression des vibrations d une plaque. Un modèle mathématique est développé en utilisant une approche énergétique. Ce modèle permet à la fois d avoir une contre plaque et un VEM aussi épais que l on désire. Une méthode topologique utilisant le module complexe est employée pour trouver les paramètres de la fonction de minimisation. Cet article présente le placement optimal d un CLD sur une plaque rectangulaire. On remarque que pour un rapport d épaisseur de.5 entre la contre plaque et le VEM, l amortissement est maximal. Par la suite, LUMSDAINE et PAI [71] ont déterminé une topologie optimale pour un lamifié viscoélastique utilisé pour le contrôle des vibrations. La fonction objectif consiste à maximiser le facteur de perte structural pour la première fréquence propre de la structure de base. Pour optimiser la topologie, le facteur de perte est calculé en utilisant un code EF et la méthode MSE dans une boucle d optimisation. Leurs résultats sont ensuite validés par un essai à force imposée pour mesurer le facteur de perte par la méthode de la demi-puissance. La topologie du CLD a été optimisée et un résultat non-négligeable a été obtenu : >325%, par une redistribution du matériau sur la structure comparé à un CLD standard. En 25, MARKOWICZ et al [77] présente une méthodologie d optimisation en 3D d une couche amortissante sur un panneau en vibration. Le modèle est réalisé par EF. La fonction objectif est basée sur une combinaison des données des vitesses, d accélérations de la structure pénalisée à l aide d un facteur de masse. Pour cette étude, un algorithme génétique est utilisé. 1.2 Caractéristiques des matériaux viscoélastiques Les matériaux viscoélastiques sont couramment utilisés comme absorbeurs de chocs et de vibrations, tirant parti de leur capacité à réduire la fatigue structurale et la génération de bruit. On les retrouve donc fort logiquement dans l industrie automobile, ferroviaire et aéronautique. En effet, les déformations en leur sein lors d une excitation engendrent une dissipation significative d énergie, et ainsi créent de l amortissement. Ces propriétés ont été explorées en 1825, par WEBER lors de son étude sur la sus-

29 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 19 pension des galvanomètres, au cours de laquelle il avait constaté de petits écarts par rapport à la loi élastique. Il nomma ce phénomène "traînage élastique" (elastische Nachwirtung ). Dans les années 8, des modèles de matériaux viscoélastiques capables de représenter la réalité physique ont été développés [3, 134, 18, 33, 53] de façon à comprendre et à mieux utiliser les caractéristiques de ces matériaux. Dans cette partie seront mises en évidence les difficultés de la modélisation d un matériau viscoélastique. Dans un premier temps, nous allons détailler la représentation du comportement viscoélastique par la méthode du module complexe. Par la suite, l influence des facteurs environnementaux sur le comportement du matériau viscoélastique sera étudiée. Quelques modèles viscoélastiques dépendants de la fréquence seront développés, et enfin nous montrerons des méthodes de mesure de l amortissement en temporel et en fréquentiel Définition du module complexe Les relations d élasticité linéaire supposent, en petite déformation, une relation linéaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations [26, 59, 58]. Un matériau sera dit viscoélastique s il présente à la fois les comportements d élasticité et de viscosité. Une loi de comportement s exprime comme une correspondance fonctionnelle existant entre l histoire des contraintes et celles des déformations. La déformation dépend de l histoire de la contrainte, d où la fonctionnelle définie par l EQ. (1.2). ε(t) = F (σ(τ)) (1.2) Avec < τ t. On se place dans l hypothèse de viscosité linéaire ; ainsi la contrainte est une fonction linéaire de l historique de la déformation, EQ. (1.2). Ce paragraphe décrit le principe d équivalence élastique viscoélastique. Par définition, un comportement sera viscoélastique linéaire si, considérant deux histoires de contraintes (σ 1 et σ 2 ) et leurs réponses (ε 1 et ε 2 ), la réponse obtenue par combinaison linéaire (λ 1 σ 1 + λ 2 σ 2 ) est (λ 1 ε 1 + λ 2 ε 2 ). Il s ensuit que les fonctions de retard et de relaxation sont respectivement indépendantes de σ o et de ε o, où σ o et ε o sont respectivement la contrainte et la déformation à l état initial de référence. La linéarité du mouvement se traduit par le principe de superposition de BOLTZMAN. On obtient ainsi la formule de BOLTZMAN exprimée en déformation : ε(t) = σ(t)i (t,t o ) La même formule existe en terme de contraintes : t σ(τ) I (τ,t)dτ (1.3) t o τ σ(t) = ε(t)r (t,t o ) t t o ε(τ) R τ (τ,t)dτ (1.4) Dans les formules de BOLTZMAN, les fonctions de retard et de relaxation ne dépendent plus que du temps écoulé depuis la mise en charge ; c est ainsi que s introduisent le module de relaxation (E(t)) et la compliance (C(t)) : I (t,t o ) = E(t t o ), avec E(τ) = si τ < (1.5) R (t,t o ) = C(t t o ), avec C(τ) = si τ < (1.6) D où : ε(t) = t E(t τ) σ(τ)dτ = E(o)σ(t) t de(t τ) σ(τ)dτ (1.7) dτ

30 2 CHAPITRE 1 σ(t) = t C(t τ) ε(τ)dτ = C(o)ε(t) t dc(t τ) ε(τ)dτ (1.8) dτ L opérateur intégral des formules précédentes introduit un produit de convolution, qui peut être transformé en un produit algébrique ordinaire en modifiant les équations à l aide de la transformée de LAPLACE- CARSON. Par définition, la transformation qui fait correspondre à une fonction f de la variable t une fonction f = L(f) de la variable p est définie par : f = p f (t)e pt dt (1.9) Ainsi en posant ε = L(ε), E = L(E), il vient : ε = p Or ε() =, on réalise ainsi une intégration par partie : Et, E = p D où l expression du produit des déformées : ε = p E(t)e pt dt = p ε(τ)e pτ dτ (1.1) ε(τ) e pτ dτ (1.11) dt τ E(t τ)e p(t τ) dt (1.12) ε E ε(τ) = p dτ E e pτ dτ (1.13) On a ainsi ε E = (εe). Cette propriété permet d établir les relations de LAPLACE-CARSON : σ = E ε ; ε = C σ ; E C = 1 (1.14) Cette approche uniaxiale peut être étendue de façon identique en 3D, selon la loi de HOOKE. On a ainsi : σ = λ (tr ε )1 + 2µ ε (1.15) Pour les matériaux isotropes et homogènes, E est complètement décrit par le module d YOUNG, et un coefficient de POISSON complexes. Dans le domaine fréquentiel, si l on se place dans le cas de tractioncompression, on considère alors le module d YOUNG. L EQ. (1.14) est alors donnée par l EQ. (1.16) σ(t) = E ε(t) avec E = E + ie = E (1 + iη) (1.16) On appelle module de stockage la partie réelle E = R(E ) et facteur de perte le quotient de la partie imaginaire par la partie réelle η = I(E )/R(E ) (ou on peut également noter tan δ = η, ou encore ζ = η 2 ) Facteurs environnementaux Les propriétés élastiques et dissipatives des matériaux viscoélastiques sont dépendantes de différents paramètres [13, 14, 58], comme introduit dans le Tableau 1.1. Les facteurs les plus influants sur le comportement sont généralement : la fréquence, l amplitude d excitation et la température. Nous allons maintenant décrire ces influences sur le comportement du matériau.

31 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 21 Facteur Interne Externe Mouvement Spécifique Paramètre influant Type de matériau, composition chimique, structure cristalline Température, pré-contrainte, déformation initiale Amplitude et fréquence de déformation, état de contrainte Géométrie, état de surface, collage TAB. 1.1 Facteurs influants sur la réponse d un matériau viscoélastique Influence de la température La température est le facteur environnemental ayant le plus d influence sur les caractéristiques des matériaux viscoélastiques. La FIG. 1.9 illustre ce phénomène. Nous voyons un comportement nonlinéaire, dépendant de la température, qui varie d un matériau à l autre (plastique, élastomère). FIG. 1.9 Variation du module de stockage et du facteur de perte en fonction de la température à fréquence donnée [59] On remarque par exemple que pour un plastique, à partir de la température vitreuse (T S ), le module commence à chuter significativement. Et proche de cette température, le module décroît rapidement et le facteur de perte atteint son maximum et ensuite redescend encore, ils passent alors dans la phase de transition. Ce qui traduit clairement cet effet non-linéaire. Pour une température au-dessus de la région de transition, le module est faible et éventuellement le matériau se décompose quand la température continue à augmenter. Chaque polymère dans la plage de température passe par trois zones bien distinctes nommées la région vitreuse, la région de transition, et la région caoutchoutique (haute température). Les valeurs particulières des températures T S et T o, des valeurs maximales de G et de η et des largeurs de zones caractérisent la composition de chaque polymère. Ces paramètres influencent donc leurs applications pour le contrôle des vibrations. Dans l objectif d amortir les vibrations, il est utile de solliciter les matériaux au voisinage de la zone de transition. Ce choix est motivé par le fait que le facteur de perte η atteint son maximum dans cette zone, permettant ainsi une utilisation optimale des propriétés amortissantes du matériau viscoélastique.

32 22 CHAPITRE Influence de la fréquence L effet de la fréquence est très faible sur les solides élastiques, tel que les alliages métalliques, mais influe énormément sur le comportement des polymères, comme on peut le remarquer sur la FIG FIG. 1.1 Variation du module de stockage et du facteur de perte en fonction de la fréquence à température donnée [59] Qualitativement, l effet de la fréquence est l inverse de l effet de la température, augmenter la fréquence revient à diminuer la température, mais à des taux différents. Il est clairement évident que l usage des matériaux viscoélastiques pour des applications d amortissement nécessite une bonne connaissance du comportement du module complexe sur son échelle de fréquence et de température Influence de la déformation Dans tous les modèles analytiques, l introduction du module complexe d un matériau viscoélastique est une fonction linéaire de la déformation ou de la contrainte. Ainsi la compréhension des effets de la déformation est nécessaire pour définir une plage de validité de cette hypothèse dans laquelle la loi de comportement linéaire de chaque matériau est valide. Typiquement le module de cisaillement (ou YOUNG) d un matériau viscoélastique varie comme sur la FIG Pour la plupart des matériaux, dans la région non linéaire, le module décroît et le facteur de perte augmente. Ainsi pour une utilisation de ce type de matériau en contrôle vibratoire, il faut connaître l amplitude maximale définissant la zone linéaire Influence de la fréquence et de la température Si les effets de la fréquence et de la température sur l amortissement du matériau sont pris simultanément en compte, on remarque que si l on décale en fréquence les courbes donnant les propriétés du matériau (E ( f ),η( f )) à différentes températures, elles tendent à se superposer et à décrire une courbe continue. Il s agit de l hypothèse de superposition fréquence/température. La loi s écrit : E (ω,t ) = Ê(α(T )ω) = Ê (α(t )ω)[1 + i ˆη(α(T )ω)] (1.17)

33 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 23 FIG Variation du module de stockage et du facteur de perte en fonction de l amplitude de déformation [58] Où les grandeurs Ê et α T = α(t ) sont respectivement appelées courbe maîtresse et facteur de décalage en température. La représentation par nomogramme simplifie l obtention des données des propriétés du matériau en fonction de la température T (ou de la pré-contrainte ε o ) et de la fréquence ω. Un exemple de nomogramme est donné sur la FIG Pour une fréquence ω j et une température T k quelconques, la lecture de l abaque se fait en trois étapes : (1) repérage du point d intersection P de la droite horizontale ω j et de l isotherme oblique T k ; (2) lecture de l abscisse du point P qui fournit la valeur de ω j α T (T k ) ; (3) lecture des valeurs de E et η sur les courbes maîtresses en fonction de ω j α T (T k ). FIG Nomogramme en fréquence réduite [6]

34 24 CHAPITRE Modèle d amortissement Modèles classiques Dans le passé, plusieurs modèles de comportement simple ont été fondés sur une combinaison d éléments élastiques et visqueux, en allant des systèmes basiques discrets tels que VOIGT et ZENER à des distributions d éléments infinis tels que MAXWELL généralisé et ZENER généralisé. Ces modèles sont bien connus et couramment utilisés. Dans l Annexe A sont illustrés les comportements temporel et fréquentiel de formes quadratiques simples tels que MAXWELL, VOIGT et ZENER. La FIG montre le comportement dynamique de ces modèles simples Constant Maxwell Voigt Zener Module de stockage Constant Maxwell Voigt Zener Facteur de perte (a) Fréquence (b) Fréquence FIG Comportement dynamique des modèles simples : (a) Module de stockage (b) Facteur de perte On peut améliorer la précision de ces modèles en utilisant des formulations plus élaborées : les modèles fractionnaires Modèles dérivatifs fractionnaires Une grande simplification dans la modélisation des matériaux viscoélastiques a débutée dans les années 8 [93], particulièrement avec respect du domaine fréquentiel, par l utilisation de modèles dérivatifs fractionnaires au lieu de l approche dite "classique". Les modèles dérivatifs fractionnaires permettent une meilleure représentation des propriétés du module complexe du matériau avec la fréquence. Ils s écrivent sous la forme : E 1 + α 1 s α nn s n n = E o 1 + β 1 s β nd s n (1.18) d Ces modèles permettent de réaliser une meilleure adéquation avec les résultats expérimentaux, et ils ont aussi l intérêt d être implémentables dans des codes éléments finis. Le comportement viscoélastique d un polymère dans le domaine temporel est bien plus compliqué que dans le domaine fréquentiel. Une approche d analyse dans le domaine temporel consiste à utiliser la transformée de FOURIER pour passer du domaine fréquentiel au domaine temporel. Le premier modèle est celui développé par TORVIK et BAGLEY [6] appelé Fractional Derivatives (FD). Ce modèle a pour but de diminuer le nombre de termes du modèle ZENER généralisé. La représentation du module

35 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 25 complexe du matériau viscoélastique dans le domaine de LAPLACE est donnée par : E = E o + E 1 s α 1 + bs β (1.19) Les cinq paramètres E o, E 1, b, α, et β sont utilisés pour recaler le modèle sur les courbes de données expérimentales. Ce modèle présente l avantage de prolonger l adéquation avec les données expérimentales même dans les fréquences élevées. Ce modèle est efficace dans le domaine fréquentiel. A partir de ce modèle plusieurs études ont été réalisées afin de le simplifier. Par exemple, HUGHES et al [44, 19] ont développé un modèle, dit GOLLA-HUGHES-MCTAVISH (GHM), basé sur l introduction de variables dissipatives [44]. LESIEUTRE a aussi proposé un modèle nommé Augmenting Thermodynamic Fields (ATF), ce modèle est limité au cas 1D, il fut ensuite étendu au modèle 3D grâce à un autre modèle Anelastic Displacement Fields (ADF) [117]. Décrivons la méthode GHM. C est une technique de dérivation adaptée à la modélisation des viscoélastiques par éléments finis. Elle est généralement mise en oeuvre, par analogie à un mini oscillateur, dans le cadre d éléments finis élastiques et principalement lorsque les paramètres du module complexe dépendent de la fréquence. Schématiquement il peut être représenté par addition d un système fictif, ressort-masse-amortisseur, à la structure qui est à modéliser. Ce mini oscillateur est décrit par une fonction du second ordre avec trois paramètres ( ˆα i, ŵ i, ˆζi ). Ils sont utilisés pour recaler les données expérimentales dans le domaine fréquentiel. Une représentation du domaine temporel peut être réalisée avec une transformation de LAPLACE. Ce mini oscillateur est équivalent à un système qui prend en compte les contraintes dynamiques et le comportement de déformation du matériau viscoélastique associé à un déplacement q. Dans la méthode GHM, le module de cisaillement complexe est défini dans le domaine de LAPLACE comme suit : G = G o [ 1 + N k ˆ α k s 2 + 2ζ ˆ k ωˆ k s s 2 + 2ζ ˆ 2 k ωˆ k s + ωˆ ] (1.2) k Où G est le module de cisaillement complexe du matériau viscoélastique et G o le module relaxé ou module basse fréquence, ie la valeur finale de la fonction de relaxation, et s l opérateur du domaine de LAPLACE. Le principal inconvénient des modèles ADF et GHM est que, associés à une discrétisation par éléments finis, ils conduisent à des systèmes de grande taille, puisqu ils ajoutent des degrés de liberté auxiliaires pour tenir compte de la dépendance en fréquence du matériau viscoélastique. Par conséquent, il est généralement nécessaire de réduire la dimension du modèle, par projection dans une base modale réduite appropriée. Afin d éliminer les modes de relaxation, PARK et al. ont utilisé une méthode, dénommée Modified Internal Balancing Method. Cette méthode combine Internal Balancing Method, courante dans le domaine de l automatique, avec la méthode de GUYAN qui consiste à éliminer les modes moins contrôlables et observables, et à réécrire le modèle réduit en terme d un sous-espace de variables nodales provenant du modèle éléments finis Modèles avec amortissement modal L hypothèse d amortissement modal, ou encore nommée hypothèse de BASILE, consiste à approcher la réponse par un modèle d amortissement diagonal en coordonnées principales. Les modes normaux

36 26 CHAPITRE 1 sont solutions de l équation classique de la dynamique : [M]{φ k }ω 2 j + [K]{φ k } = {} (1.21) Les vecteurs propres vérifient deux conditions d orthogonalité en masse et en raideur : {φ k } T [M]{φ m } = µ k δ km {φ k } T [K]{φ m } = µ k ω 2 k δ km (1.22) Avec µ k la masse généralisée, ω k la pulsation et δ km le symbole de KRONECKER. Posons la matrice P la matrice des vecteurs propres : P = [{φ 1 }...{φ N }], pour laquelle on a normé les modes avec µ k = 1. La prise en compte de l hypothèse d amortissement modal conduit alors à modifier l équation générale de la dynamique, sous la forme : [ s 2 diag(1) + s diag(η k ω k ) + diag(ω 2 k )] {p(s)} = {P T F} (1.23) Avec p le vecteur de coordonnés principales, η k le facteur de perte modal associé au mode k, et F la force imposée. Pour un modèle à amortissement visqueux et hystérétique, on obtient : η k = 1 [{φ k } T [C]{φ m } + 1 ] {φ k } T [B]{φ m } (1.24) ω k ω k On utilise en général cette approche avec les coefficients d amortissement modaux déterminés expérimentalement Modèles itératifs En parallèle au développement de modèles comportementaux, JOHNSON et al [57] ont proposé une méthode, dite des énergies modales (Modal Strain Energy, MSE), consistant à estimer les amortissements modaux à travers une relation entre facteurs de perte et énergies de déformation de la structure et du matériau viscoélastique. Néanmoins, il a été considéré que les propriétés du matériau viscoélastique restent constantes pour toutes conditions de chargement, ce qui éloigne cette approche de la réalité. Pour pouvoir tenir compte de la dépendance en fréquence des propriétés des matériaux viscoélastiques, cette méthode doit être considérée dans une version itérative [73, 128, 79]. Cette méthode est basée sur les énergies de déformation de chaque mode. L énergie de déformation (E de f ) est déterminée par une simple analyse dynamique, ce qui permet de limiter l étude au calcul en vibration libre [57]. Elle considère que, pour un mode propre donné, le rapport entre les facteurs de perte de la structure et du matériau viscoélastique est égal au rapport entre les énergies de déformation élastique du matériau viscoélastique et de la structure. Quand on place dans la structure un matériau viscoélastique l équation de la dynamique devient alors : [M]ẍ + [K ]x = (1.25) Avec [M] la matrice de masse et [K ] = [K r ] + i[k i ] la matrice complexe due au matériau viscoélastique présent dans la structure. Cependant, il y a deux problèmes associés à l EQ. (1.25). Le premier provient du fait qu un code éléments finis n a pas de solveur pour des solutions propres complexes pour une structure amortie. Le second tient au fait que le module et le facteur de perte du matériau viscoélastique sont dépendant de la fréquence et de la température, ce qui implique un problème non linéaire.

37 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 27 La méthode MSE est une des approche la moins coûteuse en temps CPU en traitant avec un module complexe le matériau amortissant. On suppose que la structure amortie a les mêmes fréquences propres et les mêmes formes modales que la structure non amortie, ainsi le problème de la structure non amortie est : [M]ẍ + [K r ]x = (1.26) En résolvant l EQ. (1.26), on obtient les valeurs propres ( f r ) et les vecteurs propres ({φ r }). Pour un mode r, l énergie dissipée (E D r )et l énergie de déformation (E S r ) de la structure complète sont données par : E D r = {φ T r }[K i ]{φ r } (1.27) Le facteur de perte pour un mode r (η r ) est donné par : E S r = {φ r } T [K r ]{φ r } (1.28) η r = ED r E S r = {φ r} T [K i ]{φ r } {φ r } T [K r ]{φ r } (1.29) Avec un matériau viscoélastique, le module amortissant peut être exprimé sous la forme (1 + iη)g, où G est le module de cisaillement stocké et η est le facteur de perte. Dans une analyse éléments finis, l énergie de déformation dans le matériau viscoélastique (E V r ) peut être également calculée. Le facteur de perte pour un mode r peut ainsi être écrit : η r = η EV r E S r (1.3) Où Er S est l énergie de déformation de toute la structure au mode r. On peut cependant utiliser la méthode MSE en supposant un module de stockage indépendant de la fréquence. Pour cela le facteur de perte structural est modifié [112]. Plusieurs auteurs ont suggéré d utiliser une solution de la forme : ( ) η r = η EV r Er S f (ω) (1.31) Avec f (ω) une fonction dépendante de la fréquence, elle est établie à partir d essais expérimentaux. SHOKOOH suggère une nouvelle formulation : ( ) η r = η EV r G d (ω r ) Er S (1.32) G d re f Avec G d (ω r ) le module du VEM au mode r et G d re f le module du VEM utilisé pour le calcul. Néanmoins, en raison de la dépendance en fréquence du module et du facteur de perte du matériau viscoélastique, la matrice de raideur structurale dans l EQ. (1.25) n est pas seulement de forme complexe, mais aussi une fonction de la fréquence. Par conséquent, la caractérisation dynamique de la structure amortie n est pas complète par la simple application de la méthode MSE décrite précédemment. Ainsi la matrice [K r ] dans l EQ. (1.26) varie avec la fréquence pour les modes intéressés. L analyse modale des problèmes aux valeurs propres peut être simplifiée par une approche itérative. Pour les paramètres modaux du mode r ( f r,{φ r }, η r ), l algorithme de la méthode est résumé dans le Tableau 1.2. Elle consiste à évaluer, pour une fréquence donnée, les propriétés du matériau viscoélastique qui seront utilisées pour le calcul des fréquences propres et modes propres de la structure. Ce processus est

38 28 CHAPITRE 1 Initialiser f = f o : Trouver le module G = G( f o ) correspondant, et calculer [K r ] = [K r ( f o )] Pour k=1,2,3... Résoudre :[M]ẍ + [K r ]x = On en déduit f r (k), {φ r } (k), η (k) r Si f f r (k) / f r (k) ε alors STOP Actualiser f = f r (k) Trouver le module correspondant G = G( f r (k) ) et calculer [K r ] = [K r ( f r (k) )] TAB. 1.2 Algorithme de résolution pour MSE répété dans un algorithme itératif jusqu à ce que la condition de convergence soit remplie. Une fois la convergence atteinte, le mode propre est utilisé pour évaluer le facteur de perte de la structure à travers l EQ. (1.29). Ainsi les fréquences et modes propres sont approchés en tenant compte de la dépendance en fréquence du module de stockage G du matériau viscoélastique. En général, la convergence est très rapide. Néanmoins, la procédure doit être répétée pour chaque fréquence d intérêt et le schéma itératif conduit aux fréquences propres du système non-amorti. XU [128] a amélioré la méthode MSE "traditionnelle". En effet en plus de tenir compte de la dépendance du module de stockage en fréquence, il prend en compte la dépendance du facteur de perte avec la fréquence. Il utilise pour son étude les vecteurs propres réels obtenus pour chaque mode par une analyse éléments finis correspondant à une structure non amortie. Pour la méthode "traditionelle", l énergie dissipée est calculée proportionnellement à l énergie de déformation dans la couche de matériau viscoélastique et au facteur de perte du matériau. Et le facteur de perte modal est obtenu en calculant le rapport de l énergie dissipée sur l énergie de déformation totale. Le problème associé à cette approche provient des erreurs des fréquences propres et de l estimation du facteur de perte augmentant lorsque le facteur de perte du viscoélastique croit. La raison est que la méthode "traditionnelle" utilise la partie réelle de la raideur du matériau dans l analyse éléments finis, ainsi les fréquences propres ne changent pas avec le facteur de perte du matériau. La méthode de XU tient compte de ces remarques. Afin de considérer les effets du facteur de perte du matériau viscoélastique sur les fréquences propres de la structure, il est suggéré d utiliser le module équivalent (G ), on pose ainsi : G = G 1 + η 2 (1.33) Avec G le module de cisaillement de la couche viscoélastique, et η son facteur de perte. Quand le module équivalent est utilisé les fréquences propres de la structure augmentent avec le facteur de perte même quand le module de stockage du matériau viscoélastique est supposé constant. Pour estimer le facteur de perte modal, on détermine l énergie de déformation (Er V S ) et l énergie dissipée (Er V D ) dans le matériau viscoélastique. Elles peuvent être obtenues par les équations suivantes : Er V S 1 = 1 + η 2 EV r (1.34) Er V D η = 1 + η 2 EV r (1.35)

39 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 29 Où Er V est l énergie de déformation totale au mode r dans le matériau viscoélastique en utilisant le module équivalent. Si on pose Er o l énergie de déformation dans toutes les autres couches de la structure, le facteur de perte modal s écrit alors : η r = E V D r (E o r + E V S r ) (1.36) 1. Pour le matériau viscoélastique utilisé, il faut estimer son G max et G min 2. En commençant avec G min, obtenir les fréquences propres et l énergie de déformation dans toutes les couches pour les différents modules en incrémentant par G jusqu à G max 3. Tracer les courbes du comportement dynamique : (a) Les courbes des fréquences propres pour les modes souhaités en tenant compte du module équivalent ; (b) Les courbes de l énergie de déformation dans les différents matériaux en fonction de la fréquence. 4. Pour tous les matériaux - qui peuvent éventuellement dépendre de la température, il faut répéter : (a) Tracer les courbes de variation du facteur de perte et du module équivalent en fonction de la fréquence ; (b) Trouver les intersections du module du matériau avec la courbe des fréquences propres pour chaque mode ( f r,g r ), déterminer alors la fréquence propre et le facteur de perte correspondant ; (c) Déterminer les énergies de déformation dans les différents matériaux pour chaque fréquence propre ; (d) Calculer le facteur de perte modal à l aide de l EQ. (1.36) que l on peut aussi écrire : η r = η( f r )E V r E o r 1+η 2 ( f r )+E V r TAB. 1.3 Algorithme de résolution pour MSE amélioré par XU Pour tenir compte de la dépendance en fréquence, la caractérisation de la structure amortie nécessite une résolution itérative comme on l a vu précédemment. Pour éviter le coût de calcul prohibitif dans la résolution du problème aux valeurs propres non linéaire, une approche simplifiée est présentée dans l algorithme du Tableau 1.3. Il faut donc à partir d une courbe comportementale (G, η) d un matériau viscoélastique (un exemple de loi (EAR C23) [89] est donné sur la FIG. 1.14(a)) déterminer la courbe G, que l on obtient à partir de l EQ. (1.33). Ensuite, on définit un pas de module pour les itérations à effectuer. Ces calculs numériques sont réalisés par un code EF, dans lequel on recupère les énergies de déformation de la structure et les fréquences propres à chaque itération. On trace les différentes énergies obtenues (cf FIG. 1.14) et pour chaque mode les valeurs propres des itérations réalisées. On récupère ensuite les valeurs qui sont à l intersection entre les courbes de comportement (G ) et la courbe des fréquences propres calculées à chaque itération. On calcule alors le facteur de perte structural modal, cette valeur tenant compte du module G(ω) et du facteur de perte η(ω) du matériau viscoélastique Extension aux matériaux métalliques L approche des matériaux viscoélastiques en comportement dynamique [8] peut être étendue aux matériaux métalliques. Le Tableau 1.4 donne quelques ordres de grandeurs de facteurs de perte. Pour ce

40 3 CHAPITRE 1 (a) Module en psi G G modifié Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode Fréquence en Hz Facteur de perte SU (b) Energie de déformation de la base Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode Fréquence en Hz Energie de déformation du viscoélastique Fréquence en Hz FIG Exemple de résultats pour MSE modifié type de matériau on utilise la représentation par le module complexe constant. La raideur complexe et le facteur de perte sont définis dans le Paragraphe Matériau Facteur de perte (η) Aluminium à Acier à Acier (Ni-Cr) à 2,5.1 3 Magnésium à Fibre de carbone à Fibre de verre à Titane à Caoutchouc.1 à 1 TAB. 1.4 Valeurs de facteurs de perte pour différents matériaux Méthodes de mesure de l amortissement Les mesures d amortissement peuvent être menées selon deux méthodes générales en fonction du type de phénomène à observer unique ou cyclique. Pour ces deux méthodes, il est possible d obtenir la réponse dans le domaine fréquentiel ou temporel. Dans le premier cas, on enregistre la réponse du système dans le temps pour évaluer la dissipation, tandis que dans le second c est la réponse harmonique en fréquence qui permet d accéder à l amortissement. Nous allons décrire ces deux analyses appliquées à un système à un degré de liberté. Ces méthodes peuvent être utilisées sur des systèmes à plusieurs ddl à condition que les fréquences de résonance soient suffisamment éloignées les unes des autres Analyse de la réponse temporelle Si l on soumet la structure à une impulsion ou à une excitation initiale, la réponse de l ensemble est oscillatoire. L enveloppe de la réponse prend la forme d un décrément logarithmique comme le montre

41 1.2. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES 31 la FIG On définit alors le facteur de perte à partir de l amplitude de la réponse temporelle (A i ) par l EQ. (1.37), avec n le nombre de cycle. η = 1 ( ) n ln Ai A i+n (1.37) FIG Mesure de l amortissement pour une réponse temporelle Analyse de la réponse fréquentielle Il existe essentiellement deux méthodes de mesure de l amortissement dans le domaine fréquentiel. La première est fondée sur la représentation de NYQUIST et la seconde sur l acuité du pic de résonance. Nyquist Diagram Imaginary Axis.5 FRF (a) Real Axis (b) Fréquence FIG Mesure de l amortissement pour une réponse fréquentielle : (a) NYQUIST (b) Demipuissance Méthode de NYQUIST Le diagramme de NYQUIST (FIG. 1.16(a)) est une représentation graphique des fonctions de transfert. Pour une bande de fréquence, on représente la partie réelle de la fonction H(ω) sur l axe des abscisses et sa partie imaginaire sur l axe des ordonnées. On note ω 1 la pulsation qui correspond au maximum de la partie réelle et ω 2 la pulsation qui correspond au minimum de la partie réelle. En relevant sur le diagramme de NYQUIST (FIG. 1.16(a)) les pulsations

42 32 CHAPITRE 1 qui fournissent les valeurs extrêmes de la partie réelle, on peut déterminer le facteur de perte. η = ω 2 ω 1 ω o (1.38) Méthode de la demi-puissance Cette méthode utilise les points introduits dans la méthode précédente, mais on les utilise sur un diagramme de BODE (FIG. 1.16(b)) des amplitudes. On relève sur un diagramme de BODE, les deux pulsations ω 1 et ω 2 correspondant à : On obtient le facteur de perte par la relation suivante : 1.3 Concept ASDC H(ω 1 ) = H(ω 2 ) = H(ω o) 2 (1.39) η = ω 2 ω 1 ω o (1.4) La diminution du bruit interne de la cabine est un enjeux capital pour le confort des passagers de l appareil. Pour cela EUROCOPTER dispose de toute une gamme de systèmes anti-vibratoires pour contrôler les vibrations des structures. Cependant lors d excitations larges bandes tels que du bruit ou en cas d excitation sur plusieurs raies, le contrôle des vibrations avec les moyens classiques devient plus délicat. C est le cas par exemple d une plaque soumise à un spectre de bruit large bande qui se met à résonner sur plusieurs modes et qui pourra transmettre le bruit à d autres structures par voie solidienne. L idée de base est donc de rajouter de l amortissement dans cette structure afin de créer une atténuation sur tous ces modes. Le procédé utilisé actuellement consiste à rajouter un matériau de type sandwich - viscoélastique et contre-plaque - collé sur la structure [113, 98, 74]. Cependant l efficacité d un tel système est limitée, car les mouvements d oscillation de la structure induiront de faibles mouvements dans le viscoélastique et par conséquent une faible dissipation d énergie. Des solutions d amélioration du concept de ces traitements existent en plaçant une entretoise entre la couche viscoélastique et la structure (par exemple avec du nid d abeille). FIG Vue éclatée du concept ASDC

43 1.3. CONCEPT ASDC 33 Le principe du concept développé consiste à exploiter la non-linéarité des matériaux viscoélastiques, la non-linéarité géométrique - amplificateur de déformation - introduit par le réseau elliptique et à accroître leur efficacité par excentrage (bras de levier) par rapport au plan de base [76, 5]. Le traitement ainsi créé est nommé ASDC par la suite. La FIG montre une vue éclatée du traitement innovant ASDC. Cette approche, comme nous l avons vu dans l état de l art, est totalement innovante. En effet, ce concept se trouve à l intersection de deux technologies comme le montre la FIG FIG Schéma de principe du concept ASDC FIG Principe d amplification elliptique du concept ASDC Le concept prend donc l avantage de l amortissement - qui permet d atténuer les amplitudes vibratoires - et la raideur - qui permet de décaler les modes propres de la structure. L amortissement est introduit par l utilisation de matériaux viscoélastiques à haut pouvoir amortissant. Cet amortissement apparaît de façon classique soit par extension si le concept fonctionne en FLD, soit en cisaillement dans le cadre du CLD. L approche innovante fait apparaître au sein de cette couche amortissante un amplificateur de déformation - raideur. Cet amplificateur est de forme elliptique. En effet, le principe réside dans le fait que lorsque l ellipse subit une déformation suivant un des axes de l ellipse, un phénomène d amplification se crée de part sa géométrie (comme le montre la FIG Un phénomène de dissipation est ainsi crée par cisaillement de la matière viscoélastique au sein des ellipses. Cet ensemble est ensuite posé sur des plots afin d avoir un effet de bras de levier (entretoise). Cela a pour conséquence d augmenter l effet d extension par un mouvement plus important du réseau elliptique. C est dans ce cadre que s inscrit ce travail de recherche. Il s agira de développer le concept ASDC tout en alliant masse et performance. Pour cela nous étudierons le comportement de l ellipse qui est l amplificateur du système, puis nous appliquerons la méthode des réseaux de neurones afin de pouvoir caractériser la réponse dynamique pour optimiser le traitement ensuite. Une approche d homogénéisation sera menée en parallèle afin de déterminer les paramètres homogènes équivalents de ce même concept, cela nous permettra ainsi d avoir une utilisation plus pratique (industrielle) du concept.

44 34 CHAPITRE Bilan du chapitre Après quelques rappels historiques dont les objectifs de ce chapitre étaient d introduire les principes du contrôle vibratoire en présentant les fondements classiques de ladite théorie, nous avons vu qu il existe deux grandes familles dans la méthode de contrôle passive : le contrôle actif et le contrôle passif. Cette seconde famille, conduisant à notre concept, a été analysée au travers d une analyse des différents concepts existants. Les études réalisées dans ce cadre portent d une part sur la modélisation (modèles analytiques et expérimentaux) et d autre part sur l optimisation des modèles. Ce type de contrôle permet ainsi de diminuer les vibrations des structures, permettant d améliorer le confort acoustique mais aussi d accroître la tenue des structures par diminution de la fatigue. Nous nous sommes ensuite intéressés au comportement du matériau viscoélastique. En effet ce matériau est l élément essentiel qui constitue les traitements amortissants. Nous avons présenté l influence des paramètres environnementaux sur sa réponse, et différents modèles permettant de traduire numériquement ou analytiquement son comportement réel. Enfin, nous avons décrit le concept ASDC de contrôle passif. Ce concept innovant a la particularité d être doublement non-linéaire par le matériau viscoélastique et par la géométrie (réseau d ellipse).

45 CHAPITRE 2 Caractérisation des effets du traitement amortissant sur une structure de type poutre INTRODUCTION DU CHAPITRE L objectif de ce chapitre est de valider le concept ASDC pour une application de type poutre. La poutre permet d une manière simple de comprendre et de mettre en avant les facteurs influants sur le contrôle de la réponse vibratoire. Avant de procéder à une étude numérique et expérimentale de la structure recouverte du traitement ASDC, la première section (Section 2.1) est consacrée à comprendre de façon analytique le comportement mécanique d une ellipse. Dans ce but, deux formulations analytiques sont détaillées : la première sous sollicitation normale [46] et la seconde sous sollicitation transverse. Les résultats de cette étude préliminaire seront récapitulés dans le Paragraphe afin d être utilisé par la suite lors de la superposition des autres éléments constituant le modèle ASDC. Ces modèles sont ensuite implémentés sur un modèle vibratoire poutre, représentant une poutre recouverte d un réseau elliptique. Nous développerons également le modèle analytique d une poutre recouverte d une couche de viscoélastique, avec ces propriétés (G, η) dépendantes de la fréquence. Ce modèle s inspire du principe d homogénéisation de UNGAR. La Section 2.2 présente l élaboration des maquettes d essais et décrit les principes de mesures vibratoires [2]. Le protocole d essais est ensuite appliqué aux structures à caractériser (poutre), et à un plan d expérience afin de mettre en évidence l influence de certains paramètres. Les meilleurs résultats expérimentaux d éprouvettes avec le traitement ASDC sont ensuite comparés à des traitements amortissants déjà utilisés dans des applications industrielles (hélicoptère). Enfin dans la Section 2.3 sont présentés tout d abord les modèles numériques, les méthodes de recalage entre les modèles numériques et expérimentaux et leurs applications pour notre étude. Des calculs numériques sont développés pour expliciter l influence de différents paramètres sur la réponse, tel que la disposition du viscoélastique au sein du réseau elliptique. Ce modèle nous servira également à valider le modèle analytique de la poutre recouverte d un réseau d ellipse. De plus, nous détaillerons une méthode numérique - MSE Révisée - pour prendre en compte la dépendance en fréquence du matériau viscoélastique, ce modèle est validé par comparaison avec le modèle analytique développé précédemment.

46 36 CHAPITRE Formulations analytiques des éléments constitutifs du concept ASDC Cette section se divise en trois parties. La première partie décrit le comportement global de l ellipse, pour cela un modèle statique sous sollicitation normale a été mis au point [46]. L ellipse est soit vide, on la nommera armature elliptique, soit remplie d un matériau élastique. Pour ces deux modèles nous étudierons le phénomène d amplification dans le but d établir les paramètres géométriques influants pour la réalisation des réseaux elliptiques dans la suite de notre travail. Pour les mêmes raisons, un second modèle elliptique statique sous sollicitation transverse sera développé. La seconde partie utilise les résultats des deux modèles elliptiques - en traction et en flexion. Ils sont introduits dans un modèle vibratoire poutre pour examiner l influence des dimensions géométriques et des propriétés matériaux sur la réponse en fréquence. Enfin, le comportement d une poutre recouverte d un matériau viscoélastique est introduit, avec les propriétés du VEM dépendantes de la fréquence Comportement des ellipses Alvéole elliptique en traction-compression L originalité de cette approche consiste à combiner les méthodes classiques de calcul élastique pour chaque cellule, dans le but de définir le comportement global qui pourra être incorporé dans un modèle général composé de ces éléments, comme le montre la FIG Cette approche est inspirée de l étude de structures de type circulaire de [54, 12, 121, 119, 118, 37, 41]. FIG. 2.1 Matériau alvéolaire L anneau elliptique calculé dans cette partie est une ellipse pleine soumise à des chargements radiaux en traction-compression. Dans un premier temps, le comportement de l armature elliptique sous chargement normal est déterminé, il est basé sur une méthode dérivée du calcul d armature circulaire sollicitée. Pour cela l armature est représentée selon la théorie de BRESSE, en utilisant les intégrations classiques de la théorie des poutres minces. Dans un second temps, nous modifions le matériau élastique interne à l aide de l équivalence d ABSI [2] en représentant les rigidités équivalentes sur un maillage. Cette méthode est employée pour déterminer la déformation résultante de la cellule complète, dans le cadre du théorème de MÉNABRÉA. En parallèle, des modélisations par éléments finis sont réalisées sous le code SAMCEF [11]. Elles sont utilisées pour valider chaque étape de ces deux modèles analytiques. Anneau circulaire L armature circulaire (cf FIG. 2.2(a)) est soumise à un chargement unidirectionnel F dans la direction y. Les déformations du cercle sont calculées par les formules de BRESSE :

47 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 37 ω 2 = ω 1 + s 2 s 1 ( My EI y + M z EI z Λ 1 = Λ 2 + ω 1 G 1 G 2 + s 2 + ) M t GJ ds ( N s 1 ES + κ y GS + κ z GS + ([ My ] s 2 s 1 EI y + M z EI z GG 2 + M t GJ CG 2 )ds Ty Tz ) ds (2.1) Où ω i est le vecteur rotation du point i, Λ i est le vecteur translation, et est le produit vectoriel. Le SYST. (2.1) est appliqué pour une poutre courbe dans le cadre des petits déplacements, il permet le calcul de la rotation et du déplacement d un point A quand le déplacement et la rotation du point B (un autre point de la poutre courbe) sont connus [64]. (a) (b) FIG. 2.2 (a) Cercle sous chargement constant. (b) Système de chargement réduit à un demi cercle sujet à un chargement F L armature circulaire est soumise aux deux forces F radiales égales et diamétralement opposées, comme le montre la FIG. 2.2(a). Le rayon du cercle, noté R, a pour centre O. Dans ce problème, trois paramètres sont présents N, T Y et M z, respectivement l effort interne normal, l effort interne tranchant en y, et le moment interne autour de z. Ce problème possède un axe de symétrie (x Ox), ainsi l effort tranchant T est nul aux points A et C. Nous pouvons aussi noter que l axe de symétrie (y Oy) engendre un moment de flexion égal aux points A et C soit Γ ce moment de flexion. Le problème est subdivisible en deux parties comme le montre la FIG. 2.2(b). Première partie [AB] ( < θ < π/2) Seconde partie [BC] (π/2 < θ < π) N = F 2 cos(θ) T = F 2 sin(θ) M = FR 2 (1 cos(θ)) + Γ (2.2) N = F 2 cos(θ) T = F 2 sin(θ) M = FR 2 (1 + cos(θ)) + Γ (2.3) En considérant la symétrie aux points A et C, les sections S A et S B ne tournent pas durant la déformation. La première formule de BRESSE (SYST. (2.1)) devient l EQ. (2.4), l équation ne faisant plus apparaître qu une seule inconnue Γ.

48 38 CHAPITRE 2 ie π/2 Mdθ = [ FR 2 (1 cos(θ)) + Γ] dθ = π/2 Ainsi Γ =.1817FR (2.4) Les déplacements aux points A (u a ) et B (v b ) sont déterminés à partir de la seconde équation de BRESSE (SYST. (2.1)) : u a =.68 R3 F EI +.25 ( 1 E κ G) RF S v b =.74 R3 F EI ( 1 E + κ G) RF S Avec ψ = θ + π/2, x = Rcosθ, y = Rsinθ et κ = 8ν2 +14ν+7 6(1+ν) 2. Anneau elliptique Dans ce paragraphe, le modèle de l armature elliptique est développé en analogie avec le modèle circulaire décrit dans le paragraphe précédent. Un modèle numérique est également conçu pour valider les résultats du modèle analytique elliptique. Modèle analytique Le calcul des déplacements d un point de l ellipse est une adaptation de la méthode de BRESSE du cas cercle. L anneau reste soumis à un chargement F, voir FIG. 2.3(a). (2.5) (a) (b) FIG. 2.3 (a) Ellipse sous chargement constant ; (b) Système de chargement réduit pour une ellipse soumise à un chargement F Posons comme paramètres géométriques PT le petit axe et GD le grand axe de l ellipse. L équation de la courbe elliptique est alors définie par : { x = GD cost (2.6) y = PT sint Avec t [;2π]. Le paramètre curviligne de l ellipse est ds = GD 2 sin 2 t + PT 2 cos 2 t dt. En prenant en compte ces paramètres, et les symétries (cf FIG. 2.3(b)), l étude du modèle peut se limiter au quadrant [AB], avec t [; π/2]. N = F PT cost 2 GD 2 sin 2 t + PT 2 cos 2 t T = F GDsint (2.7) 2 PT 2 sin 2 t + PT 2 cos 2 t M = F GD 2 ( 1 + cost) + Γ

49 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 39 La première équation de BRESSE adaptée à l ellipse (SYST. (2.1)) permet de déterminer Γ. Les déplacements aux points A et B sont alors : u a = s B s A = s B s A = π/2 v b = s B s A = s B s A = π/2 N cosψ ES N cosψ ES [ N sint ES κt sinψ GS κt sinψ GS κt cost + N sinψ ES + N sinψ ES + [ N cost ES κt cosψ GS κt cosψ GS + (y A y) M EI ds + y M EI ds GS + y M EI ] ds + (x A x) M EI ds x M EI ds κt sint GS x M EI ] ds (2.8) Les déplacements aux point A et B sont calculés avec un script MATLAB. Pour cela, le programme calcule dans un premier temps la valeur de Γ, et les valeurs analytiques de N, T, et M à partir de l EQ. (2.7). Ces valeurs sont ensuite introduites dans le SYST. (2.8), et une intégration sur [;π/2] donne les valeurs des déplacements u a et v b. Modèle numérique Pour valider le modèle analytique de l armature elliptique, une comparaison avec un modèle EF - réalisé sous SAMCEF - est présentée pour différentes configurations. Chaque modèle est maillé avec des éléments de type poutre et le chargement est appliqué sur les noeuds diamétralement opposés. Le modèle comprend 2 éléments et 41 noeuds ; les propriétés du matériau sont reprises sur le Tableau 2.1. La FIG. 2.4 montre la définition de la section et les différents paramètres géométriques de l ellipse. La configuration étudiée est une ellipse avec un grand axe GD et un petit axe PT, et avec une section définie par une épaisseur E z et une largeur E xy. Le chargement appliqué aux points B et D est arbitraire (par linéarité du problème), nous l avons fixé à 1N pour toutes les configurations. Polyetherimide (PEI) Module d YOUNG (Mpa) Coefficient de POISSON.36 TAB. 2.1 Propriétés du matériau FIG. 2.4 Géométrie de l ellipse

50 4 CHAPITRE 2 Comparaisons du modèle analytique et du modèle numérique Le but de ces comparaisons est la validation du modèle analytique elliptique. Pour ce faire trois modèles sont mis en oeuvre : modèle numérique ; modèle elliptique analytique ; modèle circulaire analytique. Compte tenu de la généralisation du problème à une ellipse de paramètres GD et PT différents, et afin de permettre une comparaison du modèle elliptique avec le modèle circulaire, nous poserons R = GD+PT 2 pour ce dernier. Le Tableau 2.2 résume les déplacements de ces trois modèles aux points A et B. SAMCEF CERCLE ELLIPSE Cas GD PT E z E xy u a v b v b /u a u a v b v b /u a u a v b v b /u a mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm ,8,5,66,1,12 1,23,8,5, ,22,26 1,16,22,26 1,16,22,26 1, ,4,71 1,76,42,48 1,14,41,7 1, ,1,19 1,83,11,13 1,21,11,19 1, ,15,7,42,22,26 1,16,15,7, ,4,3,75,42,48 1,14,4,3, ,73,82 1,12,72,81 1,12,73,82 1, ,12,92,82 1,14 1,28 1,12 1,11,92, ,28,24,86,29,33 1,15,28,24, ,35,9,25,72,81 1,12,34,9,26 TAB. 2.2 Résultats de l armature elliptique pour les modèles numérique et analytiques Les FIG. 2.5 (a) et (b) présentent respectivement pour chaque cas étudié l erreur relative 1 (en %) entre le modèle numérique et le cas elliptique, et entre le modèle numérique et le cas circulaire. Pour le modèle elliptique, nous pouvons noter sur la FIG. 2.5(a) une erreur relative maximale de 1%. Nous obtenons donc une bonne corrélation entre le modèle analytique elliptique et le modèle éléments finis en ce qui concerne la déformation de l armature de l ellipse. Ce modèle sera donc utilisé dans la suite de l étude. Pour le modèle cercle ( cf FIG. 2.5(b)), il présente de bons résultats pour les configurations de type cercle - cas 2 et 7 - et l erreur maximale est alors inférieure à 1% par rapport au modèle numérique. Le Tableau 2.2 donne également les valeurs d un paramètre d amplification (v b /u a ). Il correspond à la capacité d amortissement de l ellipse sous un chargement uniaxial, ce qui se traduit sur le concept ASDC par un phénomène de cisaillement plus important dans le réseau elliptique et ainsi par une augmentation de la dissipation intrinsèque au réseau. Pour un petit axe fixé, le taux d amplification augmente avec l accroissement du grand axe GD, ce qui implique que plus l ellipse est allongée par rapport à sa largeur plus l amplification est important. Anneau elliptique avec matériau élastique Supposons maintenant que l armature elliptique est remplie d un matériau élastique, comme le montre la FIG Ce nouveau modèle reste toujours soumis à un chargement uniaxial. Pour ce problème une méthode de résolution par modèle discret est adoptée. En effet, le matériau élas- 1 L erreur relative est définie par %erreur = d u d o d o 1, où d o est le déplacement du modèle EF

51 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 41 1 Erreur en u a 9 Erreur en u a 8 Erreur en v b 8 7 Erreur en v b 6 6 Erreur relative en % 4 2 Erreur relative en % (a) Numéro du cas (b) Numéro du cas FIG. 2.5 Erreur relative par rapport au modèle numérique des déplacements pour l armature de type : (a) ellipse (b) cercle FIG. 2.6 Schéma de l ellipse garnie d un matériau élastique tique est modélisé par la théorie d ABSI [2], cette théorie permet de diviser une structure plaque en un treillis de barres. Ce treillis (le matériau élastique) est alors modélisé par des ressorts en série. L armature elliptique est également modélisée par une série de ressorts afin de pouvoir prendre en compte l intéraction des deux structures. Une méthode énergétique [115] est utilisée pour calculer la déformation de l ellipse : théorie de MÉNABRÉA, dans laquelle l énergie de déformation est déterminée et une minimisation est utilisée pour calculer les valeurs des déplacements nodaux. Dans ce paragraphe, la théorie d ABSI est introduite afin de comprendre son principe et les paramètres introduits dans le modèle discret. Le modèle discret de l armature elliptique est ensuite décrit, puis l application de la théorie d ABSI au coeur élastique est développée. Enfin, le modèle discret complet de l ellipse avec le matériau élastique est conçu en utilisant les éléments précédents, et est également comparé à un modèle élastique EF. Introduction de la théorie d ABSI La théorie d ABSI établit une équivalence entre une plaque et un treillis de barres. La condition d équivalence entre le corps réel et le corps fictif (treillis) est l égalité des énergies de déformation.

52 42 CHAPITRE 2 Considérons un corps réel avec un chargement appliqué, où u k est le déplacement sur l axe x k (x 1, x 2, x 3 ). Le tenseur de déformation est défini par : e i j = 1 ( ui + u ) j (2.9) 2 x j x i Le taux de déformation par unité de volume U o est donné par la relation : U o = 1 2 λ(e ii) 2 + µe i j e i j (2.1) Avec λ et µ les coefficients de la loi d HOOKE. Considérons une barre [AB], de longueur l, et soumise à l effort normal N. Ainsi la relation, qui relie la contrainte normale à la déformation, est : N = ES l = ESε (2.11) Où E est le module d YOUNG, est le déplacement, S est l aire de la section de la poutre, et ε est l allongement unitaire. L énergie de déformation W est définie par : W = 1 2 N = 1 2 ESlε2 = 1 2 ρε2 (2.12) FIG. 2.7 Schéma de la barre [AB] La barre est schématisée sur la FIG L allongement unitaire ε de la barre est défini par, avec α i le cosinus directeur de x 1, u 1 = α iu i : ε = u 1 x 1 = α i u i x i u j x j = α i α j u j x j = α i α j e i j (2.13) De même, en désignant par β i le cosinus directeur de x 2, avec u 2 = β iu i, nous avons : u 2 x 1 = β i α j u i x j (2.14) L énergie de déformation correspondante (due à un effort normal) est alors : W = 1 2 Nεl = 1 2 ESlε2 = 1 2 ρε2 = 1 2 ρ(α iα j e i j ) 2 (2.15)

53 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 43 FIG. 2.8 Barre encastrée Supposons que la barre soit encastrée en A, et qu on applique à l extrémité libre B (FIG. 2.8) un chargement transversal constant F. Le déplacement qui en résulte est défini par : F = 3EI l 3 (2.16) L énergie de déformation (due à un effort transverse) correspondante est donc : W = 1 2 F = 3 EI 2 l ( ) 2 = 1 l 2 η ( ) 2 (2.17) l FIG. 2.9 Barre encastrée avec une rotation Si la section en A subit une rotation θ, cf FIG. 2.9, nous avons ainsi le déplacement en B égal à : L énergie de déformation est donnée par l EQ. (2.19). BB = u 2 l = + θl x 2 u = α j β i (2.18) i x j W = 1 ( ) 2 η u 2 i α j β i θ (2.19) x j L énergie totale de déformation de la barre [AB] s obtient à partir des EQ. (2.15) et EQ. (2.19) : W AB = W +W (2.2)

54 44 CHAPITRE 2 FIG. 2.1 Modèle discret de l armature elliptique Armature elliptique L armature elliptique est constituée de quatre ressorts longitudinaux et de quatre ressorts angulaires, cf FIG L ellipse étudiée est soumise à un chargement F appliqué aux points B et D. L énergie potentielle du modèle est alors simplement explicitée par : EPT = C 4 (θa θ A )2 + C 4 (θc θ C )2 + C 4 (θb θ B )2 + C 4 (θd θ D )2 + k 2 (L AB L AB )2 + k 2 (L BC L BC )2 + k 2 (L CD L CD )2 + k 2 (L DA L DA )2 F v D F v B (2.21) Posons la rigidité équivalente de la poutre (k), pour un essai de traction, égale à k = ES l. La longueur initiale d une barre [IJ] est notée LIJ, l angle initial du point I est θi, la longueur à l équilibre d une barre [IJ] est notée L IJ et l angle à l équilibre du point I est θ I. Dans ce modèle la rigidité C du ressort angulaire n est pas définie. Pour lever cette indétermination, nous utilisons les déformations et l énergie potentielle du modèle analytique de l armature elliptique traitée dans le Paragraphe , pour déterminer cette inconnue. L équation de l énergie est : E de f = 1 2 s2 s 1 ( N 2 ES + M2 EI + κt 2 ) ds (2.22) GS Matériau élastique interne Supposons que les déformations soient nulles suivant la direction x 3 (e i3 = ), ainsi la densité de déformation est : U o = 1 2 λ(e 11 + e 22 ) 2 + µ [ (e 11 ) 2 + (e 22 ) 2 + 2(e 12 ) 2] (2.23) Nous nous plaçons dans l hypothèse des déformations planes. Pour inclure le treillis dans le modèle discret, le treillis est pris en forme de losange, voir FIG Ce modèle est constitué de barres et d un noeud rigide (point H). Les éléments situés sur le contour travaillent uniquement sous effort normal. Leurs énergies de déformation sont données par les EQ. (2.24) et EQ. (2.25). Sur les barres [AD] et [BC] les cosinus directeurs sont α 1 = cosα et α 2 = sinα, et les sinus directeurs sont β 1 = sinα et β 2 = cosα. Ainsi : W AD = W BC W AD = 1 2 ρ AD[e 11 cos 2 α + e 22 sin 2 α + 2e 12 sinαcosα] 2 (2.24)

55 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 45 FIG Losange d ABSI Pour les barres [DB] et [AC], les énergies de déformation sont données par : W CA = W BD W CA = 1 2 ρ AC[e 11 cos 2 α + e 22 sin 2 α + 2e 12 sinα cosα] 2 (2.25) Les éléments diagonaux travaillent à la flexion composée. Leurs énergies de compression sont données par l EQ. (2.26). Et l EQ. (2.27) donne leurs énergies de flexion. { W HA = W HB = 1 2 ρ HA(e 11 ) 2 W HC = W HD = 1 2 ρ HC(e 22 ) 2 (2.26) W HA = W HB = 2η HB ( ηhd η HD +η HB ) 2 (e12 ) 2 W HC = W HD = 2η HD ( ηhb η HD +η HB ) 2 (e12 ) 2 (2.27) L équivalence des énergies de déformation W du treillis et du milieu continu donne : W = AU o W = 2W AD + 2W AC + 2W HB + 2W HD + 2W (2.28) HB + 2W HD L énergie U o est définie par l EQ. (2.1), et les autres termes sont définis par les EQ. (2.24), EQ. (2.25), EQ. (2.26) et EQ. (2.27). L identification de ces équations donne des valeurs des paramètres constants ρ i j, avec α = arctan ( ) PT GD. λa ρ AD = 4sin 2 αcos 2 α ρ HA = A ( 2 λ + 2µ λcotan 2 α ) ρ HD = A ( 2 λ + 2µ λtan 2 α ) (2.29) Ainsi, le modèle d ABSI représentant la garniture interne peut être ajouté au modèle discret de l ellipse seule (armature de l ellipse), un nouveau modèle est ainsi créé comme le montre la FIG Les valeurs des ressorts d ABSI sont : k AD = ρ AD ( GD 2 +PT 2 ) 3 k HA = ρ HA GD 3 k HD = ρ HD PT 3 (2.3)

56 46 CHAPITRE 2 FIG Modèle discret de l ellipse avec un matériau élastique Modèle discret de l ellipse avec matériau interne Le calculs des déformations du modèle complet discret sont déterminés par la théorie de MÉNABRÉA. Pour cela l énergie de déformation est donnée par l EQ. (2.31). EPT = C 4 (θa θ A )2 + C 4 (θc θ C )2 + C 4 (θb θ B )2 + C 4 (θd θ D )2 + k+k AD 2 (L AB L AB )2 + k+k AD 2 (L BC L BC )2 + k+k AD 2 (L CD L CD )2 + k+k AD 2 (L DA L DA )2 + k HA 2 u c + k HA 2 u a + k HD 2 v d + k HD 2 v b F v d F v b (2.31) Le paramètre C, un paramètre du comportement de l ellipse vide, est calculé avec l EQ. (2.21) et le modèle analytique de l ellipse. Les déplacements nodaux sont calculés par une minimisation de l énergie potentielle. Le calcul est réalisé à l aide d un script MATLAB. Modèle numérique de l ellipse avec matériau interne Pour valider le modèle discret, des comparaisons avec des modèles éléments finis réalisés sous SAMCEF sont présentées dans différentes configurations (variations des propriétés géométriques et de la section). PEI Matériau élastique Module d YOUNG (Mpa) Coefficient de POISSON TAB. 2.3 Propriétés matériaux Les données matériaux utilisées par les modèles EF sont reprises dans le Tableau 2.3. L ellipse étudiée (de grand axe (GD) et de petit axe (PT )) a une force appliquée de 1N. Tous les modèles donnent lieu à un maillage surfacique, comme le montre la FIG Le modèle comprend 56 éléments et 1921 noeuds. Les éléments sont de type quadrangle (MAI), et ont 8 noeuds dont 4 sur chaque coin et 4 aux centres de chaque côté. Le matériau interne est associé avec l armature elliptique pour tenir compte de l intéraction entre les deux parties. Le chargement est appliqué sur une ligne de noeuds (FIG. 2.14).

57 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 47 FIG Modèle EF de l ellipse avec un matériau élastique FIG Ligne de chargement des efforts sur le modèle EF Comparaisons du modèle EF et du modèle analytique complet Les résultats sur les déplacements sont donnés dans le Tableau 2.4. La FIG montre l évolution de l erreur relative pour les déplacements u a et v b. 35 Erreur en u a 3 Erreur en v b 25 Erreur relative en % Numéro du cas FIG Erreur relative des déplacements entre les modèles analytique et numérique de l ellipse avec matériau élastique Pour u a, nous avons une erreur relative maximale entre les deux modèles de 25% et pour v b de 1%. Le modèle discret est une bonne prédiction pour une ellipse avec un matériau élastique dans son coeur. Le Tableau 2.4 donne également le taux d amortissement, ce taux est important lorsque le grand axe GD est supérieur au petit axe PT.

58 48 CHAPITRE 2 SAMCEF ELLIPSE Cas GD PT E z E xy u a v b v b /u a u a v b v b /u a mm mm mm mm mm mm mm mm ,63E-2 6,56E-2 1,81 4,4E-2 6,92E-2 1, ,42E-2 7,39E-2 1,36 6,14E-2 7,32E-2 1, ,37E-2 8,9E-2 1,9 8,12E-2 7,84E-2, ,72E-1 1,E-1,58 2,1E-1 1,4E-1, ,92E-2 1,5E-1 2,13 6,9E-2 1,14E-1 1, ,4E-2 1,19E-1 1,61 8,52E-2 1,21E-1 1, ,1E-1 1,3E-1 1,28 1,13E-1 1,28E-1 1, ,45E-1 1,59E-1,65 2,82E-1 1,66E-1, ,25E-1 2,38E-1,73 3,72E-1 2,52E-1, ,34E-2 1,58E-1 2,49 7,88E-2 1,73E-1 2,2 TAB. 2.4 Résultats du couplage ellipse matériau élastique pour les modèles analytique et numérique Conclusions sur les modèles analytiques Ce paragraphe a présenté le développement et la validation de deux modèles : le modèle analytique armature ; le modèle analytique armature et matériau élastique. Pour cela ces modèles ont été comparés aux deux modèles EF réalisés sous SAMCEF. On constate que le modèle analytique de l armature elliptique présente moins de 1% d erreur relative sur les déplacements par rapport au modèle numérique. De plus, cette étude a pu mettre en évidence l augmentation du paramètre d amplification (v b /u a ) avec le grand axe de l ellipse, comme le reprend la FIG Ce paramètre correspond à la capacité d amortissement de l ellipse sous un chargement uniaxial, ce qui se traduit sur le concept ASDC par un phénomène de cisaillement plus important dans le réseau elliptique et ainsi augmenter la dissipation intrinsèque au réseau. Pour cette exemple variationel, le module élastique de l armature elliptique est de 31Mpa, et la section est carrée et de dimensions 2 2mm. 2 grand axe en mm petit axe en mm FIG Evolution du facteur d amplification de l armature elliptique en fonction des paramètres elliptiques

59 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 49 De même, dans le second modèle (armature elliptique et matériau élastique), avec les hypothèses de la théorie d ABSI, nous obtenons une bonne corrélation avec le modèle EF (écart relatif maximum 25% sur les déplacements). De plus, comme pour le premier modèle nous observons la même relation de cause à effet entre les paramètres elliptiques et facteur d amplification, cf la FIG Pour cet exemple l armature a les mêmes propriétés que dans l exemple variationel précédent, le module élastique de la couche élastique est de 23Mpa. petit axe en mm grand axe en mm FIG Evolution du facteur d amplification de l armature elliptique avec un matériau élastique en fonction des paramètres elliptiques Armature elliptique en flexion Dans ce paragraphe, l armature est soumise à un chargement de flexion afin de déterminer la matrice de raideur analytique de cette structure. Pour valider les résultats de l approche mathématique, un modèle EF est utilisé. FIG Schéma géométrique de l armature elliptique FIG Vue 3D de l ellipse soumise à un chargement transverse Modèle analytique Dans un premier temps, nous allons définir un repère de FRENET afin de pouvoir calculer l énergie de déformation et ainsi les paramètres de la matrice de raideur. L ellipse est définie par deux points extrêmes A et O. Dans cette configuration, nous pouvons déterminer les coordonnées

60 5 CHAPITRE 2 des points A et G, G étant un point courant de la courbe elliptique, comme le montre les FIG et FIG Posons donc : GDcos(π α o ) GDcos(π α) A G (2.32) PT sin(π α o ) PT sin(π α) Nous avons ainsi : Avec β = π α, et ds = alors le vecteur tangent t = d AG ds. De plus nous avons : AG = GDcosβ GDcos(π α o ) PT sinβ PT sin(π α o ) GD 2 sin 2 α + PT 2 cos 2 αdα = 1 t = GD 2 sin 2 β + PT 2 cos 2 β (2.33) GD 2 sin 2 β + PT 2 cos 2 βdβ. On en déduit GDsinβ PT cosβ n = 1 y t = GD 2 sin 2 β + PT 2 cos 2 β PT cosβ GDsinβ (2.34) (2.35) On peut ainsi déterminer la relation de passage du repère ( n, y, t ) vers le repère ( x, y, z ). [ ] [ x 1 PT cosβ = z GD 2 sin 2 β + PT 2 cos 2 GDsinβ β ][ ] GDsinβ n PT cosβ t (2.36) Pour déterminer la première partie de la matrice de raideur [K], on suppose que la structure est soumise à une force F y et à un moment M z appliqués en O, et on encastre le point A. GDcos(π α i ) O (2.37) PT sin(π α i ) On détermine alors le moment en G, sachant que : Nous avons alors : M G = M n = M G F n = GD +M z GD 2 sin 2 β+pt 2 cos 2 β PT (sinβ i sinβ)f y M z + GD F y (cosβ i cosβ) GD 2 sin 2 β+pt 2 cos 2 β sinβ ( x, y, z ) [ PT 2 (sinβ i sinβ)cosβ + GD 2 (cosβ i cosβ)sinβ ] (2.38) M t = M G t = F GD [GD PT sinβ(sinβ 2 sin 2 β+pt 2 cos 2 i sinβ) + GD PT cosβ(cosβ i cosβ)] β PT +M z GD 2 sin 2 β+pt 2 cos 2 β (2.39)

61 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 51 Nous déterminons ainsi l énergie de déformation définie par : E = 1 so [ ] M 2 n 2 GJ + M2 t ds (2.4) EI s A Cette énergie permet de déterminer par le théorème de CASTIGLIANO la matrice de souplesse de cette configuration car : [ ] [ ] u x F y = [S] (2.41) θ z M z Soit, en posant η = GD 2 sin 2 β + PT 2 cos 2 β : [S] = [ 1 PT 2 GJ η cosβ(sinβ i sinβ) + GD2 + 1 EI 2 η sinβ(cosβ i cosβ)] ds [ GD PT η sinβ(sinβ i sinβ) 2 GD PT + η cosβ(cosβ i cosβ)] ds [ 1 GDsinβ PT 2 GJ η η + 1 [ GDsinβ GD 2 GJ η η + 1 [ PT cosβ GD PT EI η η + 1 [ PT cosβ GD PT EI η η ] cosβ(sinβ i sinβ) ds ] sinβ(cosβ i cosβ) ds ] sinβ(sinβ i sinβ) ds ] cosβ(cosβ i cosβ) ds [ 1 GDsinβ PT 2 GJ η η + 1 [ GDsinβ GD 2 GJ η η + 1 [ PT cosβ GD PT EI η η + 1 [ PT cosβ GD PT EI η η 1 GJ + 1 EI [ ] 2 GDsinβ η ds [ ] 2 PT cosβ η ds ] cosβ(sinβ i sinβ) ds ] sinβ(cosβ i cosβ) ds ] sinβ(sinβ i sinβ) ds ] cosβ(cosβ i cosβ) ds (2.42) Avec ds = ηdβ. Nous déterminons ainsi la matrice de raideur [K ll ] = [S] 1. Le calcul de la matrice globale de raideur [K] [55] est défini par : [ ] Φ T [ ] [K] = lr [K ll ] Φ T lr I (2.43) I [ ] 1 Avec I la matrice identité et Φ lr = GD(cosβ o cosβ i ) 1 Nous pouvons ainsi résoudre le système : F = [K]u (2.44) Modèle numérique Reprenons le modèle numérique utilisé dans l étude précédente pour l armature elliptique seule. Le chargement est maintenant hors plan et sa valeur est choisie de façon arbitraire à 1N. Les propriétés du matériau sont données dans le Tableau 2.5.

62 52 CHAPITRE 2 Polyetherimide (PEI) Module d YOUNG (M pa) 31 Coefficient de POISSON.36 TAB. 2.5 Propriétés du matériau Comparaisons du modèle analytique et du modèle numérique Ce modèle numérique est comparé au modèle analytique pour différentes configurations avec une variation des propriétés géométriques de l ellipse (GD et PT ) et des propriétés de la section (E xy et E z ). Les déplacements pour les deux études sont introduits dans le Tableau 2.6. Cas GD PT E xy E z Force Déplacement du point A (en mm) (en mm) (en mm) (en mm) (en mm) (en N) SAMCEF ANALYT. ERREUR ,6 59,2 1% ,5 189,2 8% , 388,8 18% ,2 152,28 1% ,8 474,2 1% ,2 928,8 3% ,7 26,79 21% ,5 86,2 19% ,3 223,67 7% , 62,16 9% ,6 135,23 23% ,6 29,94 19% TAB. 2.6 Comparaison du modèle EF et du modèle analytiques d une ellipse soumise à de la flexion Comme on peut le voir dans la dernière colonne du tableau, l erreur relative entre les deux modèles est faible. Nous pouvons aussi noter l influence des paramètres géométriques de la section et des dimensions de l ellipse sur le comportement de la structure étudiée pour un chargement en flexion. Les FIG. 2.2 (a), (b), (c) et (d) montrent l évolution de la flèche pour différentes configurations. Si l on regarde l influence des dimensions de la section (E xy, E z ) nous pouvons noter l influence de l inertie. Plus l inertie est faible plus les déplacements générés sont importants (comparaison cas 4 et 7 du Tableau 2.6 ou FIG. 2.2 (b) et (d)). Nous pouvons donc avoir une flèche considérable avec des ellipses de taille (et de masse) raisonnable.

63 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC (a) Grand Axe Petit Axe.25.3 (b) Grand Axe Petit Axe (c) Grand Axe Petit Axe.25.3 (d) Grand Axe Petit Axe.25.3 FIG. 2.2 Influences des paramètres géométriques sur le déplacement : (a) E z =2mm E xy =2mm (b) E z =2mm E xy =4mm (c) E z =4mm E xy =2mm (d) E z =4mm E xy =4mm Bilan des résultats elliptiques préliminaires Pour la formulation analytique sous sollicitation normale, nous avons noté que l armature elliptique a un effet d amplification important lorsque le grand axe de l ellipse est grand devant le petit axe. Or dans le concept ASDC, le réseau elliptique est noyé dans une couche de viscoélastique. Ainsi un second modèle de l armature rempli avec un matériau élastique a été développé et montre que le phénomène d amplification est optimal dans les mêmes conditions que pour l armature elliptique. Pour la formulation analytique sous sollicitation transverse, nous avons constaté que plus la section est faible (inertie diminuée) plus les déplacements transverses sont importants. Toutes ces remarques seront utilisées dans la suite de notre étude pour la réalisation des réseaux d ellipse Comportement vibratoire d une poutre avec une armature elliptique Le modèle développé consiste à assembler un réseau d ellipse au moyen de plots sur la structure de base (poutre) comme le montre la FIG Ce modèle utilise les résultats des Paragraphe et Paragraphe De plus pour la modélisation de la poutre ainsi constituée la méthode analytique par éléments finis est utilisée [55]. Dans un premier temps, la poutre est subdivisée en trois zones, comme le montre la FIG Les deux premières zones (1 et 2) correspondent aux deux parties entre les plots du réseau elliptique. La troisième zone à l extrémité de la poutre libre. Chacune de ces trois zones est ensuite découpée en un nombre n d éléments. Grâce à la méthode des éléments finis, nous définissons sur ces éléments une

64 54 CHAPITRE 2 FIG Schéma du modèle poutre avec réseau d ellipse FIG Découpage de la structure de base (poutre) en trois zones matrice de raideur et une matrice de masse : 1/3 1/6 13/35 11 l/21 9/7 13 l/42 [M e 11 l/21 l l/15 13 l/42 l l/14 poutre] = (ml) 1/6 1/3 9/7 13 l/42 13/35 11 l/21 13 l/42 l l/14 11 l/21 l l/15 [Kpoutre] e = (E A/l) (E A/l) 12 β 6 l β 12 β 6 l β 6 l β 4 l l β 6 l β 2 l l β (E A/l) (E A/l) 12 β 6 l β 12 β 6 l β 6 l β 2 l l β 6 l β 4 l l β (2.45) (2.46) Avec β = EI/l 3, E le module d YOUNG de l élément poutre, A l aire de la section de l élément, l la longueur de l élément, et m la masse linéique de l élément. Pour le réseau elliptique, nous modélisons ensuite les plots, puis le réseau elliptique. Les plots transmettent les amplitudes de la poutre et jouent le rôle de bras de levier sur le réseau d ellipse. Ils sont modélisés par des éléments de type barre ayant pour matrice : [ ] [M e plot ] = (ml) 1/3 1/6 (2.47) 1/6 1/3 [ [Kplot e ] = EA l ] (2.48) Les armatures elliptiques sont également discrétisées en n éléments. Pour cela nous utilisons la matrice de raideur ([Kellipse e ]) résultante de l assemblage des matrices des Paragraphe et Paragraphe , mais en faisant varier l angle par morçeaux. La matrice de masse est : [Mellipse e ] = (ml) 1/3 1/6 13/35 11 l/21 9/7 13 l/42 11 l/21 l l/15 13 l/42 l l/14 1/6 1/3 9/7 13 l/42 13/35 11 l/21 13 l/42 l l/14 11 l/21 l l/15 (2.49)

65 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 55 Nous assemblons ensuite toutes ces matrices de rigidité pour former la matrice de rigidité globale, et nous faisons de même pour la matrice de masse globale. La condition aux limites appliquée à notre modèle est un encastrement (cf FIG. 2.22). Le chargement est une accélération Γ o appliquée sur le bati suivant l axe vertical z. Le problème se ramène dans un repère relatif de la poutre, à une poutre encastrée libre subissant un effort linéique constant f avec f = ρsγ o. Le vecteur F est ainsi conçu. Le système à résoudre est : ( ω 2 e[m] + [K])q = F (2.5) Avec ω e la pulsation d excitation. Le calcul est réalisé sous MATLAB par inversion directe de la matrice Z(ω e ) = ω 2 e[m] + [K] pour chaque fréquence d excitation. Nous pouvons ainsi mesurer l amplitude vibratoire de la structure avec le réseau elliptique en un noeud quelconque de la structure. Ellipse et Plot Poutre Module d YOUNG (Mpa) Masse volumique (kg/m 3 ) Coefficient de POISSON.3.3 Facteur de perte.1.64 TAB. 2.7 Propriétés matériaux Supposons que le modèle possède les propriétés matériaux données par le Tableau 2.7. Ces caractéristiques géométriques sont : GD = 4mm, PT = 2mm, E xy = 2mm, E z = 2mm et HP = 4mm. La poutre a pour dimensions : largeur= 3mm, longueur= 175mm et épaisseur= 2mm. Nous obtenons ainsi la réponse de la FIG FRF en db Fréquence en Hz FIG Exemple de FRF par le modèle poutre avec réseau elliptique Ce modèle analytique permet de façon simple de prédire le comportement de la structure sous sollicitation dynamique. Cela offre la possibilité de vérifier l influence des paramètres sur la réponse. En effet, les modèles développés dans les paragraphes précédents découplent le comportement du réseau d ellipse en traction et en flexion. Une vérification du modèle analytique par rapport à un modèle par éléments finis est réalisée dans le Paragraphe Cette comparaison permet de valider cette approche analytique.

66 56 CHAPITRE 2 Considérons une poutre en aluminium de dimensions mm, sur laquelle est posée un réseau d ellipse ayant un module élastique de 31Mpa et un facteur de perte de.1, et ayant comme géométrie elliptique : PT = 15mm, E xy = 2.5mm, E z = 2mm, et D plot = 6mm. La FIG montre l évolution de la réponse vibratoire en faisant varier les dimensions du grand axe de l ellipse. On constate que les modes propres de la structure sont modifiés par ces variations, voir le Tableau 2.8, et une modification des amplitudes de la réponse aux modes. FRF en db Fréquence en Hz Grand axe en mm Valeur Fréquence propre de GD Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 en mm en Hz en Hz en Hz en Hz FIG Influence du grand axe de l ellipse sur la FRF du modèle poutre avec réseau elliptique TAB. 2.8 Influence du grand axe de l ellipse sur les fréquences propres du modèle poutre avec réseau elliptique A partir de cette même poutre avec GD = 4mm, nous allons vérifier les hypothèses obtenues sur les modèles analytiques elliptiques. Considérons pour cela trois configurations avec des hauteurs d ellipse (E z ) différentes. La FIG représente l évolution de la réponse vibratoire. On constate alors que la première hypothèse de l alvéole en flexion, selon laquelle plus l inertie est faible plus l amortissement est important, est vérifiée. La seconde hypothèse est vérifiée en imposant un petit axe de l ellipse (PT = 1mm) et en faisant varier le grand axe. On constate qu une ellipse allongée amortie plus (FIG. 2.26) E z =4mm E z =3mm E z =2mm 35 3 GD=35mm GD=4mm GD=45mm FRF en db 15 1 FRF en db Fréquence en Hz Fréquence en Hz FIG Evolution de la FRF en fonction de la hauteur d ellipse FIG Evolution de la FRF en fonction de la longueur du grand axe

67 2.1. FORMULATIONS ANALYTIQUES DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DU CONCEPT ASDC 57 Ce modèle a ainsi permis de valider les hypothèses de définition géométrique sur le réseau elliptique. Ces définitions seront utilisées dans la suite Comportement d une poutre avec un revêtement viscoélastique Nous mettons en place dans cette partie une voie pour la prise en compte de la dépendance en fréquence des matériaux viscoélastiques pour le concept ASDC. En effet, dans ce mémoire le comportement du matériau viscoélastique est défini à partir des données industrielles (sauf la caractérisation du silicone NUSIL, Paragraphe ), pour cela ils sont caractérisés par un module dynamique et un facteur de perte constant. Cette approche a été réalisée sur une structure poutre recouverte de viscoélastique. Nous utilisons les modèles homogénéisés développés par UNGAR [12, 114]. Ces modèles prennent en compte la structure initiale et la couche viscoélastique. Ce modèle est facilement implémentable dans l approche théorique vue dans le Paragraphe Nous allons dans un premier temps décrire la méthode d homogénéisation. Puis nous la modifions en tenant compte de la dépendance en fréquence des matériaux viscoélastiques Méthode d homogénéisation d UNGAR FIG Définition des deux structures Supposons donc une poutre (1) recouverte par un matériau viscoélastique (2), comme le montre la FIG Le but est de déterminer un module de raideur en flexion équivalent, et un facteur de perte équivalent. La structure de base est définie par son module d YOUNG E 1, son moment quadratique I 1, et sa hauteur H 1. De même, le VEM est caractérisé par E 2, I 2, H 2 et η 2 son facteur de perte. Dans un premier temps, nous définissons les deux paramètres e 2 et h 2. e 2 = E 2 E 1 (2.51) h 2 = H 2 H 1 (2.52) En négligeant le facteur de perte de la structure de base, le module complexe homogène est défini par : ( ) EI eq (1 + iη eq ) = E 1 I e 2 h 3 2(1 + iη 2 ) + 3(1 + h 2 ) 2 e 2 h 2 (1 + iη 2 ) 1 + e 2 h 2 (1 + iη 2 ) (2.53)

68 58 CHAPITRE 2 Soit en séparant les variables : ( ) EI eq = E 1 I e 2 h (1 + h 2 ) 2 e 2 h e 2 h 2 [ ( e 2 h h2 + 4h 2 2 η eq = η + 2e 2h ) ] e2 2 h4 2 2 (1 + e 2 h 2 ) ( 1 + 4e 2 h 2 + 6e 2 h e 2h ) e2 2 h4 2 (2.54) (2.55) Comme nous l avons détaillé dans le Paragraphe , le rapport (H(x, ω)) du déplacement de sortie (Y (x,ω)) sur le déplacement d entrée (Y o ) est donné par : H(x,ω) = 1 2 cosh(βl/2)+cos(βl/2) 1+cosh(βL/2)cos(βL/2) [cosh(βx) + cos(βx)] (2.56) + 1 sinh(βl/2) sin(βl/2) 2 1+cosh(βL/2)cos(βL/2) [sinh(βx) + sin(βx)] ( ) 1/4 Nous pouvons ainsi utiliser ces deux paramètres homogènes en remplaçant β, en effet β = ρa EI ω 1/2. Nous posons ainsi : ( ) β = β ρ eq A 1/4 eq eq = ω 1/2 (2.57) EI eq (1 + iη eq ) Avec ρ eq la masse volumique équivalente des deux couches et A eq l aire totale de la poutre équivalente (A 1 + A 2 ).Cette nouvelle formule permet ainsi de prendre en compte une couche de viscoélastique sur la poutre dans notre configuration d essai Modification du modèle viscoélastique Nous avons ainsi rajouté sur la structure de base une couche de viscoélastique définie par des paramètres constants (E 2 et η 2 ). Pour cela nous avons pris en compte une loi de type ZENER pour définir le comportement de la couche viscoélastique, cela permettant d avoir E 2 (ω) et η 2 (ω). Nous posons ainsi : Et, H(x,ω) = 1 2 ( ) β(ω) = β ρ eq A 1/4 eq eq(ω) = ω 1/2 (2.58) EI eq (ω)(1 + iη eq (ω)) cosh(β(ω)l/2)+cos(β(ω)l/2) 1+cosh(β(ω)L/2)cos(β(ω)L/2) [cosh(β(ω)x) + cos(β(ω)x)] (2.59) + 1 sinh(β(ω)l/2) sin(β(ω)l/2) 2 1+cosh(β(ω)L/2)cos(β(ω)L/2) [sinh(β(ω)x) + sin(β(ω)x)] Cette nouvelle formule du comportement de la poutre avec un traitement FLD permet de prendre en compte la dépendance en fréquence. Ce modèle a été implémenté sous MATLAB cf Annexe B. Nous allons ainsi pouvoir vérifier nos calculs numériques avec ce modèle analytique (cf Paragraphe 2.3.3). 2.2 Approches expérimentales Cette section est subdivisée en quatre parties : une première partie (Paragraphe 2.2.1) présente la méthode d élaboration des éprouvettes et les matériaux utilisés [12], la seconde partie (Paragraphe 2.2.2)

69 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 59 détaille le principe des mesures expérimentales fondé sur le cas test de la poutre d OBERST. Cette méthode est ensuite employée dans la troisième partie (Paragraphe 2.2.3) pour déterminer les réponses de différentes structures sous chargement et l élaboration d un plan d expérience [13]. Et enfin dans le Paragraphe sont montrées la comparaison, et les conclusions entre des éprouvettes commerciales et les specimens expérimentaux utilisant le concept ASDC Elaboration des maquettes expérimentales Ce paragraphe décrit le procédé de fabrication des éprouvettes et les différents matériaux mis en jeux. L élaboration des éprouvettes d essais a consisté à disposer les éléments suivants : ellipses, plots et viscoélastique sur un support d aluminium. Initialement, le choix du viscoélastique s est porté vers le RHODORSIL, élastomère à haut coefficient amortissant qui lors de la réalisation des éprouvettes a fait apparaître plusieurs problèmes de fabrication. Ce matériau s est avéré très difficile à mettre en forme, comme le montre la FIG [18, 74]. Sur ces plaques la non-homogénéité de la répartition du matériau viscoélastique, ainsi que la rupture de certaines branches elliptiques sont clairement visibles. Toutes ces difficultés liées aux dilatations thermiques ont conduit à adopter un silicone polymérisant à température ambiante. Les éléments utilisés pour la réalisation des éprouvettes d essais ont donc été les suivants : le silicone de marque NUSIL et de référence RTV 2655, il est composé de deux parties A et B, que l on mélange dans un rapport de 1/1 (FIG. 2.29) ; le primère d adhésion de marque NUSIL et de référence SP 27 ; le support en aluminium (AU4G) ou en acier ; les ellipses en PEI. FIG Problèmes de mise en forme du RHODORSIL : non homogénéité et rupture de branches elliptiques [18] Pour les specimens de configuration poutre, les ellipses ont été découpées au jet d eau à partir d une plaque de PEI. Afin de réaliser le bras de levier, des plots sont collés sur l ellipse avec de l ARALDITE, comme le montre la FIG Les ellipses ont été ensuite recouvertes du primère d adhésion (SP27) afin de faciliter la liaison inter-atomique entre le silicone et les ellipses. On place ensuite le moule - le moule a été préalablement enduit de LOCTITE FREEKOT 44NC - dans une poche d air dans laquelle le vide est créé à l aide d une pompe à vide. Le système ainsi constitué est ensuite placé dans une étuve à 11 o C pendant 1 heure.

70 6 CHAPITRE 2 FIG Produit Silicone RTV-2655 de la marque NUSIL FIG. 2.3 Mise en place des plots sur le réseau d ellipse Principe de mesure Ce paragraphe présente la mesure de la réponse harmonique et de l amortissement d une structure recouverte par un matériau amortissant. Le principe de la mesure est fondé sur l essai de la poutre d OBERST [1] qui a été amélioré par JAOUEN [126, 56]. Cette méthodologie est également inspirée de [39, 22, 23, 24]. La structure poutre est excitée en son centre par un déplacement imposé Y o, cf FIG (a). L application réelle de cette méthode repose sur le montage expérimental présenté sur la FIG (b). (a) (b) FIG (a) Principe de l essai (b) Montage expérimental Nous allons décrire dans cette partie, dans un premier temps, le contexte théorique du principe d essai, puis nous introduirons le schéma d acquisition des données expérimentales Contexte théorique La FIG (a) montre que le montage expérimental permet d avoir le comportement exact d une poutre encastrée libre [16]. Une structure poutre avec ce type de conditions aux limites présente des solutions analytiques.

71 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 61 L équation de l amplitude des vibrations de flexion d une poutre est donnée par : Y (x,ω) = C cosh(βx) + Dsinh(βx) + F cos(βx) + Gsin(βx) (2.6) Avec β 4 = ρaω2 EI, I l inertie de la poutre, E le module élastique de la poutre, A l aire de la section, ρ la masse volumique et C, D, F et G les quatre inconnues qui sont déterminées à partir des conditions aux limites. Pour une structure libre-libre nous avons : ( x EI 2 Y x) = à x = et x = L 2 EI 2 Y = à x = et x = L x 2 (2.61) Avec L la longueur de la poutre. Nous rajoutons ainsi la condition de chargement (déplacement) sur la poutre par : Y (L/2) = Y o Y (L/2) (2.62) x = Nous obtenons ainsi le rapport dynamique entre le déplacement de la poutre et le déplacement imposé : H(x,ω) = 1 2 cosh(βl/2)+cos(βl/2) 1+cosh(βL/2)cos(βL/2) [cosh(βx) + cos(βx)] (2.63) + 1 sinh(βl/2) sin(βl/2) 2 1+cosh(βL/2)cos(βL/2) [sinh(βx) + sin(βx)] Dans cette solution, l équation caractéristique pour une poutre encastrée libre de longueur L/2 est retrouvée au dénominateur. Ainsi, cette technologie d essais est similaire à l essai de la poutre d OBERST. Cette méthode présente l intérêt d être extensible au structure avec une couche de viscoélastique collée dessus (traitement FLD), en utilisant les formules développées par UNGAR [12, 114]. Nous avons dans le cadre d un travail de recherche [111] étendu ces formules au cas d un viscoélastique dépendant de la fréquence. Nous développons cette étude dans le Paragraphe Montage et principe de mesure expérimentale La difficulté de ce montage consiste à transmettre l accélération du pot vibrant sans détériorer la structure à tester. Ainsi, une pièce de liaison a été créée pour relier la tige de sortie du pot vibrant à la structure. Les FIG (a) et (b) montrent deux dessins techniques de la pièce. Nous plaçons une fine couche d ARALDITE (.1 mm) entre la pièce de liaison et la poutre afin d avoir une liaison fixe sans modifier la nature de la structure à tester (FIG (a)). Ainsi à partir de cette pièce de liaison nous pouvons facilement exciter notre structure sans modifier fondamentalement ses propriétés. L excitation se fait par l intermédiaire d un pot vibrant. La chaîne de mesure est constituée de deux capteurs comme le montre la FIG [2]. Ces capteurs permettent de recueillir la fonction de transfert, qui est le rapport entre l accélération de sortie et l accélération d entrée à une fréquence donnée. Cette acquisition et la variation de la fréquence sont effectuées sous LABVIEW et le post-traitement des résultats est réalisé sous MATLAB. En effet, afin d homogénéiser les unités des données de sortie à une grandeur d accélération, les données issues du vibromètre laser exprimées par défaut en vitesse et celles de la diode laser [19] exprimées en déplacement seront traitées sous MATLAB. La fonction de réponse fréquentielle en un point de la structure est donnée par : ( ) Γsortie (ω) FRF(ω) = 2 log (2.64) Γ entrée (ω)

72 62 CHAPITRE 2 (a) (b) FIG Dessins techniques de la pièce de liaison Avec Γ l accélération. La fonction ainsi définie est en decibel (db). FIG Schéma d acquisition de la fonction de réponse en fréquence (FRF) Si nous calculons la FRF en n points de mesure sur la structure, on obtient alors le niveau moyen vibratoire (NVM) défini sur un mode r de la structure par la formule suivante : NV M r = 1 n (Γ n k r) 2 (2.65) Ce paramètre permet d avoir un critère de performance de la structure complète de par le moyennage des FRF des points mesurés. En effet le système est d autant plus performant que le NVM est faible pour un mode r donné. La FIG montre un exemple de montage réalisé au département DGM de l ENSICA. k= Mesures expérimentales Ce paragraphe présente le comportement dynamique d une structure dans différentes configurations. Les résultats des essais sur les configurations suivantes sont présentés :

73 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 63 FIG Montage expérimental réalisé au DGM (ENSICA) poutre en aluminium ; poutre avec un réseau d ellipse en PEI ; poutre recouverte de silicone ; poutre avec un réseau d ellipse et du silicone. Ces configurations constituent les différentes phases pour le recalage du modèle numérique. La dernière configuration est notamment utilisée pour mettre en place le plan d expérience Poutre en aluminium La méthodologie d essais du Paragraphe est appliquée pour une poutre de 35 5mm en aluminium (AU4G) et de 4mm d épaisseur. Un balayage fréquentiel est effectué pour obtenir les trois premiers modes de la structure, la réponse constituant la fonction de transfert de la poutre excitée en son centre est reprise sur la FIG Nous observons clairement le faible amortissement intrinsèque de la poutre comme le montre le Tableau Poutre en aluminium avec un réseau d ellipse Plaçons sur la poutre en aluminium un réseau d ellipse de grand rayon GD = 4mm, de petit axe PT = 15mm, d hauteur E z = 7mm (suivant z) et de largeur E xy = 2mm (dans le plan xy). On trace la fonction de transfert (cf FIG. 2.36) en faisant un balayage couvrant les trois premiers modes de la structure. Nous remarquons en comparant les fonctions de la FIG et de la FIG. 2.35, une légère augmentation des fréquences propres du système. L amortissement de la configuration étudiée est relativement faible. On peut conclure que l ajout des ellipses raidit le système mais n introduit pas d amortissement intrinsèque (cf Tableau 2.1) Poutre en acier avec viscoélastique Recouvrons dans ce cas une structure poutre en acier, de dimensions 35 5mm et 2mm d épaisseur, d une couche de 13mm de silicone NUSIL RTV Cet essai est inspiré de l essai normalisé de la poutre d OBERST [1]. Il permet de déterminer le facteur de perte du viscoélastique. Le Tableau 2.11

74 64 CHAPITRE H(,f) (endb) fréquences (en Hz) Mode Fréquence Facteur propre de perte en Hz SU FIG Fonction de transfert de la poutre en aluminium TAB. 2.9 Mesure vibratoire sur la poutre en aluminium montre les valeurs des facteurs de perte pour chaque mode. Cet essai permet de déterminer les propriétés mécaniques et dynamiques du silicone utilisé, à partir de la courbe résultat présentée sur la FIG par recalage sur le modèle numérique H(,f) en db fréquences (en Hz) Mode Fréquence Facteur propre de perte en Hz SU FIG Fonction de transfert de la poutre avec un réseau d ellipses TAB. 2.1 Mesure vibratoire sur la poutre avec un réseau d ellipse

75 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES H(,f) (endb) fréquences (en Hz) Mode Fréquence Facteur propre de perte en Hz SU FIG Fonction de transfert de la poutre en acier avec viscoélastique TAB Mesure vibratoire sur la poutre en acier avec viscoélastique Poutre avec réseau d ellipse et silicone Nous prenons une structure de base en aluminium de dimensions 35mm 5mm avec une épaisseur de 4mm. Le matériau des ellipses est du PEI, et le viscoélastique est du NUSIL. Nous avons réalisé cinq specimens. La FIG introduit la géométrie du concept ASDC. Ces specimens sont présentés sur les FIG et FIG FIG Schéma de la géométrie du concept ASDC

76 66 CHAPITRE 2 (A) (B) (C) (D) FIG Photos des éprouvettes (A), (B), (C) et (D)

77 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 67 (E) FIG. 2.4 Photos de l éprouvette (E) Les caractéristiques géométriques sont données sur le Tableau 2.12, dans lequel E xy désigne l épaisseur des ellipses dans le plan (xy), HP la hauteur de plot, et D plot le diamètre de plot. Nous avons pour les éprouvettes (A) et (C) une hauteur (HP) de mm ce qui implique que la structure est collée au réseau d ellipse. Pour les éprouvettes (B) et (E), la hauteur de plot est de 6mm. Elle est de 3mm pour l éprouvette (D), mais les plots sont immergés dans le NUSIL, ce qui implique que la zone qui est entre le dessous du reseau d ellipse et le dessus de la poutre à traiter est remplie de silicone. Specimen GD PT D plot E xy HP en mm en mm en mm en mm en mm A Pas de plots B C Pas de plots D noyé E TAB Caractéristiques géométriques des éprouvettes (en mm) Pour chaque éprouvette nous faisons une mesure à 1mm du bord (voir la FIG et au centre de la poutre. Pour un balayage sinus de 3 à 25 Hz, le gain du pot et du GNBF sont constants, et ayant respectivement 5 V et 3 V pour valeurs.

78 68 CHAPITRE H(w,f)=2*LOG1(S/E) FIG Localisation du point de mesure pour les éprouvettes A, B, C, D et E 25 (A) Fréquences (en Hz) H(w,f)=2*LOG1(S/E) H(w,f)=2*LOG1(S/E) (B) Fréquences (en Hz) (C) Fréquences (en Hz) H(w,f)=2*LOG1(S/E) H(w,f)=2*LOG1(S/E) (D) Fréquences (en Hz) (E) Fréquences (en Hz) FIG FRF des éprouvettes recouvertes de silicone et d un réseau d ellipses (A, B, C, D, et E) Les résultats (FRF) sont représentés sur la FIG. 2.42, et le Tableau 2.13 regroupe les fréquences propres et les amortissements structuraux sur les trois premiers modes de chaque éprouvette. Nous pouvons dans un premier temps faire une remarque générale sur les valeurs des pulsations propres de ces configurations. Nous constatons que la configuration poutre/ellipse/silicone atténue les amplitudes vibratoires. En effet, si nous comparons la FIG et la FIG (B), nous avons une diminution d environ 15dB, cela se vérifiant pour chaque mode.

79 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 69 Éprouvette Mode 1 Mode 2 Mode 3 Amor. 1 Amor. 2 Amor. 3 Masse Totale en Hz en Hz en Hz SU SU SU en kg Aluminium Éprouvette A Éprouvette B Éprouvette C Éprouvette D Éprouvette E TAB Résultats des poutres recouvertes de viscoélastique et d un réseau d ellipse Si l on compare les FRF entre elles (FIG. 2.42), nous pouvons en tirer les conclusions suivantes sur notre système : la configuration avec les ellipses collées sur la poutre (A, C) est la moins performante sur les deux premiers modes ; la configuration avec les plots noyés dans du silicone (D) est moins performante que la configuration ellipses surélevées (B, E) sur les deux premiers modes ; le fait d introduire des plots rajoute des modes parasites entre le premier et le second mode principal (cf FIG. 2.42(B)), ce phénomène étant dû au couplage de deux systèmes (via les plots) un premier système rigide la structure métallique à amortir, un second système les ellipses plus le viscoélastique constituant un système relativement souple en flexion et vibrant à des fréquences découplées de la poutre à traiter. Les remarques de ces essais expérimentaux seront utilisées pour définir le plan d expérience et pour permettre une comparaison du concept ASDC avec les produits existants sur le marché Plan d expérience Le plan d expérience est fondé sur le système complet (structure, réseau d ellipse, plot et silicone). Pour cela l analyse géométrique du concept ASDC fait apparaître trois paramètres physiques importants à prendre en compte : GD : le grand axe de l ellipse ; PT : le petit axe de l ellipse ; HP : la hauteur des plots. Le diamètre des plots (D plot ), l épaisseur dans le plan (xy) (E xy ) et la hauteur des ellipses (E z ) sont supposés invariants. Ils ont pour valeurs : D plot = 5mm, E xy = 2mm et E z = 4mm. La structure de base est une poutre en aluminium (AU4G) de 3 5mm et de 2mm d épaisseur. L objectif de ce paragraphe est de caractériser l influence de chacun de ces trois paramètres retenus sur la réponse vibratoire des trois premiers modes de la structure. Le nombre de paramètres a conduit à utiliser la technique des plans d expérience. Ce plan d expérience a été réalisé avec le concours du Pr. Y. CAUMEL du département DMI de l ENSICA. Le plan d expérience utilisé est un plan factoriel complet à trois variables qui nécessite 2 3 (8) expériences, auquel un essai dit au centre a été rajouté. Le plan, qui comprend ainsi 9 expériences, est résumé

80 7 CHAPITRE 2 Cas Grand axe Petit axe Hauteur des plots GD en mm PT en mm HP en mm TAB Plan d expérience sur le Tableau Les mesures expérimentales ont été effectuées à l aide du protocole d essai détaillé dans le Paragraphe Le gain du pot et du GNBF sont constants, et ayant respectivement 5V et 3V pour valeurs. Les mesures sont effectuées à 5cm du bord de la poutre et centrées par rapport à la largeur. Nous obtenons ainsi les valeurs sur les trois premiers modes du Tableau Cas Nombre GD PT HP Mode 1 Mode 2 Mode 3 Masse en mm en mm en mm en db en db en db en kg ,82 11,28 -, ,48 4,49-8, ,81 1,88 5, ,3 8,84-6, ,77 9,46, ,81 6,9-3, ,92 4,5-8, ,19 8,55-8, ,29 14,29 4, TAB Résultats du plan d expérience pour le cas poutre La dernière colonne du Tableau 2.15 présente les masses des éprouvettes du plan d expérience. L analyse du plan factoriel a été réalisée sur trois réponses à l aide du logiciel "Design of Experiments" (DOE-dx6). Nous allons maintenant définir les équations qui permettent de relier les valeurs des amplitudes modales aux dimensions des paramètres du plan d expérience. Nous noterons R i l équation des amplitudes du mode i, avec i [1,2,3]. Réponse 1 (R 1 ) Pour la réponse 1, nous avons sélectionné les paramètres GD, GD. PT comme étant représentatif de l évolution de la réponse. Nous avons ainsi : R 1 = GD GD. PT (2.66)

81 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 71 Où x est le paramètre x pour lequel les bornes sur l ensemble des valeurs de x sont ramenées entre [ 1 ; 1]. Les valeurs obtenues pour les différents cas soumis à l équation R 1 sont regroupées et comparées aux mesures expérimentales dans le Tableau Cas Mesure Réponse Difference expérimentale R 1 en db en db en db 1 32,82 3,79 2,3 2 17,48 33,28-15,8 3 25,81 28,3-2, ,3 39,48-2, ,77 22,1 -, ,81 33,28, ,92 28,3, ,19 39,48 -,29 9 2,29 22,1-1,81 TAB Comparaison des mesures expérimentales et des réponses du plan d expérience pour la réponse 1 (R 1 ) Réponse 2 (R 2 ) Pour la réponse 2, nous prenons GD, PT, PT. HP et GD. PT. HP comme paramètres significatifs, nous avons alors : R 2 = GD + 2 PT 1.17 PT. HP GD. PT. HP (2.67) Le Tableau 2.17 compare les résultats d entrée aux résultats calculés par la réponse R 2. Cas Mesure Réponse Difference expérimentale R 1 en db en db en db 1 11,28 9, ,49 5,1 -,52 3 1,88 11,9 -,21 4 8,84 9,95-1,11 5 9,46 9,47 -,1 6 6,9 5,95,14 7 4,5 5,47 -,97 8 8,55 9,1 -, ,29 15,9 -,8 TAB Comparaison des mesures expérimentales et des réponses du plan d expérience pour la réponse 2 (R 2 )

82 72 CHAPITRE 2 Réponse 3 (R 3 ) Pour la réponse 3, les paramètres GD, PT, HP et le paramètre croisé GD. PT. HP ont été sélectionnés. La réponse est : R 3 = GD PT HP GD. PT. HP (2.68) Les comparaisons avec l entrée sont données dans le Tableau Cas Mesure Réponse Difference expérimentale R 1 en db en db en db 1 -,61 -,894, ,2-7,83 -,19 3 5,9 6,1 -,11 4-6,71 5,81-12,52 5,67,89 -,22 6-3,73-3,53 -,2 7-8,32-8,45,13 8-8,8-8,65 -,15 9 4,94 5,19 -,25 TAB Comparaison des mesures expérimentales et des réponses du plan d expérience pour la réponse 3 (R 3 ) Conclusions et remarques Les comparaisons des réponses calculées et les données d entrée issues des mesures vibratoires montrent une bonne adéquation entre ces modèles. A partir de ces modèles, nous allons voir l influence des paramètres sur les réponses des trois premiers modes. Si l on fait varier le grand axe GD sur les réponses avec les deux autres paramètres fixés, on remarque clairement, à l exception du mode 1, que plus l ellipse est allongée plus l atténuation est importante, comme le montre la FIG On notera également que plus le petit axe est petit plus la solution est amortie - constat réalisé lors de l approche analytique. Dans un second temps, si nous faisons varier la hauteur de plot (HP). La réponse 1 est indépendante de la hauteur de plot, cf EQ. (2.66). La FIG montre l influence de HP sur R 2 et R 3. On constatera que HP influe de façon inverse sur les réponses 2 et 3, en effet si l on augmente la hauteur de plot, on diminue R 2 mais on augmente R 3.

83 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES PT=15mm et HP=2mm PT=18mm et HP=2mm PT=2mm et HP=2mm Réponse mode 1 en db PT=15mm et HP=2mm PT=18mm et HP=2mm PT=2mm et HP=2mm Réponse mode 2 en db (R 1 ) Grand axe en mm (R 2 ) Grand axe en mm 6 4 PT=15mm et HP=2mm PT=18mm et HP=2mm PT=2mm et HP=2mm 2 Réponse mode 3 en db (R 3 ) Grand axe en mm FIG Evolution de la réponse vibratoire en fonction du grand axe des ellipses Réponse mode 2 en db PT=18mm et HP=2mm PT=18mm et HP=3mm PT=18mm et HP=4mm Réponse mode 3 en db PT=18mm et HP=2mm PT=18mm et HP=3mm PT=18mm et HP=4mm (R 2 ) Grand axe en mm (R 3 ) Grand axe en mm FIG Evolution de la réponse vibratoire en fonction de la hauteur de plot Nous pouvons ainsi remarquer, que si nous voulons améliorer la réponse vibratoire, il faut choisir : un grand axe de l ellipse de taille importante, car l influence du paramètre (GD) est importante sur les trois premières réponses de la structure ; un petit axe faible devant le grand axe ; une hauteur plot grande si l on veut agir sur le second mode, ce qui dégradera la réponse R 3. Ces remarques permettent de confirmer les conclusions sur les modèles analytiques, qui donnent une amplitude en déplacement dans le plan (xy) - plan de l ellipse, donc une dissipation et une atténuation plus grand, lorsque le grand axe est long et le petit axe fin.

84 74 CHAPITRE Comparaisons avec des produits commerciaux Dans ce paragraphe une comparaison des traitements vus dans les deux derniers paragraphes est faite avec des produits commerciaux de type CLD ou FLD. Pour cette étude, nous prendrons les meilleures éprouvettes expérimentales et afin de permettre la comparaison des essais similaires à ceux effectués précédemment sont réalisés sur des éprouvettes commerciales. Le Tableau 2.19 résume les caractéristiques et les types de traitement utilisés [38, 35, 113]. Type 1 Type 2 Dimensions (en mm) Éprouvette Commerciale BRISESON EAR et SMACSONIC Éprouvette ASDC Éprouvette (B) Éprouvette (3) TAB Éprouvettes utilisées pour la comparaison traitements commerciaux - traitements ASDC Comparaison Type 1 Sur la poutre en aluminium de 35 5mm et de 4mm d épaisseur est collée une couche de BRISE- SON. Le BRISESON est utilisé comme patch sur les parois des hélicoptères, il est de type visco-contraint (CLD), son épaisseur totale est de 4mm. La FIG montre les réponses (FRF) des trois structures : la poutre en aluminium nue, la poutre recouverte de BRISESON et l éprouvette (B). 5 4 Poutre en aluminium Poutre avec Briseson Eprouvette B 3 H(,f) (endb) fréquences (en Hz) FIG Comparaison éprouvette (B) et du produit commercial Nous remarquons l effet des traitements sur la réponse vibratoire par rapport à la structure sans traitement passif. On constate également que la réponse de la poutre recouverte du concept ASDC est plus amortie et avec des amplitudes moindre que la poutre recouverte par le traitement BRISESON. L éprouvette (B) a un meilleur comportement avec un écart relatif de 9.8% sur le mode 1 par rapport au traitement commercial, de 42.1% sur le mode 2 et enfin 71.4% sur le dernier mode. On peut également noter que les

85 2.2. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 75 fréquences propres de l ensemble poutre+traitement sont fortement décalées par rapport à la structure de base avec le BRISESON, cela étant du à la raideur introduite par la contre plaque. Au niveau des propriétés géométriques des traitements, nous avons une épaisseur totale de 4mm pour le BRISESON et de 12mm pour l éprouvette (B). Malgré cette différence au niveau des épaisseurs, nous sommes quasi iso-masse entre ces deux patchs, voir le Tableau 2.2. Éprouvette Masse en kg Aluminium.244 Éprouvette (B).352 Poutre avec BRISESON.33 TAB. 2.2 Masses des éprouvettes Comparaison Type 2 Dans ce paragraphe, nous prenons une poutre en aluminium de 3 5 2mm. On place sur celleci deux types de traitements : un FLD et un CLD. Le premier est l EAR C23 de la société EAR, et le second est le SMACSONIC de la SMAC. Ces deux éprouvettes, cf FIG. 2.46, sont comparées à la meilleure éprouvette - éprouvette (3) - du plan d expérience. FIG Produits commerciaux : SMACSO- NIC et EAR FIG Points de mesures pour la comparaison des poutres Pour comparer de façon plus précise notre structure deux mesures sont effectuées sur les trois specimens. La FIG montre ces deux points, le premier est situé à 1cm du bord et le second à 5cm du bord. La FIG donne les résultats des traitements SMACSONIC et EAR sur les deux points de mesures. Sur les deux structures on remarque une atténuation claire, mais elle est plus marquée sur la poutre avec EAR.

86 76 CHAPITRE 2 3 Mesure 1cm Mesure 5cm 3 Mesure 1cm Mesure 5cm H(,f) (endb) H(,f) (endb) (a) fréquences (en Hz) (b) fréquences (en Hz) FIG Mesure pour les poutres recouvertes de EAR (a) et de SMACSONIC (b) 25 2 Eprouvette N 3 Poutre avec EAR Poutre avec SMACSONIC 3 2 Eprouvette N 3 Poutre avec EAR Poutre avec SMACSONIC 15 H(,f) (endb) H(,f) (endb) (a) fréquences (en Hz) (b) fréquences (en Hz) FIG Comparaison des résultats SMACSONIC, EAR et éprouvette (3) : (a) 1cm (b) 5cm du bord La FIG montre la comparaison entre les deux traitements commerciaux et l éprouvette 3 du plan d expérience. On remarque sur la plage de fréquence d étude que l éprouvette avec le concept ASDC est plus performante que les produits commerciaux. Les écarts relatifs sont repris dans le Tableau 2.21, avec la comparaison 1 pour Éprouvette (3) vs EAR et la comparaison 2 pour Éprouvette (3) vs SMACSONIC. Écart Relatif (en %) Écart Relatif (en %) Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 1 Mode 2 Mode 3 1cm 1cm 1cm 5cm 5cm 5cm Comparaison Comparaison TAB Écarts relatifs pour les comparaisons des résultats SMACSONIC, EAR et éprouvette 3 Cette approche poutre permet de mettre en évidence l influence importante des ellipses sur le comportement vibratoire. Au niveau géométrique, les différents traitements ont respectivement une épaisseur de 4mm, 5mm, 1mm pour l EAR, le SMACSONIC et l éprouvette (3). Du point de vue massique, le

87 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 77 Tableau 2.22 résume les différences entre chaque traitement. Éprouvette Masse en kg Aluminium.134 Éprouvette (3).195 Poutre avec EAR.238 Poutre avec SMACSONIC.19 TAB Masses des éprouvettes Conclusions sur les comparaisons expérimentales Ce paragraphe permet de mettre en évidence les performances du concept ASDC par rapport aux produits commerciaux actuellement utilisés chez EUROCOPTER. Ces comparaisons ont été effectuées sur deux types de structures poutres en aluminium de dimensions différentes cf Tableau Les specimens avec le traitement elliptique ont un meilleur amortissement sur la plage d étude avec pour les poutres de type 1 un minimum d écart relatif à 9.8% et un maximum à 71.4%, et sur les poutres de type 2 un minimum d écart relatif à +12.5% et un maximum à 1%. Compte tenu du gain réalisé, la masse du traitement est également intéressante vis à vis des produits commerciaux, le Tableau 2.23 reprend les différentes masses surfaciques des traitements utilisés. Traitement Masse surfacique en kg/m 2 Éprouvette (B) 6. Éprouvette (3) 4. EAR 6.9 SMACSONIC 3.7 BRISESON 4.9 TAB Masses surfaciques des traitements utilisés dans les comparaisons expérimentales On notera que l épaisseur du traitement ASDC est un inconvénient par rapport aux produits commerciaux. Une contrainte d épaisseur sera imposée dans le Chapitre 3 de notre étude afin d être concurrentiel sur ce domaine avec les produits commerciaux. 2.3 Modélisations numériques L objectif de notre modélisation par éléments finis est d avoir le comportement réel de nos éprouvettes testées et de prédire le comportement des structures avec traitement si l on modifie des paramètres géométriques (dimension des ellipses par exemple) ou mécaniques (module d YOUNG). Afin d atteindre cet objectif, cette section débute par une description du modèle numérique afin de comprendre la modélisation. Puis une introduction aux méthodes de corrélations (essai/numérique) appliquées aux réponses vibratoires est détaillée. L application de ce modèle et des outils de recalage pour la détermination des

88 78 CHAPITRE 2 propriétés physiques des matériaux sont utilisés. Et dans un dernier paragraphe, les résultats numériques utilisant les données obtenues par recalage sont étendus pour voir l influence de la localisation du viscoélastique sur les réponses vibratoires. L objectif secondaire de cette section est de valider le modèle analytique de la poutre recouverte d un réseau elliptique et également de détailler une méthode EF permettant de modéliser la prise en compte de la fréquence sur les propriétés des matériaux viscoélastiques Description du modèle numérique La modélisation par éléments finis pour une poutre avec le revêtement de type ASDC est représentée sur la FIG Notre étude EF est réalisée sous le code SAMCEF. FIG. 2.5 Modèle éprouvette 2 FIG Lieu du chargement Éléments : Les éléments volumiques utilisés sont : des quadrangles à 8 noeuds (1 sur chaque coin) ; des triangles wedge à 6 noeuds (1 sur chaque coin). Les éléments sont regroupés en groupe. On attribue à chaque groupe des propriétés matériaux qui lui sont propres. Propriétés matériaux : Pour appliquer les propriétés matériaux, nous utilisons le principe des modules complexes développé dans le Paragraphe Les propriétés amortissantes sont différentes suivant les matériaux employés. L étude avec un amortissement structural linéaire revient donc à modifier la matrice de raideur élémentaire [K e ] par [Krel e ] + [Ke img ] avec [Ke img ] = η e i [Krel e ]. Nous supposons que l amortissement est constant. Nous appliquons ainsi à chaque groupe d éléments les propriétés matériaux (E, ρ, ν). Et nous définissons ensuite par la commande AME l amortissement structural. Conditions aux limites et chargement Un noeud est créé afin de transmettre le chargement, il est situé 3mm en dessous de la structure poutre. Afin d imposer une accélération en ce noeud, nous l encastrons. Puis nous appliquons l accélération sur ce noeud, voir la FIG Le chargement est une fonction échelon de valeur 1 quelle que soit la fréquence d excitation.

89 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 79 Mesure numérique La réponse de la structure est donnée en chaque noeud i du modèle à partir d un balayage fréquentiel par : FRF i (ω) = 2 log ( Γ i num(ω) ) (2.69) Avec Γ i num l accélération mesurée au noeud i. Algorithme de résolution Le calcul est de type linéaire, la partie dynamique utilise l algorithme de LANCZOS, et le principe de superposition modale est employé pour déterminer la réponse dynamique de la structure sous sollicitation extérieure Validation du modèle analytique d une poutre avec armature elliptique Dans ce paragraphe est effectuée la comparaison entre le modèle analytique - développé dans le Paragraphe et un modèle EF. L intérêt de cette validation est de pouvoir utiliser le modèle analytique comme un outil de développement pour l étude des paramètres elliptiques. Afin de valider le modèle analytique, une série de comparaisons est effectuée entre ces deux modèles pour quantifier les performances du modèle analytique Description numérique FIG Poutre EF avec réseau d ellipse Le modèle numérique que nous utilisons dans ce paragraphe est modélisé sur la FIG Les propriétés amortissantes sont introduites à l aide de la commande AME, voir le Paragraphe Le point de mesure sur le modèle EF est le noeud situé au centre de l extrémité libre de la poutre excitée Comparaisons et conclusions Le Tableau 2.24 reprend les paramètres géométriques de la série de comparaison et le Tableau 2.25 les données matériaux.

90 8 CHAPITRE 2 Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 E z en mm E plaq en mm HP en mm TAB Paramètres géométriques pour la comparaison numérique - analytique Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 E PEI 3.1E3 3.1E3 3.1E3 3.1E3 en MPa ρ PEI en kg/m 3 ν PEI SU η PEI.2.6 SU E alu 6.85E4 6.85E4 6.85E4 6.85E4 en MPa ρ alu en kg/m 3 ν alu SU η alu SU TAB Paramètres matériaux pour la comparaison numérique - analytique Les FIG et FIG montrent les comparaisons des FRF entre les deux modèles. Dans tous les cas, on remarque une bonne corrélation entre les deux modèles, et pour les cas 1 et 2 des pics intermédiaires. Ces pics sont présents par le faible taux d amortissement de la structure. Le modèle analytique permet ainsi de prédire de façon correcte le comportement d une poutre avec un réseau elliptique FRF en db 1 1 FRF en db Analytique Numérique 3 4 Analytique Numérique (Cas 1) Fréquence en Hz (Cas 2) Fréquence en Hz FIG Comparaison des modèles numérique et analytique pour la poutre avec un réseau elliptique pour les cas 1 et 2

91 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES Analytique Numérique 3 25 Analytique Numérique FRF en db 2 15 FRF en db (Cas 3) Fréquence en Hz (Cas 4) Fréquence en Hz FIG Comparaison des modèles numérique et analytique pour la poutre avec un réseau elliptique pour les cas 3 et Modélisation numérique de la dépendance en fréquence du VEM Nous mettons en place dans cette partie une voie pour la prise en compte de la dépendance en fréquence des matériaux viscoélastiques pour le concept ASDC. En effet, dans ce mémoire le comportement du matériau viscoélastique est défini à partir des données industrielles (sauf la caractérisation du silicone NUSIL), pour cela ils sont caractérisés par un module dynamique et un facteur de perte constant. Néanmoins comme nous le verrons, cette approche permet d avoir de bonnes corrélations numériqueexpérimental. Mais pour des raisons scientifiques, nous poserons les bases d une prise en compte de la dépendance en fréquence des VEM pour des améliorations possibles de cette étude. Ces bases pourrons alors ouvrir des perspectives sur le sujet Lois matériaux Pour cette comparaison entre le modèle analytique et la méthode numérique nous utiliserons le modèle analytique du Paragraphe et la méthode MSE révisée. Un matériau viscoélastique a été sélectionné pour cette étude. Il s agit de l EAR C23. Les FIG (a) et (b) montrent les courbes matériaux [89]. (a) (b) FIG Comportement du module de cisaillement (a) et du facteur de perte (b)

92 82 CHAPITRE 2 Nous avons sélectionné la courbe à 5 o F (ie 1 o C). Les modules ont ensuite été interpolés par une loi de ZENER, cf Annexe A. Les deux équations définissant le module de cisaillement et le facteur de perte pour une loi de ZENER sont : G = G R + (G u G R )ω 2 t 2 y 1 + ω 2 t 2 y (2.7) (G u G R )ωt y η = (1 + ω 2 ty 2 )G R + (G u G R )ω 2 ty 2 (2.71) Avec le module non relaxé G u, le module relaxé G R et le temps de relaxation t y. Ces trois paramètres sont à déterminer en identifiant les courbes de la FIG Nous avons ainsi les paramètres donnés dans le Tableau En plus de cette configuration, une autre série de courbe (arbitrairement choisie) a été définie avec les propriétés du Tableau 2.27 afin de valider l approche. Paramètre Valeur G R 145 en MPa G u 571 en MPa t y.147 en s Paramètre Valeur G R 228 en MPa G u 155 en MPa t y.1 en s TAB Paramètres matériaux de la loi de ZENER : série 1 TAB Paramètres matériaux de la loi de ZENER : série 2 Les FIG (a) et (b) montrent l évolution des propriétés matériaux de ces deux séries de paramètres Module de cisaillement en Psi Facteur de perte Module de cisaillement en Psi Facteur de perte (a) Fréquence en Hz (b) Fréquence en Hz FIG Evolution des paramètres de la série 1 (a) et de la série 2 (b) Ces paramètres matériaux viscoélastiques ont ensuite été incorporés dans le modèle analytique, et une approche numérique itérative a été employée pour déterminer les facteurs de perte structuraux modaux. Pour cette approche nous avons utilisé la méthode MSE modifiée par XU.

93 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES Modèle numérique Les caractéristiques du modèle numérique sont reprises dans ce paragraphe. Le modèle reprend une poutre de dimensions mm recouverte sur toute sa surface d une couche viscoélastique d épaisseur 3 mm. Éléments : Les éléments volumiques utilisés sont des quadrangles à 8 noeuds (1 sur chaque coin). Le modèle numérique utilisé comprend 128 éléments volumiques de type quadrangle pour le groupe de la couche élastique et autant pour le groupe de la structure de base. Propriétés matériaux : Nous appliquons à chaque groupe d éléments les propriétés matériaux (E, ρ, ν). Conditions aux limites et chargement Un noeud est créé pour représenter la configuration d essais, voir la FIG Nous encastrons ensuite ce noeud. Algorithme de résolution Le calcul est de type linéaire et une analyse dynamique est réalisée par l algorithme de LANCZOS Résultats numériques Pour chacune des configurations (Série 1 et 2), nous avons employé 2 itérations pour déterminer les fréquences propres et les facteurs de perte. La FIG reprend les résultats pour un VEM ayant les caractéristiques de la série 1 et la FIG pour la série Module en psi G G modifié Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode Fréquence en Hz Facteur de perte SU Energie de déformation de la base Fréquence en Hz Energie de déformation du viscoélastique Fréquence en Hz Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 FIG Résultats des itérations par la méthode MSE : série 1

94 84 CHAPITRE 2 Module en psi G G modifié Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode Fréquence en Hz Facteur de perte SU Energie de déformation de la base Fréquence en Hz Energie de déformation du viscoélastique Fréquence en Hz Variation Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 FIG Résultats des itérations par la méthode MSE : série 2 Nous avons ainsi les données du Tableau Fréquence Facteur de perte E de f E de f Facteur de perte (Hz) du VEM (SU) du VEM de la base modal (SU) Série 1 Mode Mode Mode Mode Série 2 Mode Mode Mode Mode TAB Résultats numériques pour la série 1 et 2 avec la méthode MSE révisée Comparaisons des modèles numérique-analytique Nous mesurons ensuite sur la courbe analytique les fréquences propres et les facteurs de perte par la méthode de la demi-puissance. Le Tableau 2.29 montre les comparaisons entre ces deux modèles. Nous obtenons une bonne corrélation entre le modèle analytique et la méthode MSE révisée pour une poutre avec une couche de viscoélastique dépendant de la fréquence. Ainsi cette approche pourra être employée sur nos traitements afin de prendre en compte cette dépendance. Ce qui ouvre ainsi une voie vers une meilleure approximation du comportement du traitement ASDC Outils de recalage Le principe des méthodes de recalage est de corriger un modèle numérique existant de façon à améliorer la corrélation calculs/essais (voir FIG. 2.59). L exploitation d un essai permet de tenir compte

95 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 85 MSE révisée Modèle analytique Fréquence Facteur de perte Fréquence Facteur de perte Hz SU Hz SU Série 1 Mode Mode Mode Mode Série 2 Mode Mode Mode Mode TAB Comparaison entre le modèle analytique et la méthode MSE pour les séries 1 et 2 d informations a priori sur la structure, et donc d espérer améliorer la prédiction de la réponse de la structure dans différentes configurations. FIG Organisation du processus de recalage Deux grands types de méthodes de recalage existent : les méthodes globales et les méthodes locales [15, 29, 7, 8]. Les premières modifient les matrices de masse et de raideur de manière globale sans tenir compte des propriétés physiques inhérentes à ces matrices. Les secondes modifient localement le modèle numérique en changeant les coefficients associés à des groupes d éléments, comme le module d YOUNG ou la masse volumique. Notre étude se place dans le cadre de l utilisation des méthodes locales. Pour cela nous utiliserons deux méthodes de corrélation :

96 86 CHAPITRE 2 fonctionelle de recalage, cette fonction met en oeuvre les critères de MAC, NFD et LFD ; comparaison des réponses vibratoires (FRF), avec les critères de SAC, FDAC et FRAC Fonctionnelle de recalage Les fonctions objectifs permettent de mesurer la distance entre les données expérimentales et les résultats issus des calculs éléments finis afin de réaliser le recalage. La fonctionnelle combine trois paramètres : NFD, MAC et LFD. Comparaison des fréquences propres (NFD) La comparaison la plus simple pour les systèmes dynamiques linéaires est fondée celle des fréquences propres. Les différences relatives (exprimées en %) permettent de s affranchir de l ordre de grandeur des pulsations que l on compare, on définit alors le NFD (Natural Frequency Difference) par : NFD(i, j) = ω exp i ω j max(ω exp i,ω j ) (2.72) Avec ω exp i la pulsation expérimentale du mode i, et ω j la pulsation numérique du mode j. Une difficulté essentielle notamment, dès que l erreur est significative ou que la densité modale devient importante, est la nécessité d apparier les modes. Apparier les modes consiste à établir une relation si possible bijective entre les modes calculés et les modes identifiés afin de pouvoir ensuite comparer des fréquences et vecteurs qui représentent la même réalité physique. L appariement nécessite la connaissance de la déformée modale de la structure pour cela on utilise le critère du MAC. Corrélation de déformées (MAC) Le MAC (Modal Assurance Criterion) est le critère de corrélation calcul-essai le plus utilisé car le plus simple à appliquer. Pour deux déformées {φ exp i }, {φ j } définies sur les mêmes capteurs (même nombre de lignes), le MAC - coefficient de corrélation - est défini par : MAC(i, j) = {φ exp i } T {φ j } 2 {φ exp i } T {φ exp i } {φ j } T {φ j } (2.73) Avec {φ exp i } le vecteur des données expérimentales du mode i, et {φ j } le vecteur des données numériques du mode j. Une corrélation parfaite entre deux modes résulte en un MAC égal à 1 (ie 1%). En effet, un MAC égal à 1 implique l égalité des sous-espaces engendrés par les deux vecteurs. Ceci rend le MAC facile à mettre en oeuvre. Une corrélation est jugée pauvre si le MAC est inférieur à 7%. 1% MAC 9% Modes corrélés 9% MAC 7% Corrélation douteuse 1% MAC 7% Modes non corrélés MAC 1% Modes parfaitement orthogonaux TAB. 2.3 Critères de corrélation du MAC Comparaison des facteurs de pertes (LFD) Pour notre étude, un critère basé sur le facteur de perte a été développé. Le LFD (Loss Factor Difference) est une comparaison entre les facteurs de perte, qui permet de valider les valeurs du facteur de perte du matériau à recaler. Pour cela, on calcule : LFD(i, j) = η exp i η j max(η exp i,η j ) (2.74)

97 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 87 Avec η exp i le facteur de perte mesuré expérimentalement pour le mode i, et η j le facteur de perte calculé numériquement pour le mode j. Définition de la fonctionnelle Nous définissons la fonction objectif qui prend en compte les vecteurs propres, les valeurs propres et le facteur de perte, par une fonction qui utilise les trois critères suivant : MAC(i, j) = {φ exp i } T {φ j } 2 {φ exp i } T {φ exp i } {φ j } T {φ j } NFD(i, j) = ωexp i ω num j min(ω exp i,ω num j ) (2.75) LFD(i, j) = ηexp i η num j min(η exp i,η num j ) Soit la fonction objectif J NFD MAC LFD : J NFD MAC LFD (p) = NM R j (p) 2 (2.76) j=1 Avec : R j (p) = NFD(i, j) (1 MAC(i, j)) LFD(i, j) (2.77) Comparaison des FRF La majorité des techniques de corrélation emploie les mesures et les calculs des vecteurs propres dont le MAC est probablement le critère le plus connu. Les comparaisons directes entres les FRF mesurées et calculées sont dans une moindre mesure développées, mais restent plus intéréssantes que la corrélation modale car les FRF expérimentales sont plus faciles à obtenir [4, 94, 95, 32, 133, 42, 48]. Pour déterminer la FRF, nous appliquons les conditions aux limites au modèle et nous calculons les amplitudes d accélération en sortie pour une amplitude d entrée imposée. La fonction est définie par : ( ) Γsortie (ω) FRF(ω) = 2 log (2.78) Γ entrée (ω) Avec Γ l accélération. Pour pouvoir interpréter les différences entre les réponses, on utilise des critères. Ces critères sont le FRAC (Frequency Response Assurance Criterion) et le FDAC (Frequency Domain Assurance Criterion). Nous introduirons deux autres critères le SAC (Signature Assurance Criterion) et le LAC (Local Assurance Criterion) pour corréler une paire de FRF. Le Tableau 2.31 reprend la comparaison entre les différents critères de corrélation existants. Niveau de corrélation Domaine Local Global Modal COMAC MAC Fréquentiel FRAC FDAC TAB Techniques de corrélation

98 88 CHAPITRE 2 Le critère FRAC Le premier critère dans le domaine fréquentiel est appelé FRAC. Il peut être utilisé pour évaluer la corrélation entre une référence (test) et le modèle à vérifier (EF). Ce critère est équivalent au COMAC 2. Il est défini par la relation : FRAC k = {H exp (ω)} H k {H num(ω)} k 2 [{H exp (ω)} H k {H exp(ω)} k ][{H num (ω)} H k {H num(ω)} k ] (2.79) Avec {H x (ω)} k le vecteur des réponses expérimentales à chaque fréquence d étude pour le point de mesure k avec x = exp (ou numérique x = num). Ce critère exprime la comparaison entre les fonctions par une valeur comprise en et 1. Le critère FDAC Ce paramètre permet de mesurer la proximité entre les FRF mesurées et numériques en utilisant la relation suivante : FDAC(ω i,ω j ) = {H exp(ω i )} H {H num (ω j )} T {H exp (ω i )} T {H num (ω j )} [{H exp (ω i )} H {H exp (ω i )}][{H num (ω j )} H {H num (ω j )}] (2.8) Comme pour le MAC les valeurs sont comprises entre et 1, avec une corrélation parfaite lorsque FDAC=1 et pour FDAC= aucune corrélation existe. De façon similaire au MAC, le critère FRAC n est pas capable de détecter l échelle d erreur, et est seulement sensible aux différences sur l ensemble de la déformée de la structure. C est pour cela que l on appelle ce critère le coefficient de corrélation de forme. Le critère LAC Ce critère permet de comparer une paire de FRF (une FRF expérimentale et une autre numérique). Le LAC évalue l amplitude des fonctions et est très sensible à l amortissement. LAC = 2 {H exp } T {H num } [{H exp } T {H exp }] + [{H num } T {H num }] (2.81) Ce coefficient de corrélation de forme est défini entre et 1. Lorsque le coefficient vaut 1, la paire de FRF est alors identique à la fois en amplitude et en phase. Nous définissons ainsi un nouveau critère SAC, où N est le nombre de mesure effectué sur chaque point ie le nombre de pulsation. SAC = LAC = 1 N N LAC(ω k ) (2.82) k= Détermination des paramètres matériaux Dans cette partie sont déterminées les caractéristiques des matériaux utilisés expérimentalement. Les matériaux identifiés sont l aluminium (structure de base) et le silicone (viscoélastique) Poutre en aluminium Cet essai permet de caractériser les propriétés matériaux de la poutre en aluminium. Les dimensions de la structure poutre sont de 35 5mm et 2mm d épaisseur. Pour cela nous utilisons le modèle analytique, défini dans le Paragraphe 2.2.2, pour corréler les FRF, comme le montre la FIG On détermine ainsi le module d YOUNG et le facteur de perte du matériau utilisé. 2 Le COMAC (COordonate Modal Assurance Criterion) essaie d identifier les capteurs conduisants systématiquement à une mauvaise corrélation, ce qui met en valeur des erreurs de mesure ou de modélisation. Il est calculé en utilisant une approche similaire au critère de MAC

99 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 89 Cette corrélation est réalisée dans un premier temps en minimisant la distance de la fréquence propre du premier mode analytique et du premier mode expérimental : ε = ω exp 1 ω ana 1. Une fois la valeur du pic atteinte, nous introduisons de l amortissement dans le modèle analytique en modifiant la matrice de raideur par une matrice de raideur complexe en posant E poutre = Epoutre = E poutre (1 + iη poutre ). 5 4 Analytique Experimental 3 H(,f) (endb) fréquences (en Hz) FIG. 2.6 Résultats d une poutre seule (analytique - expérimental) Les résultats obtenus en comparant le modèle analytique aux données expérimentales sont repris dans le Tableau Les données ainsi obtenues sont très proches des données matériaux classiques des aluminium AU4G. Aluminium Module d YOUNG (Mpa) Masse volumique (kg/m 3 ) 286 Coefficient de POISSON.3 Facteur de perte.64 TAB Résultats des paramètres de l aluminium Poutre avec silicone La structure étudiée dans ce paragraphe est une poutre en acier de dimensions 35 5mm et de 2mm d épaisseur en acier recouverte de 13mm de silicone (NUSIL). Dans un premier temps, nous avons comparé la réponse de la structure avec viscoélastique avec celle du modèle analytique (EQ. (2.56)). Nous constatons alors une différence au niveau du mode 3 et 4, comme on peut le remarquer sur la FIG Ainsi pour caractériser la poutre recouverte de silicone la méthode énergétique (MSE), détaillée dans le Paragraphe , est mise en oeuvre afin de calculer les propriétés dynamiques. Ainsi nous appliquons la méthode de corrélation en utilisant la fonctionnelle J NFD MAC LFD. Le calcul du critère de MAC est réalisé en effectuant 1 points de mesure sur la poutre recouverte de silicone, voir FIG

100 9 CHAPITRE Analytique Expérimental 3 H(,f) (en db) Fréquences (en Hz) FIG Résultats d une poutre avec silicone (analytique - expérimental) FIG Schéma de localisation des points de mesure pour le critère de MAC On peut ainsi tracer la courbe d évolution de la fonction objectif en fonction du module d YOUNG et du facteur de perte du silicone. On détermine, comme le montre la FIG. 2.63, la solution qui est le minimum de la fonction objectif. Ces itérations numériques sont réalisées à l aide du logiciel BOSS QUATTRO couplé avec le code de calculs SAMCEF. On fait varier les paramètres d entrée (module d YOUNG, facteur de perte) de façon combinée, et BOSS QUATTRO fournit à chaque itération l énergie de déformation de chaque élément, les vecteurs propres et les valeurs propres. L énergie de déformation permet ensuite via MATLAB de calculer le facteur de perte. On détermine alors les paramètres de la fonction R j (p) à chaque itération p, puis la valeur de J NFD MAC LFD. On obtient ainsi les valeurs du Tableau Les données du fabricant indiquaient un module élastique à 6.2 MPa Résultats numériques Dans ce paragraphe, les propriétés matériaux déterminées précédemment sont reprises pour réaliser une comparaison des éprouvettes de test et des modèles numériques. Une extension des modèles numériques est réalisée afin d ouvrir la voie à l étude d une structure plaque.

101 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES Fonction objectif Facteur de Perte Facteur de Perte Module de Young en Mpa Module de Young en Mpa 1.9 FIG Résultats de la fonction objectif pour la poutre avec NUSIL Silicone Module d YOUNG (M pa) 6. Masse volumique (kg/m 3 ) 1 Coefficient de POISSON.46 Facteur de perte.25 TAB Propriétés du silicone NUSIL Comparaisons numérique - expérimental sur le traitement ASDC Les propriétés des matériaux utilisées dans ce paragraphe sont résumées Tableau 2.34, et le Tableau 2.35 rappelle les éprouvettes testées pour la comparaison. Polyetherimide Aluminium Silicone Module d YOUNG (Mpa) Masse volumique (kg/m 3 ) Coefficient de POISSON Facteur de perte TAB Propriétés matériaux Les liaisons entre matériaux en contact sont supposées être réalisées par des collages parfaits. A partir des modèles numériques ainsi définis, nous calculons les FRF solutions. La FIG donne les comparaisons entre les modèles numériques et les résultats expérimentaux. Les mesures sont réalisées sur un noeud du maillage correspondant aux coordonnées géométriques définies expérimentalement. Pour chaque paire de mesure (expérimental-numérique) nous calculons le critère SAC, cf Paragraphe

102 92 CHAPITRE 2 Specimen GD PT D plot E xy HP en mm en mm en mm en mm en mm A Pas de plots B C Pas de plots D noyé E TAB Caractéristiques géométriques des éprouvettes (en mm) Les résultats sont repris dans le Tableau Eprouvette Valeur du SAC (A) 65 % (B) 81 % (C) 72 % (D) 65 % (E) 8 % TAB Résultats de la corrélation avec le critère SAC pour les éprouvettes de type poutre Si l on a une bonne corrélation entre le numérique et l expérimental (B, E), on peut remarquer qu il y a un décalage sur les modèles pour lesquels les ellipses et le silicone sont collés à la plaque (A, C, D). Cela peut s expliquer par le fait que le modèle considère des collages parfaits alors qu en réalité l adhésion doit créer une certaine souplesse, qui peut ne pas être totale sur toute la surface Comparaisons numérique - expérimental sur le traitement EAR La FIG montre la comparaison entre le modèle numérique et les essais expérimentaux pour deux points de mesure, le premier situé à 1cm du bord et le second à 5cm. Les propriétés des matériaux sont reprises sur le Tableau On constate une bonne corrélation entre les deux modèles. EAR Aluminium Module d YOUNG (MPa) Masse volumique (kg/m 3 ) Coefficient de POISSON.49.3 Facteur de perte TAB Propriétés matériaux Utilisation du modèle numérique Nous allons utiliser le modèle numérique décrit précédemment. Le but de ce paragraphe est de mettre en évidence l influence de la localisation du viscoélastique au sein du réseau elliptique (comme nous

103 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES H(w,f)=2*LOG1(S/E) H(w,f)=2*LOG1(S/E) (A) Fréquences (en Hz) (B) Fréquences (en Hz) H(w,f)=2*LOG1(S/E) H(w,f)=2*LOG1(S/E) (C) Fréquences (en Hz) (D) Fréquences (en Hz) H(w,f)=2*LOG1(S/E) (E) Fréquences (en Hz) FIG Comparaison des FRF numériques et expérimentales (A, B, C, D et E) l avons vu dans la partie état de l art sur l optimisation des traitements), en effet enlever de la matière permet une plus grande liberté pour le réseau elliptique. L étude est réalisée sur la plage de fréquences comprise en et 25Hz. Nous étudierons le traitement ASDC dans trois systèmes géométriques : Type 1 : le concept ASDC classique avec ellipse et viscoélastique ; Type 2 : on retire du concept ASDC classique le viscoélastique autour des ellipses, voir la FIG ; Type 3 : on retire du concept ASDC classique le viscoélastique au sein des ellipses.

104 94 CHAPITRE expérimental numérique 2 15 expérimental numérique H(,f) (endb) 1 5 H(,f) (endb) (a) fréquences (en Hz) (b) fréquences (en Hz) FIG Comparaison des FRF numériques et expérimentales pour le traitement EAR : (a) 1cm (b) 5cm FIG Représentation d une éprouvette de type 2 La géométrie des réseaux elliptiques est supposée constante quelque soit le type de traitement avec un grand axe de GD = 44mm, un petit axe de PT = 15mm, une hauteur de plot de HP = 2mm, une largeur d ellipse de E xy = 2mm et une hauteur d ellipse de E z = 3mm. La structure de base est une poutre en aluminium (AU4G) ayant pour dimensions 3 5 2mm. Nous appliquons à ces trois types de traitements différentes propriétés matériaux - Tableau NUSIL PEI Aluminium Module d YOUNG (M pa) Masse volumique (kg/m 3 ) Coefficient de POISSON Facteur de perte TAB Propriétés matériaux du réseau elliptique, du viscoélastique et de la structure de base Pour comparer les différents modèles, une série de points de mesure est utilisée (6 points) afin de calculer le NVM. Ces points (numérotés de 1 à 16) ont été disposés de tel sorte que l on puisse comparer chaque type de traitement comme on peut le voir sur la FIG

105 2.3. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 95 FIG Localisation des points de mesure sur un quart de modèle de type 1 On rappelle que pour 6 points de mesure, on a pour chaque mode i : NV M i = 1 6 (Γ k i 6 )2 (2.83) k=1 Le Tableau 2.39 reprend les différents cas testés, variant les uns par rapport aux autres avec la largeur des branches elliptiques (E xy ). Numéros E xy Intérieur Extérieur Matériaux Type (en mm) Ellipse Ellipse Ellipse Viscoélastique 1 2 plein plein PEI NUSIL plein vide PEI NUSIL vide plein PEI NUSIL plein plein PEI NUSIL plein vide PEI NUSIL vide plein PEI NUSIL 3 TAB Description des éprouvettes testées pour l interprétation de la localisation du viscoélastique sur le concept ASDC en configuration poutre Les résultats pour ces configurations sont repris sur la FIG On constate alors que : le traitement de type 2 apparaît comme étant la moins performante ; le traitement de type 3 présente une bonne atténuation du mode 1 ; la largeur de la branche elliptique (Exy) influe sur la solution, en effet Exy=3mm est légèrement moins performante que Exy = 2mm quelque soit la configuration. On en déduit que la localisation du viscoélastique influe sur la réponse. On notera ainsi que le traitement de type 3 est aussi performant que le type 1 (ASDC complet) mais est plus léger par la suppression de matière. Cette voie peut être intéressante pour alléger le traitement.

106 96 CHAPITRE 2 Niveau Vibratoire Moyen Type 1 E =2mm xy Type 2 E xy =2mm Type 3 E =2mm xy Type 1 E xy =3mm Type 2 E =3mm xy Type 3 E xy =3mm 5 Mode 1 Mode 2 Mode 3 FIG Résultats NVM avec traitements ASDC de type 1, 2 et Bilan du chapitre L objectif de ce chapitre était d appréhender l influence du réseau elliptique sur les réponses d une structure poutre. Pour ce faire, nous avons réalisé trois approches : analytique, expérimentale et numérique. L approche analytique a permis de mettre en évidence au travers de l étude d une armature elliptique vide ou pleine en traction compression de l importance d avoir un grand axe elliptique élevé devant le petit axe. Cette condition permet d avoir un phénomène d amplification optimal sur la cellule. Une seconde approche analytique a permis de voir également l importance d un second couple : épaisseur - largeur de branche. En effet, on a constaté que plus la section est faible plus l amplification est importante pour une armature elliptique soumise à un effort transverse. Ces deux conditions réalisées sur des modèles statiques ont été confirmées sur le comportement vibratoire d une poutre en aluminium recouverte d un réseau elliptique. Pour l approche expérimentale, nous avons développé un système d acquisition, utilisant LABVIEW, au département DGM de l ENSICA pour enregistrer les résultats expérimentaux. Ce système d acquisition a permis de mettre en évidence l influence de paramètres géométriques (GD, PT, HP) sur les réponses vibratoires des trois premiers modes d une structure poutre en aluminium recouverte du traitement ASDC. Ces relations ont été déterminées par un plan d expérience. Une comparaison des données expérimentales d éprouvettes de type ASDC et commerciales a permis de voir les performances des produits. On constate que le traitement ASDC est plus performant que les produits commerciaux, que le traitement ASDC est plus épais que les produits commerciaux, et que la masse des traitements ASDC est comprise dans la fourchette de celles des traitement commerciaux - voir le Tableau 2.4. Des essais ont aussi permis de mesurer les réponses d une poutre en aluminium nue et d une poutre en aluminium recouverte de NUSIL afin de pouvoir déterminer numériquement les paramètres matériaux

107 2.4. BILAN DU CHAPITRE 97 Traitement Épaisseur en mm Masse surfacique en kg/m 2 Éprouvette (B) Éprouvette (3) 1 4. EAR SMACSONIC BRISESON TAB. 2.4 Résumé des épaisseurs et des masses surfaciques des produits testés des ces deux produits. Ensuite avec ces données, nous avons corrélé les modèles numériques avec nos résultats expérimentaux. De plus, une étude de l importance de la localisation du viscoélastique au sein du réseau elliptique a permis de mettre en évidence que si l on enlève le viscoélastique autour des ellipses les performances du traitement ASDC en sont diminuées, mais que si l on évide les ellipses cela ne dégrade pas l atténuation vibratoire et permet d alléger le traitement. Nous avons également réalisé une approche numérique utilisant la méthode MSE revisée dans le but de poser les bases pour une étude ultérieure plus approfondie du matériau viscoélastique. Cette méthode numérique itérative présente une bonne corrélation vis à vis du modèle analytique. La configuration simple poutre, qui n a pas d application directe dans l aéronautique, a permis de valider ce concept ASDC. Pour compléter cette étude à des applications plus concrètes, l axe de recherche du Chapitre 3 se porte sur une structure plane de type plaque.

108 98 CHAPITRE 2

109 CHAPITRE 3 Caractérisation et optimisation du traitement ASDC sur une structure de type plaque INTRODUCTION DU CHAPITRE CE chapitre est une extension du précédent problème pour un espace à deux dimensions. Cette étude concerne les plaques en flexion et présente l avantage d utiliser une géométrie 2-D, plus répandue en pratique dans le traitement vibro-acoustique sous la forme de planchers, plafonds ou parois de bâtiments ou d appareils de type hélicoptère. La flexion est toujours le mode de vibration imposé. Elle pose cependant, de façon plus marquée, le problème du rayonnement acoustique en raison des importantes surfaces d interface air-structure. Les enseignements acquis lors de l essai de poutre en flexion sont pris en compte pour la définition des modèles. On découpe cette étude en deux parties. La Section 3.1 présente les résultats expérimentaux et leurs conclusions pour la structure de type plaque. La Section 3.2 présente dans un premier temps la corrélation entre les essais numériques et expérimentaux. Puis les approches de deux méthodes de contrôle sont développées : FLD et CLD. Ces deux types de traitements ont été optimisés à partir d une fonction objectif déterminée en fonction de réseaux de neurones, le but de l optimisation étant de créer un traitement alliant performance, épaisseur et coût. On développe également un modèle d homogénéisation de notre concept ASDC pour la configuration FLD.

110 1 CHAPITRE Approches expérimentales Dans cette section les résultats expérimentaux sont décrits. La structure en aluminium (AU4G) à contrôler a pour dimensions : mm. Le système d excitation est pris identique à celui utilisé pour la structure poutre. La FIG. 3.1 montre un exemple de mesure expérimentale. FIG. 3.1 Exemple de mesure expérimentale - cas plaque Plaque en aluminium sans traitement amortissant Dans ce paragraphe, nous détaillons les mesures expérimentales d une plaque carrée en aluminium excitée en son centre (Paragraphe 2.2.2). Pour cet essai, 6 points de mesure sont utilisés sur la plaque afin de pouvoir déterminer son NVM. Nous rappelons que le NVM pour un mode i est défini par : NV M i = 1 n (Γ k i n )2 (3.1) Avec Γ k i l accélération du point k au mode i et n le nombre de points de mesure. Dans cette configuration la localisation des points de mesure est présentée sur la FIG k=1 FIG. 3.2 Localisation des 6 points de mesure sur la couche supérieure d un specimen plaque FIG. 3.3 Localisation des 1 points de mesure sur la couche supérieure d un specimen plaque

111 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 11 Les résultats de la structure sont repris sur la FIG Sur le graphique de gauche est représentée la réponse des 6 points de mesure et sur celui de droite les NVM sont calculés pour chaque mode. Nous remarquons un niveau vibratoire élevé sur la structure, cela étant dû à la nature de la plaque qui est faiblement amortissante. Le niveau vibratoire moyen est établi sur 5 modes, car on souhaite avoir un critère de comparaison avec les autres specimens sur la même plage de fréquence Réponse en db 1 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz 1 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.4 Résultats vibratoires de la plaque en aluminium (AU4G) avec 6 points de mesure Produits commerciaux Nous allons dans cette partie placer sur la structure de base un traitement amortissant. Les traitements appliqués sont de deux types : FLD et CLD. Les FLD sont l EAR [35] et deux couches de viscoélastique fournies par la société LORD[69]. Les CLD sont du SMACSONIC [113] et deux produits ENAC [38]. Les traitements recouvrent intégralement la plaque à traiter soit : mm Traitements viscoélastiques Dans ce paragraphe nous utilisons 6 points de mesure, voir la FIG Les deux produits testés sont des produits de LORD. Le premier est du silicone (de nom E999Y) et le second du polybutadiène (QJ3). Ces deux matériaux sont de type viscoélastique présentant un facteur de perte intéressant. Les résultats de la structure avec traitement sont repris sur les FIG. 3.5 et FIG Nous constatons un effet de l amortissement des matériaux viscoélastiques sur la réponse avec une diminution du NVM ( 6 db au minimum) par rapport à la structure de base Traitement EAR Dans ce paragraphe nous réalisons deux calculs du NVM sur le produit commercial EAR, qui est un matériau de type FLD couramment utilisé en aéronautique. Dans la première approche, nous utilisons 6 points de mesure, voir la FIG Ensuite, pour avoir une meilleure comparaison entre nos modèles numériques et expérimentaux, nous avons augmenté le nombre de points de mesure sur la structure. La localisation de ces nouveaux points est reprise sur la FIG Résultats avec 6 points de mesure La FIG. 3.7 montre les résultats de la structure. Nous pouvons ainsi remarquer que la structure est amortie de façon significative avec un chute importante du NVM.

112 12 CHAPITRE Réponse en db Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz 1.5 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.5 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit E999Y avec 6 points de mesure Réponse en db 1 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz 2 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.6 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit QJ3 avec 6 points de mesure Réponse en db 5 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz.2 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.7 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit EAR avec 6 points de mesure Résultats avec 1 points de mesure Avec cette nouvelle disposition des points de mesure, nous obtenons les résultats repris sur la FIG Nous constatons un NVM relativement faible et du même ordre de grandeur que pour les mesures à 6 points.

113 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES Réponse en db 1 2 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 Point 7 Point 8 Point 9 Point 1 NVM (en db) Fréquence en Hz.2 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.8 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit EAR avec 1 points de mesure Traitement SMACSONIC En utilisant 1 points de mesure pour caractériser les performances de ce traitement (voir la FIG. 3.3), nous avons les réponses de la FIG Nous pouvons ainsi remarquer que ce traitement de type CLD atténue nettement les amplitudes vibratoires ainsi que le NVM Réponse en db 1 2 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM (en db) Fréquence en Hz.2 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.9 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit SMACSONIC avec 1 points de mesure Traitements ENAC Dans ce paragraphe nous utilisons 6 points de mesure, voir la FIG Les produits testés sont : l ENAC 1 et l ENAC 2, qui sont des traitements de type CLD. Les deux traitements diffèrent par leur masse.1533kg pour le premier (ENAC 1) et.7821kg pour le second (ENAC 2). Leurs résultats respectifs sont tracés sur les FIG. 3.1 et FIG On constate que l ENAC 2 est plus performant que l ENAC 1, toutefois ces deux traitements agissent efficacement sur les NVM.

114 14 CHAPITRE Réponse en db 5 5 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz.8 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG. 3.1 Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit ENAC 1 avec 6 points de mesure Réponse en db 5 Point 1 Point 2 Point 3 Point 4 Point 5 Point 6 NVM Fréquence en Hz.2 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 FIG Résultats vibratoires d une plaque en aluminium recouverte du produit ENAC 2 avec 6 points de mesure Traitements ASDC Dans ce paragraphe, on interprétera les résultats des plaques en aluminium recouvertes du traitement ASDC. Le traitement ASDC peut prendre la forme de 3 configurations. Pour chacune de ces configurations, on utilise 6 points de mesure, voir la FIG Présentation des différentes configurations Dans le cadre de notre étude nous avons réalisé différentes configurations pour le concept ASDC. Ces variantes permettent de mettre en évidence l influence de certains paramètres sur la réponse (géométrie et matériau), d alléger la structure amortissante sans dégrader ses performances et de valider les modèles numériques. Ces configurations expérimentales sont au nombre de trois : configuration 1 : elle est composée d un réseau elliptique et de viscoélastique, le réseau elliptique étant plus rigide que le viscoélastique ; configuration 2 : seul un réseau elliptique rempli est présent, l ensemble est collé sur des plots ; on crée le réseau elliptique plein en découpant au jet d eau une plaque de 35 35mm de viscoélastique ;

115 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 15 configuration 3 : elle est composée d un réseau elliptique collé sur des plots, le réseau elliptique vide est en viscoélastique, de même la découpe au jet d eau reste le processus de fabrication. Chaque specimen expérimental du concept ASDC a été réalisé par la société LORD CORPORATION [69] Configuration 1 La configuration 1 est la configuration "originelle" du concept ASDC. Pour cette configuration, le réseau elliptique est noyé dans du viscoélastique de façon à dissiper de l énergie par déformation du viscoélastique au sein du réseau. L ensemble est posé sur des plots pour imposer un bras de levier au système, c est le principe de l entretoise (vu dans l état de l art). Les specimens utilisés sont composés d un réseau elliptique en résine chargée de fibre de carbone et d un matériau viscoélastique en polybutadiène (QJ3 ou QH1). Les ellipses sont de tailles différentes suivant les specimens testés, voir les FIG et FIG FIG Schéma de la configuration expérimentale 1 (C) (D) FIG Exemples de traitements ASDC en configuration 1 : (C) GD = 13mm, PT = 2mm, E xy = 1mm et (D) GD = 27mm, PT = 3mm, E xy = 1mm Pour ces essais nous avons réalisé 6 specimens avec QJ3 comme viscoélastique. Les trois premières, pour lesquelles GD [11;12;13], sont notées (A), (B) et (C) ; les trois dernières, avec GD [27;28;29], sont notées (D), (E) et (F). La dernière éprouvette, conçue avec le viscoélastique QH1 et de grandeur GD = 29mm, est notée (G). Le Tableau 3.1 reprend ces différentes géométries et les matériaux employés.

116 16 CHAPITRE 3 Cas GD PT E xy Nombre Matériau Module de Facteur de en mm en mm en mm de plot Viscoélastique YOUNG (en Mpa) Perte (SU) (A) QJ (B) QJ (C) QJ (D) QJ (E) QJ (F) QJ (G) QH TAB. 3.1 Caractéristiques des specimens avec un traitement ASDC en configuration 1 Les résultats pour chaque éprouvette du traitement ASDC en configuration 1 sont repris sur les FIG. C.1 et FIG. C.2 de l Annexe C. Nous constatons une atténuation du niveau vibratoire moyen par rapport à la plaque nue. Si l on trace l évolution des niveaux vibratoires moyens en fonction de la dimension du grand axe des ellipses (voir les FIG et FIG. 3.15), nous remarquons que les réponses sont dépendantes du grand axe, ce qui confirme les conclusions de l étude poutre. On peut également remarquer que les modes sont plus atténués avec un grand axe élevé. Au niveau des matériaux viscoélastiques, le matériau QH1 a un meilleur effet sur l amortissement que le QJ3. En effet, les propriétés élastiques du polybutadiène QH1 étant plus faibles que celles du QJ3, les ellipses dissipent plus d énergie par cisaillement, ce qui permet de compenser le facteur de perte faible NVM 4 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 NVM 4 3 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode Grand axe en mm Grand axe en mm FIG Evolution des niveaux vibratoires moyens pour les éprouvettes (A), (B) et (C) en fonction du grand axe de l ellipse FIG Evolution des niveaux vibratoires moyens pour les éprouvettes (D), (E) et (F) en fonction du grand axe de l ellipse Configuration 2 Dans ce paragraphe, nous étudions une structure recouverte par la configuration 2, comme le montre les FIG et FIG Cette configuration présente l intérêt de réduire de façon significative la masse du traitement amortissant. La structure est amortie avec ce concept léger par trois matériaux vis-

117 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 17 coélastiques : un silicone (noté JRHClear), un nitrate butadiène hydrogénaté (HNBR) et un polybutadiène (QJ32). FIG Schéma de la configuration expérimentale 2 FIG Exemple de traitement ASDC en configuration 2 (H) : GD = 12mm, PT = 2mm, E xy = 1mm Le Tableau 3.2 donne les caractéristiques générales des éprouvettes conçues. Cas GD PT E xy Nombre Matériau Module de Facteur de en mm en mm en mm de plot Viscoélastique YOUNG (en Mpa) Perte (SU) (H) JRHClear (I) HNBR (J) QJ TAB. 3.2 Caractéristiques des specimens avec un traitement ASDC en configuration 2 Les résultats sont repris sur la FIG. C.3 dans l Annexe C. Nous remarquons un effet intéressant sur l amortissement de la structure de base. Si l on compare les éprouvettes entre elles, on constate que l éprouvette (I) est meilleure que les deux autres. En effet, le module élastique du viscoélastique pour l éprouvette (I) est supérieur aux autres matériaux. Dans l ensemble, les valeurs des NVM pour chaque éprouvette restent sensiblement identiques, avec un faible amortissement du mode 1.

118 18 CHAPITRE Configuration 3 Les FIG et FIG montrent la configuration étudiée dans ce paragraphe. Cette configuration est étudiée car elle présente l avantage de pouvoir dissiper plus d énergie. En effet, le motif elliptique peut avoir un taux de déformation plus important et ainsi augmenter le taux de dissipation d énergie du traitement. Cette configuration présente également l intérêt de réduire de façon significative la masse du traitement amortissant par rapport à la configuration 1. FIG Schéma de la configuration expérimentale 3 FIG Exemples de traitements ASDC en configuration 3 (K) : GD = 12mm, PT = 2mm, E xy = 1mm La structure amortie avec ce concept elliptique est étudiée avec deux types de matériaux viscoélastiques. Le premier est du nitrate butadiène hydrogénaté (noté HNBR) et le second du polybutadiène (QJ32). Le Tableau 3.3 donne les caractéristiques générales des éprouvettes conçues. Cas GD PT E xy Nombre Matériau Module de Facteur de en mm en mm en mm de plot Viscoélastique YOUNG (en Mpa) Perte (SU) (K) HNBR (L) QJ TAB. 3.3 Caractéristiques des specimens avec un traitement ASDC en configuration 3

119 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES 19 Nous remarquons sur la FIG. C.4 (cf Annexe C) que l amortissement introduit par cette configuration existe mais est faible principalement pour l éprouvette (L). L amortissement de l éprouvette (K) est plus grand car la raideur du matériau HNBR est environ 1.5 fois supérieure à celle du QJ32. Ainsi pour amortir de façon efficace, il faut un matériau viscoélastique avec un module d YOUNG important Conclusions et résultats des essais expérimentaux Nous allons dans ce paragraphe résumer et comparer les résultats. Le Tableau 3.4 résume les différentes éprouvettes utilisées dans cette partie, elles sont au nombre de 17, avec H t la hauteur du traitement amortissant. Specimen GD PT E xy Matériau H t Masse en mm en mm en mm Viscoélastique en mm en kg E999Y x x x E999Y 4.81 QJ3 x x x QJ EAR x x x EAR 4.81 ENAC 1 x x x ENAC ENAC 2 x x x ENAC (A) QJ (B) QJ (C) QJ (D) QJ (E) QJ (F) QJ (G) QH (H) JRHClear 4.17 (I) HNBR 4.23 (J) QJ (K) HNBR 4.2 (L) QJ TAB. 3.4 Résumé des éprouvettes avec traitements testées L analyse des paragraphes précédents a ainsi permis d établir les résultats suivants pour chaque groupe : produits commerciaux : les produits ENAC et EAR présentent les meilleurs taux d affaiblissement du niveau vibratoire de la structure ; les produits LORD (E999Y et QJ3) amortissent de façon significative les vibrations, mais présentent un taux d amortissement plus faible. configuration 1 : nous avons constaté une atténuation pour chaque éprouvette du NVM par rapport à la structure de base en aluminium. Nous avons également noté que les réponses sont dépendantes des dimensions du grand axe de l ellipse, avec un comportement plus performant pour les ellipses de grande dimension. On a aussi remarqué que le module élastique du viscoélastique influe sur la réponse, cela étant dû à l augmentation du taux de dissipation lorsque l on diminue son module de cisaillement (ou le module élastique). configuration 2 : la grandeur du module élastique influe sur la réponse de ce traitement. En effet plus le module élastique des ellipses est élevé plus la dissipation est grande. On notera toutefois que

120 11 CHAPITRE 3 sur l ensemble des trois éprouvettes testées les NVM sont sensiblement identiques, avec une faible atténuation du premier mode de la structure. configuration 3 : on a constaté également que plus la raideur du viscoélastique est importante plus la réponse est atténuée. Ainsi sur l ensemble de ces configurations, on a pu noter l importance des caractéristiques des matériaux viscoélastiques sur la réponse de la structure. Pour amortir, on remarque alors que si l on est en configuration 1 - dans laquelle un réseau elliptique avec un module élastique élevé est présent - il faut pour atténuer les vibrations placer au sein des ellipses un matériau viscoélastique à faible module d YOUNG. Et si l on a un traitement en configuration 2 ou 3 - ellipse en viscoélastique pleine ou vide - il faut que le matériau viscoélastique ait une raideur importante pour dissiper de l énergie. Cette dernière remarque est liée au fait que lorsque la structure se déforme, le réseau dissipe de l énergie s il est rigide car une extension forcée de la cellule se produit. On rajoute à ces specimens les résultats de la structure plaque nue en aluminium pour pouvoir comparer la performance des traitements amortissants passifs. La FIG. 3.2 reprend l ensemble des résultats du NVM sur les cinq premiers modes structuraux (plage d étude [ ; 2Hz]). On remarque que la plaque nue a naturellement les plus hauts niveaux vibratoires dus à son faible amortissement intrinsèque. Effectuons une comparaison croisée des groupes pour estimer les différences en terme de performance. On a donc : produits commerciaux vs configuration 1 : les produits commerciaux sont plus performants sur l ensemble des cinq modes que le traitement en configuration 1. Néanmoins à l exception du mode 1, deux éprouvettes (D) et (G) sont aussi performantes sur l ensemble de la plage que les deux éprouvettes LORD (E999Y et QJ3). On constate donc que l ajout des ellipses améliore le comportement de la couche viscoélastique. En effet, les éprouvettes ASDC sont en QJ3. produits commerciaux vs configuration 2 (ou 3) : la configuration 2 (ou 3) est sur l ensemble de la plage de fréquence moins amortissante que les produits connus quel que soit le matériau utilisé. On peut toutefois noter que la réponse du mode 5 est sensiblement identique aux produits LORD. configuration 1 vs configuration 2 (ou 3) : la présence du réseau noyé dans le viscoélastique - configuration 1 - présente un meilleur apport amortissant que la configuration 2 (ou 3) sur l ensemble des 5 modes. configuration 2 vs configuration 3 : l ajout de viscoélastique au sein de l armature elliptique modifie la réponse. Toutefois on peut remarquer que la configuration 3 avec un matériau viscoélastique qui a un module élastique important, présente une atténuation vibratoire supérieure à celle de la configuration 2 sur les 3 premiers modes. La configuration 2 reste toutefois plus performante sur l ensemble de la plage d étude.

121 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES Niveau Vibratoire Moyen Mode 1 Mode 2 Mode 3 4 Niveau Vibratoire Moyen Aluminium E999Y QJ3 EAR ENAC 1 ENAC 2 C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QH C2 JRHClear 12 2 C2 HNBR 12 2 C2 QJ C3 HNBR 12 2 C3 QJ Mode 4 Mode 5 FIG. 3.2 Résumé des NVM sur les éprouvettes expérimentales

122 112 CHAPITRE 3 La masse est un élément essentiel sur les structures aéronautiques. Nous allons donc prendre en compte le facteur massique dans l étude. Pour cela on pondère les réponses vibratoires (NVM) par les masses respectives des traitements, cf Tableau 3.4. La pondération revient à multiplier pour un traitement son NVM par sa masse. La FIG reprend les valeurs pondérées. Les remarques effectuées précédemment restent vraies au sein de chaque groupe. Mais si l on compare les groupes entre eux : produits commerciaux vs configuration 1 : nous constatons ainsi en prenant en compte la masse, que la configuration 1 est nettement plus performante que les produits de type FLD LORD. Nous noterons également que l éprouvette (G) est aussi performante (voir meilleure) que les traitements EAR, ENAC 1 et ENAC 2. produits commerciaux vs configuration 2 : nous remarquons que la configuration 2 est plus performante que les plaques recouvertes des produits E999Y et QJ32, mais reste toujours moins performante que les autres produits commerciaux. produits commerciaux vs configuration 3 : la configuration 3 présente les mêmes avantages que la configuration 2, mais on peut remarquer l importance du matériau sur la réponse. Les remarques relatives aux comparaisons entre la configuration 1 et la configuration 2 (ou 3) sont transposables aux conclusions obtenues avec les produits commerciaux. Le Tableau 3.5 résume cette comparaison, avec comme abréviation : NP pour non pondéré par la masse, P pour pondéré et NV M pour la moyenne des cinq NVM. NV M 1 NV M 2 NV M 3 NV M 4 NV M 5 NV M NP P NP P NP P NP P NP P NP P EAR ENAC ENAC (F) (G) TAB. 3.5 Comparaison des résultats entres les traitements ASDC et commerciaux Ainsi la différence de masses entre les traitements ASDC et les produits commerciaux permet d atténuer la différence d amortissement sur les niveaux vibratoires. Nous remarquerons que les traitements en configuration 1 présentent un bon amortissement sur les réponses par rapport à la structure nue. Cette configuration 1 - non optimisée d un point de vue matériau et géométrie - a sur les mode 1 à 5 des performances similaires aux traitements commerciaux, à l exception du mode 1. Ainsi, l optique de la partie numérique est de définir un traitement ASDC optimisé qui permet d atténuer le mode 1 et ainsi d avoir un ensemble plus performant que les produits commerciaux pré-existants. Nous pouvons aussi noter que les configurations 2 et 3 sont moins performantes que la configuration 1 mais présentent l avantage d apporter de l amortissement avec une masse ajoutée très faible. Il faut toutefois imposer un module élastique important pour le matériau viscoélastique.

123 3.1. APPROCHES EXPÉRIMENTALES Niveau Vibratoire Moyen pondéré par la masse Mode 1 Mode 2 Mode Niveau Vibratoire Moyen pondéré par la masse E999Y QJ3 EAR ENAC 1 ENAC 2 C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QJ C1 QH C2 JRHClear 12 2 C2 HNBR 12 2 C2 QJ C3 HNBR 12 2 C3 QJ Mode 4 Mode 5 FIG Résumé des NVM sur les éprouvettes expérimentales en tenant compte de leurs masses respectives

124 114 CHAPITRE Modélisations numériques Dans cette partie, le modèle numérique utilisé pour l optimisation du concept ASDC est développé. Afin de pouvoir effectuer cette optimisation, nous avons corrélé notre modèle numérique avec les données expérimentales. Dans un premier temps, le modèle éléments finis plaque employé est détaillé, puis nous comparons les résultats numériques aux résultats expérimentaux grâce aux outils de corrélation Modèles numériques de type plaque Le modèle numérique utilisé est identique au modèle poutre détaillé dans le chapitre précédent (voir Section 2.3). La différence réside uniquement dans le réseau elliptique maillé, qui couvre le plan au lieu d être longitudinal, comme le montre la FIG FIG Exemple de modèle numérique plaque Le paramètrage géométrique est réalisé sous CATIA V5 pour étudier les effets de la géométrie sur les résultats. Ainsi à partir de chaque modèle CATIA nous utilisons les éléments suivants : Éléments : Les éléments volumiques utilisés sont : des quadrangles à 8 noeuds (1 sur chaque coin) ; des triangles wedge à 6 noeuds (1 sur chaque coin). Les éléments sont regroupés en groupe. On attribue à chaque groupe des propriétés matériaux qui lui sont propres. Propriétés matériaux : Pour appliquer les propriétés matériaux, nous utilisons le principe des modules complexes développé dans le Paragraphe Nous appliquons ainsi à chaque groupe d éléments les propriétés matériaux (E, ρ, ν). Et nous définissons ensuite par la commande AME l amortissement structural. Les propriétés des matériaux viscoélastiques - LORD - employés sont reprises dans le Tableau 3.6. Ces données serviront pour la comparaison entre le numérique et l expérimental.

125 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 115 Matériau Description Module d YOUNG (en Mpa) Facteur de perte (SU) QJ3 Polybutadiène QJ32 Polybutadiène HNBR Nitrate Butadiène Hydrogénaté JRHClear Silicone TAB. 3.6 Propriétés des matériaux viscoélastiques LORD pour le recalage Conditions aux limites et chargement Un noeud est créé afin de transmettre le chargement il est localisé au centre de la plaque et situé 3mm en dessous de cette dernière. Afin d imposer une accélération en ce noeud, nous l encastrons. Puis nous lui appliquons une accélération. Le chargement est une fonction échelon de valeur 1 quelle que soit la fréquence d excitation. Mesure numérique La réponse de la structure est donnée en chaque noeud i du modèle à partir d un balayage fréquentiel par : Avec Γ i num l accélération mesurée au noeud i. FRF i (ω) = 2 log ( Γ i num(ω) ) (3.2) Algorithme de résolution Le calcul est de type linéaire, la partie dynamique utilise l algorithme de LANCZOS et le principe de superposition modale est employé pour déterminer la réponse dynamique de la structure sous sollicitation extérieure. Cette description du modèle numérique est appliquée sur les configurations étudiées dans ce chapitre (configurations 1, 2, 3, 4 et 5) Corrélation Expérimental-Numérique Dans ce paragraphe nous utiliserons les critères FRAC et FDAC pour valider les résultats (FRF) de la modélisation numérique en les comparant aux résultats des éprouvettes de test. Les mesures sont effectuées sur 6 points de mesure comme le montre la FIG Nos critères de recalage utiliseront ainsi ces points de mesure par l utilisation des six FRF propres à chaque point. La structure de base est en aluminium (AU4G) testée et recalée dans la configuration poutre, nous prendrons ses valeurs matériaux comme propriétés de la base, voir le Tableau Plaque avec traitement EAR La plaque recouverte d une couche de 4mm d EAR est modélisée. Les propriétés matériaux sont celles déterminées dans le chapitre précédent, voir le Tableau La FIG montre la surface de corrélation entre l expérimental et le numérique. Nous pouvons remarquer sur le graphique du FDAC, qui représente la proximité des FRF mesurées entre le modèle numérique et le modèle expérimental, l existence une ligne diagonale à 45 o avec une valeur maximale sur l échelle. Cela traduit une bonne

126 116 CHAPITRE 3 adéquation entre les deux modèles. Sur le second graphique FRAC, ce paramètre est une mesure de corrélation de forme avec une valeur comprise entre et 1. On constate également une bonne corrélation entre les deux modèles Niveau du FRAC (1) (2) Point de mesure FIG Résultats des outils de corrélation pour la plaque avec un traitement EAR : (1) FDAC et (2) FRAC Plaque avec traitement ASDC Le Tableau 3.7 reprend toutes les configurations expérimentales utilisées pour la validation de notre modèle numérique. Specimen GD PT E xy Matériau H t Masse en mm en mm en mm Viscoélastique en mm en kg (A) QJ (B) QJ (C) QJ (D) QJ (E) QJ (F) QJ (H) JRHClear 4.17 (J) QJ (K) HNBR 4.2 (L) QJ TAB. 3.7 Caractéristiques des specimens avec un traitement ASDC - Configuration 1 : (A), (B), (C), (D), (E), (F) ; Configuration 2 : (H),(J) ; Configuration 3 : (K), (L) Les résultats sont donnés dans l Annexe D. Notons que chaque modèle numérique utilise les données du Tableau 3.6. Pour la configuration 1, nous avons recalé les modèles sur la valeur du module élastique du réseau d ellipse et les plots. Nous avons alors : E ellipse = 5Mpa, ρ ellipse = 13kg/m 3 et η ellipse =. Nous supposons aussi que les propriétés des plots sont les mêmes que celles des ellipses. Les propriétés des plots sont introduites pour chaque configuration (1, 2 et 3).

127 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 117 L étude a été réalisée sur la plage [ ; 2Hz] - plage d étude. Notre comparaison est réalisée avec les critères de FRAC et de FDAC. On constate alors pour les FIG. D.1 à FIG. D.3 (GD [11;12;13]), qu on obtient une bonne corrélation de par la présence de valeurs maximales sur la diagonale des diagrammes (sans discontinuité) pour le FDAC et des valeurs comprises entre.8 et 1 pour le FRAC. Pour les FIG. D.4 à FIG. D.6 (GD [27;28;29]) la corrélation est bonne, elle présente une légère discontinuité sur la diagonale. Toutefois, on notera que ces modèles numériques sont corrélés sur les éprouvettes de test. Pour les FIG. D.7 et FIG. D.8 - configuration 2 - la corrélation est excellente tout comme sur les FIG. D.9 et FIG. D.1 de la configuration 3. Ainsi notre modélisation numérique présente une bonne corrélation avec les données expérimentales et valide son utilisation pour la suite de notre étude Conclusions et résultats sur la corrélation numérique-expérimentale Ce paragraphe a permis de valider la modélisation numérique de la structure pour différentes configurations en comparant les données numériques issues de six points de mesure aux données expérimentales de ces mêmes points. Nous obtenons ainsi une bonne corrélation par les critères de FRAC et de FDAC. Le paramètre FRAC est une mesure de corrélation de forme avec une valeur comprise en et 1 et le paramètre FDAC une mesure de la proximité entre les FRF mesurées et numériques. Ainsi ce modèle sera la base des développements numériques que l on effectuera dans la suite de ce travail Principe des réseaux de neurones Introduction Les réseaux de neurones connaissent depuis quelques années un succès grandissant dans divers domaines des sciences de l ingénieur [34, 81, 131, 27, 1]. Nous allons dans ce paragraphe donner un bref historique de cet outil. L histoire des réseaux de neurones formels a donc débuté par les travaux de deux neurologues : W. MCCULLOCH et W. PITTS dans leurs études intitulées : "What the frog s eye tells to the frog s brain". Ils mirent au point un modèle assez simple avec des neurones. Ce modèle simplifié de neurone biologique est couramment appelé neurone formel. Ils montrèrent théoriquement que des réseaux de neurones formels simples peuvent réaliser des fonctions logiques et arithmétiques. Puis F. ROSENBLATT en 1957 inventa le modèle Perceptron, qui est le premier modèle artificiel capable d apprendre par expérience. Mais en 1969, M. MINSKY et PAPERT publièrent un ouvrage mettant en défaut ce modèle par ses limites théoriques, notamment par l impossibilité de traiter des problèmes non linéaires. Puis en 1982 J. HOPFIELD donna un renouveau au réseau en publiant un article introduisant un modèle récurent en totale rupture avec l approche du Perceptron. En parallèle de cela, une nouvelle génération de réseaux de neurones, capables de traiter avec succès des phénomènes non linéaires est développée : le Perceptron Multi-couches. Ce modèle ne possède pas les défauts mis en évidence par MINSKY. Il fut proposé pour la première fois par WERBOS et apparaît en 1986 par une étude de RUMELHART. Ces systèmes reposent sur la rétro propagation du gradient de l erreur dans des systèmes à plusieurs couches Modèle biologique L histoire des réseaux de neurones a été initiée avec l étude d un modèle biologique. Nous allons dans ce paragraphe décrire ce modèle pour comprendre les liens entre le modèle formel et la réalité biologique. Un neurone est une cellule constituée principalement de trois parties qui ont un rôle fonctionnel

128 118 CHAPITRE 3 bien défini dans le transfert d information. Ces parties sont les dendrites, le soma et l axone. Les dendrites collectent des signaux venant d autres cellules, ou de l extérieur s il s agit d un neurone sensoriel, qui prend la forme de branche appelée l arbre dendritique. L axone, généralement très long et unique, conduit l information du corps cellulaire vers d autres neurones avec qui il fait des connexions appelées synapses, comme le montre la FIG Les axones peuvent aussi stimuler directement d autres types de cellules comme celles des muscles ou des glandes. FIG Neurone biologique Nous considérerons que le signal support de l information nerveuse est de nature électrique : l influx nerveux est une impulsion électrique et les signaux dendritiques et somatiques sont des variations de potentiel électrique. Les informations entrantes atteignant des dendrites du neurone sont additionnées et délivrées le long de l axone où l information est passée aux autres neurones si les stimuli ont excédé le seuil. Dans ce cas, le neurone est dit activé. Si le stimulus entrant est trop bas, l information ne sera pas transportée plus loin. Les connexions entre les neurones sont adaptatives, c est-à-dire que la structure de connexion change dynamiquement. C est pourquoi nous disons que les habiletés d apprentissage des humains sont basées sur l adaptation. Entre deux cellules, au niveau de la synapse, la transmission se fait le plus souvent par un intermédiaire appelé "médiateur chimique". Ce modèle biologique permet de mettre en évidence les caractéristiques des réseaux de neurones que nous utiliserons par la suite : les dendrites, qui sont les entrées du réseau, collectent les informations d entrée qui arrivent au neurone ; les synapses, qui sont les poids, sont les liens entre les axones et les dentrites ; les axones, qui sont les sorties du réseau, transmettent l information vers d autres neurones ; le neurone, qui est le réseau (couche(s) cachée(s) + couche de sortie), émet un signal vers d autres neurones Réseaux de neurones formels Définition Par définition, un réseau de neurones est un assemblage d éléments, d unités ou de noeuds processeurs pour lequel un sous-groupe fait un traitement de l information indépendant et passe le résultat à un deuxième sous groupe. Les capacités de traitement du réseau sont stockées dans les forces (ou poids) des connections inter-unités qui sont obtenues par un processus d adaptation ou d apprentissage.

129 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 119 Ces réseaux ont un type d intelligence artificielle qui tente d imiter le fonctionnement d un cerveau humain. Au lieu d utiliser un modèle digital, dans lequel toutes les opérations manipulent des zéros et uns, un réseau de neurones procède en créant des connections entre les noeuds de traitement. L organisation et les poids déterminent les sorties. On remarque cela sur la FIG la sortie est alors définie par : a = f (Wp+b) avec f la fonction d activation du neurone, p les variables d entrée et W et b sont appelés respectivement poids et biais du neurone et lui sont spécifiques. Le produit Wp est appelé potentiel et est défini par Wp = i w i p i avec i le nombre d entrée. FIG Neurone formel FIG Réseau avec plusieurs neurones Pour caractériser un réseau de neurones, il est pratique d utiliser son graphe. Ses noeuds sont les neurones, ses racines sont les entrées du réseau et les arrêtes sont les connections pondérées. S il n y a pas de cycle dans ce graphe, le réseau est nommé non bouclé, sinon il est bouclé - dans notre étude le réseau est de type non bouclé, appelé également statique par opposition au dynamique de bouclé. Les valeurs des coefficients (poids et biais) sont généralement déterminées par un processus d apprentissage. Dans le cas de la modélisation d un processus, l architecture peut être partiellement déterminée par des connaissances a priori ; les valeurs de coefficient ayant une signification physique peuvent être fixées préalablement à l apprentissage. Réseaux de neurones non bouclés Un réseau est non bouclé - ou statique - si son graphe ne possède pas de cycle. Il est donc représenté par un ensemble de neurones connectés entre eux, l information circulant des entrées vers les sorties sans retour en arrière. Il réalise donc une relation algébrique non linéaire entre ses entrées et ses sorties. L architecture historique d un réseau non bouclé est celle du réseau à couches (FIG. 3.26). On notera que les réseaux de neurones non bouclés à couches, dont les neurones cachés ont une fonction d activation sigmoïde ( f ), sont appelés Perceptron Multi-Couches (ou PMC - Multi Layer Perceptron). Les neurones cachés sont répartis en couches successives, les neurones appartenant à une couche donnée n étant commandés que par les neurones de la couche précédente et ceux de la première couche n étant connectés qu aux entrées externes. Dans un réseau de neurones (PMC), les neurones sont regroupés en couches. Si l on suppose une couche cachée composée de n neurones la ième sortie est alors fonction des poids propres à chaque neurone. Un réseau peut comprendre N couches cachées. Pour cela chaque neurone dans une couche ( j) est connecté à tous les neurones de la couche j + 1 (si j + 1 < N) et ceux de la couche j 1 (si j 1 > ), voir la

130 12 CHAPITRE 3 FIG L information donnée à un réseau de neurones est propagée couche par couche de la couche d entrée à la couche de sortie en passant par aucune, une ou plusieurs couches intermédiaires (cachées). Soit pour notre exemple, nous avons : 2 2 R a = f [ w 3,i a i + b 3 ] = f [ w 3,i f 1 ( w(i, j)p j + b i ) + b 3 ] (3.3) i=1 i=1 Le nombre de couches, le nombre de neurones sur chaque couche ainsi que la fonction d activation des neurones (qui peut être sigmoïde, linéaire ou gaussienne, voir la FIG. 3.27) sont des paramètres du modèle que fixe l utilisateur. Les poids et les biais du réseau constituent les paramètres de configuration du modèle de régression. Ils sont adaptés durant l apprentissage de façon à ajuster les réponses du réseau aux paires entrée/sortie connues contenues dans la base d apprentissage. j=1 FIG Exemples de fonction d activation Ainsi l architecture du réseau étant fixée, le but de l apprentissage est l estimation des coefficients pour remplir au mieux la tâche à laquelle le réseau est destiné. L apprentissage d un réseau est défini par : un ensemble d apprentissage constitué de N exemples, chacun étant constitué d un vecteur appliqué aux entrées du réseau et d un vecteur des valeurs désirées correspondantes pour les sorties. Il est très important que cet ensemble d apprentissage soit suffisamment riche : il faut qu il couvre aussi complètement que possible le domaine de fonctionnement désiré pour le réseau et que le nombre d exemples soit grand devant le nombre de coefficients du réseau. La propriété de parcimonie 1 des réseaux de neurones permet de faciliter la réalisation de cette condition. Notons que la nécessité de disposer d exemples en nombre suffisant et représentatifs est souvent présentée comme une limitation propre aux réseaux de neurones. Ceci est incorrect : c est une limitation commune à toute méthode statistique. Grâce à la propriété de parcimonie, cette contrainte est plus facile à satisfaire lorsque l on utilise les réseaux de neurones que lorsque l on utilise d autres méthodes de régression. une fonction de coût à minimiser : en effet, la tâche ne consiste pas nécessairement à rendre les sorties du réseau égales aux sorties désirées ou proches de celles-ci. L apprentissage d un réseau de neurones est ainsi défini comme un problème d optimisation qui consiste à trouver les coefficients du réseau minimisant une fonction de coût. L apprentissage est mis en oeuvre par un système 1 Les réseaux de neurones formels, tels que nous les avons définis, possèdent une propriété remarquable qui est à l origine de leur intérêt pratique dans des domaines très divers : ce sont des approximateurs universels parcimonieux. La propriété d approximation peut être énoncée de la manière suivante : "toute fonction bornée suffisamment régulière peut être approchée avec une précision arbitraire, dans un domaine fini de l espace de ses variables, par un réseau de neurones comportant une couche de neurones cachés en nombre fini, possédant tous la même fonction d activation et un neurone de sortie linéaire".

131 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 121 d apprentissage qui comprend : le réseau dont les coefficients sont à estimer, des séquences d apprentissage et leur processus générateur (processus, modèle de référence) et l algorithme utilisé pour l estimation. Modélisation La modélisation d un processus consiste à représenter son comportement dynamique à l aide d un modèle mathématique paramétré. La première phase d une modélisation consiste à rassembler les connaissances dont on dispose sur le comportement du processus à partir d expériences et/ou d une analyse théorique des phénomènes physiques mis en jeu. Ces connaissances conduisent à faire plusieurs hypothèses de modèles. Chacun de ces modèles dynamiques, appelés modèles - hypothèse, réalise des fonctions non linéaires entre ses variables de commande, d état et de sortie. Dans le cas où ces fonctions sont inconnues, on parle de modèle boîte noire. Si certaines fonctions peuvent être fixées à partir de l analyse physique, on parle alors de modèle de connaissance. L approche boîte noire utilise, le plus souvent, des modèles entrée-sortie, alors qu une représentation d état est adoptée pour les modèles de connaissance. On est ainsi conduit à un ensemble de modèles - hypothèse concurrents. La seconde phase de la modélisation, aussi appelée identification, consiste à estimer les paramètres des modèles concurrents. Pour chacun d eux, on met en oeuvre un système d apprentissage constitué de la forme prédicteur du modèle - hypothèse et d un algorithme d apprentissage (ou d estimation). L estimation des paramètres du modèle est effectuée en minimisant une fonction de coût définie à partir de l écart entre les sorties mesurées du processus et les valeurs prédites (erreur de prédiction). La qualité de cette estimation dépend de la richesse des séquences d apprentissage et de l efficacité de l algorithme utilisé. A l issue de l identification de l ensemble des modèles - hypothèse, on retient l hypothèse correspondant au meilleur prédicteur neuronal obtenu ; la validation finale du modèle neuronal est effectuée en fonction de ses performances pour l utilisation prévue (commande ou simulation). Application au cas ASDC Dans notre étude nous disposons de variables d entrée (paramètres géométriques et matériaux) et de mesures issues du code éléments finis (NVM). La démarche consiste à construire un modèle qui est progressivement corrigé et affiné par comparaison avec les résultats numériques. Ce concept utilisé est de type boîte noire. On cherche à modéliser ce que fait le système (plaque+traitement) de manière globale, sans chercher à comprendre quels phénomènes internes expliquent ces relations. Le type de réseau employé est un Perceptron Multi-Couches non bouclé. Nous avons une fonction d activation linéaire sur la couche de sortie et une fonction d activation sigmoïde sur la (ou les) couche(s) cachée(s). L étude est réalisée sous MATLAB [62, 78]. Le processus d estimation du poids et du biais (apprentissage) est réalisé par la commande "newff". Pour cela le réseau est composé de N couches cachées ayant chacune un nombre N 1 de neurones et utilisant une fonction de poids ("dotprod"), une fonction d entrée ("netsum") et une fonction d activation (sigmoïde). Cette dernière est définie par l utilisateur et peut être différente d une couche à l autre. Dans un premier temps, les poids et les biais sont initialisés, puis l étude consiste à modifier ces derniers dans le but de minimiser la fonction réalisée par "trainlm" : EQMA = 1 M n ( ) 2 f j (p k ) t j,k (3.4) N k=1 j=1 où M est le nombre de paires entrée/sortie (p k, t k = (t j,k ) j=1..n ) dans la base d apprentissage, n est le nombre de neurones sur la couche de sortie, f j est la sortie délivrée par le jème neurone de sortie et t k

132 122 CHAPITRE 3 est la sortie calculée par le réseau. La minimisation de cette équation a été réalisée avec l algorithme de LEVENBERG-MARQUARDT (commande "trainlm" dans MATLAB). Une fois ces étapes de détermination des poids et des biais terminées, la performance est mesurée selon la définition donnée par l utilisateur : 1 n m target j out put j n target j < ε (3.5) k=1 j=1 où n est le nombre de données de la base de test, m est le nombre de sortie du réseau, target est la sortie connue pour un jeu de paramètres d entrée, out put est la sortie du réseau de neurones correspondant à ces données d entrée et ε est le critère d acceptation du réseau, nous le fixons à.1. Nous avons ainsi autant de ε calculé que de sorties du réseau Création de la base d apprentissage par la méthode LHS Comme nous venons de le voir la base d apprentissage est importante pour le réseau de neurones. Ainsi la détermination de la base est réalisée à partir de l échantillonnage aléatoire par hypercube latin, noté LHS pour Latin Hypercube Sampling. La méthode LHS est une méthode statistique [127, 78, 31]. L échantillonnage par hypercube latin a été développé pour satisfaire au besoin d évaluation d incertitude. Considérons une variable Y qui est fonction des variables (X 1,X 2,...,X k ). La méthode LHS choisit n valeurs différentes pour chacune des variables (X 1,X 2,...,X k ) de la façon suivante. Le domaine de définition de chacune des variables est divisé en n intervalles non recouverts sur une base de probabilité égale. Une valeur de chaque intervalle est choisie de façon aléatoire dans le respect de la densité de probabilité de l intervalle. Les n valeurs ainsi obtenues pour X 1 sont associées de façon aléatoire avec n valeurs de X 2. Ces n paires sont ensuite combinées de façon aléatoire avec n valeurs de X 3 pour former n triplets et ainsi de suite jusqu à ce que n k-tuplets soient formés. C est l échantillonnage par hypercube latin. Il est pratique de penser cet échantillon comme une matrice d entrée de dimensions n k où la ligne i contient les valeurs spécifiques de chacune des k valeurs d entrée à utiliser pour le calcul numérique numéro i. Pour comprendre comment est créé un LHS, considérons un échantillon de taille 5 avec 2 variables d entrée (X 1,X 2 ). Supposons que pour cet exemple les deux variables d entrée aient une distribution uniforme sur leurs intervalles respectifs - c est notre cas par la suite. Dans ce cas l intervalle est de taille ( ) défini par : Borne Sup Borne In f = (3.6) 5 L étape suivante est de donner des valeurs spécifiques à X 1 et X 2 dans chacun des 5 intervalles respectifs. Cette sélection est réalisée de façon aléatoire avec respect de la densité de probabilité dans chaque intervalle. Après, les valeurs choisies de X 1 et X 2 sont appareillées de façon aléatoire. Nous obtenons par exemple les données du Tableau 3.8 et la représentation de la FIG Principe du calcul du réseau de neurones La FIG reprend le principe de calcul du réseau de neurones. Dans un premier temps, nous calculons la base de données par la méthode LHS. Elle comprend les données d entrée du modèle. Puis

133 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 123 Itération Valeur d un Valeur d un de calcul intervalle X 1 intervalle X FIG Représentation d un hypercube latin possible pour l exemple avec la méthode LHS TAB. 3.8 Résultats de l échantillonnage pour l exemple avec la méthode LHS nous définissons le réseau de neurones (nombre de couches, nombre de neurones) et nous faisons un tirage aléatoire des 4/5 de la base de données pour l apprentissage. Une fois l apprentissage effectué nous utilisons les 1/5 de la base restante pour simuler le réseau et voir s il est acceptable ou non par l EQ. (3.5). Si c est le cas, nous arrêtons le calcul ici, sinon nous modifions les paramètres du réseau de neurones (nombre de couches ou de neurones). FIG Principe du calcul du réseau de neurones

134 124 CHAPITRE Principe de l homogénéisation par les modules effectifs Ce paragraphe est consacré à la présentation de la théorie de l homogénéisation au travers de quelques éléments bibliographiques nécessaires à la compréhension de cette méthode [17, 45, 4, 67, 9, 82, 25, 17]. L homogénéisation dans le cadre de ce mémoire est employée pour déterminer les paramètres homogènes du traitement amortissant afin de les intégrer dans le logiciel d absorption acoustique et vibratoire développé dans le service vibration d EUROCOPTER et ainsi faciliter l emploi du traitement sur hélicoptère. Pour notre étude nous faisons une analogie entre les composites et le traitement ASDC. Pour cela, nous assimilons les fibres au réseau elliptique et la résine au matériau viscoélastique. En effet, la raideur du réseau elliptique est plus élevée que celle du viscoélastique. Le VEM est modélisé par son module dynamique Introduction La théorie de l homogénéisation consiste à remplacer un matériau réel hétérogène par un matériau fictif, dit homogène équivalent, censé se comporter de la même façon que le matériau réel une fois soumis aux mêmes chargements. Le comportement d une structure composée de ce matériau hétérogène pourra être calculé plus facilement et plus rapidement avec le comportement de l ensemble, en supposant que le matériau obéit au comportement homogène équivalent. FIG. 3.3 Exemples de matériaux réels hétérogènes [56] La FIG. 3.3 montre tout l intérêt de cette méthode d un point de vue numérique. La théorie de l homogénéisation permet alors de considérer un matériau homogène, mélange des matériaux constitutifs initiaux, qui se comporterait globalement de la même manière que le matériau hétérogène et sur lequel il est alors beaucoup plus simple de mener les calculs permettant d analyser le comportement de la structure. La première étape de l homogénéisation est la définition du volume représentatif élémentaire (VER) qui est, comme son nom l indique, représentatif des hétérogénéités de la structure composite. Ce choix de représenter un point à l échelle macroscopique par un élément de volume consiste en fait à effectuer un zoom sur le point afin de détailler les hétérogénéités qui lui sont associées. A partir de ce VER, on dispose alors des repérages associés à chacune des échelles (hétérogène et macro), posons δ l échelle de dimension. Ceci signifie que les propriétés mesurées sur un échantillon de dimension δ sont indépen-

135 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 125 dantes du point du matériau où a été prélevé l échantillon. Dans le cadre d un tel concept, le matériau peut alors être considéré comme étant effectivement homogène et les problèmes de calcul de structure peuvent être résolus en considérant les propriétés moyennes mesurées à l échelle δ. Il existe deux classes de matériaux : les matériaux désordonnés, qui présentent une répartition aléatoire de leurs hétérogénéités et nécessitent alors une représentation statistique : ce sont par exemple les matériaux polycristallins ; les matériaux périodiques, qui présentent une microstructure aux propriétés répétitives et autorisent alors une représentation déterministe du VER qui sera dans ce cas une cellule appelée cellule de base qui, translatée dans toutes les directions de l espace d étude, permettra de reconstituer entièrement le matériau. Dans les deux cas, il faudra attribuer les propriétés matérielles et géométriques aux différents constituants qui seront alors considérés comme homogènes à l échelle microscopique. Les éléments constitutifs du milieu hétérogène sont supposés élastiques linéaires et parfaitement collés. Nous utilisons la théorie des modules effectifs pour déterminer le matériau homogène équivalent à notre structure. En effet, nous n appliquons pas de condition de périodicité à notre système. La théorie des modules effectifs définit les bornes des paramètres de l homogénéisation. L approche en contrainte constitue une borne supérieure et l approche en déformation une borne inférieure. Pour notre étude, nous supposerons un champ de déformation connu que nous appliquerons dans une approche en déformation. Les étapes du processus d homogénéisation sont : représentation : il faut déterminer le volume élémentaire représentatif (VER) du système ; localisation : on considère que l on connaît soit les contraintes appliquées au VER (approche en contrainte), soit les déformations (approche en déformation) ; homogénéisation : on calcule alors, à partir de l approche choisie, les termes du tenseur homogène Théorie des modules effectifs Localisation - approche en déformation Soit E le champ de déformation appliqué au VER. Le but est de trouver ε(u(x)) tel que dans V : div(σ(x)) = (P) σ(x) = C(x) : ε(u(x)) (3.7) < ε(u(x)) >= E Avec C(x) la matrice de compliance. Pour ce problème, il n y a pas de conditions aux limites mais une condition de moyenne. Le problème (P) possède une infinité de répartitions de u sur la frontière de V, notée V, qui conduit à < ε(u(x)) >= E. Soit sur V, nous avons : u(x) = Ex + u (x) (3.8) Ainsi u vérifie la relation : u (x) S nds =, avec u(x) S n = (u(x) S n) i j = 1 2 (u in j +u j n i ). Alors on a bien < ε(u(x)) >= E. V Approche déformation - théorie des modules effectifs Pour mieux poser le problème, on impose E par la condition : u(x) = Ex sur la frontière V. C est une condition dite de déformation homogène au

136 126 CHAPITRE 3 bord. Le problème (P) est alors remplacé par : div(σ(x)) = (P DH ) σ(x) = C(x) : ε(u(x)) u(x) = Ex (3.9) La solution de (P DH ) est unique et on a < ε(u(x)) >= E. Expression du tenseur de rigidité effectif : C Le problème aux limites précédent posé sur le VER admet, dans le cas élastique linéaire, une solution unique qui dépend linéairement du chargement macroscopique E. Il existe donc un champ de tenseur unique dit de concentration permettant d exprimer la déformation en un point x au sein du VER en fonction de la déformation macroscopique appliquée : ε(x) = A(x) : E (3.1) Les contraintes macroscopiques sont alors liées aux déformations macroscopiques imposées : σ(x) = C(x) : ε(u(x)) σ(x) = C(x) : A(x) : E (3.11) La moyenne dans V implique : Σ =< σ(x) >=< C(x) : A(x) >: E (3.12) Donc C =< C(x) : A(x) > et Σ = C : E, avec Σ contrainte macroscopique (Σ =< σ >). On voit que la loi de comportement macroscopique prend la forme d une loi d élasticité avec un tenseur des modules effectifs C. Le tenseur de rigidité effectif ( C) n est pas une simple moyenne mais une moyenne du tenseur de rigidité des constituants pondéré par le tenseur de concentration A Application au concept ASDC Nous appliquons la méthode définie dans le paragraphe précédent, on cherche à identifier le tenseur de rigidité effectif ( C). Pour notre étude, nous définissons dans un premier temps le VER qui est repris sur la FIG Ce VER hétérogène représente la structure complète par périodicité. FIG Volume élémentaire représentatif

137 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 127 Le modèle 3D du VER (voir FIG. 3.31) présente une symétrie par rapport aux plans (P) et (P ). Notre matériau est donc orthotrope, nous devons définir les 9 inconnues de la matrice de souplesse : [S] = 1 E 1 ν 21 E 2 ν 31 E 3 ν 12 E 1 1 E 2 ν 32 E 3 ν 13 E 1 ν 23 E 2 1 E 3 1 G 23 1 G 13 1 G 12 (3.13) Pour définir les 9 inconnues de la matrice orthotrope, le processus d homogénéisation retenu est basé sur la résolution de 6 problèmes d élasticité linéaire élémentaire. La FIG reprend ces conditions. (1) (2) (3) (4) (5) (6) FIG Conditions aux limites appliquées au VER Les conditions aux limites s écrivent donc pour déterminer les raideurs et les coefficients de POISSON : si l on veut déterminer E xx on impose alors u (1,,) = δ x et u ( 1,,) = δ x, avec (±1,,) l orientation de la face sur laquelle est appliquée le chargement u (±1,,) et δ le déplacement imposé ; si l on veut déterminer E yy on impose alors u (,1,) = δ y et u (, 1,) = δ y ;

138 128 CHAPITRE 3 si l on veut déterminer E zz on impose alors u (,,1) = δ z et u (,, 1) = δ z ; si l on veut déterminer G xy on impose alors u (1,,) = δ y, u (,1,) = δ x, u ( 1,,) = δ y et u (, 1,) = δ x ; si l on veut déterminer G xz on impose alors u (1,,) = δ z, u (,,1) = δ x, u ( 1,,) = δ z et u (,, 1) = δ x ; si l on veut déterminer G yz on impose alors u (,1,) = δ z, u (,,1) = δ y, u (, 1,) = δ z et u (,, 1) = δ y ; Une fois ces conditions définies, nous les appliquons aux VER. Pour notre étude deux types de VER sont conçus : le VER 1 : il a pour premier groupe le réseau elliptique et le second le viscoélastique autour et à l intérieur de ce dernier ; le VER 2 : il comprend pour premier groupe les plots et le second le reste du VER. Pour chaque VER, nous appliquons différents paramètres : géométriques : grand axe, petit axe et épaisseur des branches ; matériaux : module d YOUNG, masse volumique des matériaux et le facteur de perte. Les conditions aux limites sont appliquées sur les faces des VER. On relève ensuite les efforts sur les faces pour calculer les différents paramètres de la matrice orthotrope de chaque VER - EQ. (3.13). Une fois la matrice définie, on introduit les propriétés homogènes dans un nouveau modèle : structure stratifiée, qui sera développée par la suite et on la compare à la structure recouverte avec le matériau hétérogène. Cette stratégie est schématisée sur la FIG FIG Stratégie appliquée pour l homogénéisation Configuration ASDC en modèle de type Free-Layer Nous utilisons le modèle numérique développé dans le Paragraphe La configuration testée dans ce paragraphe utilise les remarques tirées des essais expérimentaux. Dans cette partie, nous allons détailler le concept, puis nous utiliserons la méthode des réseaux de neurones de façon à déterminer une loi reliant les propriétés géométriques et mécaniques au NVM. Cette loi ainsi déterminée est ensuite

139 3.2. MODÉLISATIONS NUMÉRIQUES 129 utilisée dans un calcul d optimisation afin de déterminer le traitement optimal et de le comparer aux traitements commerciaux existants (NVM calculés expérimentalement) Principe de la configuration 4 Cette nouvelle configuration, notée configuration 4 - voir la FIG. 3.34, est un traitement à deux couches. La première couche, collée à la structure, est une couche viscoélastique dans laquelle sont noyées des plots. La seconde couche est constituée d un réseau elliptique noyé dans du viscoélastique. Le traitement développé dans ce paragraphe tient compte des résultats expérimentaux. Comme nous l avons remarqué le fait de rajouter des plots engendre des modes intermédiaires sur la réponse vibratoire, pour cela les plots sont noyés dans le matériau viscoélastique, ce qui supprime les modes parasites de la configuration 1. Cette couche viscoélastique rajoutée permet aussi d avoir une meilleure facilité d utilisation du produit. On notera que les plots et le réseau elliptique constituent une même pièce. Pour cette configuration 4, à la dissipation par extension, principe du FLD, s ajoute la dissipation due au phénomène d amplification des ellipses. FIG Représentation de la configuration 4 : FLD Le traitement est modélisé sous CATIA afin de paramétrer les dimensions géométriques (par exemple GD, PT, HP). L intérêt de cette paramétrisation est de pouvoir faire varier les paramètres d entrée de la base d apprentissage définie par le LHS. Le modèle numérique (voir le Paragraphe 3.2.1) peut ensuite être réalisé sous SAMCEF. Puis un calcul par superposition modale donne les résulats vibratoires de la structure sur la plage [ ; 2Hz]. Nous calculons les NVM obtenus à partir des FRF de 1 points de mesure, voir la FIG Calcul du réseau de neurones Définition du problème Dans le cadre du traitement ASDC, la définition du réseau de neurones permet de comprendre et de définir la réponse de la structure sous sollicitation dynamique. Pour cela les variables d entrée à prendre en compte sont de deux types : les variables de géométrie qui sont continues et au nombre de cinq : le grand axe d une ellipse (GD) ; le petit axe d une ellipse (PT ) ; la hauteur de plot (HP) ;